Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN −−−Y−−− PHAN ĐÚC TUAN PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN DANG FOURIER VÀ ÚNG DUNG GIAI M®T SO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC Hà N®i-2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN −−−Y−−− PHAN ĐÚC TUAN PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN DANG FOURIER VÀ ÚNG DUNG GIAI M®T SO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 62 46 01 01 LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS NGUYEN MINH TUAN MUC LUC Lài cam đoan Lài cam ơn Danh mnc ký hi¾u Ma đau Chương Phép bien đoi Hartley 13 1.1 Phép bien đői Fourier 13 1.1.1 Phép bien đői Fourier Rd 13 1.1.2 Phép bien đői Fourier đoan huu han .16 1.2 Phép bien đői Hartley 20 1.2.1 Phép bien đői Hartley Rd 20 1.2.2 Phép bien đői Hartley đoan huu han .38 Chương Phép bien đoi tích phân dang Fourier đoi xÉng 49 2.1 Đ%nh nghĩa tính chat 49 2.2 Nguyên lý bat đ%nh Heisenberg 66 Chương Úng dnng giai m®t so phương trình vi phân tích phân 74 3.1 Giai phương trình vi phân 74 3.1.1 Giai phương trình vi phân thưịng 74 3.1.2 Giai phương trình đao hàm riêng 79 3.2 Giai phương trình tích phân 86 3.2.1 Phương trình tích phân dang ch¾p vói nhân Hermite86 3.2.2 Phương trình tích phân vói nhân Toeplitz - Hankel92 Ket lu¾n 103 Danh mnc cơng trình khoa HQC CUA tác gia liên quan đen lu¾n án 104 Tài li¾u tham khao .105 Phn lnc 110 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU d : So ngun dương cho trưóc N : t¾p hop so tn nhiên Z : t¾p hop so nguyên Z∗ : t¾p hop Z \ {0} α : đa chi so xác đ%nh boi α = (α1, , αd) ∈ Nd, ∂|α| ∂x ∂xαd α1 |α| = α1 + · · · + αd, α Dx := d xy : tích vơ hưóng cna x y, xác đ%nh boi xy = x1y1 + · · · + xdyd, x, y ∈ Rd, 2 α αd α1 |x| = x1 + · · · + xd, x = x1 xd S : không gian hàm f kha vi vô han Rd thoa mãn m sup sup (1 + |x| ) ) α x |(D f )(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2, |α|≤m x∈Rd L1(E) : không gian hàm f kha tích Lebesgue E, vói chuan ǁfǁ1 = ∫ |f (x)|dx E L2(E) : không gian hàm f bình phương kha tích Lebesgue E, vói chuan ǁfǁ2 =2 ∫ |f (x)|2 dx, (f, g) = ∫ f (x)g(x)dx E E d C0(R ) : không gian hàm f liên tuc R tri¾t tiêu tai vơ vói chuan ǁfǁ∞ = sup |f (x)| d x∈ d aR= l2(Z) : không gian dãy so {an}n∈Z thoa mãn Σ Σ |an| < +∞ vói chuan ǁaǁ = |an|2 n∈ Z n∈ Z c0(Z) : không gian dãy so b% ch¾n a = {an}n∈Z thoa mãn lim a = vói chuan ǁaǁ = sup |a | n n |n| →∞ n∈ Z Hα(x) : đa thúc Hermite xác đ%nh boi |α| |x| Hα(x) = (−1) e Dx e α −|x| Φα(x) : hàm Hermite đưoc xác đ%nh boi 2 α −|x| Φα(x) = (−1)|α|e2 |x| D e x cas(x) : hàm Hartley xác đ%nh boi cas x = cos x + sin x [x] : hàm phan nguyên cna x Me ĐAU L%ch sE van đe lí lEa cHQN đe tài Nhieu van đe khoa HQc cụng nghắ a en viắc giai mđt phng trỡnh vi phân thưịng, phương trình đao hàm riêng, ho¾c phương trình tớch phõn Chang han, bi toỏn tớnh đ lắch cna m®t dam vơ han dan đen giai m®t phương trình vi phân thưịng sau (xem [15]) d4u du EI +k = W (x), −∞ < x < ∞ (0.1) dx dx Khi nghiên cúu dao đ®ng cna dây, màng mong, sóng âm, sóng tao thny trieu, sóng đàn hoi, sóng đi¾n trưịng, dan đen giai phương trình truyen sóng sau (xem [10, 15, 47]) ∂ 2u ∂ 2u Trong HQc lưong tu, xung lưong cna hat ban đưoc bieu dien qua phương trình tích phân Fredholm sau (xem [1, 12]) ϕ(x) = ∫Ω K(x, y)ϕ(y)dy (0.3) M®t van đe đ¾t tìm lịi giai cho phương trình vi phân, tích phân van đe cna khoa hQc cơng ngh¾ đưa đen Có rat nhieu hưóng tiep c¾n dna nhieu lý thuyet tốn hQc khác vi¾c giai quyet van đe như: chi đieu ki¾n ton tai nhat nghi¾m, sn őn đ%nh nghi¾m; giai tìm nghi¾m đúng, nghi¾m gan ỳng, nghiắm suy rđng, v.v Trong so ú, viắc su dung bien đői tích phân đe giai phương trình ke địi rat sóm liên tuc phát trien cho đen t¾n ngày Có vai trị đ¾c bi¾t quan TRQNG lý thuyet phai ke đen trưóc het bien đői Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, tiep theo bien đői Laplace, bien đői Mellin, sau bien đői Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Cùng vói lý thuyet phép bien đői tích phân, lý thuyet ch¾p liên ket vói bien đői tích phân xuat hi¾n vào khoang đau the ki XX Tuy nhiên, cho đen trưóc nhung năm 50 cna the ki trưóc, khơng có nhieu ch¾p liên ket vói bien đői tích phân đưoc xây dnng Cho đen nhung ket qua cna Kakichev V.A (1967) Kakichev V.A., Thao N X (1998) công bo (xem [31, 33]) ve phương phỏp kien thiet xõy dnng chắp suy rđng thỡ mđt loat cỏc chắp suy rđng múi liờn ket vúi cỏc bien đői tích phân khác địi Nhung năm gan đây, có nhieu báo sách ve úng dung cna bien đői tích phân, ch¾p liên ket vói bien đői tích phân đưoc cơng bo (xem [9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]) Đáng ý bien đői Fourier rat huu dung vi¾c giai phương trình đao hàm riêng, phương trình tích phân nhung lý sau (xem [15]): trưóc tiên, phương trình đưoc thay the boi phương trình đai so đơn gian, cho phép tìm nghi¾m bien đői Fourier cna hàm Nghi¾m cna phương trình ban đau se thu đưoc thơng qua bien đői Fourier ngưoc Thú hai, bien đői Fourier nguon goc ban đau đe xác đ%nh nghi¾m ban, minh HQA cho ý tưong xây dnng hàm Green sau Thú ba, bien đői Fourier cna nghi¾m ket hop vúi %nh lý chắp cung cap mđt cỏch bieu dien nghi¾m tưịng minh cho tốn biên ban đau Các bien đői Fourier cosine, Fourier sine Rd, Fourier, Fourier ngưoc bien đői Hartley lan lưot đưoc đ%nh nghĩa không gian L1(Rd) sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]): f (y) cos(xy)dy, (T f )(x) := ∫ c d (2π)2 (Ts ∫f )(x) := d (2π)2 ∫(F f )(x) := d (2π)2 − ∫ (F1 f )(x) := d (2π)2 (H1 ∫f )(x) := (H2 f (y)e−ixydy, Rd f (y)eixydy, Rd d d )(x) := f (y) sin(xy)dy, Rd (2π)2 ∫f Rd (2π)2 (0.4) f (y) cas(xy)dy, Rd Rd f (y) cas( − xy)dy, đó, cas u := cos u + sin u Theo cơng thúc Euler bien đői Fourier, Fourier ngưoc Hartley đưoc bieu dien tuyen tính qua hai bien đői Fourier cosine Fourier sine Rd F = Tc − iTs, F −1 = Tc + iTs, H1 = Tc + Ts, H2 = Tc − Ts Đieu đưa đen cho ý tưong xét bien đői tích phân Ta,b = aTc + bTs, a, b ∈ C, bien đői tích phân dang Fourier Trong so này, bien đői Hartley có m®t so ưu điem nhat đ%nh như: Chúng đóng vai trị quan TRQNG xu lý tín hi¾u, xu lý anh, xu lý âm (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]) Khi tính tốn so vói hàm nh¾n giá tr% thnc bien đői Hartley nhanh bien đői Fourier bien i Hartley cna mđt hm nhắn giỏ tr% thnc l mđt hm nhắn giỏ tr% thnc, bien i Fourier cna mđt hm nhắn giỏ tr% thnc cú the l mđt hm nhắn giỏ tr% phỳc Theo Vớ du 1.2, vói hàm nh¾n giá tr% thnc √ 2π e−x neu x > f (x) = neu x < 0, 0, GQI anh Fourier cna f l mđt hm nhắn giỏ tr% phỳc , (Ff )(x) = 1+ ix anh Hartley cna f hàm nh¾n giá tr% thnc x −1 x+1 f )(x) = (H1 f )(x) = , x +1 x2 + 1(H2 So vói bien đői Fourier cosine, Fourier sine bien đői Hartley kha ngh%ch bien đői Fourier cosine, Fourier sine lai không kha ngh%ch Trong cuon sách ve phép bien đői tích phân cna (xem [39]), Olejniczak K J viet: "có le m®t nhung đóng góp giá tr% nhat cna Hartley m®t bien đői tích phân đoi xúng đưoc phát trien khoi đau tù nhung van đe truyen tai sóng đi¾n thoai M¾c dù bien đői b% lãng quên gan 40 năm, đưoc nghiên cúu lai th¾p ... phương trình vi phân tích phân 74 3.1 Giai phương trình vi phân 74 3.1.1 Giai phương trình vi phân thưịng 74 3.1.2 Giai phương trình đao hàm riêng 79 3.2 Giai phương trình tích phân. .. đen vi? ?c giai m®t phương trình vi phân thưịng, phương trình đao hàm riêng, ho¾c phương trình tích phân Chang han, toỏn tớnh đ lắch ỳng cna mđt dam vụ han dan đen giai m®t phương trình vi phân. .. KHOA HOC TU NHIÊN −−−Y−−− PHAN ĐÚC TUAN PHÉP BIEN ĐOI TÍCH PHÂN DANG FOURIER VÀ ÚNG DUNG GIAI M®T SO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 62 46 01 01 LU¾N ÁN TIEN SĨ
Ngày đăng: 23/12/2021, 18:37
Xem thêm:
