Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Lecture 9 – Trần Quang Việt

Bài giảng “Tín hiệu và hệ thống – Chương 5: Lấy mẫu (lecture 9)” cung cấp cho người họ các kiến thức: Lý thuyết lấy mẫu, biến đổi Fourier rời rạc (DFT), biến đổi Fourier nhanh (FFT). Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling) Lecture-9 5.1 Lý thuyết lấy mẫu 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 5.3 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1 Lý thuyết lấy mẫu 5.1.1 Lấy mẫu miền thời gian 5.1.2 Lấy mẫu miền tần số Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1.1 Lấy mẫu miền thời gian  Có vơ số tín hiệu khơi phục từ mẫu biết trước  Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn khơi phục lại từ mẫu biết trước lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1.1 Lấy mẫu miền thời gian a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu b) Lấy mẫu giữ mẫu bậc khơng c) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu  Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn B Hz  Tín hiệu f(t) lấy mẫu cách nhân với chuỗi xung đơn vị f (t)=f(t)p(t) δ(t nTs ) f (t)=f(t) f(nTs )δ(t nTs ) f (t) n n f0(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu  Phổ tín hiệu lấy mẫu f(t) F(ω) p(t) P(ω) 2π Ts n f (t) F(ω)= [F(ω) P(ω)] 2π δ(ω nωs ); Fs =1/Ts , ωs =2πFs Ts F(ω nωs ) n Signals & Systems – FEEE, HCMUT a) Lấy mẫu chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu  Khơi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon Low-pass Filter ωs 4πB Fs 2B; Fs =2B Nyquist rate Tín hiệu có phổ giới hạn B Hz khơi phục xác từ mẫu có lấy mẫu đặn với tốc độ Fs 2B mẫu/s Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ Fs=2B Hz Signals & Systems – FEEE, HCMUT b) Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không  Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không Signals & Systems – FEEE, HCMUT b) Lấy mẫu với giữ mẫu bậc khơng  Bộ khơi phục tín hiệu cho giữ mẫu bậc không Hr (ω)=Ts H1 (ω)H2 (ω) Không thực được!!! Signals & Systems – FEEE, HCMUT b) Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không  Khôi phục gần cho giữ mẫu bậc Low-pass Filter Signals & Systems – FEEE, HCMUT d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế  Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn Ideal Filter Practical Filter Signals & Systems – FEEE, HCMUT d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế  Băng tần tín hiệu vơ hạn – tượng alias Giải pháp: Anti-aliasing Filter Signals & Systems – FEEE, HCMUT d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1.2 Lấy mẫu miền tần số  Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn phổ hình vẽ  Lấy mẫu F( ) thang tần số với chu kỳ lấy mẫu δ(ω nω0 ) FT0 (ω)=F(ω) n= F(nω0 )δ(ω nω0 ) n= δ(t nT0 );T0 =2π/ω0 f T0 (t)=T0f(t) f T0 (t)=T0 f(t nT0 ) n= n= Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1.2 Lấy mẫu miền tần số  Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc lấy mẫu phổ tín hiệu T0 τ ω0 2π/τ  Lấy mẫu phổ tín hiệu lấy mẫu Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT  Mục đích: thiết lập mối quan hệ mẫu miền thời gian với mẫu miền tần số f(t)= 2π F(ω)e jωt dω F(ω)= f(t)e jωt dt N0 mẫu N0 mẫu N0 =T0 / Ts ωs / ω0 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT  Biến đổi DFT thuận:  Do f(t) tồn từ đến T0 (tương ứng với N0 mẫu): N0 _ f (t)= f(kTs )δ(t kTs ) F(ω)= k=0 F(ω)  Đặt f(kTs )e jωkTs k=0  Mặt khác đoạn - s/2 đến _ N0 _ F(ω) Ts s/2 (tương ứng với N0 mẫu): _ F(rω0 )=Ts F(rω0 )=Ts N0 f(kTs )e jrω0kTs k=0 /N0; Fr=F(r 0): mẫu thứ r F( ); fk=Tsf(kTs): mẫu thứ k f(t); ta có: 0= 0Ts=2 N0 Fr = f k e jrΩ0k (Biến đổi DFT thuận) k=0 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT  Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với e N0 Fr e jm 0r = N0 N0 r=0 r=0 N0 N0 Fr e jm 0r = fk N0 N0 Fr e r f k e jrΩ0k e jm 0r N0 k=0 = r=0 sau lấy tổng: k=0 r=0 jm jmΩ r e j(m k)Ω0r r=0 Fr e jm r=0 r = 0; k N 0f k m N0f m ;k N 1 fk = Fr e jrΩ0k N r=0 (Biến đổi DFT ngược) Signals & Systems – FEEE, HCMUT m 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Đưa Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải lũy thừa Giảm khối lượng tính tốn: N 02 N0 fk N log N N0 1 Fr e jr 0k Fr N0 r f k e jr 0k k Nhân: N0 Cộng: N0-1 Tổng cộng cho hệ số: N0N0 phép nhân N0(N0-1) phép cộng  Đặt: WN e j / N0 e j  Các biểu thức DFT viết lại: N0 Fr k f kWNkr0 N0 fk FrWN 0kr N0 r Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT  Chia fk thành chuỗi: chẵn lẻ theo số thứ tự: f , f , f , , f N f1, f , f5 , , f N sequence g k sequence h k Biểu thức DFT viết lại: N0 Fr f 2kWN20kr k N0 f 2k 1WN(2k 1) r k WN20 Ta có: WN0 N0 Fr f 2kW Nkr0 WNr N0 2 k f 2k 1W Nkr0 k Signals & Systems – FEEE, HCMUT Gr WNr H r 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT N0 Fr f 2kW Nkr0 WNr N0 2 k f 2k 1W Nkr0 Fr Gr WNr H r k (0 r N0 1)  Do Gr Hr DFT N0/2 điểm nên có tính tuần hoàn: Gr N0 Gr & H r N0 H r Mặt khác: W r N Fr Fr Fr N0 Gr N0 Gr N0 2 N0 WN WNr e j N0 WNr H r ; WNr 0 r N0 Hr N0 Gr WNr H r ; r WNr Fr N0 WNr N0 N0  Áp dụng tính DFT N0=8 điểm: Signals & Systems – FEEE, HCMUT Gr WNr H r 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT Fr Fr Gr WNr H r ; r N0 N0 Gr WNr H r ; r N0  Số phép toán nhân cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT:  Số phép tốn nhân: N0 log N  Số phép toán cộng: N log2 N Signals & Systems – FEEE, HCMUT ... – FEEE, HCMUT d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế  Băng tần tín hiệu vơ hạn – tượng alias Giải pháp: Anti-aliasing Filter Signals & Systems – FEEE, HCMUT d) Khó khăn việc khơi phục tín. .. Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1.2 Lấy mẫu miền tần số  Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc lấy mẫu phổ tín hiệu T0 τ ω0 2π/τ  Lấy mẫu phổ tín hiệu lấy mẫu Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2... Systems – FEEE, HCMUT b) Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không  Khôi phục gần cho giữ mẫu bậc Low-pass Filter Signals & Systems – FEEE, HCMUT d) Khó khăn việc khơi phục tín hiệu thực tế  Giả sử tín hiệu