Luận văn thạc sĩ lược đồ sai phân khác thường giải một số phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC HỒNG MẠNH TUẤN LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Đặng Quang Á Hà Nội - 2015 z LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Đặng Quang Á, người dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực luận văn Em xin phép gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo thầy cô giáo, anh/chị cán trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Tốn - Cơ - Tin học nói riêng tạo điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ em thời gian em học tập, nghiên cứu trường Em xin cảm ơn thầy, cô giáo, anh chị bạn chun nghành Tốn ứng dụng động viên ý kiến trao đổi quí báu thân em thời gian qua Lời cảm ơn sâu sắc đặc biệt xin gửi đến gia đình người thân điều tốt đẹp dành cho sống, học tập nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian có hạn lực thân cịn nhiều hạn chế, thế, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, ngày 16 tháng 01 năm 2015 Học viên Hoàng Mạnh Tuấn z Mục lục LỜI CẢM ƠN Mở đầu Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính 17 1.3 Rời rạc hóa hệ động lực học 23 1.4 Lược đồ sai phân xác 33 1.5 Lược đồ sai phân khác thường 40 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 2.1 44 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa rời rạc hóa khơng địa phương 44 2.1.1 Mở đầu 45 2.1.2 Các lược đồ bảo tồn tính chất đơn điệu 46 2.1.3 Xây dựng vài lược đồ sai phân khác thường 49 2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai 2.2 2.3 53 Lược đồ sai phân khác thường cho phương trình vi phân có ba điểm bất động 57 2.2.1 Đặt toán 57 2.2.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường 60 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường cách tái chuẩn hóa mẫu số z 64 2.3.1 Kết 64 2.3.2 Một số ứng dụng 69 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân 3.1 3.2 72 Lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất ổn định cho hệ động lực học nhiều chiều 72 3.1.1 Các kết 73 3.1.2 Thử nghiệm số trường hợp hai chiều 75 3.1.3 Thử nghiệm số trường hợp ba chiều 82 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai 90 3.2.1 Xây dựng hệ điều kiện cho lược đồ xác cấp hai 90 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai cho hệ Lotka - Voltera 3.2.3 92 Các thử nghiệm số 101 Tài liệu tham khảo 116 z Mở đầu Việc nghiên cứu phương pháp giải gần phương trình vi phân vấn đề quan trọng Tốn học nói chung Tốn học tính tốn nói riêng Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết toán học, nhà toán học tìm nhiều phương pháp giải gần phương trình vi phân Một kỹ thuật truyền thống sử dụng rộng rãi việc giải gần phương trình vi phân, đặc biệt phương trình vi phân đạo hàm riêng sử dụng lược đồ sai phân bình thường (Standard Difference Scheme) Các lược đồ sai phân bình thường xây dựng dựa việc rời rạc hóa đạo hàm xuất phương trình vi phân cơng thức sai phân Tuy nhiên, nhiều trường hợp hạn chế lược đồ sai phân bình thường khơng bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng Hiện tượng nghiệm phương trình sai phân (thu từ lược đồ sai phân) khơng phản ánh xác, hay xác khơng bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng gọi chung tượng không ổn định số (Numerical Instabilities, xem [13, 16]) Chẳng hạn, ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số x0 (t) = −y(t), x(0) = r, y (t) = x(t), y(0) = Trong trường hợp này, ta dễ dàng nghiệm hệ có tính chất x2 (t) + y (t) = r2 , ∀t, tức là, quỹ đạo tương ứng với đường tròn tâm O(0, 0), bán kính r2 Nếu sử dụng lược đồ sai phân bình thường lược đồ thu từ phương z pháp Euler hiển, Euler ẩn, hình thang ẩn thấy rằng: Phương pháp Euler hiển cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc ra, phương pháp Euler ẩn cho lời giải tương ứng với đường xoắn ốc vào Chỉ có phương pháp hình thang bảo tồn tính chất bất biến tốn Đây ví dụ đơn giản cho tượng bất ổn định số Các phân tích cho thấy rằng, tượng không ổn định số xảy ta sử dụng kỹ thuật tinh vi để xây dựng lược đồ sai phân bình thường, chẳng hạn sử dụng phương pháp Taylor phương pháp Runge - Kutta Nhìn chung, lược đồ sai phân bình thường bảo tồn tính chất nghiệm phương trình vi phân ta sử dụng bước lưới h nhỏ Tức là, tượng không ổn định số xảy bước lưới h chọn lớn giá trị h∗ Thơng thường giá trị h∗ nhỏ Vì thế, việc sử dụng lược đồ sai phân bình thường khơng có lợi giải phương trình vi phân đoạn tìm nghiệm lớn, chẳng hạn hệ động lực học, thời gian tiến ∞ Các phân tích rằng, tượng khơng ổn định số xảy phương trình sai phân (rời rạc) khơng bảo tồn tính chất ổn định tuyến tính cho điểm bất động hay gọi nghiệm điểm cân phương trình vi phân (liên tục) Chẳng hạn, phương trình sai phân phương trình vi phân khơng có tập hợp điểm bất động Các phương pháp Runge - Kutta phương pháp Taylor thường sinh thêm điểm bất động giả (phụ thuộc vào bước lưới) Trong trường hợp phương trình sai phân phương trình vi phân có tập hợp điểm bất động xảy trường hợp y(t) ≡ y¯ điểm ổn định tuyến tính phương trình vi phân yk ≡ y¯ lại điểm ổn định tuyến tính phương trình sai phân tương ứng Tổng qt hơn, tượng bất ổn định số xảy nghiệm phương trình sai phân khơng thỏa mãn điều kiện mà nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn Các tính chất quan tâm tính chất đơn điệu, tính bị chặn, tính dương, tính tuần hồn tính chất bất biến Nói chung, sử dụng cỡ bước lớn lược đồ sai phân bình thường khơng bảo tồn tính chất Trong phần trình bày luận văn, z phân tích rõ vấn đề Lược đồ sai phân khác thường được đề xuất R E Mickens vào năm 1980 Lược đồ sai phân khác thường lược đồ sai phân xây dựng dựa quy tắc xác định, quy tắc đưa R E Mickens dựa phân tích tượng không ổn định số xảy sử dụng lược đồ sai phân bình thường Hai quy tắc quan trọng việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường Các đạo hàm xuất phương trình vi phân nên rời rạc hóa cơng thức phức tạp cơng thức rời rạc hóa thơng thường, chẳng hạn, cơng thức sai phân tiến, sai phân lùi, sai phân trung tâm Các số hạng phi tuyến xuất vế phải phương trình vi phân nên rời rạc hóa khơng địa phương, tức rời rạc hóa hàm số dựa giá trị hàm số điểm lưới rời rạc thay rời rạc hóa địa phương lược đồ sai phân bình thường Đây khác biệt lớn lược đồ sai phân bình thường lược đồ sai phân khác thường Ưu lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường bảo tồn tính chất nghiệm tốn với cỡ bước h > Tuy nhiên, nhược điểm lược đồ khác thường khó đưa lược đồ có cấp xác cao lược đồ bình thường thời gian thực tính tốn lâu đạo hàm hàm vế phải rời rạc hóa phức tạp Vì thế, việc sử dụng lược đồ khác thường có lợi giải tốn đoạn tìm nghiệm lớn cần bảo tồn xác tính chất nghiệm tốn Hiện nay, lược đồ sai phân khác thường nhà toán học xây dựng sử dụng rộng rãi cho phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình đạo hàm thường tốn biên Tuy nhiên, khuôn khổ luận văn, chủ yếu tập trung vào việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho toán giá trị ban đầu phương trình vi phân thường Nội dung luận văn hệ thống lại kết z tiêu biểu tác giả nước ngồi vịng 20 năm trở lại Cấu trúc luận văn bao gồm ba chương  Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường Trong chương này, nhắc lại số kiến thức phương trình vi phân phương pháp số giải phương trình vi phân Trên sở kết hợp việc phân tích tượng khơng ổn định số xảy sử dụng lược đồ sai phân bình thường việc xây dựng lược đồ sai phân xác (exact scheme) đưa quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ sai phân khác thường  Chương 2: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân Chương đề cập việc xây dựng lược đồ sai phân giải số phương trình vi phân trường hợp chiều Các lược đồ xây dựng dựa hai cách rời rạc hóa khơng địa phương lựa chọn cách rời rạc hóa đạo hàm phù hợp  Chương 3: Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải hệ phương trình vi phân Chương cuối này, dành cho việc xây dựng lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất hệ động lực học Các mơ hình xét đến mơ hình thú - mồi (predator - prey system), mơ hình Vắc Xin (Vaccination model) hệ Lotka - Volterra Trong phần trình bày có thử nghiệm số kèm để minh họa cho tính hiệu lược đồ xây dựng Mặc dù thân cố gắng thời gian thực có hạn lực thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn chắn tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! z Chương Lược đồ sai phân khác thường 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong phần trình bày luận văn, ta chủ yếu nghiên cứu việc giải gần toán giá trị ban đầu phương trình vi phân cấp một, hay cịn gọi toán Cauchy  dy  Dy = = f (t, y), t0 ≤ t ≤ T, dt   y(t0 ) = y0 , y, f ∈ Rn , (1.1) hàm y(t) : [t0 , T ] → Rn hàm số cần xác định, giá trị ban đầu y0 ∈ Rn hàm vế phải f : [t0 , T ] × Rn → Rn cho trước Ta giả thiết thời gian ban đầu t0 hữu hạn, thời gian T tiến đến vô hệ động lực học Để đơn giản, ta giả sử t0 = Trong trường hợp f = f (y) phương trình gọi dừng (autonomous) Khơng tính tổng qt ta giả thiết phương trình dừng Vì phương trình khơng dạng dừng ta đưa thêm biến phụ yn+1 = t đặt yˆ = (y1 , y2 , , yn+1 ) Khi phương trình viết lại dạng
T yˆ0 = fˆ(ˆ y ), fˆ(ˆ y ) = f (y), (1.2) Các kết liên quan đến toán giá trị ban đầu (1.1) tồn nghiệm, phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu ban đầu trình bày hầu hết giáo trình phương trình vi phân (xem [3, 9, 10]) nên khơng trình bày lại Từ hết phần z uk+2 eλh(k+2) Cuối cùng, ta thu uk − uk−1 uk+1 − 2uk + uk−1 = λ h eλh − h λ (1.76) Trong ví dụ này, ta thấy đạo hàm rời rạc hóa cơng thức sai phân trung tâm với hàm mẫu số khác thường hàm vế phải rời rạc hóa khơng địa phương Bảng liệt kê lại lược đồ sai phân xác cho số phương trình vi phân Quan sát lược đồ sai phân xác ta thấy Các cơng thức rời rạc hóa đạo hàm có cấp xác cấp đạo hàm xuất phương trình vi phân Hàm vế phải nên rời rạc hóa khơng địa phương lưới Điều hoàn toàn phù hợp với đánh giá trước rời rạc hóa phương trình phân rã tuyến tính hệ động lực học Trong phần cuối chương này, đưa quy tắc tổng quát để xây dựng lược đồ sai phân khác thường 1.5 Lược đồ sai phân khác thường Dựa quan sát, đánh giá nhận xét trước đó, đưa quy tắc xây dựng lược đồ sai phân khác thường Đây quy tắc đưa R Mickens vào năm 1980 Lược đồ sai phân khác thường lược đồ xây dựng dựa quy tắc 40 z Phương trình Lược đồ bình thường Lược đồ xác dy = −λy dt yk+1 − yk = −λyk h yk+1 − yk = −λyk − e−λh λ dy = −y dt yk+1 − yk = −yk2 h yk+1 − yk = −yk yk+1 h dy = −y dt yk+1 − yk = −yk3 h yk+1 − yk 2yk+1 =− y yk+1 h yk + yk+1 k dy = λ1 y − λ2 y dt yk+1 − yk = λ1 yk − λ2 yk2 h yk+1 − yk = λ1 yk − λ2 yk+1 yk eλ1 h − λ d2 y dy =λ dt dt yk+1 − 2yk + yk−1 yk − yk−1 =λ h h yk − yk−1 yk+1 − 2yk + yk−1 =λ λ1 h h e −1 h d2 y + ω2y = dt2 yk+1 − 2yk + yk−1 + ω yk = h2 yk+1 − 2yk + yk−1 + ω yk = ωh sin ( ) ω2 du =ω dt uk+1 − uk = ωk h uk+1 − cos(ωh)uk = ωk sin(ωh) ω dω = −ω u dt ωk+1 − ωk = −ω uk k ωk+1 − cos(ωh)ωk = ω uk sin(ωh) ω Bảng Lược đồ sai phân xác cho số phương trình vi phân Quy tắc Cấp xác cơng thức rời rạc hóa đạo hàm nên chọn cấp đạo hàm tương ứng phương trình vi phân Bình luận Nếu chọn cơng thức rời rạc hóa đạo hàm có cấp xác cao cấp đạo hàm dẫn đến việc hệ nghiệm phương trình sai phân có nhiều hàm hệ nghiệm phương trình vi phân Điều gây tượng khơng ổn định số Trong ví dụ rời rạc hóa hệ động lực học thấy tượng 41 z Quy tắc Mẫu số cơng thức rời rạc đạo hàm, nói chung, phải phức tạp mẫu số công thức rời rạc đạo hàm cổ điển thơng thường Bình luận Ví dụ, cơng thức rời rạc đạo hàm cấp có dạng dy yk+1 − ψyk → , dt φ (1.77) ψ φ có tính chất ψ(h) = + O(h2 ), φ(h) = h + O(h2 ), h → (1.78) Các hàm số ψ φ phụ thuộc vào tham số xuất phương trình vi phân Từ nhận xét này, ta tổng quát hóa định nghĩa đạo hàm thông thường sau dy y[t + α(h)] − ψ(h)y(t) = − lim , h→0 dt φ(h) (1.79) ψ φ là hàm thỏa mãn tính chất (1.78) Hàm φ(h) gọi hàm mẫu số Trong Chương trình bày cách lựa chọn hàm mẫu số để lược đồ bảo toàn tính chất nghiệm phương trình vi phân Quy tắc Các thành phần phi tuyến xuất phương trình phân, nói chung, nên rời rạc hóa khơng địa phương Bình luận Đối với phương trình vi phân Logistic, thành phần phi tuyến y thay vởi yk+1 yk , tức rời rạc hóa thông qua giá trị hàm hai nút lưới k k + Ta sử dụng cách rời rạc tổng quát hơn, ví dụ y = 2y − y → 2(yk )2 − yk+1 yk Quy tắc Các điều kiện đặc biệt cho nghiệm phương trình vi phân phải giữ nguyên cho nghiệm phương trình sai phân tương ứng với lược đồ sai phân Bình luận Sự bất ổn định số xảy phương trình rời rạc khơng thỏa mãn số điều kiện nguyên tắc quan trọng mà phương trình vi phân tương ứng thỏa mãn, chẳng hạn, tính chất nghiệm dương , tính chất 42 z nghiệm đơn điệu, tính bị chặn, tính chất tuần hồn Ngồi ra, số tốn Cơ học, Vật lý, cịn u cầu tính chất bất biến bảo tồn lượng bảo tồn hình dạng hình học Nhìn chung, lược đồ sai phân khác thường lược đồ sai phân xác Tuy nhiên, hi vọng lược đồ sai phân khác thường không gây tượng khơng ổn định số tính tốn Các quy tắc khơng đưa đến lược đồ Tuy nhiên, tùy thuộc vào tính chất cụ thể phương trình vi phân mà ta xây dựng lược đồ thích hợp Trong chương tiếp theo, xây dựng lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất phương trình vi phân cụ thể 43 z Chương Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân Trong chương này, xây dựng lược đồ sai phân khác thường cho số phương trình vi phân trường hợp chiều Các lược đồ sai phân khác thường dựa việc rời rạc hóa khơng địa phương tái chuẩn hóa mẫu số Các kết áp dụng cho phương trình vi phân có ba điểm bất động số phương trình vi phân có vế phải đa thức Các lược đồ sai phân khác thường xây dựng bảo tồn tính chất tốn xét, tính chất dương, tính chất đơn điệu đặc biệt bảo tồn tính chất ổn định tuyến tính cho điểm bất động Các thử nghiệm số cho thấy lược đồ sai phân khác thường thể ưu so với lược đồ sai phân bình thường giải tốn có tính chất đặc biệt 2.1 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa rời rạc hóa khơng địa phương Trong mục này, ta xét đến lớp phương trình vi phân mà nghiệm có tính chất đơn điệu Đó là, tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu tính chất đơn điệu nghiệm Lược đồ sai phân khác thường xây dựng bảo tồn tính chất đơn điệu phương trình vi phân Từ bảo tồn tính chất ổn định tuyến tính cho điểm bất động phương trình vi phân Các kết phần dựa kết R Anguelov Jean M S Lubuma, xem [1] 44 z 2.1.1 Mở đầu Đầu tiên, ta xét toán giá trị ban đầu dy = f (y), dt y(t0 ) = y0 , (2.1) y ≡ y(t) : [t0 , T ) → R hàm chưa biết, y0 ∈ R hàm f : R → R hàm cho trước Ta giả thiết t0 hữu hạn T tiến dương vô hệ động lực học Chúng ta giả thiết thêm (2.1) có nghiệm Để tìm nghiệm số (2.1), rời rạc hóa thời gian [t0 , T ] lưới điểm rời rạc {tk := t0 + kh}k≥0 , tham số h > bước lưới Chúng ta ký hiệu yk xấp xỉ cho nghiệm xác nút lưới thứ k , tức yk ≈ y(tk ) Nghiệm số xấp xỉ {yk } thu từ phương trình sai phân viết dạng yk+1 = F (h, yk ) (2.2) Lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân (2.1) đề xuất R Mickens năm 1980 Đây lớp phương pháp số bảo toàn tính chất nghiệm phương trình vi phân tương ứng Các định nghĩa sau đưa R Lubuma J S M Lubuma (Xem [1], p 466) Định nghĩa 2.1 Lược đồ bước (2.2) gọi lược đồ sai phân khác thường hai điều kiện sau thỏa mãn: Trong công thức rời rạc đạo hàm cấp (2.2), mẫu số truyền thống h thay hàm số không âm φ(h), cho φ(h) = h + O(h2 ), h → (2.3) Các số hạng phi tuyến xuất hàm vế phải f (y) (2.1) phải xấp xỉ hóa khơng địa phương Tức là, xấp xỉ thông qua giá trị hàm số vài điểm lưới Định nghĩa 2.2 Giả sử nghiệm phương trình (2.1) thỏa mãn tính chất P Khi đó, lược đồ bước (2.2) gọi ổn định (stable) tính chất P hay bảo tồn tính chất P , với cỡ bước h > nghiệm tương ứng phương trình sai phân (2.2) có tính chất P 45 z Lược đồ sai phân khác thường xây dựng dựa điều kiện Định nghĩa 2.1 thường gọi chung cách xây dựng dựa việc tái chuẩn hóa mẫu số (renormalization of the denominator) Cách xây dựng dựa điều kiện gọi xấp xỉ hóa khơng địa phương (nonlocal approximation) Nội dung phần tập chung vào việc xây dựng lược đồ khác thường dựa xấp xỉ hóa khơng địa phương So với lược đồ sai phân bình thường, ưu lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất cho nghiệm phương trình vi phân với cỡ bước h > Nhìn chung, lược đồ sai phân bình thường gây tượng bất ổn định số ta chọn cỡ bước h vượt ngưỡng giá trị h∗ Tức là, lược đồ bảo tồn tính chất tốn h < h∗ Thơng thường h∗ nhỏ Chẳng hạn, phương trình phân rã tuyến tính ta có h∗ = 1/λ Khi λ lớn bước h∗ nhỏ Đối với hệ động lực học, thời gian T tiến ∞ việc chọn bước lưới q nhỏ khơng mang lại hiệu việc tính tốn Các tính chất P quan tâm tính chất dương, tính chất đơn điệu, tính bị chặn tính chất tuần hồn, tính chất ổn định điểm bất động số tính chất bất biến khác Trong phần chủ yếu quan tâm đến tính chất đơn điệu nghiệm phương trình vi phân 2.1.2 Các lược đồ bảo tồn tính chất đơn điệu Chúng ta giả thiết hàm F (h; y) (2.2) có đạo hàm cấp liên tục hai biến y ∈ R, h > thỏa mãn: ∂F (0, y) = f (y) ∂h F (0; y) = y, (2.4) Dễ dàng nhận thấy điều kiện (2.4) thỏa mãn lược đồ (2.2) tương thích (cấp xác 1) với phương trình vi phân (2.1) Tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu Định nghĩa 2.3 (Sự phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu) Một tập hợp hàm số thực G(Ω) xác định tập Ω ⊂ [t0 , ∞) gọi phụ 46 z thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu t0 (Monotone dependence on initial value) với hai hàm y, z ∈ G(Ω) có y(t0 ) ≤ z(t0 ) → y(t) ≤ z(t), ∀t ∈ Ω (2.5) Nghiệm phương trình phân rã tuyến tính cho ta ví dụ tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu Định lý sau đưa điều kiện cần đủ để lược đồ (2.2) bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu Định lý 2.1 (Lược đồ bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu) Lược đồ sai phân bước (2.2) bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu ∂F (h; y) ≥ 0, y ∈ R, ∂y h > (2.6) Chứng minh Xem [1], p 467, Theorem Định lý 2.1 cho ta tiêu chuẩn để xây dựng lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu Tiếp theo, xét đến lược đồ bảo tồn tính chất đơn điệu nghiệm Tính chất đơn điệu nghiệm Phương trình xét phương trình ơtơnơm (vế phải khơng phụ thuộc biến thời gian) Vì thế, phương trình có điểm bất động thực Các nghiệm (2.1) đơn điệu số khoảng mở Tính chất tăng giảm nghiệm phân chia điểm bất động Tức điểm y cho f (y) = Định nghĩa 2.4 Lược đồ sai phân bước (2.2) gọi bảo tồn tính chất đơn điệu nghiệm (2.1) với giá trị ban đầu y0 ∈ R, nghiệm {yk } (2.2) có tính chất tăng giảm tương tự tính chất tăng, giảm nghiệm y(t) (2.1) Định lý 2.2 Giả sử lược đồ sai phân bước (2.2) bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu Ta giả thiết thêm với bước h > hai phương trình y = F (h, y) 47 z f (y) = 0, (2.7) có tập hợp nghiệm y ∗ , kể nghiệm bội Tức là, hàm vế phải f (của phương trình vi phân) F (của phương trình sai phân) có tập hợp điểm bất động Khi đó, lược đồ (2.2) bảo tồn tính chất đơn điệu nghiệm Chứng minh Xem [1], Theorem 2, p 468 Từ Định lý 2.2 ta thấy rằng, điều kiện để lược đồ sai phân bảo tồn tính chất đơn điệu nghiệm bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị ban đầu lược đồ phải có tập hợp điểm bất động với phương trình vi phân Nói chung, điều kiện lược đồ bình thường lược đồ khác thường thỏa mãn, điều kiện thứ hai lược đồ bình thường nói chung khó thỏa mãn Các lược đồ bình thường Runge - Kutta hay Taylor thường sinh thêm điểm bất động giả phụ thuộc bước lưới Các lược đồ khác thường xây dựng cách rời rạc hóa khơng địa phương thỏa mãn điều kiện Ngay lược đồ bình thường có tập hợp điểm bất động lược đồ bình thường chưa bảo tồn tính chất ổn định tuyến tính điểm bất động với bước lưới Trong mục tiếp theo, ta xét đến lược đồ khác thường bảo tồn tính chất ổn định tuyến tính cho điểm bất động Tính chất ổn định Việc nghiên cứu tính chất ổn định tuyến tính điểm bất động có vai trị quan trọng việc xác định tính chất nghiệm phương trình vi phân Ví dụ, nghiệm phương trình vi phân đơn điệu khoảng mở phân chia điểm bất động Nếu lược đồ sai phân khơng bảo tồn tính chất ổn định tuyến tính cho điểm bất động gây tượng bất ổn định số Định nghĩa 2.5 Lược đồ (2.2) gọi ổn định (Elementary stability) với cỡ bước h > 0, tính chất ổn định tuyến tính điểm bất động phương trình vi phân bảo tồn Tức là, điểm bất động phương trình sai phân phương trình vi phân có tính chất ổn định tuyến tính tương đương 48 z Định lý 2.3 Với giả thiết Định lý 2.2, lược đồ sai phân (2.2) ổn định Chứng minh Xem [1], p 468, Theorem Ta tóm tắt kết Định lý 2.1, 2.2, 2.3 đơn giản sau Bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị đầu (∂F/∂y) ≥ + bảo toàn tập hợp điểm bất động =⇒ bảo tồn tính chất đơn điệu Bảo tồn tính chất phụ thuộc đơn điệu vào giá trị đầu (∂F/∂y) ≥ 0+ bảo toàn tập hợp điểm bất động =⇒ ổn định Trong phần tiếp theo, kết sử dụng để xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình Logistic phương trình đốt cháy (Combustion equation) 2.1.3 Xây dựng vài lược đồ sai phân khác thường Các lược đồ sai phân khác thường xây dựng cách rời rạc hóa khơng địa phương Trong đó, số hạng phi tuyến xuất vế phải (2.1) rời rạc hóa khơng địa phương cách khác nhau, chẳng hạn y (tk ) = y(tk )y(tk ) ≈ yk yk+1 ; y (tk ) = y (tk )y(tk ) ≈ yk2 yk+1 ; yk−1 + yk+1 ; yk−1 yk+1 2 yk−1 + yk+1 yk ; yk−1 yk yk+1 yk (2.8) (2.9) Phương trình Logistic Chúng ta xét phương trình Logistic (1.25) Mục 1.4 dy = y − y2 dt (2.10) Đối với số hạng phi tuyến y , xem cách xấp xỉ dạng y ≈ ayk2 + (1 − a)yk yk+1 , a ∈ R Điều dẫn đến họ lược đồ sai phân khác thường yk+1 − yk = yk − ayk+1 − (1 − a)yk yk+1 φ(h) 49 z (2.11) Hay tương đương với lược đồ bước yk+1 = F (h, yk ), F (h, y) = y + φ(h)y − φ(h)ay + φ(h)(1 − a)y (2.12) Ta xác định tham số a, cho lược đồ (2.12) ổn định Cụ thể, tham số a xác định để lược đồ thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1, 2.2 Đầu tiên, điều kiện Định lý (2.1) trở thành a(a − 1)φ2 (h)y − 2aφ(h)y + + φ(h) ≥ Vế trái bất đẳng thức đa thức bậc hai theo biến y Sử dụng Định lý dấu tam thức bậc hai ta dễ dàng suy ∂F ≥ 0, ∂y y ∈ R, h > 0, ⇐⇒ a ≤ Hơn nữa, F (h, y) cịn viết dạng F (h, y) = y + φ(h)(y − y ) φ(h) = y + f (y) , + φ(h)(1 − a)y + φ(h)(1 − a)y điều a ≤ với h > ta có F (h, y) = y ⇐⇒ f (y) = Tức là, a ≤ tập hợp điểm bất động phương trình Logistic bảo toàn Như vậy, Định lý 2.3 thỏa mãn a ≤ Tóm lại, nhờ Định lý 2.1, 2.2 ta nhận được: Nếu a ≤ lược đồ (2.11) ổn định Ta chọn hàm φ(h) = h, a = 0, ta thu lược đồ ẩn yk+1 − yk = yk − yk yk+1 h Dạng hiển tương ứng lược đồ yk+1 = (1 + h)yk + hyk Nghiệm số thu từ lược đồ biểu diễn Hình 2.1 2.2 Trường hợp này, lược đồ (2.11) bảo tồn tính chất tốn với cỡ bước h > 50 z 15 h = 0.1 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Hình 2.1: Bước lưới h ≈ 0.1 15 h ≈ 0.01 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Hình 2.2: Bước lưới h ≈ 0.01 Phương trình đốt cháy (Combustion equation) 51 z 0.35 0.4 Chúng ta xét phương trình đốt cháy dy = y (1 − y) dt (2.13) Phương trình có hai điểm bất động y¯(0) = (bội 2) y¯(1) = (bội 1) Trong đó, y¯(1) = điểm bất động ổn định tuyến tính Đối với y¯(0) = ta khơng kết luận tính chất ổn định tuyến tính f (0) = Tính chất đơn điệu nghiệm liệt kê bảng Điều kiện ban đầu Tính chất đơn điệu Giới hạn t → ∞ y0 ∈ (−∞, 0) Đơn điệu tăng y0 ∈ (0, 1) Đơn điệu giảm y0 ∈ (1, +∞) Đơn điệu tăng Từ đó, thấy rằng, điểm bất động y¯(0) = có xu hướng hút lời giải nằm đẩy lời giải nằm Mục tiêu xây dựng lược đồ sai phân bảo toàn tính chất Với mục tiêu đó, ta xem xét họ lược đồ sai phân khác thường sau yk+1 − yk = ayk2 + (1 − a)yk yk+1 − byk3 − (1 − b)yk2 yk+1 φ(h) Họ lược đồ viết lại dạng bước yk+1 y + φ(h)ay − φ(h)by = F (h; yk ), F (h; y) = + φ(h)(a − 1)y + φ(h)(1 − b)y (2.14) Các tham số a b xác định nhờ Định lý 2.1 - 2.3 Cụ thể, ta thu kết Mệnh đề 2.1 Lược đồ (2.14) ổn định b< , a ≥ 1, hàm mẫu số φ thỏa mãn tính chất < φ < c, 52 z c=− 2b + a2 Chúng ta chọn hàm φ(h) = (1 − e−hc )/c Từ đó, ta thu lược đồ sai phân khác thường bảo toàn tính chất tốn Các lược đồ xây dựng có cấp xác Phần tiếp theo, ta xây dựng lược đồ xác cấp hai cách kết hợp xấp xỉ hóa khơng địa phương chọn hàm mẫu số thích hợp 2.1.4 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường xác cấp hai Xét toán giá trị ban đầu dy = f (y), y(0) = y0 dt Xét lược đồ khác thường bước dạng yk+1 − yk = g(yk , yk+1 , h) ≡ g(x, y, h) ϕ(h) (2.15) (2.16) Ký hiệu y(t) nghiệm xác (2.15) với giá trị ban đầu y(0) = yk Khai triển hàm (y(h) − y(0))/ϕ(h) hàm g(y(0), y(h), h) ta có y(h) − y(0) f (yk ) − ϕ00 (0) = f (yk ) + f (yk )h + O(h2 ) (2.17) ϕ(h) h ∂g i ∂g g(y(0), y(h), h) = g(yk , yk , 0)+ (yk , yk , 0)f (yk )+ (yk , yk , 0) h+O(h2 ) ∂y ∂h (2.18) So sánh (2.17) với (2.18) ta nhận điều kiện cần đủ để lược đồ xác cấp hai Định lý 2.4 Lược đồ sai phân khác thường (2.16) xác cấp hai g(yk , yk , 0) = f (yk ),  f (y ) − ϕ00 (0) ∂g  ∂g k (yk , yk , 0) = − (yk , yk , 0) f (xk ) ∂h ∂y (2.19) Nếu ta giả thiết thêm ∂g/∂h ≡ Ví dụ, trường hợp hàm lặp g khơng phụ thuộc biến h điều kiện thứ hai Định lý 2.4 trở thành ∂g f (yk ) − ϕ00 (0) (yk , yk , 0) = ∂y (2.20) Chúng ta sử dụng kết để xây dựng lược đồ xác cấp hai bảo tồn tính chất toán 53 z ... 1.5 Lược đồ sai phân khác thường 40 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường giải phương trình vi phân 2.1 44 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường dựa rời rạc hóa khơng địa phương. .. rời rạc hóa địa phương lược đồ sai phân bình thường Đây khác biệt lớn lược đồ sai phân bình thường lược đồ sai phân khác thường Ưu lược đồ khác thường so với lược đồ bình thường bảo tồn tính chất... luận văn bao gồm ba chương  Chương 1: Lược đồ sai phân khác thường Trong chương này, nhắc lại số kiến thức phương trình vi phân phương pháp số giải phương trình vi phân Trên sở kết hợp vi? ??c phân