đâị số tuyến tính
Hướng dẫn giải bài tập Giải tích 1 Giới hạn của dãy số Ths. Phạm Hồng Phong Website: violet.vn/phphong84 Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng Ví dụ 1: lim 1 1 n n n 0 1 1 n n 1 1n 1 1n Chọn số tự nhiên 0 1 1n Khi đó 0 :| 1| n n n u lim 1 1 n n n (theo định nghĩa) Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn Ví dụ 2: 1 1 1 n n n a R 1 1 , 2 2 a a Xét khoảng Chứng tỏ: 1 | | 1 n n u u 2 1 1 1 2 k u k Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ. 2 1 1 1 0 2 1 k u k 1 | | 1 n n u u Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng này. Vậy không tồn tại giới hạn. Ví dụ 3: Tìm giới hạn của dãy 2 1 n n k n u n k 2 2 2 1 1 11 n n n k n n u n n 2 1 1 1 n n n k n n n u n n lim 1 n n u Tìm Ví dụ 4. 5 lim n n n n Ta có 5 5 0 , 6 6 n n n n n 0 5 lim 0 n n n n Chứng tỏ Ví dụ 5. lim 1, 0. n n a a 0 n a n 0 lim 0 n n Đặt 1 0 n n a 1 n n n a n TH1. 1a lim 1 n n a TH2. 0 1a 1 1 lim , 1 lim n n n n a b a b Sử dụng TH1, lim 1 n n b lim 1. n n a Chứng tỏ dãy truy hồi Ví dụ 6. 1 1 , 2; 2 n n n u u u u 1 2 2 2 2 k k u u là dãy tăng và bị chặn trên. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. Dùng qui nạp, chứng tỏ 2 n u Giả sử : 2 n n k u Khi đó với 1n k Vậy dãy bị chặn trên. 2 1 2 n n n n n n u u u u u u Vậy dãy tăng. lim n u a 2a a 2 2 0a a 2.a Chứng tỏ dãy Ví dụ 7. ! , 2 1 !! n n n u u n là dãy giảm và bị chặn dưới. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. 1 1 1 2 3 2 n n u n u n Vậy dãy bị chặn dưới. 0 n u Vậy dãy giảm. lim n u a 1 1 1 lim 2 3 2 3 n n n n n u u a a n n 1 0 2 a a a 1 2 n n n u u u ! lim 0 2 1 !! n n n Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn Ví dụ 8: 1 2 1 1 3 2 n n n n 2 4 1 4 1 4 2 ( 1) 6 2 6 2 6 3 k k k k k u k k Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau 2 1 2 1 4 3 4 3 4 2 ( 1) 6 5 6 5 6 3 k k k k k u k k Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1 Vậy dãy đã cho không có giới hạn. Một số giới hạn cơ bản 1 1) lim 0, 0 n n 1 2) lim 0, 0 ln n n 1 3) lim 0, 1 n n a a 4) lim 1, n p n n p 5) lim 1, 0 n n a a 6) lim 0, 1 p n n n a a 7) lim 0,| | 1 n n q q 1 8) lim 1 n n e n 9) lim 1 , n a n a e a n ln 10) lim 0, , 0 p n n p n