Bai tap giai tich

BÀI TẬP GIẢI TÍCH I Xét hội tụ dãy số sau (un ) : un = n! nn (un ) : un = 1 + + + n +1 +1 +1 u1 = (un ) :  un +1 = 2an ; (n ≥ 1) (un ) : un = n2 − n2 (un ) : un = + 1 + + 2 n (un ) : un = 2n − (u n ) : u n = n + − n u0 =  (u n ) :  un = un −1 + u n −1  (un ) : un = n n +1 Tính giới hạn dãy số sau: (un ) : un = n n2 + n (u n ) : u n = (un ) : un = (u n ) : u n = n2 + + n2 + + + n2 + n cos n3 3n − n 6n + 1  1  + + +   n  1+ 3+ 2n − + 2n +  u1 = a (un ) :  un = a + un −1 ; (n ≥ 2) (un ) : un = 1 + + + a1.a2 a a3 an an +1 với (an) cấp số cộng với công sai d>0 ak>0 với k=1,2,3… (un ) : un = n sin n n2 + (un ) : un = (n + 1)( n + 2)( n + 3) n3 (un ) : un = n + (−1) n n − (−1) n Tìm giới hạn sau   1 lim + +  n → ∞ 2.3.4 n( n + 1)( n + 2)   + a + a2 +  + an n →∞ + b + b2 +  + bn lim a < 1; b < với   1  lim + + + n →∞ + ( n + 1) n + n n +  2+2  2.12 + 3.22 +  + ( n + 1) n n→∞ n4 lim Xác định giới hạn hàm số sau lim x→a sin x − sin a x−a ( lim cos x x →0 ) x − cos x x→0 x2 lim lim x→0 + tan x − + sin x x3 log(1 + 10 x) x →0 x lim lim x→ ln( cos x ) x2 x + x2 +  + xn − n x →1 x −1 lim e ax − ebx x → sin ax − sin bx lim x −1  x −  x +1  lim x→∞ x +    1 1+ x   lim ln  x →0 x − x   tanh( x) = lim tanh( x) x →± ∞ với e x − e− x e x + e− x ex − x →0 x lim sinh(x ) x →0 x sinh(x) = lim e x − e− x với cosh(x) − x→0 x2 cosh( x) = lim e x + e− x với Tính giới hạn phía, xác đinh TXĐ lim+ x →2 x−2 x−2 lim− x→2 lim f ( x) lim f ( x) x →3 + x →3− lim+ , − x →0 lim x → + , −∞ x−2 x−2 9 − x2  f ( x) =  x − 1 − x  sin x x x+2 x2 + Xét tính liên tục hàm sau toàn TXĐ f ( x) = x (Ngôn ngữ epsilon-delta) x  2( x − 1)  g ( x), x < f ( x) =   x − 1, x ≥ g ( x) = + x x2 xn + + + n 2 với Hàm f(x) không xác định x=0 Xác đình f(0) cho f(x) lien tục x=0 khi: f ( x) = − cos x x2 f ( x) = ln(1 + x) − ln(1 − x) x f ( x) = e x − e− x x f ( x ) = x sin x f ( x) = (1 + x) n − x f ( x) = x cot x Dùng định nghĩa để tìm đạo hàm y= x f ( x) = y=x 1+ x x y= x2 f ( x) = log x y = sin x y = cot x Tìm giá trị thực a b để hàm số sau lien tục có đạo hàm xác định toàn R e x , x ≤ f ( x) =   x + ax + b, x > ax + b, x ≤ f ( x) =  x , x > 10 Hàm số sau có đạo hàm x=0 không?  x ,x ≠  f ( x) = 1 + e x  0, x = 11 Tính đạo hàm phía f ( x) = x 1+ x x0 = 3 x + − x + , x ≠ f ( x) =  0, x = f ( x) = x + x − x0 = 12 Chứng minh hàm số liên tục khơng có đạo hàm x=0   x cos , x ≠ f ( x) =  x 0, x = 13 Tìm a,b để hàm số khả vi x=0 ax + b, x ≥  f ( x) =  cos x − cos x , x <  x 14 Tính đạo hàm: Hàm hợp f ( x) = x log − cos x f ( x) = ln(x + x + 1) f (θ ) = cos(nθ ) 1−θ f ( x) = x + x + x x + x +1 f ( x) = e x2 +2 f ( x) = elog( x + cos x ) f ( x) = ( x + 1) x f ( x) = ( x + 2)ln x yx ' Hàm ẩn, tìm x + y + ln( x + y ) = e x xe y + ye x = sin(x + y ) + y ln x = ( x + y ) yx ' Hàm tham số, tìm  x = t + cos t   y = (sin t + cos t )  x = ln(sint + cos t )   y = t + sin 2t + y (n ) Đạo hàm cấp cao y = x ln x y = x sin x y = x 5e x x+2 y= y = cos(ax + b) 15 Tính giới hạn sau: x − sin x x →+∞ x + sin x lim lim x→ π − tan x 2.cosx − 1   lim  − x →0 ln x 1− x ÷   lim x →0 ln x cot x 1   lim  − + ÷ x →0  sin x x  lim ( cos ( x ) ) x2 x →0 lim ( − cos x ) cot x x →0   x lim  − ÷ x →1 x − ln x   lim x x x →0 lim xα ln x x → 0+ 16 Sử dụng định lý Lagrange, chứng minh với số dương a,b(a>b) , ta có: a−b a a −b < ln < a b b 17 Cho hàm số f(x) lien tục [a;b] khả vi (a;b) (a>0) Chứng minh f ( a ) f (b ) = a b ∃c ∈ (a; b) c f '(c) = f (c ) cho f (a ) − f (b) = a − b 18 Cho hàm số f(x) lien tục [a;b] khả vi (a;b) thỏa mãn c ∈ (a; b) c = f '(c) f (c) Chứng minh tồn điểm cho 19 Khai triển hàm sau theo công thức Maclaurin ( 1+ x) m ln(1 + x ) sin x x= y = cos x 20 Tìm khai triển π lân cận n d y 21 Tính vi phân cấp cao y = 3sin ( x + ) 22 Tính nguyên hàm sau: sau: y = e x cosα sin ( x sin α ) sin x x xdx I =∫ dx 5x − I =∫ + x4 I = ∫ x x − 1dx I = ∫ x 2e x dx I =∫ x2 + dx x2 I = ∫ x ln xdx I = ∫ e x cos xdx I =∫ ( x − 1) dx dx I =∫ ( x + 3) dx I =∫ + 3x − x I = ∫ − x − x dx I =∫ dx x −1 − x −1 I = ∫ sin10 x cos3 xdx I = ∫ cos 3x sin 3xdx I = ∫ tan xdx I =∫ dx + sin x + cos x I =∫ I =∫ x+3 dx x 2x + I = ∫ e sin xdx I =∫ x2 − x −1 I = ∫∫ dx − x2 π I = ∫ sin x cos5 xdx x2 + 2x + I = ∫ cos xdx π I = ∫ sin xdx x I = ∫ cot ϕ dϕ I = ∫ x dx 24 Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln( x) a Đường cong , trục x đường thẳng dx 2x − 5x + dx ( x + 1) x2 + 1+ x x I =∫ dx cos x I =∫ dx dx + sin x 23 Tính tích phân sau định nghĩa: π I =∫ I =∫ e I = ∫ cos(ln x)dx x=e x4 + x y = x ( x − 1) ( x − ) b Đường cong 25 Tính độ dài cung của: trục x y = ex a Cung từ điểm (0;1) đến điểm (1;e) x= y − ln( y ) y =1 y=e b Cung từ đến 26 Tính tích phân suy rộng loại I sau: ∞ ∞ I = ∫ xe dx ∞ ∞ 1 I = ∫ cos  ÷dx x  x −x dx I =∫ x ln x I = ∫ sinax dx 27 Xét dự hội tụ tích phân sau: ∞ I = ∫ xe − x2 dx I= +∞ ∫ ln x dx I = x3 +∞ ∫ dx α x 1+ x I= +∞ ∫ dx ln x I= +∞ ∫ sin x dx xα 28 Tính tích phân suy rộng loại II sau: b b dx (b − x )α a dx ( x − a )α a I =∫ I =∫ 29 Xét hôi cụ tích phân sau: dx ln x I =∫ dx e − ln x I =∫ x I =∫ dx x −1 x I =∫ dx sin x π I=∫ dx sin x cos x