Một số phương pháp song song giải hệ phương trình vi phân 62 46 30 01

Mục lục Mở đầu Chơng Tổng quan phơng pháp Runge-Kutta 1.1 Các khái niệm phơng pháp Runge-Kutta (RK) 1.1.1 Tính ổn định phơng ph¸p Runge-Kutta (RK) 10 1.1.2 CÊp chÝnh x¸c cđa phơng pháp Runge-Kutta 12 1.2 Các phơng pháp Runge-Kutta hiÓn (ERK) 13 1.3 Các phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp 16 1.4 Các phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK) 19 1.4.1 Sự ổn định phơng pháp PIRK 22 1.4.2 Sự hội tụ phơng pháp PIRK 23 1.4.3 Một số phơng pháp PIRK kh¸c 23 1.5 KÕt luËn 25 Ch−¬ng Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh Dạng Runge-Kutta liên tục 2.1 Các phơng pháp hiệu chỉnh RK liªn tơc 28 2.2 Các phơng pháp PIRKC 32 2.2.1 Tèc ®é héi tô 35 2.2.2 Miền ổn định 36 2.3 C¸c thư nghiƯm sè 37 2.3.1 So sánh với phơng pháp song song 39 2.3.1.1 Bài toán hai vật thể 40 2.3.1.2 Bài toán Fehlberg 41 2.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lùc 41 2.3.2 So sánh với phơng pháp 42 2.4 KÕt luËn 43 i Chơng Các phơng pháp lặp song song Giả Runge-Kutta hai bớc 3.1 Các phơng pháp hiệu chỉnh giả Runge-Kutta hai bớc (các phơng pháp PTRK) 45 3.2 Các phơng pháp lặp song song giả RK hai bớc (các phơng ph¸p IPIPTRK) 50 3.2.1 Các điều kiện cấp cho công thức dự báo 51 3.2.2 Tèc ®é héi tơ 53 3.2.3 Miền ổn định 54 3.3 C¸c thư nghiƯm sè 56 3.3.1 So sánh với phơng pháp song song 59 3.3.1.1 Bài toán hai vật thể 60 3.3.1.2 Bài toán Fehlberg 60 3.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lực 61 3.3.2 So s¸nh với phơng pháp 62 3.4 KÕt luËn 63 Chơng Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh Dạng Runge-kutta hai bớc liên tục 4.1 Các phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai b−íc mét liªn tơc 65 4.2 Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bớc liên tục ( phơng pháp TBTPIRKC) 68 4.2.1 Tèc ®é héi tơ 70 4.2.2 MiÒn ổn định 71 4.3 C¸c thư nghiƯm sè 73 4.3.1 So sánh với phơng pháp song song 75 4.3.1.1 Bµi to¸n hai vËt thĨ 75 ii 4.3.1.2 Bài toán Fehlberg 75 4.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lực 76 4.3.2 So sánh với phơng pháp 77 4.4 KÕt luËn 77 KÕt ln cđa ln ¸n 79 Danh mục công trình đà công bố 80 Tµi liƯu tham kh¶o 82 iii Danh mơc c¸c ký hiệu chữ viết tắt Các ký hiệu := định nghĩa xấp xỉ số \ d không gian véctơ thực d - chiều ^ tập số phøc ^ − tËp c¸c sè phøc f ( j) đạo hàm bậc J Jacobian f QT ma trận chuyển vị Q Q1 ma trận nghịch đảo Q I, Id ma trận đơn vị, ma trận thành e i thành phần thứ i véctơ 0,0rx s Q ⊗ A tÝch tenx¬ cđa ma trËn Q víi ma trËn A σ (A) phỉ cđa ma trËn A ρ ( A) b¸n kÝnh phỉ cđa ma trận A véc tơ không, ma trận không d (f / ∂y) b¸n kÝnh phỉ cđa ma trËn Jacobian cđa hµm f ( y),f , y ∈\ ∞ chuÈn max Re(z) phÇn thùc cđa sè phøc z Im(z) phÇn ảo số phức z Các chữ viết tắt ERK (Explicit Runge-Kutta method) phơng pháp Runge-Kutta hiển IRK (Implicit Runge-Kutta method) phơng pháp Runge-Kutta ẩn iv IPIPTRK (Improved parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta methods) phơng pháp lặp song song gi¶ Runge-Kutta hai b−íc c¶i tiÕn IVPs (Initial Value Problems) toán giá trị đầu (bài toán Cauchy) ODEs (Ordinary differential equations) phơng trình vi phân thờng PIRK (Parallel-iterated Runge-Kutta method) phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta PIRKC (Parallel-iterated Runge-Kutta method with continuous output formulas) phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta liên tục PTRK (Pseudo Two-step Runge-Kutta method) phơng pháp giả hai bớc dạng Runge-Kutta PC (Predictor-corrector method) phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh Runge-Kutta TBTRKC (Continuous twostep-by-twostep Runge-Kutta method) phơng pháp dạng Runge-Kutta hai b−íc mét liªn tơc TBTPIRKC (Twostep-by-twostep PIRK-type PC methods with continuous output formulas) phơng pháp lặp song dạng Runge-Kutta hai bớc liên tục v Danh mục bảng Bảng 1.1 Cấp xác phơng pháp Runge-Kutta hiển15 Bảng 1.2 Một số phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp20 Bảng 2.1 Các cặp ổn định ( re ( m) , im (m) ) cho phơng pháp PIRKC cấp p khác nhau. 38 Bảng 2.2 Các giá trị NCD/ Nseq cho toán (2.3.2) nhận đợc phơng pháp song song PC cấp p khác .40 Bảng 2.3 Các giá trị NCD / Nseq cho toán (2.3.3) nhận đợc phơng pháp song song PC cấp p khác . 41 Bảng 2.4 Các giá trị NCD/ Nseq cho toán (2.3.4) nhận đợc phơng pháp song song PC cấp p khác ..42 Bảng 2.5 So sánh với phơng pháp cho toán (2.2.3)43 Bảng 3.1 Các nhân tố hội tụ cho phơng pháp song song PC cấp p khác .58 Bảng 3.2 Các cặp ổn định ( re(m) , im(m) ) cho phơng pháp IPIPTRK cấp p khác .58 Bảng 3.3 Các giá trị NCD / Nseq cho toán (2.3.2) phơng pháp song song PC cấp p khác víi pr bé xư lý… ………….… 60 B¶ng 3.4 Các giá trị NCD / Nseq cho toán (2.3.3) phơng pháp PC song song cấp p khác nhau61 Bảng 3.5 Các giá trị NCD / Nseq cho toán (2.3.4) phơng pháp PC song song cấp p khác .61 vi Bảng 3.6 So sánh với phơng pháp cho toán (3.3.3) .62 Bảng 4.1 Các cặp (re(m), im (m)) cho phơng pháp TBTPIRKC cấp p .74 Bảng 4.2 Các giá trị NCD / Nseq cho toán 2.3.2 nhận đợc phơng pháp PC song song p 75 Bảng 4.3 Các giá trị NCD / Nseq cho toán 2.3.3 nhận đợc phơng pháp PC song song p ..76 Bảng 4.4 Các giá trị NCD / Nseq cho toán 2.3.4 nhận đợc phơng pháp PC song song cấp p .. 77 Bảng 4.5 So sánh với mà với toán Fehlberg 2.3.3 .78 vii Mở đầu Nhiều toán lĩnh vực khoa học kỹ thuật đợc qui việc tìm nghiệm hệ phơng trình vi phân thỏa mÃn số điều kiện (điều kiện ban đầu, điều kiện biên, v.v) Đa số hệ phơng trình vi phân mô tả hệ học, vËt lý häc, ho¸ häc, sinh häc v.v… rÊt phøc tạp, hy vọng giải mà thông thờng phải giải phơng pháp gần Các phơng pháp số phơng pháp có hiệu giải gần hệ phơng trình vi phân (xem [1, tr 145-150] Các phơng pháp Runge-Kutta phơng pháp số hoàn hảo mà phơng pháp khác nh cấp xác cao, tính ổn định tốt, có khả song song hóa cao Vì phơng pháp RK đợc quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học lĩnh vực giải số phơng trình vi phân Chính khuôn khổ luận án nghiên cứu xây dựng phơng pháp song song dạng Runge-Kutta để giải toán giá trị ban đầu (IVPs) không cơng hệ phơng trình vi phân dạng d ' y (t) = f ( t , y(t)) , y, f ∈ \ , y (t ) = dạng d ' y (t) = f ( y (t)) , y, f ∈ \ , y (t ) = Khi xét toán Cauchy (IVPs) (1) thờng giả thiết hàm vế phải f (t , y) Lipschitz liên tục Ta có định nghĩa sau { Định nghÜa Ký hiÖu Ω = (t , y) | t0 ≤ t ≤ T0, y ∈\ } , hµm f (t , y) đợc gọi d Lipschitz liên tục nÕu: i) ∃ L > cho ∀(t , y*),(t , y **)∈Ω, th× f (t , y*) − f (t, y **) ≤ L y * − y ** , ii) Hàm f (t , y) xác định liên tục với (t , y) Điều kiện i) định nghĩa gọi điều kiện Lipschitz Runge (1895) đà mở rộng phơng pháp Euler cách thêm vào bớc Euler vào điểm đoạn tích phân, Kutta (1901) đà xây dựng phơng pháp cấp 3, cấp tiếng đánh giá thêm hàm vế phải điểm điểm cuối bớc tích phân (xem [7, tr 45 46]) Các phơng pháp Runge-Kutta tổng quát s nấc để giải toán (1) đợc xác ®Þnh nh− sau Y n, i ®ã ma trËn A = (aij )sxs , ma trận biểu diÔn xÊp Yn, i ≈ y (tn + cih) , Nếu A ma trận tam giác dới chặt phơng pháp (2)-(3) gọi phơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK), ngợc lại phơng pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) Trong (2)-(3) để xác định đợc Yn, i ta phải giải s.d phơng trình (hầu hết phi tuyến) kích thớc s.d , cần phải thực khối lợng tính toán lớn, đặc biệt trờng hợp phơng pháp Runge-Kutta ẩn Chính trớc phơng tiện tính toán (chủ yếu máy tính điện tử) cha phát triển, phơng pháp Runge-Kutta cha phải phổ biến cha đợc quan tâm nghiên cứu nhiều Sau Butcher (1976) xây dựng đợc kỹ thuật tính toán hiệu cách ánh xạ ma trận Runge-Kutta A dạng chuẩn tắc Jordan (xem [9], [7, tr 48-50]), tình hình đà thay đổi phơng pháp IRK đợc quan tâm nghiên cứu nhiều trở nên thông dụng Một CODE tự động viết ngôn ngữ FORTRAN77 có cấp xác dựa giải pháp Butcher phơng pháp IRK Radau IIA có tên RADAU5 ®· ®êi (xem [29]) Khi gi¶i trùc tiÕp toán (2)-(3) phơng pháp lặp Newton cải tiến, để khắc phục tính toán với chi phí cao sử dụng phân tích LU , nhiều tác giả đà dựa kỹ thuật Butcher để xây dựng phơng pháp Runge-Kutta hiệu với hạn chế khác lên cấu trúc ma trận A nh: ma trận A có dạng tam giác dới (các phơng pháp đờng chéo ẩn (DIRKs)), phần tử đờng chéo (các phơng pháp đờng chéo ẩn đơn (SDIRKs)); ma trận A có điểm phổ cho đồng dạng với ma trận có đờng chéo - đờng chéo phụ (các phơng pháp ẩn đơn (SIRKs)), v.v, (xem [7, tr 49-51]) Một lớp phơng pháp Runge-Kutta có cấp xác cao tính ổn định tốt lớp phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp Sự trùng khớp kỹ thuật có từ lâu đợc ứng dụng rộng rÃi giải tích số ý tởng kỹ thuật bao gồm hàm đợc chọn (thờng đa thức) tập điểm trùng khớp, sau yêu cầu điểm trùng khớp hàm đợc chọn có dáng điệu biến đổi giống nh hàm cha biết mà cố gắng xấp xØ sè Sù tù lùa chän vÐct¬ c cho phép xây dựng đợc phơng pháp IRK dạng trïng khíp s − nÊc víi cÊp chÝnh x¸c cao tính ổn định tốt nh phơng pháp Gauss-Legendre cđa Butcher cã cÊp chÝnh x¸c 2s , Randau IA vµ Randau IIA cđa Axelsson vµ Ehle cã cÊp chÝnh xác 2s 1, phơng pháp Lobatto IIIA, IIIB, IIIC Ehle Chipman có cấp xác 2s với thành phần véctơ c nghiệm khác đa thức Legendre (xem [2], [28], [29]) Cùng với phát triển khoa học công nghệ, mô hình toán học ngày phức tạp phức tạp liệu, kích thớc liệu toán lớn, yêu cầu độ xác cao tốc độ xử lý nhanh đặc biệt phải giải toán chế độ thời gian thực Chính phơng pháp số kinh điển trớc đợc xây dựng nghiên cứu để sử dụng m¸y tÝnh trun thèng chØ cã mét bé xư lý tỏ không hữu hiệu đáp ứng đợc yêu cầu khoa học tính toán đại Tõ m¸y tÝnh song song xt hiƯn víi mét sức mạnh tính toán lớn, tình hình đà thay đổi đáng kể, nhiều phơng pháp song song dạng Runge-Kutta có hiệu quả, độ xác cao tính ổn định tốt đà đợc đời 4.3.1 So sánh với phơng pháp song song Chúng đa kết số để so sánh với phơng pháp PC song song tốt có tài liệu, phơng pháp PIRK xét [33], phơng pháp PIRKC xét Chơng 2, (trong [24]) phơng pháp TBTPIRKC cấp cấp xét chơng Chúng ta chọn ba toán thử đà có từ tài liệu nh đà xét 2.3 Chơng 4.3.1.1 Bài toán hai vật thể Trong thử nghiệm số thứ nhất, ta áp dụng phơng pháp PC cấp p khác với toán hai vật thể (xét 2.3.1 chơng 2, [33], [40]) Các kết số đợc đa bảng 4.2 cho thấy phơng pháp TBTPIRKC hiệu so với phơng pháp PIRK phơng pháp PIRKC có cấp xác Với toán phơng pháp TBTPIRKC cần hai lần lặp hai bớc Các P.P p PC PIRK PIRKC TBTPIRKC PIRK PIRKC TBTPIRKC 75 4.3.1.2 Bài toán Fehlberg Trong thử nghiệm số thứ, hai áp dụng phơng pháp PC cấp p khác vào toán Fehlberg đoạn tích phân [0, 5] (xét 2.3.1 chơng 2, [15], [33], [40]) Các kết số đợc đa bảng 4.3 dấu * máy tính không đủ độ xác để tính Nstp = 1600 Các kết số phơng pháp TBTPIRKC vợt trội nhiều so với phơng pháp PIRK PIRKC có cấp 4.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lực Thử nghiệm số cuối áp dụng vào hàm Jacobian elliptic sn, cn, dn nghiệm phơng trình chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lực khoảng tích phân [0, 20] (xem 2.3.1 chơng 2, [28, tr 240], [43]) Các kết số cho toán đợc đa bảng 4.4 cho kết ln gièng nh− hai thư nghiƯm sè tr−íc B¶ng 4.3 Các giá trị NCD / Nseq cho toán 2.3.3 nhận đợc phơng pháp PC song song Các P.P p PC PIRK PIRKC TBTPIRKC PIRK PIRKC TBTPIRKC 76 4.3.2 So s¸nh víi phơng pháp Trong phần 4.3.1 đà so sánh TBTPIRKC với phơng pháp PIRK PIRKC Trong phần này, so sánh phơng pháp TBTPIRKC cấp 6, gọi TBTPIRKC6 với hai mà DOPRI5 DOP853 (xem 2.3.2 chơng 2) áp dụng cho toán Fehlberg (xem 2.3.1 chơng 2) nhận thấy phơng pháp TBTPIRKC hiệu (xem bảng 4.5) Bảng 4.4 Các giá trị NCD / Nseq cho toán 2.3.4 nhận đợc phơng pháp PC song song Các P.P PC PIRK PIRKC TBTPIRKC PIRK PIRKC TBTPIRKC 4.4 Kết luận Trong chơng đà nghiên cứu phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh kiểu RK lặp song song hai bớc liên tục đợc ký hiệu TBTPIRKC Với thử nghiƯm sè cho thÊy víi cÊp chÝnh x¸c p c¸c phơng pháp TBTPIRKC vợt trội phơng pháp PIRK Bằng so sánh phơng pháp TBTPIRKC cấp (TBTPIRKC6) với mà tốt DOPRI5 DOP853 (xem [28]), ta thấy phơng pháp TBTPIRKC hiệu nhiều 77 Bảng 4.5 So sánh với mà cho toán Fehlberg 2.3.3 Các phơng ph¸p DOPRI5 (tõ [16]) DOP853 (tõ [16]) TBTPIRKC6 ( tõ chơng này) 78 kết luận luận án Qua vấn đề đà trình bày, ta thấy luận án đà đạt đợc mục đích đề Các kết thu đợc là: 1) Nghiên cứu lợc đồ lặp dự báo-hiệu chỉnh song song dựa phơng pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta dạng trùng khớp liên tục để giải toán giá trị đầu ( IVP ) không cơng cho hệ phơng trình vi phân thờng cấp (ODE) Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh (PC) dạng RK thu đợc phơng pháp liên tục Các xấp xỉ số liên tục đợc sử dụng cho việc dự báo giá trị nấc trình xử lý lặp dự báo-hiệu chỉnh áp dụng phơng pháp PIRKC nhận đợc vào số toán thử phổ biến cho thấy phơng pháp PIRKC hiệu so sánh với phơng pháp lặp song song (PIRK) cấp mà hiệu nhÊt DOPRI5 vµ DOP853 tõ tµi liƯu [28] * 2) Khởi đầu phơng pháp giả RK hai bớc s-nấc cấp p với w nấc ẩn, áp dụng xử lý lặp PC song song cấp cao với phơng thức tính toán PE(CE) mE Kết quả, nhận đợc phơng pháp PC song song gọi phơng pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bớc (phơng pháp PIPTRK) với công thức dự báo có cấp xác cao gọi phơng pháp PIPTRK cải tiến (phơng pháp IPIPTRK) Thử nghiệm số cho thấy phơng pháp IPIPTRK u việt phơng pháp lặp song song (PIRK) cấp mà hiệu DOPRI5 DOP853 từ tài liệu [28] 3) Đề xuất nghiên cứu phơng pháp lặp dự báo-hiệu chỉnh song song dựa phơng pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta dạng trùng khớp liên tục để giải toán giá trị đầu không cơng (IVP) cho hệ phơng trình vi phân thờng cấp (ODE) Trên bớc thứ n , công thức tính liên tục không đợc sử dụng cho giá trị dự báo nấc phơng pháp lặp dự báohiệu chỉnh mà sử dụng để tính giá trị bớc thứ n+2 Khi trình tính toán thực hai bớc Thử nghiệm số cho thấy 79 phơng pháp PC TBTPIRKC hiệu phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK) mà hiệu DOPRI5 DOP853 đà có tài liệu [28] Các kết luận án mới, có tính chất thời sự, góp phần làm phong phú thêm phơng pháp song song PC dạng Runge-Kutta phơng pháp có hiệu quả, đợc quan tâm nghiên cứu chiếm vị trí quan trọng lý thuyết giải số phơng trình vi phân Theo truyền thống phơng pháp PC Runge-Kutta thực tính toán bớc theo bớc Lần chơng đa kỹ thuật tính toán mới- hai bớc cho phép trình tính toán nhanh hơn, giá tính toán rẻ phơng pháp có hiệu Kỹ thuật áp dụng cho phơng pháp dạng Runge-Kutta khác Các phơng pháp đa luận ¸n cã thĨ ph¸t triĨn nÕu dïng chiÕn l−ỵc thay đổi bớc lới kỹ thuật kẹp đôi Các phơng pháp mở rộng cho toán giá trị đầu hệ phơng trình vi phân có trễ Cuối cùng, việc thử nghiệm phơng pháp máy tính song song nghiên cứu có ý nghĩa khoa học thực tiễn 80 Các công trình đ đợc công bố liên quan đến luận án [1] N H Cong and L N Xuan, Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas, International Journal of Computer Mathematics, Vol 80, No 8, August 2003, pp 10271037 [2] N H Cong and L N Xuan, Improved parallel-iterated pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs, Applied Numerical Mathematics, (to appear) [3] N H Cong and L N Xuan, Twostep-by-twostep PIRKC methods, Vietnam Journal of Mathematics, vol 35, N0 2, June 2007, pp 223-229 81 Tài liệu tham khảo I tàI liệu tiếng việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Công ( 2002), Các phơng pháp song song dạng Runge-Kutta-Nystrửm, NXB §HQG Hµ Néi II tµI liƯu tiÕng Anh [3] A Bellen, R Vermiglio and M Zennaro (1990), “Parallel ODE-solvers with stepsize control”, J Comput Appl Math 31 , 277293 [4] A Bellen and M Zennaro (1989), “Parallel algorithms for initial value problems for difference and differential equations”, J Comput Appl Math 25 , 341-350 [5] K Burrage (1993), “Efficient block predictor-corrector methods with a small number of corrections”, J Comput Appl Math 45 , 139150 [6] K Burrage (1993), “Parallel methods for initial value problems”, Appl Numer Math 11, 5-25 [7] K Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford [8] K Burrage and H Suhartanto (1997), “Parallel iterated methods based on multistep Runge-Kutta methods of Radau type”, Adv in Comput Math 7, 37-57 [9] J C Butcher (1976), “On the implemention of implicit Runge-Kutta methods”, BIT 15 , 358-361 [10] J C Butcher (1987), The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Rung -Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York [11] J R Cash (1979), “Diagonally implicit Runge-Kutta formulae with error estimates”, J Inst Math Appl 24, 193-301 [12] J R Cash and C B Liem (1980), “On design of a variable order, variable step diagonally implicit Runge-Kutta algorithms”, J Inst Math Appl 26 , 87-91 82 [13] M T Chu and H Hamilton (1987), “Parallel solutions of ODEs by multi-block methods”, SIAM J Sci Statist Comput 3, 342-253 [14] N H Cong (1992), “Parallel direct collocation-based implicit Runge-Kutta- Nyström methods with high stability”, Acta Math Viet 17, 149-161 [15] N H Cong (1994), “Parallel iteration of symmetric Runge-Kutta methods for nonstiff initial value problems”, J Comput Appl Math 51, 117-125 [16] N H Cong (1999), “Explicit pseudo two-step Runge- Kutta methods for parallel computers”, Int J Comput Math 73, 77-99 [17] N H Cong (1999), “Continuous variable stepsize explicit pseudo two-step RK methods”, J Comput Appl Math 101, 105116 [18] N H Cong (2001), “A general family of pseudo two-step Runge-Kutta methods”, SEA Bull Math 25, 61-73 [19] N H Cong, H Podhaisky and R Weiner (1998), “Numerical experiments with some explicit pseudo two-step RK methods on a share memory computer”, Computers Math Appl 36, 107-116 [20] N H Cong and T Mitsui (1996), “Collocation-based two- step Runge-Kutta methods”, Japan J Indust Appl Math 13, 171183 [21] N H Cong and T Mitsui (1997), “A class of explicit parallel two-step Runge-Kutta methods”, Japan J Indust Appl Math 14, 303313 [22] N H Cong and T Mitsui (2003), “Parallel predictor- corrector iteration of pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs”, Japan J Indust Appl Math 20, 51- 64 [23] N H Cong and H T Vi (1995), “An improvement for explicit parallel Runge-Kutta methods”, Vietnam J Math 23, 241252 [24] N H Cong and L N Xuan (2003), “Parallel-iterated RK- type PC methods with continuous output formulas”, Int J Comput Math 80, 1027-1037 83 [25] A R Curtis (1975), “High-order explicit Runge-Kutta formulae, their uses and limitations”, J Inst Math Appl 16, 3555 [26] A R Curtis (1964), Tables of Jacobian Elliptic Functions Whose Arguments are Rational Fractions of the Quarter Period, H.M.S.O., London [27] E Hairer (1978), “A Runge-Kutta method of order 10”, J Inst Math Appl 21, 47-59 [28] E Hairer, S P N∅rsett and G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 2nd edition, SpringerVerlag, Berlin [29] E Hairer and G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II stiff and Differential-Algebraic Problems, SpringerVerlag, Berlin [30] P J van der Houwen (1994), “Parallel iteration schemes for implicit ODEIVP methods”, CWI-reports, NM-N9401, Centre for Mathematics and Computer Science, Amsterdam [31] P J van der Houwen (1993), “Preconditioning in implicit initial value problem methods on parallel computers”, Advances in Computational Mathematics 1, 39- 60 [32] P J van der Houwen and N H Cong (1993), “Parallel block predictor-corrector methods of Runge-Kutta type”, Appl Numer Math 13, 109-123 [33] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1990), “Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control”, J Comput Appl Math 29, 111-127 [34] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1991), “CWI Contributions to the Development of Parallel Runge-Kutta Methods”, CWI-Repots NM-R9106, Centre for Mathematics and Computer Science, Amsterdam, [35] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1992), “Block Runge-Kutta methods on parallel computers”, Z Angew Math Mech 72, 3-10 84 [36] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1991), “Iterated Runge-Kutta methods on parallel computers”, SIAM J Sci Statist Comput 12, 1000-1028 [37] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1993), “Analysis of parallel diagonal-implicit iteration of Runge-Kutta methods”, Appl Numer Math 11, 169 -188 [38] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1994), “Butcher-Kuntzman methods for nonstiff problems on parallel computers”, Appl Numer Math 15, 357 - 374 [39] P J van der Houwen B P Sommeijer and W A van der Veen (1995), “Parallel iteration across the steps of high order Runge-Kutta methods for nonstiff initial value problems”, J Comput Appl Math 60, 309-329 [40] T E Hull, W H Enright, B M Fellen and A E Sedgwick (1972), “Comparing numerical methods for ordinary differential equations”, SIAM J Numer Anal 9, 603 - 637 [41] J D Lambert (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential System, John Wiley and Sons [42] S P Nørsett and H H Simonsen (1989), Aspects of parallel Runge-Kutta methods in Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Proceedings L’Aquilla 1987, Lecture Notes in Mathematics, 1386, (Edited by A Bellen, C W Gear and E Russo), Springer-Verlag, Berlin [43] L F Shampine and M K Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems, W H Freeman and Company, San Francisco 85 ... v.v) Đa số hệ phơng trình vi phân mô tả hệ học, vật lý học, hoá học, sinh học v.v phức tạp, hy vọng giải mà thông thờng phải giải phơng pháp gần Các phơng pháp số phơng pháp có hiệu giải gần hệ phơng... phơng pháp tính toán hữu hiệucác phơng pháp song song máy tính hiệu cao đà trở thành nhu cầu cấp thiết giải tích số nói chung giải tích số phơng trình vi phân nói riêng Hầu hết phơng pháp song song... lĩnh vực giải số phơng trình vi phân Chính khuôn khổ luận án nghiên cứu xây dựng phơng pháp song song dạng Runge-Kutta để giải toán giá trị ban đầu (IVPs) không cơng hệ phơng trình vi phân d¹ng