Một số phương pháp song song giải hệ phương trình vi phân

Mục lục Mở đầu .1 Ch−¬ng Tỉng quan vỊ phơng pháp Runge-Kutta 1.1 Các khái niệm phơng pháp Runge-Kutta (RK) .8 1.1.1 Tính ổn định phơng pháp Runge-Kutta (RK) 10 1.1.2 Cấp xác phơng pháp Runge-Kutta 12 1.2 Các phơng pháp Runge-Kutta hiển (ERK) .13 1.3 Các phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp 16 1.4 Các phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK) 19 1.4.1 Sự ổn định phơng pháp PIRK 22 1.4.2 Sự hội tụ phơng pháp PIRK .23 1.4.3 Một số phơng pháp PIRK kh¸c .23 1.5 KÕt luËn .25 Chơng Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh Dạng Runge-Kutta liên tục 2.1.Các phơng pháp hiƯu chØnh RK liªn tơc 28 2.2.Các phơng pháp PIRKC 32 2.2.1 Tèc ®é héi tơ 35 2.2.2 Miền ổn định 36 2.3.C¸c thư nghiƯm sè 37 2.3.1 So s¸nh với phơng pháp song song .39 2.3.1.1 Bài toán hai vật thể 40 2.3.1.2 Bài toán Fehlberg 41 2.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngo¹i lùc 41 2.3.2 So sánh với phơng pháp 42 2.4.Kết luận .43 i Chơng Các phơng pháp lặp song song Giả Runge-Kutta hai bớc 3.1 Các phơng pháp hiệu chỉnh giả Runge-Kutta hai bớc (các phơng pháp PTRK) .45 3.2 Các phơng pháp lặp song song giả RK hai bớc (các phơng pháp IPIPTRK) 50 3.2.1 Các điều kiện cấp cho công thức dự báo .51 3.2.2 Tèc ®é héi tơ 53 3.2.3 MiÒn ổn định 54 3.3 C¸c thư nghiƯm sè 56 3.3.1 So s¸nh với phơng pháp song song .59 3.3.1.1 Bài toán hai vật thể 60 3.3.1.2 Bài toán Fehlberg 60 3.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngo¹i lùc 61 3.3.2 So sánh với phơng pháp tuÇn tù 62 3.4 KÕt luËn .63 Chơng Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh Dạng Runge-kutta hai bớc liên tục 4.1 Các phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai b−íc mét liªn tơc 65 4.2 Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RungeKutta hai bớc liên tục ( phơng pháp TBTPIRKC) 68 4.2.1 Tèc ®é héi tơ 70 4.2.2 MiỊn ỉn ®Þnh 71 4.3 C¸c thư nghiƯm sè 73 4.3.1 So s¸nh víi phơng pháp song song .75 4.3.1.1 Bài toán hai vật thể 75 4.3.1.2 Bài toán Fehlberg .75 4.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lực 76 4.3.2 So sánh với phơng pháp tuần tù 77 4.4 KÕt luËn .77 KÕt ln cđa ln ¸n .79 Danh mục công trình đà công bố 80 Tài liệu tham khảo 82 Danh mơc c¸c ký hiƯu chữ viết tắt Các ký hiệu := định nghĩa xấp xỉ số \d không gian véctơ thực Ø tËp c¸c sè phøc Ø  d - chiỊu tập số phức với phần thực âm j) đạo hµm bËc J Jacobian cđa f QT ma trËn chun vị Q Q1 ma trận nghịch đảo Q f( I,I j cđa hµm f dxd ) d ma trận đơn vị, ma trận thành phần e (cấp thành phần thứ i véctơ sở i 0,0 rxs véc tơ không, ma trận không (kích th−íc rxs) Q A  ( A)  ( A) tÝch tenx¬ cđa ma trËn Q víi ma trËn A phỉ cđa ma trËn A b¸n kÝnh phỉ cđa ma trËn A (f / y) b¸n kÝnh phỉ cđa ma trận Jacobian hàm chuẩn max Re(z) phần thực số phức z Im(z) phần ảo số phức z Các chữ viết tắt f( y), f , y \ d ERK (Explicit Runge-Kutta method) phơng pháp Runge-Kutta hiển IRK (Implicit Runge-Kutta method) phơng pháp Runge-Kutta ẩn IPIPTRK (Improved parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta methods) phơng pháp lặp song song gi¶ Runge-Kutta hai b−íc c¶i tiÕn IVPs (Initial Value Problems) toán giá trị đầu (bài toán Cauchy) ODEs (Ordinary differential equations) phơng trình vi phân thờng PIRK (Parallel-iterated Runge-Kutta method) phơng pháp lặp song song d¹ng Runge-Kutta PIRKC (Parallel-iterated Runge-Kutta method with continuous output formulas) phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta liên tục PTRK (Pseudo Two-step Runge-Kutta method) phơng pháp giả hai bớc dạng Runge-Kutta PC (Predictor-corrector method) phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh RungeKutta TBTRKC (Continuous twostep-by-twostep Runge-Kutta method) phơng pháp dạng Runge-Kutta hai bớc liên tục TBTPIRKC (Twostep-by-twostep PIRK-type PC methods with continuous output formulas) phơng pháp lặp song dạng Runge-Kutta hai bớc liên tục Danh mục bảng Bảng 1.1 Cấp xác phơng pháp Runge-Kutta hiển .15 Bảng 1.2 Một số phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp .20 Bảng 2.1 Các cặp ổn định ( (m) , (m) ) cho phơng pháp re im PIRKC cấp p khác 38 B¶ng 2.2 Các giá trị NCD/ N cho toán (2.3.2) nhận đợc seq phơng pháp song song PC cấp Bảng 2.3 Các giá trị p khác 40 cho toán (2.3.3) nhận đợc NCD / N seq phơng pháp song song PC cấp Bảng 2.4 Các giá trị NCD/ N p khác .41 cho toán (2.3.4) nhận đợc seq phơng pháp song song PC p kh¸c .42 cÊp Bảng 2.5 So sánh với phơng pháp cho toán (2.2.3)43 Bảng 3.1 Các nhân tố hội tụ cho phơng pháp song song PC cấp p kh¸c 58 Bảng 3.2 Các cặp ổn định ( (m) , re im (m) ) cho phơng pháp IPIPTRK cấp p khác 58 Bảng 3.3 Các giá trị NCD / N cho toán (2.3.2) phơng pháp seq song song PC cÊp p kh¸c víi pr bé xư lý… 60 Bảng 3.4 Các giá trị NCD / N cho toán (2.3.3) phơng pháp seq PC song song cấp Bảng 3.5 Các giá trị p kh¸c 61 NCD / N seq cho toán (2.3.4) phơng pháp PC song song cấp p khác B¶ng 3.6 So sánh với phơng pháp cho toán (3.3.3) 62 Bảng 4.1 Các cặp ( re (m), im cho phơng pháp TBTPIRKC (m)) cấp p 74 Bảng 4.2 Các giá trị NCD / N cho toán 2.3.2 nhận đợc seq phơng pháp PC song song Bảng 4.3 Các giá trị NCD / N p .75 cho toán 2.3.3 nhận đợc seq phơng pháp PC song song Bảng 4.4 Các giá trÞ NCD / N p .76 cho toán 2.3.4 nhận đợc seq phơng pháp PC song song p 77 cấp Bảng 4.5 So sánh với mà với toán Fehlberg 2.3.3 78 y n2  y  zbT (2)Y(m) z n m2 T n    b (2) Am BY(m)  1 zbT (2) ⎡ I  zA   (zA)m 1⎤ e y n2 ⎢⎣ ⎦⎥ n   zm 1bT (2) Ameyn (4.2.13)  Tõ (4.2.12)-(4.2.13) ta cã c«ng thøc truy håi ⎛ (m) ⎞ ⎛ (m) ⎞ ⎜⎜ Yn ⎟⎟ ⎜⎜ Yn  ⎟⎟ ⎜yn  ⎟  M (z) ⎜ y ⎟ , m n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜y ⎟ n n  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ®ã (s  2).(s  2) M (z) lµ ma trËn m cÊp ⎛ B zm1 Am ⎜ ⎜ M (z)  ⎜ zm2bT (2) AmB m 0T (4.2.14) xác định zm Ame ⎡ I  zA   (zA)m1⎤ ⎟ ⎣ ⎦ ⎟ 1 zbT (2) ⎡ I  zA   (zA)m1⎤ e zm1bT (2) Ame ⎟ (4.2.15) ⎣ ⎦ ⎟⎟ ⎠ Ma trËn M (z) (4.2.15), xác định tính chất ổn định m phơng pháp TBTPIRKC, đợc gọi ma trận khuyếch đại, bán kính phổ (M (z)) hàm ổn định Với m cho trớc, miền ổn định ký hiệu m S stab phơng pháp TBTPIRKC đợc xác định nh sau: (m) S stab m Với số m lần lặp đà cho, biên ổn định thực định ảo : z : (M (z)) 1, Re(z)  β (m ) biên ổn re (m ) đợc định nghĩa cách tơng tự (xem mục 2.2.2) Tính im toán số cặp biên ổn định phơng pháp TBTPIRKC đợc trình bày bảng 4.1 phần 4.3 dới 4.3 Các thử nghiệm số Trong phần đa kết thử nghiệm số phơng pháp TBTPIRKC Chúng ta xét phơng pháp dự báo TBTRK liên tục s nấc dựa véctơ trùng khớp s chiều có thành phần nghiệm đa thức Chebyshev loại cấp s đoạn [0, 2] nh sau ⎛ 2i -1 ⎞ c  cos π i  1, , s +1, ⎜ 2s ⎟ i ⎝ Với phơng pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp, lựa chọn điểm trùng khớp dờng nh lựa chọn tốt Chúng hạn chế xét phơng pháp TBTPIRKC dựa phơng pháp dự báo TBTRK liên tục nấc Cấp xác, cấp xác nấc cấp xác liên tục phơng pháp TBTPIRKC số nấc (Định lý 4.2.1) Các nhân tố hội tụ đợc xác định 4.2.1 phơng pháp TBTPIRKC tính đợc tơng ứng 0.394 0.277 Bảng 4.1 dới đa cặp ổn định phơng pháp TBTPIRKC đợc sử dụng thử nghiệm số Chúng nhận thấy biên ổn định ảo hai phơng pháp TBTPIRKC có dáng điệu biến đổi không theo qui luật Từ bảng 4.1, ta thấy phơng pháp TBTPIRKC đợc xét có miền ổn định chấp nhận đợc cho toán không cơng với m Sau so sánh phơng pháp TBTPIRKC với các phơng pháp song song CODE DOPRI5 DOP853 đà biết Với phơng pháp TBTPIRKC sử dụng dự báo tầm thờng bớc xác ®Þnh nh− sau: (0) Y y, 0, i i 1, , s Sai sè tut ®èi nhận đợc điểm cuối khoảng tính toán đợc biểu diễn dới dạng ( NCD số trung bình chữ số thập phân có nghĩa) 10 NCD Bảng 4.1 Các cặp ( (m), re im cho (m)) phơng pháp TBTPIRKC cấp p Các phơng ph¸p TBTPIRKC p=4 p=6 m=1 (0.531, 0.306) (0.227, 0.160) m=2 (0.415, 0.001) (0.245, 0.001) m=3 (0.578, 0.008) (0.412, 0.006) m=4 (0.675, 0.579) (0.472, 0.440) m=5 (0.876, 0.825) (0.618, 0.586) Bá qua nhân tố cân thời gian kết nối xử lý phơng pháp song song, so sánh phơng pháp khác N phần dựa N , NCD s st (xem 2.3 chơng 2) Qua seq p thử nghiệm số với việc sử dụng toán thử có kích thớc nhỏ lấy từ tài liệu cho thấy khả vợt trội phơng pháp TBTPIRKC so với phơng pháp đà có Sự vợt trội có ý nghĩa sử dụng máy tính song song toán thử kích thớc lớn / giá tính toán hàm vế phải f cao (xem [7]) Để thấy đợc hành vi hội tụ phơng pháp TBTPIRKC, tuân theo chiến lợc động phơng pháp PC cho việc xác định số lần lặp bớc tính Điều tự nhiên, yêu cầu sai số lặp cấp chÝnh x¸c cđa sù hiƯu chØnh cã cïng cÊp h Điều dẫn theo đến dấu hiệu dừng sau (xem [15], [21]) (m) (m Y 1)  Y n n ®ã C p   TOL  Ch , tham số toán phụ thuộc phơng (4.2.16) p cấp pháp, xác phơng pháp hiệu chỉnh Tất tính toán đợc thực máy tính xác tới 15 chữ số Việc cài đặt thuật toán thật máy tính song song chủ đề nghiên cứu 4.3.1 So sánh với phơng pháp song song Chúng đa kết số để so sánh với phơng pháp PC song song tốt có tài liệu, phơng pháp PIRK xét [33], phơng pháp PIRKC xét Chơng 2, (trong [24]) phơng pháp TBTPIRKC cấp cấp xét chơng Chúng ta chọn ba toán thử đà có từ tài liệu nh đà xét 2.3 Chơng 4.3.1.1 Bài toán hai vật thể Trong thử nghiệm số thứ nhất, ta áp dụng phơng pháp PC cấp p khác với toán hai vật thể (xét 2.3.1 chơng 2, [33], [40]) Các kết số đợc đa bảng 4.2 cho thấy phơng pháp TBTPIRKC hiệu so với phơng pháp PIRK phơng pháp PIRKC có cấp xác Với toán phơng pháp TBTPIRKC cần hai lần lặp hai bớc Bảng 4.2 Các giá trị NCD / N cho toán 2.3.2 seq nhận đợc phơng pháp PC song song C¸c P.P PC p Nstp  100 Nstp  200 Nstp  400 Nstp  800 Nstp  1600 C PIRK 3.1/441 3.7/905 4.9/1947 6.1/4000 7.3/8000 100 PIRKC 3.0/236 4.6/469 6.2/936 7.7/1869 8.9/3732 100 TBTPIRKC 2.0/147 3.7/260 4.9/485 6.0/937 7.2/1799 100 PIRK 5.0/643 7.2/1302 8.9/2637 10.5/5499 12.3/11200 10 - PIRKC 5.8/284 8.8/552 10.0/1061 12.2/2047 14.3/4089 10 - TBTPIRKC 4.6/209 6.7/361 8.5/633 10.2/1161 12.2/2146 10 - 4.3.1.2 Bài toán Fehlberg Trong thử nghiệm số thứ, hai áp dụng phơng pháp PC cấp p khác vào toán Fehlberg đoạn tích phân [0, 5] (xét 2.3.1 chơng 2, [15], [33], [40]) Các kết số đợc đa bảng 4.3 dấu * máy tính không đủ độ xác để N = stp tính 1600 Các kết số phơng pháp TBTPIRKC vợt trội nhiều so với phơng pháp PIRK PIRKC có cấp 4.3.1.3 Bài toán chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lực Thử nghiệm số cuối áp dụng vào hàm Jacobian elliptic sn, cn, dn nghiệm phơng trình chuyển động vật thể rắn tác động ngoại lực khoảng tích phân [0, 20] (xem 2.3.1 chơng 2, [28, tr 240], [43]) Các kết số cho toán đợc đa bảng 4.4 cho kết luận giống nh hai thử nghiệm số trớc Bảng 4.3 Các giá trị NCD / N cho toán 2.3.3 seq nhận đợc phơng pháp PC song song Các P.P Nstp  1600 p Nstp  100 Nstp  200 Nstp  400 Nstp  800 PIRK 2.7/392 4.0/842 5.2/1756 6.5/3650 7.7/7409 103 PIRKC 2.9/230 4.1/458 5.7/915 7.2/1826 8.8/3657 103 TBTPIRKC 3.4/151 4.6/270 5.8/495 7.0/933 8.2/1789 103 PIRK 5.2/601 7.0/1245 8.9/2542 10.7/5199 12.5/10488 103 PIRKC 6.5/297 8.4/572 10.2/1114 12.1/2176 * 103 TBTPIRKC 6.1/214 8.0/364 9.9/659 11.8/1178 * 103 PC C 4.3.2 So s¸nh víi c¸c phơng pháp Trong phần 4.3.1 đà so sánh TBTPIRKC với phơng pháp PIRK PIRKC Trong phần này, so sánh phơng pháp TBTPIRKC cấp 6, gọi TBTPIRKC6 với hai mà DOPRI5 DOP853 (xem 2.3.2 chơng 2) áp dụng cho toán Fehlberg (xem 2.3.1 chơng 2) nhận thấy phơng pháp TBTPIRKC hiệu (xem bảng 4.5) Bảng 4.4 Các giá trị NCD / N cho toán 2.3.4 seq nhận đợc phơng pháp PC song song p Nstp 100 Nstp  200 Nstp  400 Nstp  800 PIRK 2.3/ 300 5.1/ 800 6.3/ 1600 7.5/ 3200 8.9/ 6571 101 PIRKC 4.1/ 202 5.6/ 402 7.1/ 802 8.6/ 1602 10.1/ 3203 101 TBTPIRKC 4.0/ 102 5.6/ 203 7.9/ 403 8.7/ 803 9.8/ 1603 101 PIRK 5.1/ 486 7.8/ 1126 11.2/ 2345 12.5/ 4775 * 100 PIRKC 6.5/ 204 8.5/ 404 10.5/ 804 12.6/ 1604 * 100 TBTPIRKC 6.1/ 142 7.7/ 257 9.9/ 461 12.8/ 805 * 100 C¸c P.P PC 4.4 Nstp  1600 C Kết luận Trong chơng đà nghiên cứu phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh kiểu RK lặp song song hai bớc liên tục đợc ký hiƯu lµ TBTPIRKC Víi thư nghiƯm sè cho thÊy với cấp xác p phơng pháp TBTPIRKC vợt trội phơng pháp PIRK Bằng so sánh phơng pháp TBTPIRKC cấp (TBTPIRKC6) với mà tuần tù tèt nhÊt DOPRI5 vµ DOP853 (xem [28]), ta thấy phơng pháp TBTPIRKC hiệu nhiều Bảng 4.5 So sánh với mà cho toán Fehlberg 2.3.3 Các phơng pháp N stp NCD N seq DOPRI5 (tõ [16]) 75 162 393 979 2458 3.2 5.3 7.4 9.4 11.4 452 974 2360 5876 14750 DOP853 (tõ [16]) 47 70 107 164 261 4.5 6.2 8.0 10.2 12.2 552 825 1265 1950 3123 TBTPIRKC6 ( từ chơng này) 50 100 200 400 800 3.7 6.1 8.0 9.9 11.8 172 214 364 659 1178 kÕt luËn luận án Qua vấn đề đà trình bày, ta thấy luận án đà đạt đợc mục đích đề Các kết thu đợc là: 1) Nghiên cứu lợc đồ lặp dự báo-hiệu chỉnh song song dựa phơng pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta dạng trùng khớp liên tục để giải toán giá trị đầu ( IVP ) không cơng cho hệ phơng trình vi phân thờng cấp (ODE) Các phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh (PC) dạng RK thu đợc phơng pháp liên tục Các xấp xỉ số liên tục đợc sử dụng cho việc dự báo giá trị nấc trình xử lý lặp dự báo-hiệu chỉnh áp dụng phơng pháp PIRKC nhận đợc vào số toán thử phổ biến cho thấy phơng pháp PIRKC hiệu so sánh với phơng pháp lặp song song (PIRK) cấp mà hiệu DOPRI5 DOP853 từ tài liệu [28] 2) Khởi đầu phơng pháp giả RK hai b−íc s-nÊc p* víi w cÊp nÊc Èn, áp dụng xử lý lặp PC song song cấp cao với phơng thức tính toán PE(CE) mE Kết quả, nhận đợc phơng pháp PC song song gọi phơng pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bớc (phơng pháp PIPTRK) với công thức dự báo có cấp xác cao gọi phơng pháp PIPTRK cải tiến (phơng pháp IPIPTRK) Thử nghiệm số cho thấy phơng pháp IPIPTRK u việt phơng pháp lặp song song (PIRK) cấp mà hiệu DOPRI5 DOP853 từ tài liệu [28] 3) Đề xuất nghiên cứu phơng pháp lặp dự báo-hiệu chỉnh song song dựa phơng pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta dạng trùng khớp liên tục để giải toán giá trị đầu không cơng (IVP) cho hệ phơng trình vi phân thờng cấp (ODE) Trên bớc thứ n , công thức tính liên tục không đợc sử dụng cho giá trị dự báo nấc phơng pháp lặp dự báohiệu chỉnh mà sử dụng để tính giá trị bớc n2 Khi thứ trình tính toán có thĨ thùc hiƯn hai b−íc mét Thư nghiƯm sè cho thấy phơng pháp PC TBTPIRKC hiệu phơng pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK) mà hiệu DOPRI5 DOP853 đà có tài liệu [28] Các kết luận án mới, có tính chất thời sự, góp phần làm phong phú thêm phơng pháp song song PC dạng Runge-Kutta phơng pháp có hiệu quả, đợc quan tâm nghiên cứu chiếm vị trí quan trọng lý thuyết giải số phơng trình vi phân Theo truyền thống phơng pháp PC Runge-Kutta thực tính toán bớc theo bớc Lần chơng đa kỹ thuật tính toán mới- hai bớc cho phép trình tính toán nhanh hơn, giá tính toán rẻ phơng pháp có hiệu Kỹ thuật áp dụng cho phơng pháp dạng Runge-Kutta khác Các phơng pháp đa ln ¸n cã thĨ ph¸t triĨn nÕu dïng chiến lợc thay đổi bớc lới kỹ thuật kẹp đôi Các phơng pháp mở rộng cho toán giá trị đầu hệ phơng trình vi phân có trễ Cuối cùng, việc thử nghiệm phơng pháp máy tính song song nghiên cøu cã ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiƠn Các công trình đ đợc công bố liên quan đến luËn ¸n [1] N H Cong and L N Xuan, Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas, International Journal of Computer Mathematics, Vol 80, No 8, August 2003, pp 1027-1037 [2] N H Cong and L N Xuan, Improved parallel-iterated pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs, Applied Numerical Mathematics, (to appear) [3] N H Cong and L N Xuan, Twostep-by-twostep PIRKC methods, Vietnam Journal of Mathematics, vol 35, N0 2, June 2007, pp 223-229 Tµi liƯu tham khảo I tàI liệu tiếng việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Công ( 2002), Các phơng pháp song song dạng RungeKutta-Nystrửm, NXB ĐHQG Hà Nội II tàI liệu tiếng Anh [3] A Bellen, R Vermiglio and M Zennaro (1990), “Parallel ODE-solvers with stepsize control”, J Comput Appl Math 31 , 277-293 [4] A Bellen and M Zennaro (1989), “Parallel algorithms for initial value problems for difference and differential equations”, J Comput Appl Math 25 , 341-350 [5] K Burrage (1993), “Efficient block predictor-corrector methods with a small number of corrections”, J Comput Appl Math 45 , 139-150 [6] K Burrage (1993), “Parallel methods for initial value problems”, Appl Numer Math 11, 5-25 [7] K Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford [8] K Burrage and H Suhartanto (1997), “Parallel iterated methods based on multistep Runge-Kutta methods of Radau type”, Adv in Comput Math 7, 37-57 [9] J C Butcher (1976), “On the implemention of implicit Runge-Kutta methods”, BIT 15 , 358-361 [10] J C Butcher (1987), The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Rung -Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York [11] J R Cash (1979), “Diagonally implicit Runge-Kutta formulae with error estimates”, J Inst Math Appl 24, 193-301 [12] J R Cash and C B Liem (1980), “On design of a variable order, variable step diagonally implicit Runge-Kutta algorithms”, J Inst Math Appl 26 , 87-91 [13] M T Chu and H Hamilton (1987), “Parallel solutions of ODEs by multi-block methods”, SIAM J Sci Statist Comput 3, 342-253 [14] N H Cong (1992), “Parallel direct collocation-based implicit RungeKutta- Nyström methods with high stability”, Acta Math Viet 17, 149161 [15] N H Cong (1994), “Parallel iteration of symmetric Runge-Kutta methods for nonstiff initial value problems”, J Comput Appl Math 51, 117-125 [16] N H Cong (1999), “Explicit pseudo two-step Runge-Kutta methods for parallel computers”, Int J Comput Math 73, 77-99 [17] N H Cong (1999), “Continuous variable stepsize explicit pseudo twostep RK methods”, J Comput Appl Math 101, 105-116 [18] N H Cong (2001), “A general family of pseudo two-step Runge-Kutta methods”, SEA Bull Math 25, 61-73 [19] N H Cong, H Podhaisky and R Weiner (1998), “Numerical experiments with some explicit pseudo two-step RK methods on a share memory computer”, Computers Math Appl 36, 107-116 [20] N H Cong and T Mitsui (1996), “Collocation-based two-step RungeKutta methods”, Japan J Indust Appl Math 13, 171-183 [21] N H Cong and T Mitsui (1997), “A class of explicit parallel two-step Runge-Kutta methods”, Japan J Indust Appl Math 14, 303-313 [22] N H Cong and T Mitsui (2003), “Parallel predictor-corrector iteration of pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs”, Japan J Indust Appl Math 20, 51- 64 [23] N H Cong and H T Vi (1995), “An improvement for explicit parallel Runge-Kutta methods”, Vietnam J Math 23, 241-252 [24] N H Cong and L N Xuan (2003), “Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas”, Int J Comput Math 80, 1027-1037 [25] A R Curtis (1975), “High-order explicit Runge-Kutta formulae, their uses and limitations”, J Inst Math Appl 16, 35-55 [26] A R Curtis (1964), Tables of Jacobian Elliptic Functions Whose Arguments are Rational Fractions of the Quarter Period, H.M.S.O., London [27] E Hairer (1978), “A Runge-Kutta method of order 10”, J Inst Math Appl 21, 47-59 [28] E Hairer, S P N∅rsett and G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 2nd edition, Springer- Verlag, Berlin [29] E Hairer and G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II stiff and Differential-Algebraic Problems, SpringerVerlag, Berlin [30] P J van der Houwen (1994), “Parallel iteration schemes for implicit ODEIVP methods”, CWI-reports, NM-N9401, Centre for Mathematics and Computer Science, Amsterdam [31] P J van der Houwen (1993), “Preconditioning in implicit initial value problem methods on parallel computers”, Advances in Computational Mathematics 1, 39- 60 [32] P J van der Houwen and N H Cong (1993), “Parallel block predictorcorrector methods of Runge-Kutta type”, Appl Numer Math 13, 109123 [33] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1990), “Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control”, J Comput Appl Math 29, 111-127 [34] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1991), “CWI Contributions to the Development of Parallel Runge-Kutta Methods”, CWI-Repots NM-R9106, Centre for Mathematics and Computer Science, Amsterdam, [35] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1992), “Block Runge-Kutta methods on parallel computers”, Z Angew Math Mech 72, 3-10 [36] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1991), “Iterated RungeKutta methods on parallel computers”, SIAM J Sci Statist Comput 12, 1000-1028 [37] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1993), “Analysis of parallel diagonal-implicit iteration of Runge-Kutta methods”, Appl Numer Math 11, 169 -188 [38] P J van der Houwen and B P Sommeijer (1994), “Butcher-Kuntzman methods for nonstiff problems on parallel computers”, Appl Numer Math 15, 357 - 374 [39] P J van der Houwen B P Sommeijer and W A van der Veen (1995), “Parallel iteration across the steps of high order Runge-Kutta methods for nonstiff initial value problems”, J Comput Appl Math 60, 309-329 [40] T E Hull, W H Enright, B M Fellen and A E Sedgwick (1972), “Comparing numerical methods for ordinary differential equations”, SIAM J Numer Anal 9, 603 - 637 [41] J D Lambert (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential System, John Wiley and Sons [42] S P Nørsett and H H Simonsen (1989), Aspects of parallel RungeKutta methods in Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Proceedings L’Aquilla 1987, Lecture Notes in Mathematics, 1386, (Edited by A Bellen, C W Gear and E Russo), Springer-Verlag, Berlin [43] L F Shampine and M K Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems, W H Freeman and Company, San Francisco ... v.v) Đa số hệ phơng trình vi phân mô tả hệ học, vật lý học, hoá học, sinh học v.v phức tạp, hy vọng giải mà thông thờng phải giải phơng pháp gần Các phơng pháp số phơng pháp có hiệu giải gần hệ phơng... phơng pháp tính toán hữu hiệu- phơng pháp song song máy tính hiệu cao đà trở thành nhu cầu cấp thiết giải tích số nói chung giải tích số phơng trình vi phân nói riêng Hầu hết phơng pháp song song... lĩnh vực giải số phơng trình vi phân Chính khuôn khổ luận án nghiên cứu xây dựng phơng pháp song song dạng Runge-Kutta để giải toán giá trị ban đầu (IVPs) không cơng hệ phơng trình vi phân dạng