Lược đồ sai phân khác thường giải một số phương trình vi phân

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC HOÀNG MANH TUAN LƯeC ĐO SAI PHÂN KHÁC THƯèNG GIAI MđT SO PHNG TRèNH VI PHN LUắN VN THAC S KHOA HOC Hà N®i - 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TỐN - CƠ - TIN HOC HỒNG MANH TUAN LƯeC ĐO SAI PHÂN KHÁC THƯèNG GIAI M®T SO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán Éng dnng Mã so: 60.46.01.12 LUắN VN THAC S KHOA HOC CN Bđ HộNG DAN KHOA HOC GS TS Đ¾ng Quang Á LèI CAM ƠN Trúc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói GS TS Đ¾ng Quang Á, ngưịi dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng dan t¾n tình chi bao em suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn Em xin phép đưoc gui lòi cam ơn đen ban lãnh đao thay cô giáo, anh/ch% cán b® trưịng ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c nói riêng tao MQI đieu ki¾n thu¾n loi nhat, giúp đõ em thịi gian em HQc t¾p, nghiên cúu tai trưịng Em xin cam ơn thay, cô giáo, anh ch% ban chuyên nghành Toán úng dung nhung đ®ng viên nhung ý kien trao đői q báu đoi vói ban thân em thịi gian qua Lịi cam ơn sâu sac đ¾c bi¾t nhat xin đưoc gui đen gia đình nhung ngưịi thân nhung đieu tot đep nhat dành cho tơi cuđc song, HQc v nghiờn cỳu khoa HQ c M¾c dù có nhieu co gang thịi gian có han lnc cna ban thân cịn nhieu han che, the, ban lu¾n văn khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay, ban Hà N®i, ngày 16 tháng 01 năm 2015 HQc viên Hoàng Manh Tuan Mnc lnc LèI CAM ƠN Ma đau Lưac đo sai phân khác thưàng 1.1 M®t so kien thúc chuan b% 1.2 Rịi rac hóa phương trình phân rã tuyen tính 17 1.3 Rũi rac húa hắ đng lnc HQc 23 1.4 Lưoc đo sai phân xác .33 1.5 Lưoc đo sai phân khác thưòng 40 Xây dEng lưac đo sai phân khác thưàng giai phương trình vi phân 44 2.1 Xây dnng lưoc đo sai phân khác thưịng dna rịi rac hóa khơng đ%a phương .44 2.1.1 Mo đau 45 2.1.2 Các lưoc đo bao tồn tính chat n iắu 46 2.1.3 Xõy dnng mđt vi lưoc đo sai phân khác thưòng 49 2.1.4 Xây dnng lưoc đo sai phân khác thưịng xác cap hai 53 2.2 Lưoc đo sai phân khác thưòng cho phương trình vi phân có ba điem bat đ®ng .57 2.2.1 Đ¾t toán 57 2.2.2 Xây dnng lưoc đo sai phân khác thưòng 60 2.3 Xây dnng lưoc đo sai phân khác thưịng bang cách tái chuan hóa mau so 64 2.3.1 Ket qua 64 2.3.2 M®t so úng dung 69 Xây dEng lưac đo sai phân khác thưàng giai h¾ phương trình vi phân 72 3.1 Lưoc đo sai phân khác thưòng bao ton tớnh chat n %nh cho hắ đng lnc HQ c nhieu chieu 72 3.1.1 Các ket qua 73 3.1.2 Thu nghi¾m so trưịng hop hai chieu 75 3.1.3 Thu nghi¾m so trưòng hop ba chieu 82 3.2 Xây dnng lưoc đo sai phân khác thưịng xác cap hai 90 3.2.1 Xây dnng h¾ đieu ki¾n cho lưoc đo xác cap hai 90 3.2.2 Lưoc đo sai phân khác thưịng xác cap hai cho h¾ Lotka - Voltera 92 3.2.3 Các thu nghi¾m so 101 Tài li¾u tham khao 116 Ma đau Vi¾c nghiên cúu phương pháp giai gan phương trình vi phân m®t nhung van đe quan TRQNG cna Tốn HQc nói chung Tốn HQc tính tốn nói riêng Do nhu cau cna thnc tien sn phát trien cna lý thuyet toán HQc, nhà tốn HQc tìm rat nhieu nhung phương pháp giai gan phương trình vi phân M®t nhung ky thuắt truyen thong oc su dung rđng rói vi¾c giai gan phương trình vi phân, đ¾c bi¾t phương trình vi phân đao hàm riêng su dung lưoc đo sai phân bình thưịng (Standard Difference Scheme) Các lưoc đo sai phân bình thưịng đưoc xây dnng dna vi¾c rịi rac hóa đao hàm xuat hi¾n phương trình vi phân bang cơng thúc sai phân Tuy nhiên, nhieu trưịng hop han che cna lưoc đo sai phân bình thưịng khơng bao tồn đưoc tính chat cna nghi¾m cna phương trình vi phân tương úng Hi¾n tưong nghi¾m cna phương trình sai phân (thu đưoc tù lưoc đo sai phân) khơng phan ánh xác, hay xác khơng bao tồn đưoc tính chat cna nghi¾m cna phương trình vi phân tương úng đưoc GQI chung hi¾n tưong khơng őn đ%nh so (Numerical Instabilities, xem [13, 16]) Chang han, ta xét h¾ phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so xJ (t) = −y(t), x(0) = r, y J (t) = x(t), y(0) = Trong trưòng hop này, ta de dàng chi rang nghi¾m cna h¾ có tính chat x2(t) + y2(t) = r2, ∀t, túc là, quy đao tương úng vói đưịng trịn tâm bán Neu su dung lưoc đo sai phân bình thưịng nhưO(0, các0), lưoc đokính thu rđưoc tù phương pháp Euler hien, Euler an, hình thang an thay rang: Phương pháp Euler hien cho lòi giai tương úng vói đưịng xoan oc ra, phương pháp Euler an cho lịi giai tương úng vói đưịng xoan oc vào Chi có phương pháp hình thang bao tồn tính chat bat bien cna tốn Đây m®t ví du đơn gian cho hi¾n tưong bat őn đ%nh so Các phân tích cho thay rang, hi¾n tưong khơng őn đ%nh so xay ta su dung ky thu¾t tinh vi đe xây dnng lưoc đo sai phân bình thưịng, chang han su dung phương pháp Taylor ho¾c phương pháp Runge Kutta Nhìn chung, lưoc đo sai phân bình thưịng chi bao tồn đưoc tính chat nghi¾m cna phương trình vi phân ta su dung bưóc lưói h nho Túc là, hi¾n tưong khơng őn đ%nh so se xay bưóc lưói h đưoc cHQN lón giá tr% h∗ Thơng thưịng giá tr% h∗ rat nho Vì the, vi¾c su dung lưoc đo sai phân bình thưịng khơng có loi the giai phương trình vi phân đoan tìm nghi¾m lón, chang han đoi vói cỏc hắ đng lnc HQc, thũi gian cú the tien ∞ Các phân tích chi rang, hi¾n tưong khơng őn đ%nh so xay phương trình sai phân (rịi rac) khơng bao tồn đưoc tính chat őn đ%nh tuyen tính cho điem bat đ®ng hay cịn GQI nghi¾m hang ho¾c điem cân bang cna phương trình vi phân (liên tuc) Chang han, phương trình sai phân phương trình vi phân khơng có cựng hop iem bat đng Cỏc phng phỏp Runge - Kutta ho¾c phương pháp Taylor thưịng sinh thêm điem bat đ®ng gia (phu thu®c vào bưóc lưói) Trong trưịng hop phương trình sai phân phương trình vi phõn cú cựng hop iem bat đng thỡ xay trưịng hop có the y(t) ≡ y¯ điem őn đ%nh tuyen tính cna phương trình vi phân yk ≡ y¯ lai không phai điem őn đ%nh tuyen tính cna phương trình sai phân tương úng Tőng quát hơn, hi¾n tưong bat őn đ%nh so xay nghi¾m cna phương trình sai phân khơng thoa mãn đieu ki¾n mà nghi¾m cna phương trình vi phân thoa mãn Các tính chat quan tâm o tính chat đơn đi¾u, tính b% ch¾n, tính dương, tính tuan hồn tính chat bat bien Nói chung, su dung cõ bưóc lón lưoc đo sai phân bình thưịng khơng bao tồn đưoc tính chat Trong phan trình bày cna lu¾n văn, se phân tích rõ van đe Lưoc đo sai phân khác thưòng đưoc đưoc đe xuat boi R E Mickens vào năm 1980 Lưoc đo sai phân khác thưòng lưoc đo sai phân đưoc xây dnng dna m®t b® quy tac xác đ%nh, quy tac đưoc đưa boi R E Mickens dna phân tích hi¾n tưong không őn đ%nh so xay su dung lưoc đo sai phân bình thưịng Hai quy tac quan TRQNG vi¾c xây dnng lưoc đo sai phân khác thưịng Các đao hàm xuat hi¾n phương trình vi phân nên đưoc rịi rac hóa bang cơng thúc phúc tap cơng thúc rịi rac hóa thơng thưịng, chang han, cơng thúc sai phân tien, sai phân lùi, sai phân trung tâm Các so hang phi tuyen xuat hi¾n ve phai cna phương trình vi phân nên đưoc rịi rac hóa khơng đ%a phương, túc rịi rac hóa hàm so dna giá tr% cna hàm tai m®t so điem lưói rịi rac thay rịi rac hóa đ%a phương lưoc đo sai phân bình thưịng Đây sn khác bi¾t lón nhat giua lưoc đo sai phân bình thưịng lưoc đo sai phân khác thưòng Ưu the cna lưoc đo khác thưịng so vói lưoc đo bình thưịng bao tồn tính chat nghi¾m cna tốn vói MQI cõ bưóc h > Tuy nhiên, nhưoc điem cna lưoc đo khác thưịng khó có the đưa lưoc đo có cap xác cao lưoc đo bình thưịng thịi gian thnc hi¾n tính tốn có the lâu đao hàm hàm ve phai đưoc rịi rac hóa phúc tap Vì the, vi¾c su dung lưoc đo khác thưịng có loi the giai tốn đoan tìm nghi¾m lón can bao tồn xác tính chat nghi¾m cna tốn Hi¾n nay, lưoc đo sai phân khác thưòng đưoc nhà tốn HQ c xây dnng su dung r®ng rãi cho ca phương trình vi phân đao hàm riêng phương trình đao hàm thưịng tốn biên Tuy nhiên, khn khő cna lu¾n văn, chn yeu t¾p trung vào vi¾c xây dnng lưoc đo sai phân khác thưịng cho tốn giá tr% ban đau đoi vói phương trình vi phân thưịng Nđi dung chớnh cna luắn hắ thong lai cỏc ket qua ... lưoc đo sai phân bình thưịng Vi? ?c khơng bao tồn tính chat điem bat đ®ng cna phương trình vi phân thưòng xay hai kha sau Phương trình sai phân (tương úng vói lưoc đo sai phân) phương trình vi phân. .. 23 1.4 Lưoc đo sai phân xác .33 1.5 Lưoc đo sai phân khác thưòng 40 Xây dEng lưac đo sai phân khác thưàng giai phương trình vi phân 44 2.1 Xây dnng lưoc đo sai phân khác thưịng dna... Chương 1: Lưoc đo sai phân khác thưòng Trong chương này, nhac lai m®t so kien thúc ban ve phương trình vi phân phương pháp so giai phương trình vi phân Trên so ket hop vi? ?c phân tích hi¾n tưong