Bài tập giải tích 1

 Định nghĩa hàm hai nhiều biến và MXĐ của hàm số.. Định nghĩa và cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số.. Định nghĩa tính liên tục của hàm số..  Định nghĩa và cách tính đạo hàm r

Chương 4 Phép tính vi phân hàm nhiều biến

A Lý thuyết.

 Định nghĩa hàm hai (nhiều) biến và MXĐ của hàm số Định nghĩa và cách tính giới hạn dãy điểm, giới hạn hàm số Định nghĩa tính liên tục của hàm số

 Định nghĩa và cách tính đạo hàm riêng cấp 1 Biểu thức và ứng dụng cua vi phân cấp

1 Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp Cách tính đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 (cấp cao)

 Định nghĩa cực trị Các định lý điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (quy tắc tìm cực trị) Công thức tính đạo hàm hàm ẩn Định nghĩa cực trị có điều kiện Cách tìm cực trị có điều kiện Cách tìm max và min của hàm số trên tập đóng và giới nội

B Bài tập.

a) zlnxy b) 1 2

z

y x



 1 Tìm miền xác định của các hàm sau đây

z

z

arcsin y

z

x



Lời giải.

a)D( , )x y 2:xy0

b) D x y, 2: yx2

2

d) D( , )x y 2: x y x 

e) Hàm số xác định khi

1



f) Hàm số xác định khi

2 Tính các giới hạn sau đây

a)  2 2

0

0

1

x

y

xy





2

sin lim

x y

xy x





c) 2

lim 1

x

x y

y x

 





d) lim 2 2

x

y

x y

 

 



0 0

lim

1 1

x y







1

2 2 0

0

x y







Lời giải.

a) Từ  2 2 1 2 2

xy

0 0

x y





, theo tiêu chuẩn kẹp, ta được

0 0

1

x y

xy





b)

0 / 0

y

y x x

y

e





y  x y   x   y

 

  , theo tiêu chuẩn kẹp, ta được

x y

x y

 

 





0

y





f) Do

2 2

1

x y

2 2

x y

x y

3 Chứng minh các hàm sau đây không có giới hạn khi x y ,  0,0

a) f x y ,  x

x y



f x y





 

2 2

2

2 2

f x y



Lời giải.

a) Do khi k  , ta có

1 1

2 2

1 1

1 2

k k

k k

x y

k k

x y

k k







nhưng  

1 1

2 2

,

1/

1/ 2 /

k k

k k

k

f x y

k

f x y









b) Do khi k  , ta có

1 1

2 2

1 1

2 1

k k

k k

x y

k k

x y

k k







nhưng

1 1

2 2

,

k k

k k

f x y

f x y









c) Do khi k  , ta có

1 1

2 2

1 1

k k

k k

x y

k k

x y

k k









nhưng

1 1

2

2 2

2

1/ 1/

,

k k

k k

f x y

f x y











4 Tính các đạo hàm hàm riêng cấp 1 và vi phân toàn phần của các hàm sau đây

a) z x 3 y3 3xy b)

z





x

z e

g) zlnx x2y2 h) z arctgy

x

x





j) xyzsin y

u e

z

z

x

y

  

  l) ulnxy + z

Lời giải.

a) zx 3x2 3 ,y zy 3y2 3x và dz 3x2 3y dx 3y2 3x dy

b)

,



 2 22

4xy xdx ydy

dz





2

1

x

cos

y x

d) Ta có z e x ylnx Vậy

   

e) z x y x2 y1,z y x y yx ylnx x y(1 y xln )

y

dz x y x dx  y x dy

f)

,

2

dz

x y xy





g)

1

1 ,



,

dz

h)

2

,

dz



i)

,

dz



    j) xyzsin y

u e

z



*)ux yzexyzsin ,uy y xzexyzsiny 1e cos ;uxyz y z xyexyzsiny y2e cosxyz y

*)du exyz yzsin dxy xzsiny 1cosy dy xysiny y2cosy dz

ç

= ç +ççç + ÷÷ +ççç - ÷÷ ÷÷

k)

z

x

y

  

z 1

2

l) ulnxy + z

( )

1

xy z

+

5 Chứng minh rằng

a) Hàm zlnx2xy y 2 thoả phương trình x z y z 2

b) Hàm zxy xe y x/ thoả phương trình x z y z xy z

Lời giải.

a) Ta có

,

Khi đó

2

b) Ta có

Khi đó

6 Dùng biểu thức vi phân cấp 1 tính gần đúng trị của các biểu thức

a) A 1,0031,995 b) B  9 1,95 28,12 c) 1,02

arctg 0,95

C  Lời giải Trong bài này ta áp dụng công thức

 0 , 0   0, 0 x 0, 0 y 0, 0

f x  x y  y f x y  f x y  x f x y y

a) Đặt

x y0, 0  1;2 ,  x y,   0,003; 0,005  ,

 ,  y, x y 1; y yln

f x y x fyx  fx x,

 0, 0 1, x 0, 0 2, y 0, 0 0

Ta được

Af x  x y  y        b) Đặt

x y0, 0  2;8 ,  x y,   0,05;0,1 ,

 ,  9 2 2, 92 2 ; 2 2

 0, 0 10, x 0, 0 1,8, x 0, 0 0,8

Khi đó

Bf x  x y  y        c) Đặt

x y0, 0 1;1 ;  x y,   0,02; 0,05 ,

 ,  arctg ,x x 2 y 2, y 2 x 2



 0 0  0 0  0 0

f x y  f x y  f x y  Khi đó

C f x  x y  y       

7 Tính đạo hàm hàm riêng của các hàm hợp sau đây

a) Choz x2sin ,y x u,y v u

v

   Tính z z u, v

b) Cho ( , ) arctg ,f x y x x usin ,v y ucos v

y

   Tính , f f u v

arctg ,x cos

y

  Tính z x

d) Cho f x y( , ) ln sin x ,x 3 ,t y2 1 t2

y

    Tính f  t

Lời giải.

a) Ta có

2

,

2

v

u

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

2 2 3

2

2 2

u x u y u

u x v y v

u v

u

v

b) Cho ( , ) arctg ,f x y x x usin ,v y ucos v

y

   Tính , f f u v

u x u y u

u x v y v

c) Ta có

2

y

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được

 

x y

d) Cho f x y( , ) ln sin x ,x 3 ,t y2 1 t2

y

    Tính f  t

t x t y t

8 Tính các đạo hàm hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm sau đây

a) zln(x2 y) b) z 2xy y 2

c) arctg

1

x y z

xy





1

u



 

Lời giải.

,

2



c)

 

2

1

,

x

xy



1

u



 

( )

2

3

y z dx x z dy x y dz 2xydxdy 1

d u

2xzdxdz 2yzdydz

9 Tính đạo hàm của các hàm ẩn xác định bởi các phương trình sau đây

a) arctgx y y- =0 Tínhy (x)



 b) xe yye x e xy 0 Tính ( )y x c) x3y3z3 3xyz0 Tính , z z x y d)    

0 Tính ,

y x z x

   







Lời giải.

a) Ta có

 : y x xy, x y x xy, y y x xy

F x xe ye  e Fe ye  ye Fxe e  xe

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn, ta được

 

x

y

y x

b) F x :xy lny a   

 

2

x y

y x



c) F x :y x  x y   

1 1

ln ln

x

y

y x





x

   xác định hàm ẩn z = z(x,y) Chứng minh rằng

x

Giải

11 Tìm cực trị của các hàm sau đây

a) z4(x y ) x2 y2 b) z x 2xy y 2 x y1

c) z x y xe   y d) z(x 1)22y2

e) z2x4 y4 x2 2y2 f) z2xy 3x2 2y210

z xy

i) u x 2y2z2 xy x  2z j) u x 3 y2 3x4y z 2 z 8

Lời giải.

a)  Tìm điểm tới hạn

  0

2, 2

x y

M





 Xác định điểm cực trị

2; 0; 2

z  z  z  Tại M0: A2 0, B0,C2,B2 AC 4 0

0

M

 là điểm cực đại và zmax 8

1,1

x

y

M





 z xx 2;z xy 1;zyy 2

Tại M0: A 2 0,B1,C 2,B2 AC 3 0  M0 là điểm cực tiểu và zmin 0

1,0 0

y x

y y

M y







 z xx 0;zxy e z y; yy xe y

Tại M0: A0,B1,C 1,B2 AC  1 0Hàm số không có cực trị

  0

1,0 0

x

y

M y







 z xx 2,z xy 0,zyy 4

Tại M0: A 2 0,B0,C 4,B2 AC  8 0  M0 là điểm cực tiểu và zmin 0; e)  Tìm các điểm tới hạn

3 3

1

2

x

y





Vậy hàm số có 9 điểm tới hạn

 

 Xác định điểm cực trị

z  x  z  z  y 

* Tại M1: A2 0, B0,C 4,B2 AC 8 0

1

M

 là điểm cực đại và zmax 0

* Tại M2,3: A2 0, B0,C 8,B2 AC 16 0

2,3

M

 không phải là điểm cực trị

* Tại M4,5: A 4 0,B0,C 4,B2 AC16 0

4,5

M

 không phải là điểm cực trị

* Tại M6,7: A 4 0,B0,C8,B2 AC 32 0

M6,7 là điểm cực tiểu và min 9

8

* Tại M8,9: A 4 0,B0,C 8,B2 AC 32 0

M8,9 là điểm cực tiểu và min 9

8

0,0

x

y

M





 z xx 6;zxy 2;zyy 4

Tại M0: A6 0, B2,C 4,B2 AC 20 0  M0 là điểm cực đại và

max 10

g)  Tìm điểm tới hạn

x y







1 2, 1 , 2 1, 2 , 3 2,1 , 4 2,1

 Xác định điểm cực trị

z  x z  y z  x

* Tại M1: A12 0, B6,C 12,B2 AC 108 0

1

M

 là điểm cực tiểu và zmin 22

* Tại M2: A6 0, B12,C 6,B2  AC 108 0

2

M

 không phải là điểm cực trị

* Tại M3:A12 0, B6,C 12,B2  AC 108 0

3

M

 là điểm cực tiểu và zmin 22

* Tại M4:A 6 0,B12,C 6,B2  AC 108 0

4

M

 không phải là điểm cực trị

2

0 2

50 0

5

5, 2

0

x

y

x x

M y

y











5

A  B C  B  AC    M0 là điểm cực tiểu và zmin 30

12 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây

a) zxy với x y 1 b) zcos2xcos2y với

4

y x 

c) z x 2y với x2 y2 5 d) 1 1

z

  với 12 12 12

x  y a

Lời giải.

a) Do

x y   y  x, nên ta đưa được bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến

  2,

zz x  x x x 

Ta có

2

2

z x  z 

Vậy hàm z x  đạt cực đại tại 1

2

x  nên hàm z x y , đạt cực đại có điều kiện tại

 ,  1 1,

2 2

x y  

4

b) Do

y x   y x  nên ta đưa bài toán về bài toán tìm cực trị hàm một biến

  cos2 cos2 ,

4

zz x  x x x

Ta có

z x  x  x x x  x 

  0 2

k

z x   x   k x   và   2 2 cos 2

4

z x   x

  2 2, 2 1

k

Vậy hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại

2 1 2 1

,

và đạt cực đại có điều kiện tại

,

c) Hàm Lagrange

 , ,  2  2 2 5

L x y   x y  x y 

Tìm điểm tới hạn

 

1 2

1

2

1

1, 2 ; 1/ 4

x y

M



          





         



 

Xác định điểm cực trị

2

2

2 1

x

y

            



    

            





* Tại 1 

1

2

M  

d L     dx  dx 

    M1 là điểm cực đại có điều kiện

* Tại 2  1

2

M    

d L    dx  dx 

    M2 là điểm cực tiểu có điều kiện d) Hàm Lagrange

 , ,  1 1 12 12 12 , 0

        

Tìm điểm tới hạn

1

2

0

2

2 , 2 , 2

2

x

y

L

a

a







  





Xác định điểm cực trị

3

y





           





6

    

* Tại 1 2 , 2 , :

2

a

M  a  a  

2

dx

M là điểm cực tiểu có điều kiện

* Tại 2 2 , 2 , :

2

a

M a a  

2

dx

M là điểm cực đại có điều kiện

13 Trong tất cả các tam giác vuông có diện tích bằng 1, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ nhất.

Lời giải Gọi x y z , , 0 lần lượt là hai cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông có

diện tích bằng 1 Khi đó

2 2

x

   và z x2y2 :z x y ,  Bài toán được đưa về bài toán tìm cực trị của hàm số

4

2

x x



Ta có

4

2 4

4

4





Lập bảng xét dấu z x ta thấy x  2 là điểm cực tiểu của hàm số z x  nên hàm z x y ,  đạt cực tiểu tại  2, 2 Vậy trong tam giác vuông có diện tích bằng 1 thì tam giác vuông cân

là tamgiác có cạnh huyền nhỏ nhất và bằng 2

15 Tính max và min của các hàm sau đây trên tập đóng và giới nội D tương ứng

a) z x y 2 4 x y  với D được giới hạn bởi các đường x0, y0, x y 6

b) zsinxsinysinx y  với ( , ) 2: 0 ,0

D x y   x   y 

c) z x 2 y2 với D x y, 2:x2y2 4

d) z e x2y2 2x23y2 với D x y, 2:x2 y21

Lời giải.

a) Ta có

 

Tìm điểm tới hạn trong D0  x y, 2: 0x6,0 y 6 x : Ta có

z x y  x y  x y x y x y  Giải hệ phương trình

2

x

y







Vậy trong D0 , hàm số có một điểm tới hạn M12,1 và z M  1 4.

 Tìm điểm tới hạn trên D:

* Trên OA x: 0,y0,6 : z0

* Trên OB y: 0,x0,6 : z 0

* Trên AB y:  6 x x, 0,6 Ta có hàm một biến

z x y  x y  x  x z x

  2

x

z  x  x  x 

Trên AB, hàm số có một điểm tới hạn M22, 4 và z M( 2)64

* Tại các điểm O0,0 , A0,6 , B6,0 : z A  z B  z B 0

So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn, ta được

D z  đạt tại M12,1 và minD z 64 đạt tại M24, 2 .

b)  Tìm các điểm tới hạn trong 0 ( , ) 2: 0 ,0

D x y   x   y 

 

x

y







 ,  , 0

3 3

x y   D

,

z 

Tìm các điểm tới hạn trên D:

2

OA y  x  

  z2sinx và z x 2cosx 0 VN

2

OB x y  

  z2siny và z y  2cosy 0 VN

BC y x  

2

z  x x  x x

và

z x  x x  x  z   

x

y

0

6

6

A

B

2

M2

12 M1

4

Hình 1

x

y

B

M2

M3

/ 2



M1

/ 3



3



C

/ 4



4

 2



Hình 2

* : , 0, :

OB x y  

2

z  y y  y y

và

z y  y y  y  z  

* Tại các đỉnh 0,0 , ,0 , , , 0,

O A  B  C 

  0,       2

z O  z A z B z B  Kết luận:

3 3

c)  Tìm điểm tới hạn trong D0  x y, 2:x2y2 4 : Ta có

 

x y

z





Tìm điểm tới hạn trên D x: 2 y2 4

Cách 1 Hàm Lagrange

 , ,  2 2  2 2 4

L x y  x  y   x y 

Ta có

4 4

x

y

          







Kết luận

D

D z z

Cách 2.

Xét

 

zx  y  x   z x  x  x

So sánh các giá trị

 0 4,  2  2 4

ta được

D

D z z

x

y

2

2

2



x

y

1

1

1



d)  Tìm các điểm tới hạn trong D0  x y, 2:x2 y21 Ta có

 

x y

x

x y

y

 

 





0

x y

 





x y,  0,0 D0 z0,0 0

Tìm các điểm tới hạn trên biên D x: 2 y2  1 y2  1 x2 Ta có

 

x y

e

So sánh các giá trị

 0 3,  1  1 2

ta được

3

D

e