Bài viết trình bày một số cách sử dụng diện tích hình phẳng, độ dài đoạn thẳng và các quy trình lặp để biểu diễn cho các số, hỗ trợ việc dạy học các tính chất toán học theo định hướng của lí thuyết kiến tạo, đáp ứng yêu cầu của công cuộc đổi mới căn bản,
UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC Nhận bài: 27 – 09 – 2017 Chấp nhận đăng: 30 – 12 – 2017 http://jshe.ued.udn.vn/ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM CHO GIÁO VIÊN TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG TRONG DẠY HỌC SỬ DỤNG HÌNH ẢNH TRỰC QUAN THEO ĐỊNH HƯỚNG CỦA LÍ THUYẾT KIẾN TẠO Nguyễn Thị Hà Phươnga*, Lê Thị Bạch Liênb, Nguyễn Thị Mai Thủyc Tóm tắt: Dạy học hướng vào người học, lấy người học làm trung tâm luận điểm then chốt lí luận dạy học đại Một đặc điểm phản ánh chất lí thuyết kiến tạo quan điểm tri thức kiến tạo cách tích cực chủ thể nhận thức, tiếp thu cách thụ động từ mơi trường bên ngồi Sử dụng hình ảnh trực quan để hỗ trợ việc dạy học toán vấn đề nhiều nhà giáo dục toán quan tâm, khai thác xu hướng nhằm tích cực hóa hoạt động khám phá kiến tạo tri thức học sinh, nâng cao lực tư sáng tạo Bài báo trình bày số cách sử dụng diện tích hình phẳng, độ dài đoạn thẳng quy trình lặp để biểu diễn cho số, hỗ trợ việc dạy học tính chất tốn học theo định hướng lí thuyết kiến tạo, đáp ứng yêu cầu công đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa - đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế Từ khóa: lực nghiệp vụ sư phạm; giáo viên tốn; hình ảnh trực quan; dạy học; lí thuyết kiến tạo Đặt vấn đề Khi dạy học định lí hay cơng thức tốn học theo phương pháp truyền thống, giáo viên thường đưa cơng thức, tính chất trước, sau sử dụng phép tốn logic lập luận chặt chẽ để chứng minh cơng thức, tính chất Điều giúp cho việc trình bày kiến thức đảm bảo tính logic, xác, nhiên người học cảm thấy tính tự nhiên q trình tiếp thu tri thức, tiếp nhận ghi nhớ kiến thức người học dễ trở nên máy móc Do việc học tốn trở nên khơ khan, khơng hấp dẫn người học khơng kích thích khả tư duy, sáng tạo người học Theo quan điểm tư biện chứng, nhận thức người từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, việc dạy trực quan người học dễ tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ Có thể nói biểu diễn trực quan khơng phương tiện để minh họa aTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Đại học Quảng Bình cTrường Cao đẳng Kinh tế - Kế Hoạch Đà Nẵng * Liên hệ tác giả Nguyễn Thị Hà Phương Email: nthphuong@ued.udn.vn bTrường theo cách dạy học truyền thống mà cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho q trình tư học sinh Do xu hướng dạy học theo định hướng lí thuyết kiến tạo việc tìm kiếm biểu diễn tốn trực quan giúp học sinh hiểu ý tưởng toán học tốt tự kiến tạo tri thức toán cho cách tích cực việc học trở nên có ý nghĩa với người học Vì vậy, việc sử dụng hình ảnh trực quan để minh họa kiến thức toán học ngày khuyến khích Bài báo trình bày vài ví dụ minh họa biểu diễn trực quan cho tính chất số học Hi vọng qua báo người đọc tìm kiếm thêm nhiều hình ảnh trực quan, từ khai thác, vận dụng vào giảng dạy tốn học cách có hiệu Lí thuyết kiến tạo Lí thuyết kiến tạo (constructivism) đề xuất vào khoảng năm 60 kỉ 20 Jean Piaget (1896 - 1980), nhà tâm lí học triết học người Thụy Sĩ Từ nay, ảnh hưởng sâu rộng giáo dục trở thành xu hướng đại nhiều nước phát triển giới quan tâm Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 71-78 | 71 Nguyễn Thị Hà Phương, Lê Thị Bạch Liên, Nguyễn Thị Mai Thủy hình ảnh trực quan để giúp học sinh chứng minh tính chất Nội dung nghiên cứu Hình Sơ đồ trình kiến tạo kiến thức Bản chất học tập kiến tạo thể qua đặc điểm sau: • Tri thức sản phẩm hoạt động phát sáng tạo người học Học q trình phát sáng tạo cách tích cực chủ thể nhận thức, tiếp thu thụ động từ giáo viên • Nhận thức trình tổ chức lại thế giới quan người học thơng qua hoạt động trí tuệ thể chất Mỗi người xây dựng kiến thức cho thân cách khác dù hoàn cảnh giống 3.1 Sử dụng độ dài đoạn thẳng để biểu diễn cho số Một cách tự nhiên để biểu diễn số dương a vẽ đoạn thẳng có độ dài a Với cách nhiều mối quan hệ số dương minh họa với số, mối quan hệ độ dài đoạn thẳng số Cho đoạn thẳng có độ dài a, b đoạn thẳng có độ dài đơn vị Khi đó, ta biểu diễn số mối quan hệ định lượng tương ứng với a, b, a+b, a.b hay nghịch đảo a độ dài đoạn thẳng (Hình 2) • Học tập q trình hoạt động xã hội, thể hai khía cạnh: học trình đáp ứng yêu cầu xã hội trình nhận thức người học chịu ảnh hưởng tương tác xã hội, mơi trường • Quá trình kiến tạo tri thức trình vận động, phát triển khơng phải q trình tĩnh tại, đứng im Kiến thức học sinh kiến tạo thông qua đường mô tả Hình [8, tr.23] • Cùng với việc hình thành kiến thức hình thành hành động trí tuệ Mỗi kiến thức hình thành đồng thời với việc học sinh chiếm lĩnh cách tạo kiến thức (tri thức phương pháp) nghĩa hình thành thao tác trí tuệ tương ứng Như vậy, học tập kiến tạo dựa tham gia người học vào việc giải vấn đề suy nghĩ có tính phê phán hoạt động mà học sinh thấy phù hợp hứng thú Học tập kiến tạo cho phép học sinh xây dựng nên kiến thức cho thử nghiệm ý tưởng từ kinh nghiệm hiểu biết có, từ áp dụng hiểu biết vào tình liên kết với kiến thức Trong báo áp dụng tư tưởng lí thuyết kiến tạo nói việc dạy học số tính chất số học Cụ thể sử dụng 72 Hình Bài toán 1: Xét Bất đẳng thức Pythagorean: a + b a + b a + b , a, b (1) Sử dụng kĩ thuật trực quan hóa số độ dài đoạn thẳng Hình 3a, ta biểu diễn c = a2 + b2 độ dài cạnh huyền tam giác vng với cạnh góc vng có độ dài a, b 2.c = a2 + b2 độ dài đường chéo hình vng có cạnh c Nên trước hết ta vẽ tam giác vng với cạnh góc vng có chiều dài a, b với cạnh huyền với chiều dài c Sau từ cạnh huyền ta vẽ tiếp hình vng với cạnh có chiều dài c, vẽ tiếp đường chéo hình vng với ý có chiều dài 2c Tiếp theo ta nối dài cạnh góc vng tam giác ban đầu để thu hai đoạn thẳng có chiều dài a + b Cuối cùng, để tạo nên liên kết hình có sẵn, học sinh cần vẽ thêm hai đoạn thẳng có độ dài a + b để tạo thành hình vng cạnh a + b (Hình 3a) ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 71-78 Sử dụng bất đẳng thức tam giác a + b c , ta có bất đẳng thức bên trái (1) Và vẽ thêm đoạn thẳng AB Hình 3a, ta thấy bất đẳng thức bên phải (1) Hình Do Tn = + + + n = n(n + 1) n + n = 2 Một cách khác để tính Tn lấy hai hình Hình 4a ghép lại với ta hình chữ nhật có hai cạnh n n + , tính diện tích hình chữ nhật ta có 2Tn = n(n + 1) Tn = n(n + 1) (xem Hình 4c) Ngồi ra, tổng (1 + + + n) tổng n số Hình Từ Hình 3a, giáo viên cho học sinh nhận xét AB = 2c ? Khi đó, học sinh vẽ tiếp Hình 3b cho câu trả lời a = b a + b = a2 + b2 Do nói sử dụng trực quan để dự đoán, phản bác giả thuyết Như vậy, từ việc quan sát yêu cầu toán hiểu biểu diễn số độ dài đoạn thẳng, học sinh sử dụng hình ảnh trực quan để chứng minh định lí mà khơng cần dùng chữ hướng dẫn, gợi mở giáo viên hạng cấp số cộng, nên ta vận dụng ý tưởng phần trước để minh họa hướng dẫn học sinh tính tốn tổng S n số hạng cấp số cộng tổng quát với số hạng đầu a công sai d S = a + (a + d ) + (a + 2d ) + + a + (n −1)d Tổng qt hóa hình 4, thu hình sau, cịn gọi phương pháp “đường ống” (organ-pipe) cho tổng số hạng cấp số cộng [4] 3.2 Sử dụng diện tích hình phẳng để biểu diễn cho số Bài tốn 2: Tính tổng số tự nhiên liên tiếp Xét tổng Tn = + + + + n Nếu sử dụng diện tích hình vng đơn vị (có cạnh 1) biểu diễn cho số 1, hai hình vng để biểu diễn cho số 2, diện tích Hình 4a biểu diễn cho tổng Tn Để tính diện tích, sử dụng đường chéo để chia đơi hình vng bên phải hàng Hình 4b, tính diện tích tam giác lớn khơng đánh dấu tam giác vuông cân cạnh n n hình tam giác nhỏ hơn, tam giác tam giác vng cân cạnh [7] Hình Hình chữ nhật thu có hai cạnh n a + (n −1)d + a Do đó: 2S = n 2a + (n −1)d nên S = n 2a + (n − 1)d (c) 73 Nguyễn Thị Hà Phương, Lê Thị Bạch Liên, Nguyễn Thị Mai Thủy Nhận xét: Để vận dụng hình ảnh vào giảng dạy toán theo định hướng lí thuyết kiến tạo, giáo viên cần ý đặc điểm giai đoạn nhận thức tư học sinh theo mơ hình SOLO (Structure of the Observed Learning Outcome) để có cách đặt vấn đề phù hợp Bạn đọc tìm hiểu thêm mơ hình [3] Chẳng hạn, ban đầu giáo viên đưa tổng T3 = + + với hình ảnh minh họa Hình Ta biết dãy số Fibonacci dãy: 1, 1, 2, 3, 5, 8,… có tính chất kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng tổng hai số hạng liền kề trước Nếu biểu diễn Fn số hạng Fibonacci thứ n F1 = F2 = 1, Fn = Fn −1 + Fn − với n Có nhiều đẳng thức đẹp dãy Fibonacci liên quan đến tổng bình phương hay tổng tích số Fibonaci Chẳng hạn, F12 + F22 + + Fn2 = Fn Fn+1 , mơ tả Hình đây: Hình diện tích hình vng đơn vị (có cạnh 1) biểu diễn cho số 1, hai hình vng để biểu diễn cho số 2, ba hình vng biểu diễn cho số Khi học sinh khám phá tính diện tích phần khơng tơ màu Hình thay cho tổng T Có nhiều cách để tính diện tích Hình trình bày nên ta 3(3 + 1) có T3 = + + = Từ học sinh đặt giải câu hỏi tổng quát tính Tn để kiến tạo kiến thức Như cách tự nhiên trực quan, học sinh dự đốn kiểm chứng kết tổng n(n + 1) Tn = Hình Trong hình, hình vng có cạnh nên diện tích biểu diễn cho 12 = F12 Do F3 = F1 + F2 nên F32 biểu diễn diện tích hình vng có cạnh tổng chiều dài cạnh hai hình vng biểu diễn cho F12 F22 Cứ tổng F12 + F22 + + Fn2 biểu diễn diện tích hình chữ nhật có hai cạnh Fn Fn +1 Do ta có kết F12 + F22 + + Fn2 = Fn Fn+1 Bài tốn 3: Dãy số Fibonacci Hình 74 Những đẳng thức khác minh họa tương tự [2] Nguyễn Thị Hà Phương, Lê Thị Bạch Liên, Nguyễn Thị Mai Thủy Trong Hình 8a, diện tích hình vng biểu Fn2− , diễn cho Fn − biểu diễn cạnh hình vng Mỗi hình chữ nhật có hai cạnh Fn −1 Fn −1 + Fn − = Fn Khi hình vng lớn tạo thành từ hình vng nhỏ hình chữ nhật xung quanh có cạnh Fn −1 + Fn = Fn +1 + Với cách giải biểu diễn trực quan hình học cho lời giải rõ ràng, dễ hiểu, xác, cho học sinh hình ảnh cụ thể dãy số, tổng chuỗi số, mở cho học sinh quy luật, thiết kế xếp nhiều hình thức khác toán thúc đẩy học sinh chủ động việc hiểu khái niệm tốn Từ ta có đẳng thức Fn2+1 = 4Fn Fn−1 + Fn2−2 Tương tự, cách chia Hình 8b, ta lại có đẳng thức Fn2+1 = 2Fn2−1 + 2Fn2 − Fn2−2 , đẳng thức Fn2+1 = 4Fn2−1 + 4Fn−1.Fn−2 + Fn2−2 theo cách chia Hình 8c, đẳng thức Fn2+1 = 4Fn2 − 4Fn−1.Fn−2 − 3Fn2−2 theo cách chia Hình 8d, đẳng thức Fn2 = Fn2−1 + Fn−22 + 2Fn−1.Fn−2 (Hình 8e) Hình 3.3 Tổng dãy vơ hạn Bài tốn 4: Tìm tổng vơ hạn cấp số nhân: 1 1 + + + Nếu giải theo đại số Sn = ( n − (1 ) 1 1 1 + + + + = 4 4 −1 4 lim Sn = lim n → n → ( − (1 ) n ) = n ) = (1 − (1 ) ) n Ý tưởng mở rộng để tìm cơng thức cho tổng dãy hình học tổng quát (với đại lượng dương a tỷ lệ chung r, < r