Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA H€ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI–N * NGUYỄN VĂN TH€NH D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRœNH ĐẠO H€M RI–NG NGẪU NHI–N LUẬN •N TIẾN SĨ TO•N HỌC H Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA H€ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI–N * NGUYỄN VĂN TH€NH D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRœNH ĐẠO H€M RI–NG NGẪU NHI–N Chuy¶n ng nh: Phương trẳnh vi phƠn v tẵch phƠn M s: 9460101.03 LUN •N TIẾN SĨ TO•N HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Cung Thế Anh H Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tỉi xin cam đoan đ¥y l cỉng trẳnh nghiản cu ca tổi di s hng dn ca PGS.TS Cung Thế Anh C¡c kết ph¡t biểu luận ¡n l ho n to n trung thực v chưa cæng bố mt cổng trẳnh n o khĂc Nghiản cu sinh Nguyn Văn Th nh LỜI CẢM ƠN Luận ¡n ho n th nh hướng dẫn nghi¶m khắc, tận t¼nh, cẩn thận PGS.TS Cung Thế Anh T¡c giả xin b y tỏ láng k½nh trọng v biết n sƠu sc PGS.TS Cung Th Anh, ngi Thy  dẫn dắt t¡c giả l m quen với nghi¶n cứu khoa học từ ng y sau tốt nghiệp thạc sĩ Ngo i dẫn mặt khoa học, động vi¶n v láng tin tưởng Thầy d nh cho t¡c giả luæn l động lực lớn gióp t¡c giả say m¶ nghi¶n cứu v học tập T¡c giả xin tr¥n trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Gi¡m hiệu, Pháng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa To¡n - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhi¶n, Đại học Quốc gia H Nội, đặc biệt l GS.TS Nguyễn Hữu Dư v c¡c thy cổ giĂo B mổn Phng trẳnh vi phƠn v Hệ động lực Khoa To¡n - Cơ - Tin hc  luổn giúp , ng viản, to mổi trường học tập nghi¶n cứu thuận lợi cho t¡c giả Ngo i ra, t¡c giả xin cảm ơn c¡c thầy cỉ gi¡o, đặc biệt l PGS.TS Trần Đ¼nh Kế, Bộ mỉn Giải t½ch, Khoa To¡n - Tin, Trường Đại học Sư phạm H Nội, v PGS.TSKH Đo n Th¡i Sơn, Vin ToĂn hc,  luổn ng viản, ch bo, hng dẫn kiến thức sở bổ ½ch cho hướng nghi¶n cứu t¡c giả T¡c giả xin b y tỏ láng biết ơn đến Ban Gi¡m hiệu, c¡c thầy cæ v c¡c anh chị đồng nghiệp cæng t¡c ti T T nhiản, Trng THPT Chuyản Ngoi ng,  ln tạo điều kiện thuận lợi, gióp đỡ v động viản tĂc gi sut quĂ trẳnh hc v nghi¶n cứu Lời cảm ơn sau cịng, t¡c giả xin d nh cho gia đ¼nh, đặc biệt l người vợ yảu quỵ v hai ni ngoi, nhng ngi luổn y¶u thương, chia sẻ, động vi¶n t¡c giả vượt qua khâ khăn để ho n th nh luận ¡n Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số k½ hiệu dịng luận ¡n MỞ ĐẦU LỊCHSỬVẤNĐỀV€L•DOCHỌNĐỀT€I TỔNGQUANVẤNĐỀNGHI–NCỨU 10 MỤC Đ•CH, ĐỐI TƯỢNG V€ PHẠM VI NGHI–N CỨU 15 PHƯƠNGPH•PNGHI–NCỨU 17 KẾTQUẢCỦALUẬN•N 18 CẤUTRĨCCỦALUẬN•N 19 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.CãCKHặNGGIANHM 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI KHỈNGGIANHILBERT 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 MỘT SỐ KH•I NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC NHI–NV€TẬPHÓTNGẪUNHI–N 1.4 MỘTSỐKẾTQUẢBỔTRỢ 1.4.1 Một số bất đẳng thức thường dòng 1.4.2 Chương D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRœNH PARABOLIC NỬA TUYẾN T•NH SUY BIẾN NGẪU NHI–N 37 2.1 T•NH TRƠN CỦA TẬP HĨT 2.1.1 2.1.2 Sự tồn tập hót ng 2.1.3 Sự tồn tập hót ngẫu n 2.2 ỔN ĐỊNH HÂA NGHIỆM DỪ NH…NT•NH 2.2.1 2.2.2 Ổn định hâa nghiệm dừ Chương D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKESVOIGT NGẪU NHI–N 3.1 SỰ TỒN TẠI V€ T•NH DUY 3.1.1 3.1.2 3.2 T•NH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NG 3.2.1 3.2.2 Ổn định mũ b¼nh phương trung b¼nh 3.2.3 3.3 ỔN ĐỊNH HÂA NGHIỆM BẰNG ĐIỀU KHIỂN C GI• ĐỦ LỚNB–NTRONGMIỀN 3.3.1 3.3.2 3.3.3 Ổn định hâa điều khiển phản hồi câ gi¡ đủ ln Chng DãNG IU TIM CN NGHIM CA HỆ KELVIN-VOIGTBRINKMAN-FORCHHEIMER NGẪU NHI–N 112 4.1.Đặt b i to¡n 4.2.T½nh ổn định mũ nghiệm dừng KẾT LUẬN 121 KẾTQUẢĐẠTĐƯỢC 121 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHI–N CỨU TIẾP THEO 122 DANH MC CãC CặNG TRNH CặNG B C S DỤNG TRONG LUẬN •N 123 T€I LIỆU THAM KHẢO 124 MỘT SỐ K• HIỆU THƯỜNG DỊNG TRONG LUẬN •N H; V V ′ j jp ( ; ); j j (( ; ));∥ ∥ ∥∥ ; Id A; B D(A) ⇀ Y X dist(A; B) L (K0; H) MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN V Lã DO CHN TI Phng trẳnh o h m ri¶ng ngẫu nhi¶n xuất nhiều qu¡ trẳnh ca vt lẵ, hõa hc v sinh hc, chng hạn qu¡ tr¼nh truyền nhiệt khuếch t¡n, qu¡ tr¼nh truyền sâng học chất lỏng, c¡c mỉ h¼nh quần thể sinh học m t¡c động ngoại lực l li¶n tục v ngẫu nhi¶n Vic nghiản cu nhng lp phng trẳnh n y cõ þ nghĩa quan trọng khoa học v cæng nghệ Chẵnh vẳ vy nõ  v ang thu hút c s quan tƠm ca nhiu nh khoa hc trản th giới Một vấn đề định t½nh quan trọng nghiản cu nhng lp phng trẳnh o h m riảng ngu nhiản cõ ng dng l xt tẵnh t đóng b i to¡n v sau đâ nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm thời gian t ! 1: Ơy l mt vic l m cõ ỵ nghĩa thực tiễn, v¼ nghiệm phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu nhi¶n thường mỉ tả trạng th¡i c¡c mỉ h¼nh thực tế Do đâ, biết d¡ng điệu tiệm cận nghiệm, ta câ thể dự đo¡n xu ph¡t triển hệ tương lai v đưa đ¡nh gi¡, điều chỉnh th½ch hợp để đạt kết mong muốn Về mặt to¡n học, điều n y l m nảy sinh hướng nghi¶n cứu mới, ph¡t triển mạnh mẽ khoảng v i thp k gn Ơy l lẵ thuyt v d¡ng điệu tiệm cận nghiệm c¡c phương tr¼nh đạo h m ri¶ng ngẫu nhi¶n Hai hướng nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm c¡c phương trẳnh o h m riảng ngu nhiản: Nghiản cu dĂng điệu tiệm cận nghiệm c¡c hệ động lực ngẫu nhiản bng cĂch s dng lẵ thuyt hút ngu nhiản B i toĂn c bn ca lẵ thuyt n y l nghi¶n cứu tồn v c¡c tẵnh cht ca hút ngu nhiản, chng hn tẵnh trơn tập hót, đ¡nh gi¡ số chiều tập hót, nghi¶n cứu phụ thuộc li¶n tục tập hút v o tham s, Nghiản cu tẵnh n nh nghim ca phng trẳnh o h m riảng ngu nhi¶n Nâi ri¶ng l nghi¶n cứu tồn v t½nh ổn định nghiệm dừng hệ tất định tương ứng ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhi¶n Trong trường hợp nghiệm dừng n y khỉng ổn định, nghi¶n cứu b i to¡n ổn định hâa nghiệm dừng c¡ch sử dụng nhiễu ngẫu nhi¶n phị hợp sử dụng điều khiển phản hồi câ gi¡ tr¶n bi¶n Di Ơy chúng tổi im qua mt số kết ti¶u biểu hai hướng nghi¶n cứu nghi¶n cứu n y, li¶n quan đến nội dung luận ¡n Kh¡i niệm tập hót ngẫu nhi¶n l mở rộng kh¡i niệm tập hót to n cục hệ động lực tất định, giới thiệu H Crauel, A Debussche, F Flandoli [29, 30] Từ đời đến nay, hướng nghi¶n cứu hút ngu nhiản v tẵnh cht ca nõ  thu hót quan t¥m nhiều nh to¡n học tr¶n giới Sau hai thập kỉ ph¡t triển, tồn v c¡c t½nh chất ca hút ngu nhiản  c nghiản cu cho lớp kh¡ rộng c¡c phương tr¼nh đạo h m ri¶ng phi tuyến Nâi ri¶ng, [29, 30] c¡c t¡c gi  xt lp phng trẳnh phn ng khuch tĂn vi nhiu ngu nhiản cng tẵnh dng du = udt + f(u)dt + ∑ m hj(x)dWj; j=1 đâ số hạng phi tuyến f(u) tăng trưởng v ti¶u hao kiểu đa thức, v đ¢ chứng minh tồn tập hót ngẫu nhi¶n hệ động lực ngẫu nhi¶n sinh phương tr¼nh Tiếp tục ph¡t triển vấn đề n y, năm gần đ¥y, nhiều nh to¡n học  quan tƠm nghiản cu s tn ti v tẵnh cht ca hút ngu nhiản cho lp phng trẳnh parabolic với nhiễu cộng t½nh ∑ m j=1 hj(x)dWj với N T (a) V¼ (t) M1 với t 0: V¼ E[ N t N+1 2E∥u0 u ∥V2 exp 2E∥u0 u ∥V2 exp ( ( aN Me với N T (a) v Theo bất đẳng thức Chebychev, ta câ { P ! : N t N+ với N T (a); M0 l số dương v ϵ (0; a=2), từ Bổ đề Borel-Cantelli (xem Bổ đề 1.7), tồn số nguy¶n n0(!) > T (a) cho (a2ϵ)N sup N t N+1 ∥u(t) u ∥V e ; hầu chắn, với n n0: Định l½ chứng minh KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương n y, chóng tỉi nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương tr¼nh Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngu nhiản ba chiu Chúng tổi  thit lp c iu kin cho tẵnh n nh m bẳnh phng trung b¼nh v ổn định mũ hầu chắn nghiệm dừng hệ tất định t¡c động nhiu ngu nhiản (nh lẵ 4.2, nh lẵ 4.3) 121 KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận ¡n n y, chóng tỉi nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương tr¼nh parabolic suy biến nửa tuyn tẵnh ngu nhiản, h phng trẳnh NavierStokes-Voigt ngu nhiản ba chiu v h phng trẳnh Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer ngu nhiản ba chiều C¡c kết đạt bao gồm: Đối với lp phng trẳnh parabolic suy bin na tuyn tẵnh ngu nhi¶n: Chứng minh tồn tập hót ngẫu nhi¶n c¡c khỉng p gian L (O) v D0 (O; ) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn v t½nh ổn định nghiệm dừng phương tr¼nh tất định Trong trường hợp nghiệm dừng n y l khæng ổn định, chứng minh câ thể ổn định hâa nâ nhiễu ngẫu nhiản nhƠn tẵnh cõ cng mnh i vi h phng trẳnh Navier-Stokes-Voigt ngu nhiản ba chiu: Chng minh tồn v nghiệm Thiết lập điều kiện đủ cho t½nh ổn định mũ theo b¼nh phương trung b¼nh v hầu chắn nghiệm dừng hệ tất định ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhi¶n Ổn định hâa nghiệm dừng điều khiển phản hồi câ gi¡ đủ lớn b¶n miền trường hợp nghiệm dừng khæng ổn định Đối với h phng trẳnh Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngu nhiản ba chiu: Thit lp c iu kin cho tẵnh n nh theo bẳnh phương trung b¼nh v ổn định hầu chắn nghiệm dừng hệ tất định ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhi¶n 122 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHI–N CỨU TIẾP THEO B¶n cạnh c¡c kết đ¢ đạt luận ¡n, số vấn đề mở cần tiếp tục nghi¶n cứu như: Tiếp tục nghiản cu tẵnh cht ca hút ngu nhiản ca lớp phương tr¼nh parabolic suy biến nhận luận ¡n, chẳng hạn đ¡nh gi¡ số chiều Hausdorff v số chiều fractal, nghi¶n cứu cấu tróc tập hót ngẫu nhi¶n, phụ thuộc tập hót v o tham số nhiễu ngẫu nhi¶n Nghi¶n cứu tồn v t½nh ổn định nghiệm dừng khỉng (tức l nghiệm dừng theo nghĩa ngẫu nhi¶n) hệ Navier-Stokes-Voigt v hệ Kelvin-Voigt-Brinkmann-Forchheimer ngẫu nhi¶n Nghi¶n cứu hội tụ nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n tham số dần đến 0, tức l so s¡nh nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhi¶n với nghiệm tương ứng hệ Navier-Stokes ngu nhiản 123 DANH MC CãC CặNG TRNH KHOA HỌC CỦA T•C GIẢ LI–N QUAN ĐẾN LUẬN •N C.T Anh, T.Q Bao and N.V Thanh (2012), Regularity of random attractors for stochastic semilinear degenerate parabolic equations, Elect J Differential Equations, No 207, 22 pp C.T Anh and N.V Thanh (2016), Asymptotic behavior of the stochastic Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer equations, Stoch Anal Appl., 34 no 3, 441-455 C.T Anh and N.V Thanh (2016), Stabilization of a class of semilinear degenerate parabolic equations by Ito noise, Random Oper Stoch Equ., 24, no 3, 147-155 C.T Anh and N.V Thanh (2018), On the existence and long-time be-havior of solutions to stochastic three-dimensional Navier-Stokes-Voigt equations, Stochastics, 91 (4), 485-513 N.V Thanh (2018), Internal stabilization of stochastic 3D Navier-StokesVoigt equations with linearly multiplicative Gaussian noise, Random Oper Stoch Equ., accepted 124 T i liệu tham khảo [1] C.T Anh and T.Q Bao (2010), Pullback attractors for a non-autonomous semi-linear degenerate parabolic equation, Glasgow Math J 52, 537-554 [2] C.T Anh, T.Q Bao and L.T Thuy (2013), Regularity and fractal dimension of pullback attractors for a non-autonomous semilinear degenerate parabolic equations, Glasgow Math J 55, 431-448 [3] C.T Anh, N.D Binh and L.T Thuy (2010), On the global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations, Ann Pol Math 98, 71-89 [4] C.T Anh and P.Q Hung (2008), Global existence and long-time behavior of solutions to a class of degenerate parabolic equations, Ann Pol Math 93, 217-230 [5] C.T Anh and D.T.P Thanh (2018), Existence and long-time behavior of solutions to Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, Bull Korean Math Soc 55, 379-403 [6] C.T Anh, N.V Thanh and N.V.Tuan (2017), On the stability of solutions to stochastic 2D g-Navier-Stokes equations with finite delays, Random Oper Stoch Equ 25, 211-224 [7] C.T Anh and P.T Trang (2013), On the 3D Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal 89, 3654 125 [8] C.T Anh and P.T Trang (2013), Pull-back attractors for three-dimensional Navier-Stokes-Voigt equations in some unbounded domains, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 143, 223-251 [9] C.T Anh and N.V Tuan (2018), Stabilization of 3D Navier-Stokes-Voigt equations, Georgian Math J., DOI: 10.1515/gmj-2018-0067 [10] L Arnold, H Crauel and V Wihstutz (1983), Stabilization of linear sys-tems by noise, SIAM J Control Optim 21, 451-461 [11] Berlin L Arnold (1998), Random Dynamical Systems, Springer-Verlag, [12] V Barbu (2013), Note on the internal stabilization of stochastic parabolic equations with linearly multiplicative Gaussian noise, ESAIM Control Op-tim Calc Var 19, 1055-1063 [13] A Bensoussan (1995), Stochastic Navier-Stokes equations, Acta Appl Math 38, 267-304 [14] V Barbu and C Lefter (2003), Internal stabilizability of the Navier- Stokes equations, Systems Control Lett 48, 161-167 [15] P.W Bates, H Lisei and K Lu (2006), Attractors for stochastic lattice dynamical system, Stoch Dyn 6, 1-21 [16] P.W Bates, K Lu and B Wang (2009), Random attractors for stochastic reaction-diffusion equations on unbounded domains, J Differential Equa-tions 246, 845-869 [17] T.Q Bao (2014), Dynamics of stochastic three dimensional Navier- Stokes-Voigt equations on unbounded domains, J Math Anal Appl 419, 583605 126 [18] a N.D Binh, N.N Thang and L.T Thuy (2016), Pullback attractors for N non-autonomous semilinear degenerate parabolic equation on R , Acta Math Vietnam 41, 183-199 [19] H.I Breckner (1999), Approximation and Optimal Control of the Stochas-tic Navier-Stokes Equation, PhD dissertation, Martin-Luther University, Halle-Wittenberg [20] Z Brzezniak and E Motyl (2013), Existence of a martingale solution of the stochastic Navier-Stokes equations in unbounded 2D and 3D domains, J Differential Equations 254, 1627-1685 [21] P Caldiroli and R Musina (2000), On a variational degenerate elliptic problem, Nonlinear Diff Equ Appl 7, 187-199 [22] Y Cao, E.M Lunasin and E.S Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models, Commun Math Sci 4, 823-848 [23] T Caraballo, J.A Langa and J.C Robinson (2000), Stability and ran-dom attractors for a reaction-diffusion equation with multiplicative noise, Discrete Contin Dynam Syst 6, 875-892 [24] T Caraballo and P.E Kloeden (2010), Stabilization of evolution equa-tions by noise, Recent development in stochastic dynamics and stochastic analysis, 43-66, Interdiscip Math Sci., 8, World Sci Publ., Hackensack, NJ [25] T Caraballo, K Liu and X Mao (2001), On stabilization of partial dif-ferential equations by noise, Nagoya Math J 161, 155-170 [26] T Caraballo, J.A Langa and T Taniguchi (2002), The exponential be-haviour and stabilizability of stochastic 2D Navier-Stokes equations, J Differential Equations 179, 714-737 127 [27] T Caraballo, A.M M¡rquez-Dur¡n and J Real (2006), The asymptotic behaviour of a stochastic 3D LANS- model, Appl Math Optim 53, 141-161 [28] T Caraballo, J Real and T Taniguchi (2006), On the existence and uniqueness of solutions to stochastic three-dimensional Lagrangian aver-aged Navier-Stokes equations, Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci 462, 459-479 [29] H Crauel, A Debussche and F Flandoli (1997), Random attractors, J Dynam Differential Equations 9, 307-341 [30] H Crauel and F Flandoli (1994), Attractors for random dynamical sytems, Probab Theory Related Fields 100, 365-393 [31] M Coti Zelati and C.G Gal (2015), Singular limits of Voigt models in fluid dynamics, J Math Fluid Mech 17, 233-259 [32] J Duan and W Wang (2014), Effective Dynamics of Stochastic Partial Differential Equations, Elsevier [33] R Dautray and J.L Lions (1985), Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol I: Physical origins and classical methods, Springer-Verlag, Berlin [34] G Da Prato and J Zabczyk (2014), Stochastic Equations in Infinite Di-mensions, second edition, Cambridge University Press, Cambridge [35] L Gawarecki and V Mandrekar (2011), Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensions with Applications to Stochastic Partial Differential Equations, Springer, Heidelberg [36] J Garc½a-Luengo, P Mar½n-Rubio and J Real (2012), Pullback attrac-tors for three-dimensional non-autonomous Navier-Stokes-Voigt equations, Nonlinearity 25, 905-930 128 [37] H Gao and C Sun (2012), Random dynamics of the 3D stochastic Navier-Stokes-Voight equations, Nonlinear Anal Real World Appl 13, 11971205 [38] R.Z Has'minskii (1980), Stochastic Stability of Differential Equations, Si-jthoff and Noordhoff, Netherlands [39] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J Nonlinear Sci 20, 523-567 [40] N.I Karachalios and N.B Zographopoulos (2005), Convergence towards attractors for a degenerate Ginzburg-Landau equation, Z Angew Math Phys 56, 11-30 [41] N.I Karachalios and N.B Zographopoulos (2006), On the dynamics of a degenerate parabolic equation: Global bifurcation of stationary states and convergence, Calc Var Partial Differential Equations 25, 361-393 [42] V.K Kalantarov (1986), Attractors for some nonlinear problems of math-ematical physics, Zap Nauchn Sem Lenigrad Otdel Math Inst Steklov (LOMI) 152, 50-54 [43] V.K Kalantarov, B Levant and E.S Titi, Gevrey regularity for the at-tractor of the 3D Navier-Stoke-Voight equations, J Nonlinear Sci 19 (2009), 133-152 [44] V.K Kalantarov and E.S Titi (2009), Global attractor and determining modes for the 3D Navier-Stokes-Voight equations, Chin Ann Math Ser B 30, 697-714 [45] V.K Kalantarov and S Zelik (2012), Smooth attractors for the Brinkman-Forchheimer equations with fast growing nonlinearities, Comm Pure Appl Anal 11, 2037-2054 129 [46] I Karatzas and S.E Shreve (1991), Brownian Motion and Stochastic Cal-culus, 2nd edition, Springer-Verlag, New York [47] J.A Langa, J Real and J Simon (2003), Existence and regularity of the pressure for the stochastic Navier-Stokes equations, Appl Math Optim 48, 195-210 [48] D Li and C Sun (2016), Attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations with critical exponent, J Evol Equ 16, 9971015 [49] X Li, C Sun and N Zhang (2016), Dynamics for a non-autonomous degenerate parabolic equation in D0 (Ω; ), Discrete Contin Dyn Syst 36, 7063-7079 [50] X Li, C Sun and F Zhou (2016), Pullback attractors for a non- autonomous semilinear degenerate parabolic equation, Topol Methods Nonlinear Anal 47, 511-528 [51] J.L Lions (1969), Quelques M²thodes de R²solution des Probl±mes aux Limites non Lin²aires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris [52] K Liu (1997), On stability for a class of semilinear stochastic evolution equations, Stochastic Process Appl 70, 219-241 [53] K Liu (2006), Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications, Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 135 Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL [54] Y Li and B Guo (2008), Random attractors for quasi-continuous ran-dom dynamical systems and applications to stochastic reaction-diffusion equations, J Differential Equations 245, 1775-1800 130 [55] J Li, Y Li and B Wang (2010), Random attractors of reactiondiffusion p equations with multiplicative noise in L , App Math Comp 215, 3399-3407 [56] R.S Liptser and A.N Shiryayev (1989), Theory of Martingales, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht [57] Q.F Ma, S.H Wang and C.K Zhong (2002), Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for semigroups and appli-cations, Indiana University Math J 51, 1541-1559 [58] T Medjo (2011), The exponential behavior of the stochastic three- dimensional primitive equations with multiplicative noise, Nonlinear Anal Real World Appl 12, 799-810 [59] X Mao (1997), Stochastic Differential Equations and Applications, Hor-wood, Chichester [60] E Pardoux (1975), ’quations aux D²riv²es Partielles Stochastiques Non Lin²aires Monotones, Th±se, Universit² Paris XI [61] M Scheutzow (1993), Stabilization and destabilization by noise in the plane, Stoch Anal Appl 11, 97-113 [62] A.P Oskolkov (1973), The uniqueness and solvability in the large of boundary value problems for the equations of motion of aqueous solutions of polymers, Zap Nauchn Sem Leningrad Otdel Math Inst Steklov (LOMI) 38, 98-136 [63] P.A Razafimandimby and M Sango (2012), On the exponential behaviour of stochastic evolution equations for non-Newtonian fluids, Appl Anal 91, 2217-2233 131 [64] P.A Razafimandimby and M Sango (2012), Strong solution for a stochas-tic model of two-dimensional second grade fluids: existence, uniqueness and asymptotic behavior, Nonlinear Anal 75, 4251-4270 [65] P.A Razafimandimby and M Sango (2015), Existence and large time behavior for a stochastic model of modified magnetohydrodynamic equations, Z Angew Math Phys 66, 2197-2235 [66] B Schmalfuss (1997), Qualitative properties for the stochastic Navier-Stokes equation, Nonlinear Anal 28, 1545-1563 [67] C Sun and H Gao (2010), Hausdorff dimension of random attractor for stochastic Navier-Stokes-Voight equations and primitive equations, Dyn Partial Differ Equ 7, 307-326 [68] Anal- R Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical ysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [69] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [70] Y Wang and C.K Zhong (2008), On the existence of pullback attractors for non-autonomous reaction diffusion, Dyn Syst 23, 1-16 [71] Z Wang and S Zhou (2011), Random attractors for stochastic reaction-diffusion equation with multiplicative noise on unbounded domains, J Math Anal Appl 384, 160-172 [72] M Yang and P.E Kloeden (2011), Random attractors for stochastic semi-linear degenerate parabolic equations, Nonlinear Anal Real World Appl 12, 2811-2821 [73] semi- J Yin, Y Li and H Zhao (2013), Random attractors for stochastic q linear degenerate parabolic equations with additive noise in L , Appl Math Comput 225, 526-540 132 [74] G Yue and C.K Zhong (2011), Attractors for autonomous and nonau-tonomous 3D Navier-Stokes-Voight equations, Discrete Cont Dyna Syst Ser B 16, 985-1002 [75] p W Zhao and Y Li (2012), (L ; L )-random attractors for stochastic reaction-diffusion equation on unbounded domains, Nonlinear Anal 75, 485502 [76] C.K Zhong, M.H Yang and C.Y Sun (2006), The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations, J Differential Equations 223, 367-399 [77] W Zhao (2014), Regularity of random attractors for a degenerate parabolic equations driven by additive noises, Appl Math Comput 239, 358374 [78] W Zhao (2016), Regularity of random attractors for a stochastic degen-erate parabolic equations driven by multiplicative noise, Acta Math Sci Ser B (Engl Ed.) 36, 409-427 [79] degen- W Zhao (2018), Random dynamics of non-autonomous semi-linear N erate parabolic equations on R driven by an unbounded additive noise, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 23, 2499-2526 [80] W Zhao and Y Li (2014), Random attractors for stochastic semi- linear degenerate parabolic equations with additive noises, Dyn Partial Differ Equ 11, 269-298 ... MỘT SỐ KH•I NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC NHI–NV€TẬPHÓTNGẪUNHI–N 1.4 MỘTSỐKẾTQUẢBỔTRỢ 1.4.1 Một số bất đẳng thức thường dòng 1.4.2 Chương D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT... QUỐC GIA H€ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI–N * NGUYỄN VĂN TH€NH D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRœNH ĐẠO H€M RING NGU NHIN Chuyản ng nh: Phng trẳnh vi phƠn v tẵch phƠn M s:... định hâa nghiệm dừ Chương D•NG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKESVOIGT NGẪU NHI–N 3.1 SỰ TỒN TẠI V€ T•NH DUY 3.1.1 3.1.2 3.2 T•NH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NG 3.2.1 3.2.2 Ổn định mũ b¼nh phương