ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN NGỌC SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 Giáo viên hướn[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN NGỌC SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Giáo viên hướng dẫn: TS TRẦN VIỆT CƯỜNG THÁI NGUYÊN, 2015 c Mục lục Mở đầu 1 PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Đại cương phép biến hình mặt phẳng 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 1.5 Phép biến hình mặt phẳng Tích phép biến hình Các phần tử bất biến phép hình Một số phép dời hình đặc biệt mặt phẳng Phép đối xứng trục Phép tịnh tiến Phép quay đối xứng tâm Sự xác định dạng tắc phép dời hình Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học Một số toán sử dụng phép quay 1.5.2 Một số toán sử dụng phép đối xứng trục c 4 4 6 10 11 11 1.5.1 3 biến Phép dời hình mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 27 1.5.3 Một số toán sử dụng phép tịnh tiến PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHƠNG GIAN 2.1 Đại cương phép biến hình không gian 2.1.1 Phép biến hình khơng gian 2.1.2 Tích phép biến hình 2.1.3 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động phép biến hình 2.2 2.3 2.4 47 47 48 48 Phép Phép Phép Phép Phép đối xứng trục đối xứng tâm tịnh tiến quay quanh trục đối xứng qua mặt phẳng 48 49 49 49 50 51 52 Sự xác định dạng tắc phép dời hình khơng gian 2.4.1 2.4.2 2.5 47 Phép dời hình khơng gian Một số phép dời hình đặc biệt không gian 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 36 53 Sự xác định phép dời hình 53 Dạng tắc phép dời hình 53 Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học khơng gian 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 Ứng dụng phép đối xứng trục giải toán Ứng dụng phép đối xứng tâm giải toán Ứng dụng phép tịnh tiến giải toán Ứng dụng phép quay quanh trục giải toán Ứng dụng phép đối xứng qua mặt phẳng giải toán c 54 54 56 58 60 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 c Mở đầu Phép dời hình chiếm vị trí quan trọng hình học sơ cấp nói chung phép biến hình nói riêng Việc sử dụng để giải tốn hình học nhiều cần thiết; đặc biệt nhiều tốn khơng sử dụng phép dời hình việc tìm lời giải trở nên khó khăn cho người học tốn, sử dụng phép dời hình giúp cho giải trở lên ngắn gọn súc tích Phép dời hình cơng cụ quan trọng hình học, xuất điều tất yếu phát triển tư tốn học- tư biến hình Trong tốn có sử dụng phép dời hình để giải mắt xích quan trọng, định hướng thơng suất q trình tư Ngồi ra, phép dời hình cịn cơng cụ tư hữu ích để phát triển tốn cho ta cách nhìn tốn Điều khiến cho người học tốn khơng phát triển kiến thức hình học mà cịn cung cấp cho họ nhìn sâu tốn Ngồi phần mở đầu, phần kết luân, luận văn gồm chương Chương Chương trình bày định nghĩa phép dời hình mặt phẳng tính chất Ngồi chương trình bày phép dời hình đặc biệt là: phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay Trình bày xác định dạng tắc phép dời hình mặt phẳng Vận dụng phép dời hình để giải tốn hình học phẳng Chương Chương trình bày kiến thức phép biến hình dời hình khơng gian: Định nghĩa, Tích phép biến hình, Các phần tử bất động phép biến hình, phép dời hình đặc biệt khơng gian Vận dụng phép dời hình để giải tốn khơng gian Luận văn đươc hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS TRẦN VIỆT c CƯỜNG, Trường ĐHSP Thái Nguyên Là người học trò tiếp thu nhiều điều từ thầy, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên tâm huyết bảo, hướng dẫn thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K7N, Trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD- ĐT tỉnh Nam Định, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Trực Ninh tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian học tập làm luận văn Tuy nhiên, lực thân thời gian nghiên cứu có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy độc giả quan tâm đến luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Văn Ngọc c Chương PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 1.1.1 Đại cương phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình mặt phẳng Ta kí hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng P , hình H P tập P ta ký hiệu H ⊂ P Định nghĩa Một song ánh f : P → P từ tập điểm P lên gọi phép biến hình mặt phẳng P Phép biến hình biến điểm M P thành gọi phép đồng Ký hiệu e Ví dụ Cho đường thẳng d Với điểm M, ta xác đinh điểm M’ hình chiếu vng góc M lên d ta phép biến hình (gọi phép chiếu vng góc lên đường thẳng d) 1.1.2 Tích phép biến hình Một phép biến hình f : P → P biến điểm M P thành điểm M lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai g:P → P để biến M thành M 00 Ta có M = f (M ) M 00 = g(M ) Khi phép biến hình h biến M thành M 00 gọi tích hai phép biến hình f g ký hiệu h = g ◦ f c Nhận xét Tích phép biến hình khơng có tính chất giao hoán 1.1.3 Các phần tử bất biến phép biến hình Một điểm M thuộc P điểm kép (điểm bất động) phép biến hình f f (M ) = M 1.2 1.2.1 Phép dời hình mặt phẳng Định nghĩa Định nghĩa Một phép biến hình f : P → P gọi phép dời hình mặt phẳng P với hai điểm M, N hai ảnh chúng M = f (M ), N = f (N ) ta luôn có M N = M N Nhận xét - Phép đồng e phép dời hình -Đảo ngược phép dời hình phép dời hình 1.2.2 Tính chất Theo định nghĩa phép dời hình có tính chất sau Tính chất .Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm A C thành ba điểm A0 , B , C thẳng hàng với B nằm A0 C Hệ Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Hệ Phép dời hình biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính Tính chất Tích hai phép dời hình phép dời hình Chứng minh Cho hai phép dời hình f g Ta xét tính chất phép biến hình g ◦ f Giả sử A, B hai điểm ta có f (A) = c A0 , g(A0 ) = A”, f (B) = B , g(B ) = B” Vì f g phép dời hình nên ta có AB = A0 B , A0 B = A”B” Như phép biến hình g ◦ f biến điểm A thành điểm A”, biến điểm B thành điểm B” thoả mãn điều kiện A”B” = AB Do tích hai phép dời hình g ◦ f phép dời hình Hệ Tích n phép dời hình phép dời hình Hệ Tích phép dời hình với phép đảo ngược phép đồng Tính chất Tích phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh Giả sử g, h, f phép dời hình, ta cần chứng minh (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f ) (hình 1.1) Thật giả sử f biến M thành M , h biến M thành M ” g biến M ” thành M 000 Ta có g ◦ h phép dời hình biến M thành M 000 (g ◦ h) ◦ f biến M thành M 000 Mặt khác h ◦ f biến M thành M ” g ◦ (h ◦ f ) biến M thành M 000 Vậy (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f ) hai biến điểm M thành M 000 với đểm M mặt phẳng Hình 1.1: Tính chất Tập hợp phép dời hình lập thành nhóm phép biến hình với phép tốn tích phép biến hình Ta có tích hai phép dời hình phép dời hình Do tích phép dời hình đóng kín với phép tốn cho Mặt khác tập hợp phép dời hình có tính chất kết hợp tập hợp phép dời hình có phần tử đơn vị phép đồng phép dời hình có phép dời hình đảo ngược c Vậy tập hợp phép dời hình lập thành nhóm gọi nhóm phép dời hình 1.3 1.3.1 Một số phép dời hình đặc biệt mặt phẳng Phép đối xứng trục Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho đường thẳng d cố định, phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho đoạn thẳng M M nhận đường thẳng d làm đường trung trực phép biến hình gọi phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi trục đối xứng Ta ký hiệu phép đối xứng trục Đd Nếu điểm M thuộc đường thẳng d ta lấy M trùng với M Tính chất Phép đối xứng trục phép dời hình Chứng minh Giả sử M, N hai điểm mặt phẳng phép đối xứng trục Đd biến điểm M, N thành điểm M , N Khi đoạn thẳng M M , N N vng góc với trục d trung điểm H, K chúng (hình 1.2) −−−→ −−→ −−→ −−→ Ta có M H = −M H KN = −KN −−→ −−→ −−→ −−→ Mặt khác ta có M N = M H + HK + KN −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Suy M N = M H + HK + KN + 2M H.KN (vì M H.HK = −−→ −−→ HK.KN = Tương tự ta có −−− → −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ M N 02 = M H + HK + KN 02 + 2M H.KN −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ = (−M H ) + (HK ) + (−KN ) + 2(−M H)(−KN ) −−→ = MN2 −−−→ −−→ Do M N | = |M N | c ... xác định dạng tắc phép dời hình Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học Một số toán sử dụng phép quay 1.5.2 Một số toán sử dụng phép đối... tính chất nó, sau ta sử dụng kiến thức phép dời hình để giải tốn hình học 10 c 1.5 1.5.1 Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học Một số toán sử dụng phép quay Dạng 1: Chứng minh,... phép dời hình Hệ Tích n phép dời hình phép dời hình Hệ Tích phép dời hình với phép đảo ngược phép đồng Tính chất Tích phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh Giả sử g, h, f phép dời hình,