Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2022 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2022 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 9460104 : Phản biện thứ : GS.TSKH Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2022 e i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả, nội dung luận án “Nghiệm đại số số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” thực hướng dẫn thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các nội dung kết sử dụng Luận án có trích dẫn thích nguồn gốc, kết trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng Nếu có điều gian lận, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật Quy Nhơn, ngày 14 tháng 01 năm 2022 TM Tập thể hướng dẫn Tác giả TS Lê Thanh Hiếu Hà Trọng Thi e ii Lời cảm ơn Luận án hồn thành q trình học tập nghiên cứu Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Các thầy bảo tận tình hướng dẫn tơi từ bước đầu làm nghiên cứu Các thầy hướng dẫn nghiêm túc ln tạo tình cảm thân thiện suốt thời gian học tập Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Lâm Xuân Châu TS Lê Thanh Hiếu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện tốt để học tập Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán Thống kê thầy cô giáo Khoa ủng hộ, động viên suốt thời gian tham gia học tập trường Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Bình Định, đồng nghiệp bạn bè ủng hộ, động viên tạo điều kiện tốt để tham gia học tập Trân trọng e iii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Kiến thức sở đại số 1.1.1 Mở rộng trường 1.1.2 Kết thức 10 Đại số vi phân 13 1.2.1 Trường vi phân 14 1.2.2 Nghiệm đa thức vi phân 19 Đường cong đại số hữu tỷ 24 Phép biến đổi tương đương phương trình vi phân đại số cấp 27 2.1 Phép biến đổi tương đương 27 2.2 Phộp bin i Măobius 32 Nghiệm đại số phương trình vi phân đại số cấp 40 3.1 Nghiệm đại số 40 3.2 Một số tính chất bảo tồn nghiệm 44 e iv 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số 47 Sự tương đương phương trình vi phân đại số cấp tham số hóa hữu tỷ 4.1 52 Phương trình vi phân đa thức 53 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b 53 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw 59 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b 60 4.2 Phương trình vi phân Riccati 66 4.3 Phương trình vi phân Abel 69 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp tham số hóa hữu tỷ 74 4.5 Nghiệm tổng quát đại số phương trình tham số hóa hữu tỷ thuộc lớp autonom 80 Kết luận 89 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 92 Tài liệu tham khảo 93 e v BẢNG CÁC KÝ HIỆU C trường số phức i số phức đơn vị ảo C(x) trường vi phân hàm hữu tỷ theo biến x K bao đóng đại số trường K K[x] vành đa thức n biến x = (x1 , , xn ) với hệ số K deg(f ) bậc đa thức f K{y} vành đa thức vi phân theo biến y trường K prem(P, F ) phần dư phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F res(f, g, x) kết thức f g theo biến x disc(f ) biệt thức đa thức biến f δF bậc tổng thể vi phân đa thức vi phân F (1) AODE K M ΦM tập phương trình vi phân đại số cấp trường K au + b phép biến i Măobius trờn K ; M (u) = cu + d ánh xạ hữu tỷ tương ứng với phép biến i Măobius M ; M (u) M (u) ΦM (u, v) = M (u), ∂x + ∂u v e vi (1) GK nhóm phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM • tác động nhóm GK lên AODE K Tc ánh xạ tịnh tiến theo c (1) (1) e MỞ ĐẦU Một phương trình vi phân đại số cấp có dạng F (y, y ) = 0, F ∈ C(x)[y, y ] F có chứa biến đạo hàm y Nếu F ∈ C[y, y ] ta nói phương trình F (y, y ) = autonom (tức hệ số F số) Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số cấp cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 với cơng trình tiêu biểu L Fuchs [14], H Poincaré [27] J Malmquist [19] Một nghiệm chung F (y, y ) = ∂ F (y, y ) = gọi nghiệm kỳ dị Các nghiệm kỳ dị ∂y phương trình F (y, y ) = ln nghiệm đại số có hữu hạn nghiệm kỳ dị vậy, đồng thời việc tìm nghiệm kỳ dị đơn giản Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y ) = có nghiệm tổng qt đại số hay khơng đưa thuật tốn tính tốn tường minh nghiệm tổng quát đại số vấn đề khó Cho đến nay, vấn đề tìm nghiệm tổng qt đại số phương trình vi phân cấp giải cách có hệ thống cho trường hợp phương trình vi phân autonom Trong trường hợp tồn nghiệm đại số không tầm thường định tồn nghiệm tổng quát đại số Câu hỏi tự nhiên đặt liệu có cịn lớp phương trình e khác rộng có tính chất hay khơng? Vấn đề tương tự cho phương trình vi phân cấp không autonom (non-autonomous) giải cho số trường hợp đặc biệt; lớp nghiệm hình thức phương trình F (y, y ) = quan tâm nghiên cứu nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số, nghiệm liouville, Hiện thuật tốn hữu hiệu để tìm kiếm dạng nghiệm nói giới hạn phương trình vi phân đặc biệt (hoặc có bậc thấp phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Clairaut, phương trình Riccati, phương trình Abel) Việc sử dụng phép biến đổi Măobius trỡnh by cỏc bi bỏo [22, 23] cú thể lớp phương trình vi phân đại số cấp khơng autonom biến đổi cách tương đương phương trình autonom có nghiệm tổng quát đại số Như cần nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề Bên cạnh đó, dựa vào chặn bậc cho nghiệm đại số khơng tầm thường phương trình vi phân đại số cấp autonom, ta suy chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số Vấn đề mở rộng cho phương trình vi phân cấp khơng autonom câu hỏi mở cần nghiên cứu Một nghiệm phương trình vi phân đại số cấp F (y, y ) = trường mở rộng vi phân K C(x) phần tử η ∈ K cho F (η, η ) = 0, “ ” phép đạo hàm K mở rộng phép đạo hàm thông thường C(x) Nếu F đa thức bậc theo y phương trình vi phân tương ứng viết dạng hữu tỷ y = P (z, y)/Q(z, y), e ... nghiệm tổng qt đại số phương trình vi phân đại số cấp tương đương với phương trình autonom phương trình vi phân đại số cấp tham số hóa hữu tỷ Từ đưa thuật tốn hữu hiệu để tìm nghiệm tổng qt đại. .. [13, 2] đưa chặn bậc cho nghiệm đại số tổng quát phương trình vi phân đại số cấp autonom Hơn nữa, vi? ??c tính nghiệm tổng quát đại số phương trình quy vi? ??c tính nghiệm đại số khơng tầm thường Vấn... đưa quan hệ e tương đương khác phương trình vi phân đại số cấp Từ vấn đề giải phương trình vi phân đại số đưa vi? ??c giải phương trình lớp tương đương phân loại phương trình theo quan hệ tương đương