Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
TÍCHPHÂNVẬNDỤNGCAOTRONGĐỀTHI THPT QUỐC GIA 2018Vấnđề Tính tíchphân theo định nghĩa Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f x f 1 x x Giá trị tíchphân f ' x dx A B Lời giải Ta có C D f x dx f x f 1 f 0 0 f 0 f 0 f 1 Từ f x f 1 x x f f f 1 Vậy I f ' x dx f 1 f 0 Chọn C 5 Câu Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 0 f 1 Biết e x f x f x dx ae b Tính Q a 2018 b 2018 A Q 2017 Lời giải Ta có e B Q C Q D Q 2017 1 / f x f x dx e x f x dx e x f x x 0 ef 1 f 0 f 0 f 11 e 1 a 2018 Suy Q a 2018 b 2018 12018 1 Chọn B b Câu Cho hàm số y f x , y g x có đạo hàm liên tục 0;2 thỏa mãn f ' x g x dx 2, f x g ' x dx Tính tíchphân I f x g x dx / 0 A I 1 C I B I D I / Lời giải Ta có I f x g x dx f ' x g x f x g ' x dx 2 f ' x g x dx f x g ' x dx Chọn C 0 x2 Câu Cho hàm số y f x liên tục 0; thỏa 1 A f x2 Lời giải Từ 1 B f 1 f t dt x sin x Tính f 1 C f 1 D f f t dt x sin x , đạo hàm hai vế ta xf x sin x x cos x 1 Cho x ta f 2 sin cos 2 1 f Chọn C Câu Cho hàm số f x liên tục a; với a thỏa x a A f 4 x Lời giải Từ a B f 4 f t dt x với x a Tính f 4 t2 C f 4 f t f x dt x , đạo hàm hai vế ta t2 x2 x Suy f x x x f 4 Chọn C D f 4 16 Vấnđề Kỹ thuật đổi biến e 2017 1 2017 f x dx Tính tíchphân I Câu Cho 0 A I x f ln x 1 dx x D I C I x d x xd x dt Lời giải Đặt t ln x 1, suy dt x 1 x 1 x t Đổi cận: 2017 x e 1 t 2017 Khi I B I 2017 f t dt 2017 f x dx Chọn A Câu Cho hàm số f x liên tục A I f f sin x cos xdx Tính tíchphân I f x dx 0 D I 10 x t x , suy tdt dx x f x t Đổi cận Suy x t x C I x dx Đặt t Xét x dx 4, B I Lời giải Xét f x dx x f t 2dt f t dt 1 f sin x cos xdx Đặt u sin x , suy du cos xdx x u Đổi cận Suy f sin x cos xdx f t dt x u 1 0 3 Vậy I f x dx f x dx f x dx Chọn C 0 Câu Cho hàm số f x liên tục f tan x dx 4, A I B I Lời giải Xét x f x d x Tính tíchphân I f x dx x 1 C I D I f tan x dx Đặt t tan x , suy dt dt dx tan x 1 dx dx cos x 1 t x t 1 f t f x Đổi cận: Khi f tan x d x d t dx t 1 x 1 x t 1 0 1 f x x f x Từ suy I f x dx dx dx Chọn A x 1 x 1 0 Câu Cho hàm số f x liên tục thỏa mãn tan x f cos x dx 1, 2 f 2 x dx x A I B I C I Lời giải ● Xét A tan x f cos2 x dx Đặt t cos x e I e2 D I f ln x x ln x dx Tính tíchphân Suy dt 2 sin x cos xdx 2 cos x tan xdx 2t tan xdx tan xdx dt 2t t x Đổi cận: x t 1 1 f t f t f x f x 1 Khi A dt dt dx dx 2 t t x x f ln x e2 ● Xét B x ln x e Suy du 2 dx Đặt u ln x ln x ln x 2u dx du dx dx dx x x ln x x ln x x ln x 2u x e u Đổi cận: u x e 4 f x f u f x Khi B du dx dx 2 u x x ● Xét tíchphân cần tính I f 2 x dx x 1 dx dv v Đổi cận: x Đặt v x , suy v x v x 4 f v f x f x f x dv dx dx dx Chọn D Khi I v x x x 1 1 2 1 Câu 10 Cho hàm số y f x xác định liên tục ;2 , thỏa f x I f x 1 f x Tính tíchphân x x dx x 1 A I C I B I x t 1 Lời giải Đặt x , suy dx dt Đổi cận: t t x t Khi I 2 Suy I 2 1 1 f f f t t x dt dt dx t t 1 x 1 1 2 t2 f f x f x 2 f x x x x2 dx dx dx dx 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 x 1 1 dx x d x 2 x x x 2 2 I Chọn A 2 D I Câu 11 Cho hàm số f x liên tục thỏa f x f x cos x với x 3 Tính I f x d x 3 C I 2 3 x t 2 dx dt Đổi cận: Lời giải Đặt t x 3 3 x t 2 A I 6 B I 3 Khi I f t dt 3 3 Suy I 3 3 f t dt 3 3 f t f t dt f x dx 3 3 3 D I cos 2t dt 3 CASIO cos t dt 12 I Chọn D 3 Câu 12 Cho hàm số y f x xác định liên tục , thỏa f x x 3 x với x Tíchphân f x dx 2 A B 10 C 32 D 72 x 2 t 1 Lời giải Đặt x t t 3, suy dx 5t dt Đổi cận x t Khi 2 1 1 1 f x dx f t t 35t dt 2t 15t dt 10 Chọn B Câu 13 Cho hàm số f x , g x liên tục 0;1, thỏa m f x n f 1 x g x với m, n số thực khác f x dx g x dx Tính m n 0 B m n C m n Lời giải Từ giả thiết m f x n f 1 x g x , lấy tíchphân hai vế ta A m n m f x n f 1 x dx g ( x )dx 1 Suy m n f 1 x dx (do Khi 0 f x dx g x dx ) Xét tíchphân D m n 1 x t f 1 x dx Đặt t x , suy dt dx Đổi cận: x t 0 1 f 1 x dx f t dt f t dt f x dx 1 2 Từ 1 2, suy m n Chọn C Câu 14 Cho hàm số f x xác định liên tục 0;1, thỏa mãn f ' x f ' 1 x với x 0;1 Biết f 0 1, f 1 41 Tính tíchphân I f x dx A I 41 B I 21 C I 41 f x f 1 x C Lời giải Ta có f ' x f ' 1 x D I 42 f 01, f 1 41 Suy f 0 f 1 C C 42 Suy f x f 1 x 42 f x f 1 x 42 1 0 f x f 1 x dx 42dx 42 1 1 2 f x dx f 1 x dx Vì f ' x f ' 1 x 0 Từ 1 2, suy f x dx f 1 x dx 21 Chọn B 0 Câu 15 Cho hàm số y f x liên tục thỏa mãn f x f x x với x Tính I f x dx 4 A I B I C I 5 Lời giải Đặt u f x , ta thu u u x Suy 3u 1 du dx D I x u Từ u u x , ta đổi cận Khi I u 3u 1 du Chọn D x u Cách khác Nếu tốn cho f x có đạo hàm liên tục ta làm sau: f 0 f 0 f 0 Từ giả thiết f x f x x * f 2 f 2 f 2 Cũng từ giả thiết f x f x x , ta có f ' x f x f ' x f x x f ' x Lấy tíchphân hai vế f ' x f x f ' x f x dx x f ' x dx 0 f x f x 2 2 * xf x f x dx f x dx 0 Vấnđề Kỹ thuật tíchphânphần Câu 16 Cho hàm số f x thỏa mãn x f x .e f x dx f 3 ln Tính I e f x dx 0 A I B I 11 C I ln D I ln 3 3 u x du dx f x f x f x Lời giải Đặt Khi x f x e d x x e e dx f x f x d v f x e d x v e 0 Suy 3.e f 3 e f x dx e f x dx Chọn A Câu 17 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0; , thỏa mãn f ' x cos2 xdx 10 f 0 Tíchphân f x sin xdx B I 7 A I 13 Lời giải Xét C I D I 13 u cos x du sin xdx f ' x cos2 xdx 10 , đặt dv f ' x cos xdx v f x Khi 10 f ' x cos xdx cos xf x 0 f x sin xdx 10 f 0 f x sin xdx f x sin xdx 10 f 0 13 Chọn D Câu 18 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f x 1 dx f 1 Tíchphân 1 x f ' x dx A 1 B C D Lời giải Ta có 1 Xét t x 1 f x 1 dx f t dt hay f x dx 1 u x du dx 1 tf ' t d t xf ' x dx Đặt 2 dv f ' x dx v f x 1 1 1 tx2 x f ' x dx tf ' t dt xf x f x dx 3 Chọn C 2 2 0 t x x f ' x dx Khi Câu 19 Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0;2 Biết f 0 f x f 2 x e x x 0;2 Tính tíchphân I x 3x 14 B I Ta có I x 3x f ' x f x 4 x với dx 32 Lời giải Từ giả thiết f x f 2 x e x f 'x f x A I 2 C I 16 D I 16 x 2 f 2 4 x u x 3x 2 du 3 x x dx dx Đặt f 'x dv dx v ln f x f x Khi I x x ln f x f 21 2 3 x x ln f x dx 3 x x ln f x dx 3J Ta có J x x ln f x dx 0 x 2t 2 t 2 2 t ln f 2 t d 2 t 2 x 2 x ln f 2 x d 2 x x x ln f 2 x dx 2 0 Suy J x x ln f x dx x x ln f 2 x dx x x ln f x f 2 x dx x x ln e x 2 4 x dx x x 2 x x dx 0 Vậy I 3 J 32 16 J 15 15 16 Chọn D Câu 20 Cho biểu thức S ln 1 2 sin x e cot x dx , với số thực m Chọn khẳng định khẳng định sau n m A S B S C S cot ln sin m m D S tan ln m m 2 sin x e cot x dx Lời giải Ta có m2 cot x dx sin x e e cot x sin xe cot x dx m2 2 cot x m m 2 cot x 2 m sin x e cot x dx sin x m2 1 d sin x sin x e m2 e cot x dx m sin xe Xét 2 e cot x dx m2 Từ 1 2, suy I sin x e cot x 1 sin m2 cot e m 4m cot S ln sin e m cot ln sin Chọn C 2 4 m m 4m Vấnđề Tính a, b, c tíchphân ln 9 x dx a ln b ln c Câu 21 Biết với a, b, c Tính P a b c A P 13 B P 18 u ln 9 x du 2 x2 dx Lời giải Đặt 9 x dv dx v x C P 26 D P 34 2 Khi I x 3 ln 9 x 1 ln 12 ln x ln x x x 3 9 x2 dx ln ln 1 dx x a ln ln b 6 P 13 Chọn A c 2 Nhận xét Ở chọn v x thay x để rút gọn cho x , giảm thiểu biến đổi Câu 22 Biết x x ex x 1 e dx ln p với m, n, p số nguyên dương Tính tổng P m n p x e.2 m e ln n e A P Lời giải Ta có I Tính A B P C P x x x ex x x dx x d x x x e.2 e.2 D P A A x dx Đặt t e.2 x dt e ln 2.2 x dx x dx dt e.2 x e ln x t e Đổi cận: x t 2e 2 e Khi A dt ln t e.ln e t e.ln 2 e e 2e e ln ln 1 e ln e e ln e m4 1 e ln 1 n P m n p Chọn C Vậy I e ln e p 1 Câu 23 Biết x 2 x cos x cos x sin x x cos x A P B P Lời giải Ta có I x cos x x cos x x cos x dx c với a, b, c số hữu tỉ Tính P ac b C P x x cos x cos2 x 1 sin x dx a b ln dx 2 d x cos x sin x dx x cos x dx x cos x x cos x 0 1 x sin x ln x cos x ln ln 8 a b P ac b Chọn C c 2 D P ln Câu 24 Biết e ln b dx ln a a b với a, b Tính P a b a 1 e B P C P D P 2x x A P 1 ln Lời giải Ta có I ln ln ln e x 1 e x dx ln e x e x dx ln ln e x 1dx ln ln e x dx e x 2 ln ln e x dx ln ln td t td t 2x e t 1 e x 1dx Đặt t e x t e x , suy tdt e x dx dx ln x ln t Đổi cận: x ln t ln Khi e x 1dx ln 3 t 1 t dt dt 1 dt t ln ln t 1 t t 1 2 a Vậy I ln 2 P a b Chọn D 2 b Câu 25 Biết x 1 dx x x x 1 A P 12 a b c với a, b, c Tính P a b c C P 24 B P 18 Lời giải Ta có I dx x x 1 x 1 x D P 46 x 1 x x x 1 x 1 x 1 dx 2du Đặt u x x , suy du x x x u Khi I Đổi cận x u 2 3 1 du u2 u 3 2 1 dx x x 1 x x 1 dx 1 2 2 1 a 32 3 2 1 32 12 b P 46 Chọn D 12 32 1 c Câu 26 Biết sin x cos x sin x 2 A P 10 dx a b c với a, b, c Tính P a b c B P 12 Lời giải Ta có I C P 14 sin x cos x sin x 2 dx D P 36 sin x cos x cos x cos x dx x t Đặt t cos x dt 2 sin xdx Đổi cận: x t0 Khi I 1 t 3 t 3t 2 3 3 t 3 t 3 2 dt t t 3t dt t t dt a 16 16 12 b 12 P 36 Chọn D c x ex dx a e b e c với a, b, c Tính P a b c 2x x xe A P 5 B P 4 C P 3 D P Câu 27 Biết Lời giải Ta có x ex dx 4x xe x e x x 4e x x dx xe x e x 2e x x x dx 4 1 1 1 dx x dx x x e 1 e 4 e e e e x 1 x ex 2 x 2e x a P a b c 4 Chọn B b 1 c Câu 28 Biết 2 x 2 x dx a b c với a, b, c Tính P a b c A P B P C P D P dx 4 sin 2udu x cos u với u 0; Suy x cos2 u Lời giải Đặt x u Khi I Đổi cận x u 16 u cos cos u sin u.cos udu sin 2udu u cos u sin 4 u cos cos udu 8 1 cos u .cos udu cos udu 1 cos 2u du sin u 4 x 2.sin 2u e Câu 29 Biết I a P Chọn C b 4 c ln x ln x b với a, b Tính P b a dx a e 2 ln x x 1 A P B P e e ln x ln x ln x x 1 Lời giải Ta có dx Đặt t C P ln x / ln x ln x dt dx dx ln x x ln x x ln x x 1 x 1 t e 2 Đổi cận: Khi I tdt t 2 x et e 2 Câu 30 Biết x cos x 1 x x A P 37 Lời giải Ta có I t 1 x x 1 x x x t dx t t cos tdt x Suy I x t t D P 41 x x dx x t cos t 2 Chọn B e 2 C P 35 dx x cos x 2 e 2 2 3 với a, b, c số nguyên Tính P a b c b c x cos x x cos x Lại có I dx a B P 35 D P 10 ln x ln x dx ln x x ln x x 12 d t t cos t 1 t t dt x x cos xdx x x cos xdx x x x cos xdx 2 x cos xdx x x cos xdx I x cos xdx Tíchphânphần hai lần ta I 2 3 36 3 a P a b c 35 Chọn C b 36 c Vấnđề Tính tíchphân hàm phân nhánh x Câu 31 Cho hàm số f x 2x e 3e 1 2e 2 A I x x 7e 2e 2 Tính tíchphân I f x dx 1 B I 9e 1 2e 2 C I Lời giải Ta có I f x dx f x dx e x dx x 1 dx 1 1 D I 11e 11 2e e 1 Chọn C 2e 1 Câu 32 Cho hàm số f x xác định \ , thỏa f x , f 0 f 1 Giá trị biểu thức 2 x 1 f 1 f 3 B ln15 Lời giải Ta có f x x 1 A ln15 C ln15 ln 1 x C1 f x dx ln x 1 C x 1 ln 2 x 1 C ln 1 2.0 C1 C1 f 0 D ln15 ;x ;x f 1 ln 2.11 C C ln 1 x x f 1 ln Do f x f 3 ln ln 2 x 1 x f 1 f 3 ln ln ln15 Chọn C Câu 33 Cho hàm số f x xác định \ 2;1, thỏa mãn f x 1 , f 3 f 3 f 0 Giá trị x x 2 biểu thức f 4 f 1 f 4 1 C ln 80 D ln ln 3 1 1 Lời giải Ta có f x x x x 1 x 1 ln 1 x ln x 2 C1 ; x 2 3 1 f x dx ;2 x ln 1 x ln x 2 C x x 2 1 ;x 1 ln x 1 ln x 2 C 3 1 1 f 0 ln 1 0 ln 0 2 C C ln 3 3 1 f 3 f 3 C1 C ln 10 1 1 Ta có f 4 f 1 f ln ln ln C C1 C ln Chọn B 3 3 A 1 ln 20 3 B 10 Hàm dấu tíchphân f 2 x cos x f x nên ta liên kết với bình phương f x cos x x x Ta tìm f x 2 cos x f dx 2 cos dx Chọn B 2 0 1 Cách Theo Holder 1 1 1 f x cos x dx cos x dx f x dx 2 0 2 Câu 89 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0; , thỏa f 0, f x Tíchphân f x dx 3 x sin x x f dx 6 0 dx A C 3 B D x sin x x f dx 6, kết hợp với Lời giảiTíchphânphần ta sin xf x dx f ta 3 x sin xf x nên ta liên kết với bình phương f x sin x f x sin x f ' x sin x f '' x cos x Ta tìm 4 Hàm dấu tíchphân f Vậy f x dx 8 cos x dx Chọn B 0 Cách Theo Holder 2 3 sin xf x dx sin xdx f x dx 3 16 0 3 Câu 90 Cho f ' x hàm số f x e 1 A I đạo hàm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f 1 dx x 1 e x f x dx có B I e 1 Tính tíchphân I f x dx e2 Lời giảiTíchphânphần e D I C I e x 1 e x f x dx , kết hợp với f 1 ta xe x f ' x dx e 1 Hàm dấu tíchphân f ' x xe x f ' x nên ta liên kết với f x xe x Ta tìm f ' x xe x f x xe x dx 1 x e x C C f 0 1 Vậy f x 1 x e x f x dx 1 x e x dx e Chọn C 0 Cách Theo Holder 1 1 e 1 e 1 e xe x f ' x dx x e x dx f ' x dx 4 0 Câu 91 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 0 0, f 1 f x dx 29 f ' x dx Tíchphân ex e 1 A e 2 e 1 e 1 e 2 B D e 1e 2 C f ' x Lời giải Hàm dấu tíchphân x nên ta cần tìm thơng tin liên quan f ' x e Từ giả thiết f 0 0, f 1 ta nghĩ đến 1 f ' x dx f x f 1 f 0 0 f ' x f ' x x e Với số thực Do ta có hàm dấu tíchphân f ' x nên liên kết với bình phương ex e x ta có 1 2 f ' x f' x x e x dx d x f ' x d x e x ex e dx 0 1 2 e 1 e 1 1 e 1 e 1 f 'x x Ta cần tìm cho e dx hay e 1 1 x e 1 e 1 e f 'x f 'x 1 e x dx e x , x 0;1 Với x x e e e 1 e e ex ex ex f 0 0, f 11 Suy f ' x f x dx C C e 1 e 1 e 1 e 1 e x 1 e 2 f x dx Chọn A e 1 e 1 Cách Theo Holder 2 1 f 'x f ' x x f ' x dx e dx d x e x dx e 1 x x e e 1 e 0 Vậy f x Câu 92 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 0 0, f 1 x f ' x dx f x Tíchphân 1 x A ln dx ln 2 1 ln B C Lời giải Tương tự trước, ta có ln D 1 ln f ' x dx f x f 1 f 0 0 x f ' x f ' x nên liên kết với bình phương x f ' x 1 x 1 f ' x Ta tìm ln ln 1 x Do ta có hàm dấu tíchphân f x ln 1 x dx ln Mà f 0 0, f 1 C f x f x Vậy 1 x ln 2 ln x x ln dx ln x x 1 x ln x x C ln x x ln dx ln ln x 2 ln Chọn C Cách Theo Holder 30 x d ln x x 2 1 1 12 f ' x dx x f ' x dx x f ' x dx 1 x 0 ln Câu 93 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1;1, thỏa mãn f 1 0, dx 1 x ln 1 1 f ' x dx 112 x 1 f x dx 16 Tính tíchphân I f x dx 1 84 A I B I 35 C I Lời giải Như trước, ta chuyển x f x dx 1 35 D I 168 16 thông tin f ' x cách tíchphânphần Đặt du f ' x dx u f x x3 d v x d x v 1 1 x3 1 1 f x x f ' x dx f 1 f 1 x f ' x dx Tới ta bị vướng f 1 giả 3 3 1 1 1 1 thiết khơng cho Do ta điều chỉnh lại sau du f ' x dx u f x với k số x3 k dv x dx v 1 3 x x Khi x f x dx k f x k f ' x dx 1 1 1 x f x dx Khi x3 1 k f 1 k f 1 k f ' x dx 3 1 f 1 Ta chọn k cho 1 k k 3 Khi 1 16 x f x dx x 1 f ' x dx x 1 f ' x dx 16 3 1 1 1 Hàm dấu tíchphân f ' x , x 1 f ' x nên ta liên kết với f ' x x 1 f ' x 7 x 1 f x 7 x 1 dx x x C Ta tìm 35 35 84 f 1 C f x x x Vậy I f x dx 4 1 Cách Theo Holder 1 1 2 16 16 x 1 f ' x dx x 1 dx f ' x dx 112 256 1 1 1 2 Câu 94 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 1 0, f ' x f x dx ln Tíchphân 2 x 1 A ln B f x dx ln C ln 31 D ln 2 dx ln f x Lời giải Như trước, ta chuyển x 1 dx ln thông tin f ' x cách tíchphânphần Đặt u f x du f ' x dx dv dx v x 1 x 1 1 f x f x f 'x f 1 f 0 f ' x Khi d x d x dx Tới ta bị vướng f 0 giả thiết khơng x 0 x x 1 x 1 cho Do ta điều chỉnh lại sau u f x du f ' x dx với k số dv dx v k x 1 x 1 1 f x 1 Khi dx k f x k f ' x dx x 1 x 1 0 x 1 1 k f 0 k f ' x dx x f 1 Ta chọn k cho 1 k k 1 1 f x x x Khi ln dx f ' x dx f ' x dx ln 2 x x x 1 0 x x Hàm dấu tíchphân f ' x , f ' x nên ta liên kết với f ' x x x 1 x x Ta tìm 1 f 'x f x dx x ln x C x 1 x 1 C ln 1 f x x ln x 1 ln 1 Vậy f 0 f x dx ln Chọn B Cách Theo Holder 1 2 3 2 x x dx f ' x dx ln 2 ln 2 ln 2 f ' x d x x 1 x 0 Câu 95 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 1;2, đồng biến 1;2, thỏa mãn f 1 , f x dx f x .f ' x dx Tíchphân f x dx A B D 2 C Lời giải Hàm dấu tíchphân f x , f x f x nên ta liên kết với bình phương f x f x Nhưng khai 2 triển vướng f x dx nên hướng không khả thi Ta có f x .f ' x dx f x 2 f 2 f 1 f 2 f 2 2 (do đồng biến f 2 f 1 ) Từ f 1 f 2 ta nghĩ đến f ' x dx f x f 2 f 1 1 Hàm dấu tíchphân f x , f x nên ta liên kết với f x 2 f 1 Ta tìm f ' x f x x C C 2 Vậy f x x f x dx Chọn A 32 1;2 nên Câu 96 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f 1 , f x dx f x trị f 2 f x dx Giá A B 1 C Lời giải Hàm dấu tíchphân f x f x f 2 D 1 2 x nên ta liên kết với bình phương f x f x f x Nhưng khai triển vướng f x f ' x dx nên hướng không khả thi Tíchphânphần f x dx kết hợp với f 1 0, ta 1 xf x f ' x dx Hàm dấu tíchphân f x f x xf x f ' x nên ta liên kết với bình phương f x f ' x x f x 3 3 Ta tìm f x f ' x x f x f ' x dx xdx x C 2 2 C f 0 2 3 f x 1 x f 2 32 Chọn A Câu 97 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;2, thỏa mãn f 2 , x f x dx 15 f ' x dx 32 Giá trị tíchphân f x dx A 2 B C D Lời giải Hàm dấu tíchphân f ' x x f x Lời khuyên đừng có cố liên kết với bình phương nào, có tìm khơng Tíchphânphần x f x dx kết hợp với f 2 , ta 15 x f x dx 32 Áp dụng Holder lần ta 4 4 2 2 32 4 x f x dx x xf x dx x dx x f ' x dx 0 0 0 0 2 x dx x dx f ' x dx 2 3 1048576 32 x dx f ' x dx 625 Dấu '' '' xảy ra, tức xf ' x kx f ' x kx thay vào f ' x f ' x x f x xdx dx 32 tìm k x f 21 C C 1 2 x2 1 f x dx Chọn B Cách Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có Vậy f x f ' x x x x x f ' x Do 2 0 f ' x dx x dx x f x dx Mà giá trị hai vế nhau, có nghĩa dấu '' '' xảy nên f ' x x (Làm tiếp trên) Vấnđề 12 Kỹ thuật đánh giá AM-GM 33 Câu 98 Cho hàm số f x nhận giá trị dương có đạo hàm f ' x liên tục 0;1, thỏa mãn f 1 ef 0 1 dx f ' x dx Mệnh đề sau ? f x 0 A f 1 2e e 1 Lời giải Ta có ln f x B f 1 e e 1 1 dx f ' x dx f x 0 2e e 1 D f 1 e e 1 AMGM 2 dx f ' x dx f ' x f x f x f 1 ln f 1 ln f 0 ln f 0 Mà C f 1 ln e 2 dx f ' x dx nên dấu '' '' xảy ra, tức f ' x f x f 'x f x f x 0 f x f ' x dx xdx f x Theo giả thiết f 1 ef 0 nên ta có x C f x x 2C 2C e 2C 2C e 2C C e 1 2 2e f Chọn C e 1 e 1 e 1 Câu 99 Cho hàm số f x nhận giá trị dương 0;1, có đạo hàm dương liên tục 0;1, thỏa mãn f 0 f x 2x 1 f x f ' x dx f ' x f x dx Tính I f x dx 0 e 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM GM cho ba số dương ta có A I B I e 1 e 1 C I f x f ' x f ' x f Suy Mà f x f x 3 f ' x f x f x f ' x f x 2 x f ' x dx 3 f ' x f x dx f x f ' x dx 3 f ' x f x dx nên dấu '' '' xảy ra, tức 0 f ' x e 1 3 D I f 'x f x f x f x f 'x f x x C f ' x 1 dx dx ln f x x C f x e f x 2 x Theo giả thiết f 0 C f x e f x dx e 1 Chọn A Câu 100 Cho hàm số f x nhận giá trị dương 0;1, có đạo hàm dương liên tục 0;1, thỏa mãn 1 f 0 1, f 1 e Tính giá trị f A f B f Lời giải Hàm dấu tíchphân xf ' x f x x 1 C f e f ' x f x f x mx m f x , x 0;1 Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm xf ' x f x 34 dx 1 D f e muốn ta phải đánh giá theo AM GM sau: f ' x xf ' x với m x 0;1 f ' x f x , Do ta cần tìm tham số m cho f 'x dx m mx f x xf ' x f x dx hay ln f x m x2 m ln f 1 ln f 0 m m m m 2 m m m f ' x 4x Với m đẳng thức xảy nên f x Để dấu '' '' xảy ta cần có f ' x f x dx xdx ln f x x C f x e x C f 0 1 C f x e x f e Chọn C Theo giả thiết f 1 e Cách Theo Holder 1 xf ' x 2 f ' x f 'x f 1 dx x dx xdx dx ln f x f x f x f 0 0 0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có Suy f 'x f x xf ' x kx , thay vào f x dx ta k f ' x x (làm tiếp trên) f x Câu 101 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa mãn f x f ' x dx f 0 1, f 1 Tính giá 1 trị f 1 1 1 A f B f C f e Lời giải Nhận thấy ngược dấu bất đẳng thức với 1 D f e Hàm dấu tíchphân f x f ' x Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f x f ' x , muốn ta phải đánh giá theo AM GM sau: f x f ' x m m f x f ' x với m Do ta cần tìm tham số m cho f x f ' x m dx m f x f ' x dx 0 hay m m f x m m Để dấu '' '' xảy ta cần có m m m f x f 'x Với m đẳng thức xảy nên f x f ' x f x f ' x 1 1 f x f x f ' x 1 f x f ' x dx dx x 1 (vô lý) 0 0 f x f ' x f x f ' x dx dx f x x C f x x 2C f 0 1 Theo giả thiết C f x x f 1 f Chọn A 35 Cách Ta có f x f ' x dx f x 1 f 1 f 0 Theo Holder 1 1 2 f x f ' x dx 12 dx f x f ' x dx 1.1 0 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f ' x f x k, thay vào f x f ' x dx ta k Suy f ' x f x (làm tiếp trên) Câu 102 Cho hàm số f x nhận giá trị dương có đạo hàm f ' x liên tục 1;2, thỏa mãn f 1 1, f 2 16 Tính giá trị f A f B f f ' x dx 24 xf x 2 C f D f f ' x f ' x Điều làm ta liên tưởng đến đạo hàm f ' x , muốn ta Lời giải Hàm dấu tíchphân xf x x f x f x 2 phải đánh giá theo AM GM sau: f ' x mx m f ' x với m x 1;2 xf x f x Do ta cần tìm tham số m cho f ' x f 'x xf x mx dx m f x dx hay 24 2m 4 m f x 24 2m m f 2 2m f 1 24 12 m m 16 2m Để dấu '' '' xảy ta cần có 24 12 m m 16 f ' x 16 x f ' x x Với m 16 đẳng thức xảy nên xf x f x f 'x f x dx x dx f x x C f x x C f 1 C f x x f Chọn D Theo giả thiết f 16 2 f 'x f 'x dx 2. dx f x f 2 f 1 Cách Ta có f x f x 1 Theo Holder 2 f' x dx f x 1 2 Vậy đẳng thức xảy nên ta có f 'x f x f 'x xf x 2 f ' x x2 x dx xdx dx 24 36 xf x xf x 1 f 'x k x f 'x f x kx , thay vào f 'x f x dx ta k Suy x (làm tiếp trên) Vấnđề 13 Tìm GTLN-GTNN tíchphân Câu 103 Cho hàm số f x liên tục , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn x f x e x x f 2 2e, f 0 e Mệnh đề sau đúng? A f 2 e 1 B f 2 2e e C f 2 e 2e D f 2 12 36 Lời giải Từ giả thiết x f x e x x ta có x f x dx e x x dx 1 u x du dx Đặt dv f x v f x 2 x2 Khi 1 x f x f x dx e x 0 2 x2 x f x f x e x 0 2 f 2 f 0 f 2 f 0 e 1 f 2 e 1 (do f 2 2e, f 0 e ) Chọn A Câu 104 Cho hàm số 3 S f x dx 1 f x dương liên tục 1;3, thỏa max f x 2, B C f x f x dx dx 1 biểu thức 1 Lời giải Từ giả thiết ta có f x , suy f x f x 1;3 dx đạt giá trị lớn nhất, tính I f x dx f x A Suy f x 1;3 3 1 dx f x Khi S f x dx f x dx D 3 1 dx dx f x dx f x f x 1 25 f x dx 5 f x dx 2 25 25 (dạng t 5 t t 5t t ) 4 Dấu " " xảy f x dx Chọn D Câu 105 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f x f x với x f 0 Giá trị lớn f 1 A e Lời giải Từ B giả thiết e 1 e f x f x , e e 1 nhân thêm D e C hai vế cho ex để thu đạo hàm e x f x e x f x e x , x e x f x e x , x Suy e x f x dx e x dx e x f x 0 f 0 f 1 e 1 ef 1 1 f 0 e 1 e 1 Chọn B e Câu 106 Cho hàm số f x nhận giá trị dương có đạo hàm f x liên tục 0;1, thỏa mãn f 1 2018 f 0 Giá trị nhỏ 1 dx f x dx f x A ln 2018 B ln 2018 C m e Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 f x M dx f x dx dx ln f x f x f x 0 biểu thức M Câu 107 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 1 x f x dx f 0 37 D m 2018e ln f 1 f 0 ln 2018 Chọn B f x dx Giá trị nhỏ nhật biểu thức A B C Lời giảiTíchphânphần D 3 1 1 x f x dx , ta f 0 1 x f x dx 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta 1 2 1 x f x dx 1 x dx f x dx Từ suy f x 2 0 f x dx f 0 1 x 3 f x dx 1 x f x dx 1 x dx Vậy 1 dx f 0 Chọn D Câu 108 Cho hàm số f ( x ) liên tục [0; 1] thỏa mãn xf x dx max f x Tíchphân [0; 1] khoảng khoảng sau đây? 3 5 A ; B ; e 1 4 e x f x dx f x dx thuộc D e 1; e x f x dx xf x dx x C ; Lời giải Với số thực ta có e f x e x x dx f x e x x dx e x x dx 0 Suy f x dx e x x dx e x x dx e 1 e Chọn C 0;1 0;1 2 0 e x x Câu 109 Cho hàm số f x nhận giá trị không âm liên tục 0;1 Đặt g x f t dt Biết g x f x với x 0;1 , tíchphân 1 dx có giá trị lớn g x A B 2 C D x g 0 Lời giải Từ giả thiết g x f t dt , ta có g x 0, x 0;1 g 'x f x Theo giả thiết g x g 'x t Suy Do g x g 'x f x g x g 'x t dx 1dx , t 0;1 g x t g x x t 1 g 'x g x 1 1 t 1 t g t g 0 g t 1 dx 1 x dx Chọn B g x x Câu 110 Cho hàm số f x nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f x 3 f t dt g x với x 0;1 , tíchphân g x dx có giá trị lớn A B D g g x 0, x 0;1 f t dt , ta có g 'x f x C x Lời giải Từ giả thiết g x 3 38 g ' x g 'x g x Theo giả thiết g x f x g x 2 t Suy 2 t g x dx t 3 dx , t 0;1 g x x 2 t 3 g t g 0 t g t t 2 3 g x dx x 1 dx Chọn B Do g 'x x Câu 111 Cho hàm số f x nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1, thỏa mãn f x 2018 f t dt với x 0;1 Biết giá trị lớn tíchphân f x dx có dạng ae b với a, b Tính a b A B 1009 C 2018 D 2020 g 0 2018 Lời giải Đặt g x 2018 f t dt , ta có g x 0, x 0;1 g 'x f x g 'x g 'x g x Theo giả thiết g x f x g x x g 'x t Suy g x t t dx 2dx , t 0;1 ln g x 2x 0 t ln g t ln g 0 2t ln g t 2t ln 2018 g t 2018.e 2t Do 1 f x dx g x dx 2018 e x dx 1009e x 0 1009e 1009 Chọn A x2 Câu 112 Cho hàm số f x nhận giá trị không âm liên tục đoạn 0;1 Đặt g x f t dt Biết g x xf x với x 0;1 , tíchphân g x dx có giá trị lớn B e 1 C D e g Lời giải Từ giả thiết g x f t dt , ta có g x 0, x 0;1 g ' x xf x g 'x g x g 'x Theo giả thiết g x xf x g x A x2 g 'x t Suy g x t t t 0 dx 1dx , t 0;1 ln g x x ln g t ln g 0 t ln g t t g t e t Do g x dx e x dx e 1 Chọn B 0 Nhận xét Gọi F t nguyên hàm hàm số f t đoạn 0; x Khi g x F t x2 / F x F 0 g ' x F x x F / x xf x / Câu 113 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1, thỏa f ' x f x 0, x 0;1 Giá trị lớn biểu thức 1 dx f x f 0. e 1 e f 'x 1, x 0;1 Lời giải Từ giả thiết f ' x f x 0, x 0;1 ta có f x A t Suy B f 'x f x t e 1 e C t t 0 dx 1dx , t 0;1 ln f x x D e 1 ln f t ln f 0 t f t f 0 e t 39 Do f 0. 1 e 1 dx x dx Chọn B f x e e Câu 114 Cho hàm số f x liên tục 0; , thỏa mãn f x dx cos xf x dx Giá trị nhỏ tíchphân 0 f x dx Lời giải Theo Holder A B C D 2 1 cos xf x dx cos xdx f x dx f x dx 0 Suy f x dx (Đến bạn đọc chọn A) Dấu '' '' xảy f x k cos x thay vào f x dx ta f x dx k cos xdx k.sin x 0 0 Điều hồn tồn vơ lý Lời giải Ta có f x dx 0 a a cos xf x dx a, b với cos xf x dx 2 a b b bf x dx Theo Holder 2 a b a cos x b f x dx a cos x b dx f x dx 0 Lại có a cos x b 2 a b Từ suy Do dx a 2b 2 f x dx a 2b với a, b a b a b 2 Chọn B f x dx max 2 a b Nhận xét: Ta nhân thêm a, b vào giả thiết gọi phương pháp biến thiên số a b Cách tìm giá trị lớn P ta làm sau: a 2b Nếu b P (chính đáp án sai mà làm trên) a a t a b a b b t 2t b Nếu b P Tới ta khảo sát hàm số dùng MODE dò tìm Kết 2 a 2b t2 2 a b 2 a t a 2b b a 2b Vậy dấu '' '' để toán xảy thay ngược lại điều kiện, ta f x b 2 cos x 1 cos x f x b 2 cos x 1 dx b thu GTLN P Lúc cos x 1 f x dx dx 40 Cách khác Đưa bình phương Hàm dấu tíchphân f 2 x , f x , cos xf x nên ta liến kết với f x cos x Với số thực , ta có 0 f x cos x f x dx cos x f x dx cos x 2 dx f x dx đạt giá trị nhỏ Ta có 2 2 1 3 2 Ta cần tìm , cho Vậy với ; ta có 1 f x cos x f x dx cos x 1 3 f x dx f x cos x Dấu '' '' xảy f x Suy Câu 115 Cho hàm số f x liên tục 0; , thỏa mãn sin xf x dx cos xf x dx Giá trị nhỏ tíchphân 0 f x dx A B C D 2 Lời giải Liên kết với bình phương f x sin x cos x Ta có f x sin x cos x dx 0 f x dx sin x cos x f x dx sin x cos x dx 2 f x dx 2 Phântích 2 2 2 Chọn C 2 Câu 116 Cho hàm số f x liên tục 0;1, thỏa mãn f x dx e x f x dx Gọi m giá trị nhỏ tíchphân 0 f x dx Mệnh đề sau đúng? A m B m C m D m a ae x f x dx Lời giải Từ giả thiết, ta có b bf x dx Theo Holder 1 1 2 x a b ae b f x dx ae x b dx f x dx 0 Lại có 41 ae x b dx a e x 2abe x b dx Suy Do 0 e 1 a e 1 ab b a b với a, b a b 2 e 1 a e 1 ab b a b 1 f x dx max 3,1316 Chọn D 1 e e e 1 a e 1 ab b 2 f x dx Câu 117 Cho hàm số f x liên tục 0;1 thỏa mãn 1 f x dx 0 x f x dx Giá trị nhỏ tíchphân f x dx A B C D a a x f x dx Lời giải Từ giả thiết, ta có b bf x dx Theo Holder 1 1 2 2 a b a x b f x dx a x b dx f x dx 0 Lại có a x b dx Do a ab b2 a b Suy f x dx với a, b a b a ab b a b f x dx max Chọn D a ab 2 b 2 Cách Liên kết với bình phương f x x Ta có f x x dx f x dx x f x dx x dx 0 f x dx 2 2 1 18 3 Phântích Câu 118 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 1;2, thỏa x f x dx 31 Giá trị nhỏ tíchphân f x dx A 961 B 3875 C 148955 Lời giải Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta 42 D 923521 2 2 2 31 x f x dx x xf x dx x dx x f x dx x dx f x dx Suy f x dx 314 2 3 x dx 1 3875 Dấu '' '' xảy f x kx nên k x dx 31 k f x x Chọn B Câu 119 Cho hàm số f x liên tục có đạo hàm đến cấp 0;2 thỏa f 0 f 1 f 2 Giá trị nhỏ tíchphân f '' x dx A B Lời giải Ta có C f '' x dx x dx f '' x dx 2 0 D 1 2 x f '' x dx Holder udv x f ''x dx f ' 1 f 0 f 1 ; 2 Holder f '' x dx 3 x 2 f '' x dx 1 2 1 f '' x dx x 2 dx udvx f ''2x dx Suy f '' x 2 f ' 1 f 2 f 1 2 dx f ' 1 f 0 f 1 f ' 1 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 Chọn B 2 a b Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức bước cuối a b Câu 120 Cho hàm số f x có đạo hàm 1;3 f 1 0, max f x 10 Giá trị nhỏ tíchphân 1;3 f ' x A B C 10 D 20 Lời giải Vì max f x 10 x 1;3 cho f x 10 1;3 x 1;3 cho f x 10 f 0 Theo Holder x0 x0 x0 x0 12 dx f ' x dx x 1 f ' x dx f ' x d x 1 2 x0 2 x0 Mà f ' x dx f x f x f 1 10 x0 Từ suy f ' x dx 10 x 1 x0 2 10 10 Chọn B f ' x dx f ' x dx x 1 1 1 43 dx ... t sin 2018 t x sin 2018 x d t d t sin2018 t cos2018 t sin 2018 x cos2018 x dx sin 2018 t cos2018 t 0 2018 x sin 2018 x x sin 2018 x sin 2018 x d x... dx 2018 2018 2018 2018 2018 sin x cos x sin x cos x sin x cos2018 x 0 Suy I sin 2018 x sin 2018 x sin 2018 x I dx dx dx 2018 2018 sin 2018. .. sin 2018 x cos 2018 x sin 2018 x cos 2018 x sin x cos x Đặt x u ta suy sin 2018 x cos2018 u cos2018 x dx du dx 2018 2018 2018 2018 2018 sin x cos x