Trong quá trình dạy học môn Toán, chúng ta thường sử dụng tư duy thuận nghịch khi xem xét, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. Giáo viên có thể phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong các tình huống điển hình dạy học môn Toán. Mời các bạn cùng tham khảo.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol 58, pp 141-146 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn VẬN DỤNG TƯ DUY THUẬN NGHỊCH TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Thái Thị Hồng Lam Khoa Tốn, Trường Đại học Vinh Email: hlamdhv@gmail.com Tóm tắt Trong q trình dạy học mơn Tốn, thường sử dụng tư thuận nghịch xem xét, đặt vấn đề giải vấn đề Giáo viên phát triển tư thuận nghịch cho học sinh tình điển hình dạy học mơn Tốn Từ khóa: Tư thuận nghịch, mơn Tốn Đặt vấn đề Nhiệm vụ dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thơng khơng trang bị tri thức tốn học cho học sinh, làm công cụ để tiếp thu tri thức khoa học khác, mà quan trọng phát triển tư cho học sinh qua mơn Tốn Tuy nhiên, số giáo viên chưa quan tâm mức đến nhiệm vụ Những loại hình tư thường gặp mơn Tốn kể đến là: tư sáng tạo, tư lơgic, tư thuật tốn, tư hàm, tư thuận nghịch Tư thuận nghịch thể trước hết trình nhận thức người Trong q trình nhận thức trước hết người có nhận thức ngũ quan đem lại (nhìn, ngửi , nghe, nếm, cảm nhận), gọi nhận thức cảm tính Sau đó, nhờ có tư duy, người có nhận thức lí tính Những nhận thức lí tính trở lại giúp người ta nhận thức vật, tượng mối quan hệ tự nhiên xã hội tốt so với nhận thức có từ ngũ quan đem lại ban đầu Như vậy, tính thuận nghịch xuất hoạt động trí tuệ với nhận thức lí tính từ bên Điều hoàn toàn phù hợp với nguyên lí chủ nghĩa vật biện chứng: Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng từ tư trừu tượng lại trở thực tiễn Theo Nguyễn Bá Kim [2; 129 ]: “Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo địi hỏi học sinh phải có ý thức mục đích đặt tạo động lực bên thúc đẩy thân họ hoạt động để đạt mục đích Điều thực dạy học không đơn giản việc nêu rõ mục đích mà quan trọng cịn gợi động cơ” 141 Thái Thị Hồng Lam Goeffrey Petty [1; 38] cho rằng: “Cả giáo viên giàu kinh nghiệm lẫn giáo viên khơng có kinh nghiệm coi động điều kiện tiên để học có hiệu Thách thức lớn mà nhiều giáo viên phải đối mặt làm để học sinh muốn học Nếu bạn biết cách tạo động cho em, bạn tăng hiệu suất học tập em lên nhiều” 2.1 Nội dung nghiên cứu Vận dụng tư thuận nghịch chứng minh Một yêu cầu hoạt động chứng minh phải xác nhận hay bác bỏ phán đốn dựa vào tiền đề có Để trình bày phép chứng minh, ta dùng phép tổng hợp (phép suy xi), tức từ phân tích giả thiết, liên tưởng huy động định nghĩa, định lí, quy tắc học, bước suy diễn, tính tốn tìm kết Tức từ “cái biết” tìm “cái suy ra” để cuối đến “cái cần tìm cần chứng minh” Tuy nhiên, chứng minh, có ta gặp trường hợp thiếu định hướng đắn mối liên hệ giả thiết kết luận “quá xa”, phép biến đổi từ giả thiết đến kết luận phép biến đổi “ngược” (phức tạp), nên sau số phép biến đổi trình suy diễn, dẫn đến kết ngày phức tạp hơn, sau vòng luẩn quẩn trở đích ban đầu Muốn có định hướng đắn, phải biết cách chuyển sang hướng ngược lại, xuất phát từ kết luận, giả sử kết tồn tại, để tìm điều kiện dẫn nến gì? Cứ bước truy ngược gặp kiện biết, tức từ “cái cần tìm” bước tìm “cái biết”, làm cho giả thiết gần gũi với kết luận toán Phương pháp ngược chiều với phép tổng hợp, gọi phép phân tích (phép suy ngược) Đây phương pháp thường sử dụng, đặc biệt giải tốn hình học Như vậy, để tìm đường lối chứng minh, ta thường sử dụng chuỗi suy ngược (phép suy ngược lùi), thực chất tìm điều kiện đủ nguyên nhân kết luận Tuy nhiên, q trình suy ngược đó, có ta gặp trường hợp kết cuối chuỗi suy ngược không gần gũi với giả thiết phán đốn biết Khi đó, suy nghĩ học sinh mệnh đề cần chứng minh sai Giáo viên khơng nên để học sinh vội vàng kết luận vậy, mà nên hướng dẫn học sinh thay đổi phương pháp suy luận Một cách thường làm sử dụng phép suy ngược tiến, kết luận, giả sử kết luận đúng, suy diễn đến kết Nếu kết sai khẳng định phán đoán sai, trường hợp phép suy ngược tiến có tác dụng bác bỏ Nếu kết đúng, có tác dụng giúp học sinh tìm đường lối chứng minh cần thay đổi kĩ thuật chứng minh Đối với trường hợp điều kiện kết luận mệnh đề cách xa, phức tạp, việc bắc cầu từ phía đơi khơng cho ta hướng chứng minh Khi nên sử dụng đồng thời phép tổng hợp phép phân tích xen kẽ, mặt quan sát kết luận để 142 Vận dụng tư thuận nghịch dạy học mơn Tốn định hướng phép biến đổi cho giả thiết, lại vào giả thiết có để định hướng phép biến đổi kết luận Việc biến đổi đồng thời từ hai phía giúp ta chọn phép biến đổi đơn giản, thuận lợi hơn, giống đào cống ngầm, thi cơng từ hai đầu lại dễ thơng Ví dụ Chứng minh trung tuyến AA1 , BB1 tam giác ABC vng góc với cot C = 2(cot A + cot B) (2.1) Nhận xét: Ta nhận thấy điều kiện trung tuyến vng góc với cịn xa điều kiện (2.1) Vì thế, trước hết ta biến đổi kết luận (2.1) theo hướng tương đương với hệ thức độ dài, với mục đích để làm gần gũi với điều kiện hình học AA1 ⊥BB1 Theo hướng ta chuyển hàm cot qua hàm cos sin, vận dụng định lí cơsin sin tam giác để chuyển sang yếu tố độ dài Từ ta có (2.1) ⇔ a2 + b2 = 5c2 (2.2) Nếu ta tiếp tục biến đổi (2.2) tương đương với điều kiện AA1 ⊥BB1 tồn phép biến đổi phức tạp Do đó, ta dừng q trình biến đổi (2.2) mà cố gắng biến đổi theo chiều ngược lại, tức biến đổi từ AA1 ⊥BB1 tương đương với (2.2) Bằng cách sử dụng định lí Pitago cho tam giác vng AGB công thức đường trung tuyến cho trung tuyến AA1 , BB1 ta hệ thức (2.2) Bài toán giải Có nhiều tốn, đơi dùng phép suy ngược khơng có kết quả, lúc mặt trái kết luận Bởi vì, làm ngược lại cho đối tượng có thêm chức năng, tính chất, khả Một phương pháp thường dùng trường hợp chứng minh phản chứng Chứng minh phản chứng cách nghĩ theo kiểu thuận nghịch: “Nếu ngược lại sao?” Chứng minh phản chứng thường gặp tốn học Ta kể số ví dụ chứng minh tính chất Hình học Chẳng hạn: Ví dụ Nếu có đường thẳng a song song với mặt phẳng (P ) có mặt phẳng (Q) qua a cắt (P ) theo giao tuyến b b song song với a Phản chứng: Giả sử ngược lại b không song song với a Thế b cắt a điểm K, hai đường thẳng thuộc mặt phẳng (Q) Suy a cắt (P ) điểm K Trái giả thiết Vậy b phải song song với a Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh điểm M, N, P thuộc cạnh BC, CA, AB Chứng minh √ có ba tam giác AKN, BKM, CMN có diện tích nhỏ 3/8 Giả sử ngược lại: Cả ba tam giác AKN, BKM, CMN có diện tích khơng nhỏ √ Đặt AK = x, BM = y, CN = z, suy BK = − x, CM = − y, AN = − z 143 Thái Thị Hồng Lam Các √ tam giác √AKN, BKM, √CMN 3 x(1 − z) , y(1 − x) , z(1 − y) 2 có diện tích √ Tích ba diện tích T = xyz(1 − z)(1 − x)(1 − y)3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số: √ 1 3 x(1 − x) ≤ , y(1 − y) ≤ , z(1 − z) ≤ , nên T ≤ 4 272 Nhưng theo giả thiết phản chứng: “Cả ba tam giác AKN, BKM, CMN√có diện √ √ 3 3 ” nên tích chúng: T ≥ , mâu thuẫn với T ≤ Vậy tích khơng nhỏ 272 272 điều giả sử ngược lại sai Ta có điều phải chứng minh 2.2 Vận dụng tư phản hồi (feetback thingking) Tư phản hồi dạng tư thuận nghịch Trong dạy học, có chiều “thơng báo” tri thức từ thầy tới trị cách dạy học khơng phát huy tính tích cực học tập học sinh Nếu có thơng tin theo chiều ngược từ trị tới thầy, thầy trị hiểu hơn, người thầy bổ sung kiến thức kịp thời, giải chỗ mập mờ làm rõ khó khăn, làm cho hiệu dạy học tốt Một hình thức tổ chức lớp học nâng cao hiệu dạy học lớp học “tư duy” (thoughtful classroom/ thinking classroom), diễn phối hợp nhịp nhàng phương pháp dạy học giáo viên hoạt động học tập tương ứng học sinh để giải vấn đề cách hiệu Nói cách khác, lớp học “tư duy”, tư học sinh vận dụng khai thác cách tối đa, giáo viên học sinh tích cực hoạt động Giáo viên tổ chức lớp học thông qua hoạt động dạy học để tạo tình học tập có vấn đề khéo léo lơi học sinh vào tình đó, cịn học sinh chủ động, tích cực suy nghĩ, tìm kiếm phương án giải vấn đề Qua đó, học sinh khơng khám phá tri thức mà làm chủ phương pháp học tập, phương pháp giải vấn đề, cách thức tư duy, tư học sinh trở nên nhạy bén linh hoạt Tuy nhiên, để tạo lớp học tư phụ thuộc nhiều yếu tố, GV với vai trò người tổ chức, để điều khiển hoạt động nhận thức học sinh cách hiệu quả, cần phải dựa vào phản hồi học sinh thông qua hành vi tương ứng học sinh sau tác động kích thích từ giáo viên, nghĩa có liên hệ ngược Việc học sinh truyền thông tin trực tiếp với giáo viên, việc giáo viên kiểm tra công việc học sinh, hai ví dụ “thơng tin phản hồi” giáo viên Khơng có thơng tin phản hồi đó, giáo viên khơng thể biết liệu học sinh có hiểu có học hay khơng Đây hình thức tổ chức dạy học theo hướng tiếp cận trí tuệ tâm lí học - Tiếp cận hành vi, với đại biểu Skinnơ, E.Tolmen, Và cách thức tổ chức lớp học phù hợp theo quan điểm dạy học lí thuyết thơng tin Truyền thơng học tập đòi hỏi dây chuyền phải vận hành cách hoàn 144 Vận dụng tư thuận nghịch dạy học mơn Tốn hảo [1; 31]: điều tơi muốn nêu → điều tơi nói → điều em nghe → điều em hiểu Nhiều trình dạy học, bị sai mũi tên dây chuyền (có thể từ phía giáo viên học sinh) Khi thơng điệp chuyển thông điệp nhận được, dạy lại học Vì vậy, thơng tin phản hồi có ý nghĩa quan trọng dạy học Học trình tinh thần ẩn mà giáo viên khó kiểm sốt Người học hình thành hiểu biết cá nhân nội dung học, thu nhận khả Q trình địi hỏi phải có việc hiệu chỉnh quan niệm sai bổ sung hiểu biết, nhờ ngày nhích gần tới chỗ đạt kết học tập lí tưởng Tuy nhiên, có giáo viên hiệu chỉnh cơng việc học sinh chưa đủ, mà học sinh phải tự hiệu chỉnh hiểu Vì vậy, dạy học phải trình hai chiều đạt hiệu cao Ví dụ Khi học định lí chiều biến thiên hàm số: “Nếu f ′ (x) > với x thuộc (a; b) hàm số y = f (x) đồng biến (a; b)” Giáo viên yêu cầu học sinh giải toán: “Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + (m + 2)x + đồng biến R” Lời giải học sinh: y đồng biến R ⇔ y > 0, ∀x ∈ R ⇔ x2 − 2mx + m + > 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ x < ⇔ m2 − m − < ⇔ −1 < m < Thông tin phản hồi mà giáo viên nhận từ học sinh lời giải toán Từ lời giải này, giáo viên phải hiệu chỉnh tri thức thu nhận học sinh (cách hiểu định lí trên), cách sau: - Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét y ′ > với x ∈ (a; b) điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ để y đồng biến (a; b) Có nhiều học sinh nghĩ điều kiện cần đủ để hàm số y = f (x) đồng biến (a; b) Từ đó, học sinh sử dụng định lí để xác định tham số cho hàm số đồng biến (a; b), dẫn tới thiếu giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu tốn Trong trường hợp này, giáo viên xuất phát từ cấu trúc định lí để kiểm tra hiệu chỉnh cách hiểu học sinh Cấu trúc thơng thường định lí có dạng: A ⇒ B Trong cấu trúc A giả thiết định lí cho biết phạm vi sử dụng định lí Người ta cịn nói A điều kiện đủ để có B B điều kiện cần để có A Tuy nhiên, nhiều học sinh nhầm giả thiết A định lí điều kiện cần để có B nên mắc sai lầm Giáo viên hỏi học sinh để tìm hiểu nguyên nhân việc hiểu sai, đưa nguyên nhân sai lầm học sinh chịu ảnh hưởng ngôn ngữ tự nhiên Bởi vì, ngơn ngữ tự nhiên, loại câu nhân “Nếu A B”, “Vì A nên B”, hiểu: A điều kiện đủ B đồng thời điều kiện cần B Chẳng hạn, với câu nói thường ngày “Nếu thi đậu vào trường chuyên mẹ thưởng xe đạp điện”, hiểu là: đỗ thưởng, khơng đỗ thơi, thưởng tức đỗ 145 Thái Thị Hồng Lam Giáo viên cần nói rõ cho học sinh mệnh đề tốn học có cấu trúc: Nếu , ta khơng phép hiểu Để làm rõ, giáo viên đưa số ví dụ √ hàm số y = x3 hàm đồng biến R, hàm số y = x đồng biến [0; +∞) khơng thỏa mãn giả thiết định lí vừa học Khi đó, giáo viên phải khẳng định cho học sinh y ′ > với x ∈ (a; b) điều kiện đủ để y đồng biến (a; b) - Tiếp đó, để giúp học sinh hiểu vững định lí, từ họ có khả vận dụng định lí vào giải tốn, giáo viên cần quan tâm đặt vấn đề xem xét chiều ngược lại định lí, cụ thể là: Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) K đạo hàm thiết phải dương (âm) hay khơng? Với yêu cầu học sinh phải xem xét, đánh giá, lựa chọn hai khả Nếu học sinh khó khăn, chưa khẳng định được, giáo viên gợi ý xét hàm số y = x3 Từ đó, đến định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm K Nếu f ′ (x) ≥ (f ′ (x) ≤ 0), ∀x ∈ K f ′ (x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Với định lí mở rộng này, ta có lời giải sau: y đồng biến R ⇔ y ′ ≥ 0∀x ∈ R ⇔ x2 − 2mx + m + ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ x ≤ ⇔ m2 − m − ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ Để hình thức dạy học đạt hiệu quả, địi hỏi học sinh phải có khả tiếp nhận (thu nhận) thông tin, xác định rõ ràng nhiệm vụ cần giải quyết; biết sàng lọc, chế biến, biến đổi thông tin; biết diễn đạt kết thu nhận ngôn ngữ (nói viết) Đồng thời giáo viên giao nhiệm vụ học tập cho học sinh phải phải xác vừa sức, tạo động niềm tin học tập cho học sinh Kết luận Trong q trình dạy học mơn Tốn, thường sử dụng tư thuận nghịch xem xét, đặt vấn đề giải vấn đề Giáo viên phát triển tư thuận nghịch cho học sinh tình điển hình dạy học mơn Tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Goeffrey Petty, 2002 Dạy học ngày Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Bá Kim, 2004 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Bùi Văn Nghị, 2009 Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội ABSTRACT Using reversible thinking in teaching mathematics When teaching mathematics we often use reversible thinking when reviewing, questioning and solving problems Teachers can develop reversible thinking for students that will apply to typical of mathematics teaching situations 146 ... 2.2 Vận dụng tư phản hồi (feetback thingking) Tư phản hồi dạng tư thuận nghịch Trong dạy học, có chiều “thơng báo” tri thức từ thầy tới trò cách dạy học khơng phát huy tính tích cực học tập học. .. dạy học tốt Một hình thức tổ chức lớp học nâng cao hiệu dạy học lớp học ? ?tư duy? ?? (thoughtful classroom/ thinking classroom), diễn phối hợp nhịp nhàng phương pháp dạy học giáo viên hoạt động học. .. học tập tư? ?ng ứng học sinh để giải vấn đề cách hiệu Nói cách khác, lớp học ? ?tư duy? ??, tư học sinh vận dụng khai thác cách tối đa, giáo viên học sinh tích cực hoạt động Giáo viên tổ chức lớp học thông