Các modun đối đồng điều địa phương

Mục tiêu chính của bài báo này là nghiên cứu một số tính chất của các modun đối đồng điều địa phương. Trong đó, ta đặc biệt chú ý đến tính triệt tiêu của các đối đồng điều địa phương cấp cao trong một số trường hợp cụ thể.

Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH CÁC MODUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Võ Ngọc Thiệu (SV năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Trần Tuấn Nam Lời nói đầu Mục tiêu báo nghiên cứu số tính chất modun đối đồng điều địa phương Trong đó, ta đặc biệt ý đến tính triệt tiêu đối đồng điều địa phương cấp cao số trường hợp cụ thể Nội dung viết gồm phần Trong phần 1, ta định nghĩa hàm tử đối đồng điều địa phương, tìm cách liên hệ chúng với hàm tử quen thuộc khác Đầu tiên, ta định nghĩa hàm tử Ixoắn, xem hàm tử đối đồng điều địa phương hàm tử dẫn xuất hàm tử I-xoắn vừa định nghĩa Sau đó, ta sử dụng công cụ mạnh đại số đồng điều, dãy nối hàm tử, để tìm cách liên hệ hàm tử với hàm tử quen thuộc đại số giao hoán đại số đồng điều Cụ thể, ta có đẳng cấu sau R-modun H Ii ( M ) ≅ lim Ext Ri R n ; M n∈ * I ) ( Trong phần 2, ta tính triệt tiêu hàm tử đối đồng điều địa phương cấp cao idean I hữu hạn sinh Để làm điều này, ta định nghĩa hàm tử Ibiến đổi, xây dựng dãy Mayer-Vietoris R-modun Sau đó, dựa vào tính chất hàm tử I-biến đổi, dãy Mayer-Vietoris, ta đối đồng điều địa phương cấp lớn n triệt tiêu idean I sinh n phần tử Định lý định lý quan trọng viết Các hàm tử đối đồng điều địa phương Mục đích phần định nghĩa hàm tử đối đồng điều địa phương, hàm tử dẫn xuất hàm tử xoắn Sau đó, ta sử dụng dãy nối hàm tử để đưa tính chất mạnh cho hàm tử đối đồng điều địa phương Trong đó, ta để ý đến đẳng cấu hai R-modun ( H Ii ( M ) ≅ lim Ext Ri R n∈ * In ;M ) Hay mạnh hơn, có tương đương tự nhiên hai hàm tử: ( H Ii ( • ) ≅ lim Ext Ri R n∈ * In ;• ) Bài 2.1 Hàm tử xoắn - Cho R vành Noether không suy biến, I iđêan R, M Rmôđun Γ I ( M ) := ∪ ( :M I n ) n ≥1 210 Năm học 2010 – 2011 - Cho f : M ⎯⎯ → N R-đồng cấu f ( Γ I ( M ) ) ⊂ Γ I ( N ) Γ I ( f ) : Γ I ( M ) ⎯⎯ → ΓI ( N ) Γ I ( f )( m ) := f ( m ) m - Như vậy, ΓI hàm tử R-tuyến tính, hiệp biến từ phạm trù C(R) Rmơđun vào Ta cịn Γ I hàm tử khớp trái Ta gọi ΓI hàm tử Ixoắn Bài 2.2 Các modun đối đồng điều địa phương 2.2.1 Định nghĩa (Các hàm tử đối đồng điều địa phương) Với i ∈ , hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử ΓI , kí hiệu H Ii , gọi hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với iđêan I Với R-môđun M, ta gọi H Ii ( M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M ứng với iđêan I Ta có số tính chất sau mà suy dễ dàng từ định nghĩa 2.2.3 Mệnh đề: Cho J idean khác R mà I = J Khi đó, H Ii = H Ji 2.2.4 Mệnh đề: Nếu M R-modun nội xạ H Ii ( M ) = 2.2.5 Mệnh đề: Với nhóm Abel G (xem nguyên a ∀i ≥ -modun) với số Bài 2.3 Dãy nối hàm tử 2.3.1 Định nghĩa Cho R’ vành giao hoán Một dãy (T i )i∈ hàm tử hiệp biến từ C(R) vào C(R’) gọi dãy nối (tương ứng, nối mạnh) điều kiện sau thỏa mãn đồng thời: f g → L ⎯⎯ → M ⎯⎯ → N ⎯⎯ → R-modun (i) Với dãy khớp ngắn ⎯⎯ i → T i +1 ( L ) ∀i ∈ làm R-đồng cấu, tồn R’-đồng cấu nối cảm sinh T ( N ) ⎯⎯ cho dãy R’-đồng cấu sau nửa khớp (tương ứng, khớp): ( ) ( ) ⎯⎯ → T ( L ) ⎯⎯⎯ → T ( M ) ⎯⎯⎯ → T ( N ) ⎯⎯ → T ( L ) ⎯⎯ → T0 f T0 g ( ) ( ) → T i ( L ) ⎯⎯⎯ → T i ( M ) ⎯⎯⎯ → T i ( N ) ⎯⎯ → T i +1 ( L ) ⎯⎯ → ⎯⎯ Ti f Ti g (ii) Với biểu đồ giao hoán R-modun R-đồng cấu 0 ⎯⎯ → f g L ⎯⎯ → M ⎯⎯ → ↓ ↓ f' g' ⎯⎯ → L ' ⎯⎯→ M ' ⎯⎯ → N ⎯⎯ → ↓ N ' ⎯⎯ → 211 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH với dòng khớp, tồn phép biến đổi dây chuyền cảm sinh hai dãy nửa khớp (tương ứng khớp) sau: ⎯⎯ → ⎯⎯ → T ( L ') ⎯⎯ → ( ) ⎯⎯⎯ → T ( L) ↓ T0 f T (M ) ↓ T0 (N ) ↓ T0 g ( ) ⎯⎯⎯ → T ( M ') ( ) ⎯⎯⎯ → T ( N ') ( ) ⎯⎯⎯ → ( ) ⎯⎯⎯ → T0 f ' T i ( L) ( ) ⎯⎯⎯ → Ti f T i (M ) ↓ T0 g' Ti (N ) Ti g ↓ ( ) ⎯⎯⎯ → T i ( M ') ⎯⎯ → T i ( L ') T i f' T1 ( L) ↓ ⎯⎯ → ⎯⎯ → T ( L ') ⎯⎯ → T i +1 ( L ) ⎯⎯ → ⎯⎯ → ⎯⎯ → ↓ ( ) ⎯⎯⎯ → T i ( N ') i T g' ↓ ⎯⎯ → T i +1 ( L ' ) ⎯⎯ → 2.3.2 Nhận xét Rõ ràng dãy ( ℜiT )i∈ dãy nối mạnh Cụ thể, ta có hàm tử HomR (i ∈ hàm tử mở rộng ExtRi *) lập thành dãy nối mạnh 2.3.3 Định nghĩa Cho R’ vành giao hoán Cho (T i )i∈ (U i )i∈ hai dãy nối hàm tử hiệp biến từ C(R) vào C(R’) → (U i ) dãy phép biến đổi tự Ta gọi đồng cấu Ψ : (T i )i∈ ⎯⎯ i∈ nhiên ψ i : T i ⎯⎯ →U i hàm tử từ C(R) vào C(R’) mà chúng thỏa mãn tính chất sau: f g → L ⎯⎯ → M ⎯⎯ → N ⎯⎯ → R-modun RVới dãy khớp ngắn ⎯⎯ đồng cấu, tồn biểu đồ giao hoán cảm sinh Ti (N ) T i +1 ( L ) ⎯⎯ → ↓ U i ( N ') ↓ ⎯⎯ → U i +1 ( L ') → (U i ) gọi đẳng cấu (giữa dãy nối) Đồng cấu Ψ : (T i )i∈ ⎯⎯ i∈ phép biến đổi tự nhiên ψ i : T i ⎯⎯ →U i phép tương đương tự nhiên Bằng số kỹ thuật, rằng, tồn đẳng cấu dãy nối mạnh ( H ( i)) i I i∈ ( ( ≅ lim ExtRi R n∈ * In ;i )) i∈ (1) Dãy mayer-Vietoris Trong phần này, ta chứng minh đối đồng điều địa phương cấp lớn n bị triệt tiêu idean I sinh n phần tử Để làm vậy, ta cần đến dãy Mayer212 Năm học 2010 – 2011 Vietoris 3.3 Bài 3.1 3.2 bước chuẩn bị cho kết quan trọng 3.3 Bài 3.1 Hàm tử I-biến đổi 3.1.1 Định nghĩa Ta định nghĩa hàm tử DI ( i ) = lim HomR ( I n ;i ) gọi hàm tử I-biến đổi n∈ * Chú ý: - Rõ ràng DI hàm tử hiệp biến R-tuyến tính khớp phải ≅ → ( i )a Trong đó, ( i )a - Có đẳng cấu tự nhiên hàm tử: DaR ( i ) ⎯⎯ hàm tử địa phương hóa với tập nhân đóng S = {1; a ; a ; ; a n ; } Trong này, ta ý đến kết quan trọng sau tính triệt tiêu đối đồng điều địa phương I idean 3.1.2 Định lý: ℜ i DaR = i * Từ suy H aR =0 ∀i ∈ ∀i > Bài 3.2 So sánh hệ thống idean 3.2.1 Định nghĩa Cho ( Λ; ≤ ) tập thứ tự thuận khác rỗng cho B = ( Iα )α∈Λ học idean R đánh số Λ Khi đó, Ta gọi B họ ngược idean R với (α ; β ) ∈ Λ × Λ mà α ≥ β Iα ⊂ I β Ta gọi B hệ thống ngược idean họ ngược idean thỏa mãn thêm điều kiện với α ; β ∈Λ , tồn δ ∈ Λ để I δ ⊂ Iα I β Bằng cách khảo sát số tính chất hệ thống idean, ta thu hai đẳng cấu tự nhiên sau hai dãy nối mạnh: ( lim Ext ( R I + J ;i)) ⎛ lim Ext R ;i ) ⎞⎟ ⎜ ( ∩ I J ⎝ ⎠ n∈ * n∈ * i R n n R n n i∈ i∈ ≅ ⎯⎯ → ( H Ii + J ( i ) ) i∈ ≅ ⎯⎯ → ( H Ii ∩ J ( i ) ) i∈ Bài 3.3 Dãy mayer-vietoris 3.2.3 Định lý – Định nghĩa: Với R-modun M, tồn dãy khớp sau, gọi dãy Mayer- Vietoris M ứng với I J ⎯⎯ → H I0+ J ( M ) ⎯⎯ → H I0 ( M ) ⊕ H J0 ( M ) ⎯⎯ → H I0∩ J ( M ) ⎯⎯ → H I1+ J ( M ) ⎯⎯ → → H Ii + J ( M ) ⎯⎯ → H Ii ( M ) ⊕ H Ji ( M ) ⎯⎯ → H Ii ∩ J ( M ) ⎯⎯ → H Ii ++1J ( M ) ⎯⎯ → ⎯⎯ 213 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH cho với R-đồng cấu f : M ⎯⎯ → N , ta có phép biến đổi dây chuyền cảm sinh hai dãy khớp ⎯⎯ → H I0+ J ( M ) ⎯⎯ → H I0 ( M ) ⊕ H J0 ( M ) ⎯⎯ → H I0∩ J ( M ) ⎯⎯ → H I1+ J ( M ) ⎯⎯ → ↓ ⎯⎯ → H I +J (N) ⎯⎯ → ↓ H ( N ) ⊕ H J0 ( N ) I ↓ ⎯⎯ → H I ∩J (N) ↓ ⎯⎯ → H I +J (N) ⎯⎯ → ⎯⎯ → H Ii + J ( M ) ⎯⎯ → H Ii ( M ) ⊕ H Ji ( M ) ⎯⎯ → H Ii ∩ J ( M ) ⎯⎯ → H Ii ++1J ( M ) ⎯⎯ → ↓ ↓ ↓ ↓ → H Ii + J ( N ) ⎯⎯ ⎯⎯ → H Ii ( N ) ⊕ H Ji ( N ) ⎯⎯ → H Ii ∩ J ( N ) ⎯⎯ → H Ii ++1J ( N ) ⎯⎯ → Một áp dụng quan trọng định lý để chứng minh định lý sau: 3.2.4 Định lý: Giả sử I sinh n phần tử Khi đó, với R-modun M, ta có H Ii ( M ) = ∀i > n TÀI LIỆU THAM KHẢO M.F Atiyah, I.G Macdonald (1965), Introduction to CommutativeAlgebra, Addison – Wesley Publishing Company M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge Studies in Advanced Mathematics60, Cambridge University Press Hideyuki Matsumura (2002), Commutative ring theory, Cambridge University Press D G Northcott (1973), A first course of homological algebra, Cambridge University Press J J Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Academic Press, Orlando 214 ... 2.2 Các modun đối đồng điều địa phương 2.2.1 Định nghĩa (Các hàm tử đối đồng điều địa phương) Với i ∈ , hàm tử dẫn xuất phải thứ i hàm tử ΓI , kí hiệu H Ii , gọi hàm tử đối đồng điều địa phương. .. nhiên hàm tử: DaR ( i ) ⎯⎯ hàm tử địa phương hóa với tập nhân đóng S = {1; a ; a ; ; a n ; } Trong này, ta ý đến kết quan trọng sau tính triệt tiêu đối đồng điều địa phương I idean 3.1.2 Định lý:... môđun đối đồng điều địa phương thứ i M ứng với iđêan I Ta có số tính chất sau mà suy dễ dàng từ định nghĩa 2.2.3 Mệnh đề: Cho J idean khác R mà I = J Khi đó, H Ii = H Ji 2.2.4 Mệnh đề: Nếu M R-modun