Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa62 46 01 03001

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN Trịnh Viết Dược ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT Số LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIÊN HỐ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thiệu Huy PGS TS Đặng Đình Châu Hà Nội - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Trịnh Viết Dược Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N = {1, 2, } tập số tự nhiên, R tập số thực, R+ tập số thực không âm Với số thực < p < ký hiệu Lp(I) = {u : I ! R : \\u\\ = (JI \u(x)\ dx) = < +1 < p < 1} {u : I ! R : ||u||1 = ess sup \u(x)\ < +1 p = 1} p p p xe I Li;i (I) = {u : I ! R \ u Li(a) với tập đo ! cc I}, Oc ! cc I nghĩa bao đóng ! tập compact I đây, I = R+ R Ký hiệu í M(R+) = < f Li;ioc(R+) : suU ft+1 t>õ Jt l \f(T)\dT < với chuẩn \\f IIM := supt>õ jt + \f (T)\dT X không gian Banach E không gian hàm Banach chấp nhận R + ER không gian hàm Banach chấp nhận R Cb(R , X) không gian hàm liên tục, bị chặn, nhận giá tri X, xác đinh R+ với chuẩn ||u||i = sup ||u(t)|| + íeR+ Với r > 0, ký hiệu C = C([—r, 0],X) không gian hàm liên tục nhận giá trị X với chuẩn ||u||c = sup 2[_ õ] ||u(t)|| t r [— r, 0], MỞ ĐẦU Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du _ z.x „z x A(t)u + f (t;U); t I; dt I = R I R, A(t) tốn tử tuyến tính khơng giới nội không gian Banach X với t I f : I X X ! X toán tử phi tuyến Một vấn đề trọng điểm nghiên cứu lý thuyết đinh tính nghiệm phương trình vi phân tìm hiểu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn đinh, đa tạp không ổn đinh đa tạp tâm (ổn đinh, không ổn đinh) Việc nghiên cứu tồn đa tạp tích phân thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mặt mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác đinh, mặt khác cịn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đơn giản đa tạp tính hút đa tạp nghiệm phương trình xét Để đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến phần tuyến tính (tức họ tốn tử (A(t))t2i) sinh họ tiến hố có nhi phân mũ tam phân mũ toán tử phi tuyến f Lipschitz theo nghĩa Những kết tảng tồn đa tạp tích phân thuộc nhà toán học Hadamard [52], Perron [50, 51], Bogoliubov Mitropolsky [12] Đó kết tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân thường (tức trường hợp X = R A(t) n ma trận) Sau đó, Daleckii Krein [18] mở rộng kết sang trường hợp A(t) tốn tử giới nội không gian Banach X Tiếp theo, Henry [21] phát triển kết tồn đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) tốn tử đạo hàm riêng khơng giới nội Về sau, nhờ phát triển mạnh mẽ giải tích hàm đại lý thuyết nửa nhóm tham số, kết tồn đa tạp tích phân chuyển sang nấc thang cho lớp phương trình tổng quát bao gồm phương trình đạo hàm riêng có trễ trung tính (xem [1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] tài liệu tham khảo đó) Có hai phương phápchính để chứng minh tồn đa tạp tích phân phương pháp Hadamard phương pháp Perron Phương pháp Hadamard tổng quát hoá thành phương pháp biến đổi đồ thi (graph transform) sử dụng chẳng hạn [22, 40, 52] để chứng minh tồn đa tạp tích phân Phương pháp liên quan đến việc lựa chọn phép biến đổi phức hợp đồ thi biểu diễn đa tạp tích phân Trong đó, phương pháp Perron mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron liên quan quan đến phương pháp Lyapunov Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc tốn tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hố, để từ tồn đa tạp tích phân Phương pháp Lyapunov-Perron thích hợp việc xử lý dòng nửa dòng sinh phương trình tiến hố nửa tuyến tính, trường hợp việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron thuận lợi gắn kết với kỹ thuật tiêu chuẩn phương trình vi phân thường (ODE), chí dịng xác đinh tập khơng gian pha Chúng ta xem cơng trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] tài liệu tham khảo vấn đề Điều kiện phổ biến phần phi tuyến f xét tốn tồn đa tạp tích phân phương trình tiến hố nửa tuyến tính f thoả mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ bé, tức \\f (t, ỷ) — f (t, ^)\| < q\\ỷ — ^||C với q số đủ nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]) Tuy nhiên, với phương trình nảy sinh từ trình tương tác-khuyếch tán, f đại diện cho nguồn vật chất số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]) Do đó, cố gắng mở rộng điều kiện phần phi tuyến để chúng mơ tả q trình tương tác-khuyếch tán Nam 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron không gian hàm Banach chấp nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đưa điều kiện tổng quát phần phi tuyến xét tồn đa tạp ổn đinh bất biến (xem [25]), hệ số Lipschitz phần phi tuyến phụ thuộc thời gian thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận có số kết lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm công bố thời gian gần [2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32] Trên sở đó, chúng tơi nghiên cứu tồn đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng Đó nội dung luận án Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình tài liệu tham khảo, luận án bao gồm chương • Chương phần kiến thức chuẩn bi đây, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất khơng gian hàm Banach chấp nhận (xem [25, 36]) Sau đó, chúng tơi trình bày nhi phân mũ họ tiến hố đa tạp ổn đinh phương trình vi phân nửa tuyến tính [25, 27] • Chương nghiên cứu tồn đa tạp tâm ổn đinh, đa tạp khơng ổn đinh phương trình vi phân nửa tuyến tính 777 dt du _ z.x „z x = A(t)u + f (t,ù), t I; A(t) tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X với t cố đinh f : I X X ! X toán tử phi tuyến Khi họ tiến hoá (U(t; s)) > >0 t s sinh họ tốn tử A(t); t R I có nhi phân mũ hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện '-Lipschitz, tức \\f (t; x) — f (t,y)|| < '(t)||x — y\\ với ' hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận Với giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy chứng minh tồn đa tạp ổn đinh (xem [25]) Khi mở rộng họ tiến hố (U(t; s))t>s>0 có tam phân mũ tồn đa tạp tâm ổn đinh Sau đó, thay xét phương trình nửa đường thẳng, chúng tơi xét phương trình tồn đường thẳng để từ tồn đa tạp không ổn đinh đa tạp có tính chất hút quỹ đạo nghiệm Các kết Chương lấy báo [3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả • Chương nghiên cứu tồn đa tạp ổn đinh, đa tạp tâm ổn đinh, đa tạp khơng ổn đinh phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng du 7T = A(t)u(t) + f(t;Ut); t I; dt A(t) tốn tử tuyến tính khơng gian Banach X với t cố đinh f : I X C ! X toán tử phi tuyến liên tục Với r > cố đinh, ký hiệu C := C([—r, 0]; X) không gian hàm liên tục [—r, 0] trang bi chuẩn sup Khi họ tốn tử (A(t))t ! sinh họ tiến hố có nhi phân mũ (hoặc tam phân mũ), tìm điều kiện f để phương trình có đa tạp tích phân Điều kiện phổ biến hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz đủ nhỏ, tức \\f (t; ộ) — f (t; ý)\\ < q\\ộ — ^||C với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] tài liệu tham khảo đó) Tuy nhiên, phương trình nảy sinh từ trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất trình số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian khơng nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]) Do đó, cố gắng mở rộng điều kiện phần phi tuyến để chúng mơ tả q trình tương tác-khuyếch tán Vì vậy, nghiêncứu tồn đa tạp tích phân phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, chúng tơi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện '-Lipschitz, tức \\f (t; Ộ1) — f (t; Ộ2)|| — '(t) ||Ộ1 — Ộ2 ||C, điều kiện số Lipschitz q đủ nhỏ thay điều kiện sup j Jt '(r}dr đủ nhỏ, hàm ' có íe thể nhận giá tri lớn tuỳ ý Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyến tính gặp khó khan khơng gian pha đa tạp tích phân xây dựng C họ tiến hố sinh tốn tử A(t) xác đinh X Do đó, phương pháp biến đổi đồ thi sử dụng [1, 40] không áp dụng Để khắc phục khó khan này, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron xây dựng tốn tử chiếu C thơng qua họ tiến hố sinh toán tử A(t) Các kết Chương viết báo [1, 2] thuộc Danh mục cơng trình khoa học tác giả Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy PGS.TS Đặng Đình Châu, hai người thầy vơ mẫu mực, tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Hai thầy dìu dắt tơi đường tốn học, đưa tơi bước vào lĩnh vực tốn học đầy thú vi, ln tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ hai người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai thầy Trong q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận án, nhận nhiều giúp đỡ quý báu thầy cô Bộ mơn Giải tích Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội Tôi xin trân trọng giúp đỡ thầy cô Tôi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học phòng ban chức nang Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Hà Nội, nam 2014 Nghiên cứu sinh Trinh Viết Dược 10 — t, r)F(r, w )dr t [£ — r,Ệ].Khi đó, u*(t) nghiệm phương trình (3.17) thoả mãn u| Ư£ w(t) nghiệm phương trình (3.29) Tiếp theo, tìm w(t) nghiệm phương trình (3.29) khơng gian T Banach C^v Trên không gian Banach C^v, đinh nghĩa ánh xạ T sau U(t,Ệ) \-P(C)u(e) + $e (p(t)u + w )) (0) e r, w )dr T (Tw)(t) =< U(2£ -t, Ệ) -P(e)u(e) + $e P(^(u + w ) (0) e — t, r)F(r,w )dr t [£ — r, Ệ] T Trước tiên, Tw C^v Thật vậy, với t > Ệ — r e^-v||(Tw)(t)|| < NIHI + N(1 + H)eu(‘-()e2" e-^-^r)||WT||Cdr < N|W| + N(1+ H '\(N1+N2)||A1'|I1 II = Nll^oll + kevr|w|p k xác đinh (3.21) Vì $£ ánh xạ Lipschitz nên có IIM