Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết trình bày những nội dung sau: Định nghĩa đường trắc địa, điều kiện cần và đủ để một đường cong là đường trắc địa, tính chất đặc trưng của đường trắc địa, phương trình đường trắc địa, điều kiện tồn tại đường trắc địa trên mặt, độ cong trắc địa. Mời các bạn cùng tham khảo.
Năm học 2010 – 2011 LÝ THUYẾT ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA Nguyễn Thị Hồng Linh (SV năm 4, Khoa Toán - Tin học) GVHD: TS Nguyễn Hà Thanh Các kiến thức chuẩn bị - Cung \ n - Cung \3 - Mặt \3 - Cung mặt \3 Đường trắc địa mặt 2.1 Định nghĩa đường trắc địa 2.2 Điều kiện cần đủ để đường cong đường trắc địa Định lý 2.2.1: Điều kiện cần đủ Điều kiện cần đủ để đường cong tham số u = u (t ), v = v(t ) mặt r = r (u, v) đường trắc địa: U ∂T ∂T −V =0 ∂v ∂u Với U ,V xác định sau: dT ∂ T ⎞ ∂T = ⎟− ⎠ ∂ u 2T dt ∂ u dT ∂ T d ⎛ ∂T ⎞ ∂T − = V = ⎜ ⎟ dt ⎝ ∂ v ⎠ ∂ v 2T dt ∂ v + Gv ) T = ( Eu + Fuv U = d ⎛ ∂T ⎜ dt ⎝ ∂ u Định lý 2.2.2 (i) Điều kiện cần đủ để đường cong v = c o n s t đường trắc địa : EE2 + FE1 − 2EF1 = (ii) Điều kiện cần đủ để đường cong u = c ons t đường trắc địa : GG1 + FG2 − 2GF2 = Hệ quả: Khi tham số hóa đường cong trực giao (i) v = c ons t đường trắc địa E2 = 91 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH (ii) u = c ons t đường trắc địa G1 = Định lý 2.2.3 Đường cong tham số hóa v = v(u ) đường trắc địa v thỏa phương trình vi phân cấp hai sau : v + P v + Q v + R v + S = Với P , Q , R , S hàm u , v xác định theo E , F , G 2.3 Tính chất đặc trưng đường trắc địa Định lý: Đường cong u = u (t ), v = v(t ) mặt r = r (u, v) đường trắc địa pháp tuyến điểm đường cong trùng với pháp tuyến mặt Hệ quả: Một đường cong đường trắc địa mặt mặt phẳng trực đạc mặt trùng với tiếp diện mặt S điểm đường cong 2.4 Phương trình đường trắc địa Định lý 2.4.1 Phương trình chuẩn tắc Trên mặt S , cho đường cong α có tham số hóa tự nhiên, phương trình chuẩn tắc đường trắc địa : U= d ⎛ ∂T ⎞ ∂T =0 ⎜ ⎟− ds ⎝ ∂u ' ⎠ ∂u V= d ⎛ ∂T ⎞ ∂T =0 ⎜ ⎟− ds ⎝ ∂v ' ⎠ ∂v Định lý 2.4.2 Lấy tham số hóa đường cong tham số hóa tự nhiên Phương trình vi phân đường trắc địa 1 ⎞ ⎛ Eu ''+ Fv ''+ E1u '2 + E2u ' v '+ ⎜ F2 − G1 ⎟ v '2 = 2 ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ Fu ''+ Gv ''+ ⎜ F1 − E2 ⎟ u '2 + G1u ' v '+ G2v '2 = ⎠ ⎝ Định nghĩa 2.4.3 Tham số hóa trực giao mặt r = r (u, v) gọi tham số hóa Clairaut theo u E , G hàm phụ thuộc vào u 92 Năm học 2010 – 2011 Tham số hóa trực giao mặt r = r (u, v) gọi tham số hóa Clairaut theo v E , G hàm phụ thuộc vào v Hệ Nếu tham số hóa mặt tham số Clairaut theo u đường kinh tuyến v = v đường trắc địa ; đường vĩ tuyến u = u0 đường trắc địa G1 ( u0 ) = Nếu tham số hóa mặt tham số Clairaut theo v đường vĩ tuyến u = u đường trắc địa ; Đường kinh tuyến v = v0 đường trắc địa E2 ( v0 ) = 2.5 Điều kiện tồn đường trắc địa mặt Định lý 2.5.1 Có đường trắc địa qua điểm cho trước có phương xác định cho trước mặt Định lý 2.5.2 Mọi điểm P mặt điều có lân cận N với tính chất: Mọi điểm N nối với cung trắc địa nằm N 2.6 Tọa độ cực trắc địa Định nghĩa 2.6.1 Quỹ đạo trực giao họ đường trắc địa v = const mặt gọi song song trắc địa u v gọi tham số trắc địa Định nghĩa 2.6.2 Cho O điểm cố định mặt S Xét họ đường trắc địa O với tham số v = c ons t Cố định đường trắc địa α0 qua O Lấy quỹ đạo trực giao họ đường trắc địa cho trắc địa song song u = c ons t Ở u khoảng cách từ quỹ đạo trực giao đến O dọc số cung trắc địa Lấy P điểm mặt S Khi u lấy khoảng cách từ O dọc đường trắc địa α nối với O P Gọi v góc α0 α đo O Tham số (u; v) định nghĩa gọi tọa độ cực trắc địa P Hệ tọa độ (u; v) gọi hệ tọa độ cực trắc địa u = cons t gọi vòng tròn trắc địa 2.7 Độ cong trắc địa r '' = kn N + ( λ r1 + µ r2 ) Định nghĩa 2.7.1 93 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH ( λ; µ ) gọi vecto độ cong trắc địa P kí hiệu K g Định lý 2.7.2 Đường cong mặt đường trắc địa vecto độ cong trắc địa điểm đường cong vecto_không Định nghĩa 2.7.3 Độ cong trắc địa điểm đường cong kí hiệu k g , định nghĩa độ dài vecto độ cong trắc địa với dấu xác định riêng k g mang dấu dương ( âm ) góc vecto độ cong trắc địa tiếp tuyến đường cong π (hoặc − π ) kg = ± λ + µ Do ta có Định lý 2.7.4 Đường cong mặt đường trắc địa độ cong trắc địa không điểm Định lý 2.7.5 Cho đường cong r ( s ) = r ( u ( s ); v ( s ) ) mặt r = r (u; v) Xét điểm P đường cong, ta có: (i) k g = ( N , r ', r '') r) (ii) k g = s −3 ( N , r, Hệ quả: Tất đường thẳng nằm mặt đường trắc địa Tìm đường trắc địa số mặt cụ thể 3.1 Mặt phẳng 3.2 Mặt cầu: x2 + y = R2 3.3 Mặt trụ tròn thẳng: x + y = a z2 3.4 Mặt nón: = x + y a 3.5 Mặt xuyến 3.6 Paraboloid elliptic: z = x + y 3.7 Hyperbolic tầng: x + y − z = Vẽ đường trắc địa số mặt cụ thể 94 Năm học 2010 – 2011 TÀI LIỆU THAM KHẢO John Oprea (1997), Differential Geometry and its Application, Prentice Hall M.P Do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall Đồn Quỳnh (2009), Hình học vi phân, Nxb Đại Học Sư Phạm Phạm Huy Điển (2007), Tính tốn lập trình giảng dạy tốn học Mapple, Nxb Khoa học Kỹ thuật 95 ... đặc trưng đường trắc địa Định lý: Đường cong u = u (t ), v = v(t ) mặt r = r (u, v) đường trắc địa pháp tuyến điểm đường cong trùng với pháp tuyến mặt Hệ quả: Một đường cong đường trắc địa mặt... Clairaut theo u đường kinh tuyến v = v đường trắc địa ; đường vĩ tuyến u = u0 đường trắc địa G1 ( u0 ) = Nếu tham số hóa mặt tham số Clairaut theo v đường vĩ tuyến u = u đường trắc địa ; Đường kinh... Định lý 2.7.2 Đường cong mặt đường trắc địa vecto độ cong trắc địa điểm đường cong vecto_không Định nghĩa 2.7.3 Độ cong trắc địa điểm đường cong kí hiệu k g , định nghĩa độ dài vecto độ cong trắc