Bang đao ham cua ham h p hai biên̉ ̣ ̀ ̉ ̀ ợ ́ 1 (f(x) a )’ = a f a-1 (x) f’(x) a = -1: (1/f(x))’ = -f’(x) / f 2 (x) a=1/2: ( )(xf )’ = f’(x) / 2 )(xf 2 (e’ f(x) )’ = f’(x) e f(x) 3 (a f(x) )’ = a f(x) lna (a>0) 4 (ln(f(x))’ = f’(x) / f(x) 5 (sin f(x))’ = cos f(x). f’(x) 6 (cos f(x))’ = - sin f(x). f’(x) 7 (arcsin f(x))’ = f’(x) / (1+ f 2 (x)) = -(arccos f(x))’ 8 (arctg f(x))’ = f(x)’ / (1 + f 2 (x)) = -(arccotg f(x)) 9 C x tg x dx += ∫ 2 ln sin 1 0 ∫ ∫ + ∏ += ∏ + = C x tg x dx x dx 42 ln 2 sin cos 1. Cho hàm s z = arctg (x/y)’ CMR z’’ố xx + z’’ yy = 0 Ta có: z’ x = (x/y)’ / (1+ (x/y) 2 ) = (1/y) / (x 2 + y 2 )/y 2 = y/( x 2 + y 2 ) z’’ xx = (-2xy)/ ( x 2 + y 2 ) 2 z’ y = (x/y)’/(1+(x/y) 2 ) = -x/(x 2 +y 2 ) z’’ yy = 2xy/(x 2 +y 2 ) 2 v y suy ra đpcm .ậ 2. Cho hàm s z = ln(1/r) v i r=ố ớ 22 yx + CMR z’’ xx + z’’ yy =0 Ta có: (ln(1/r))’ = (1/r)’ / (1/r) z’ x = (1/r)’/(1/r) = -( 22 yx + )’ / (x 2 + y 2 ) = -x /(x 2 + y 2 ) z’’ xx = (-x/(x 2 + y 2 ))’ = (x 2 – y 2) / (x 2 + y 2 ) 2 z’ y = (1/r)’/(1/r) = -( 22 yx + )’ / (x 2 + y 2 ) = -y /(x 2 + y 2 ) z’’ yy = (-y /(x 2 + y 2 ))’ = (y 2 - x 2) / (x 2 + y 2 ) 2 suy ra dpcm 3. Cho hàm số z’ x = arctg x/y + x (x/y)’ /(1 + (x 2 / y 2 )) – 2x = arctg x/y + x/ y(1 + (x 2 / y 2 )) – 2x z’ y = -x 2 /(y 2 (1 + (x 2 /y 2 ))) – 2y suy ra dpcm 4. Tính các đ o hàm riêng c a hàm sạ ủ ố Xem y = const ta tìm đ cượ 222222 1 1 1 yxyx x yxx dx df + = + + ++ = Xem x = const ta tìm đ cượ 2222 . 1 yx y yxx dy df +++ = 5. Tìm vi phân toàn ph nầ ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 2 2 2 . 2 1 1 yx ydxxdy yx ydxxdy yx yx yx yx d yx yx dz + − = − − + − = − + − + + = 6. Tìm c c tr c a hàm sự ị ủ ố Hàm z đ c vi t l i nh sau z = eượ ế ạ ư x (x 2 + 4x + 4y – y 2 ) Tìm đi m d ng c a zể ừ ủ z’ x = e x (x 2 + 4x + 4y – y 2 ) + e x (2x + 4) = 0 z’y = e x (4 – 2y) = 0 Gi i h trên ta đ c hai đi m d ng Mả ệ ượ ể ừ 1 (-2,2); M 2 (-4,2) Đi u ki n đề ệ ủ z’’ xx = [e x (x 2 + 6x + 4y – y 2 + 4)]’ = e x (x 2 + 6x + 4y – y 2 + 4) + e x (2x + 6) = e x (x 2 + 8x + 4y – y 2 + 10) z’’ yy = [e x (x 2 + 6x + 4y – y 2 + 4)]’ = e x (4 – 2y) z’’ yx = e x (4 – 2y) Xét đi m Mể 1 (-2,2) ta có A = z’’ xx |M 1 = -2 e -2 C = z’’ yy |M 1 = 0 B = z’’ yx |M 1 = 0 V y AC – Bậ 2 = 0 ch a k t lu n đ c.ư ế ậ ượ Xét đi m Mể 2 (-4,2) ta có A = z’’ xx |M 2 = -2 e -4 C = z’’ yy |M 2 = 0 B = z’’ yx |M 2 = 0 V y AC – Bậ 2 = 0 ch a k t lu n đ c.ư ế ậ ượ 7. Tìm c c tr c a hàm s z = xự ị ủ ố 3 + y 3 – 3xy Tìm đi m d ng c a zể ừ ủ z’ x = 3x 2 – 3y z’ y = 3y 2 – 3x gi i h trên ta đ c Mả ệ ượ 1 (0,0) và M 2 (1,1) đi u ki n đề ệ ủ z’’ xx = 6x z’’ yy = 6y z’’ yx = -3 Xét đi m Mể 1 (0,0) ta có A = z’’ xx |M 1 = 0; C = 0; B = -3 Ta có AC – B 2 > 0 có c c tr A=0 đ t c c đ i ự ị ạ ự ạ Z(M 1 ) = 0 Xét đi m Mể 1 (0,0) ta có A = z’’ xx |M 2 = 6; C = 6; B = -3 Ta có AC – B 2 > 0 có c c tr v i A>0 đ t c c ti uự ị ớ ạ ự ể Z(M 2 ) = -1 8. Tìm c c tr c a hàm s z = xự ị ủ ố 2 + xy +y 2 - 4lnx – 10lny x, y > 0 F’(x)= 2x + y – 4/x F’(y)= x+2y - 10/y Đi m d ng là nghi m ể ừ ệ =+ =+ (2) 010/y -2y x (1) 0 4/x -y 2x => =+ =+ (2) 0 10 - 2yxy (1)y 4/x 2x - 2 Thay (1 ) vào (2) ta dc 0 10 - 4/x) (-2x *24/x) (-2x *x 2 =+++ 0 10 - 32 - 32/x 8x4 2x- 222 =+++ 0 38 - 32/x 6x 22 =+ 0 x38 -32 6x 24 =+ = = 3 16 1 2 2 x x => = = 3 34 1 x x X= 1 thì y =2 X= 3 34 thì y = -2* 3 34 + 3 < 0 (lo i )ạ A= f’’(x)= 2 + 2 4 x = 6 t i x=1ạ C=f’’(y)=2 + 2 10 y = 2 9 t i y=2ạ B = f’’yx = 1 Ta có AC – B 2 = 26>0 v i A>0 hàm s đ t c c ti u t i đi m d ng (1,2) c c ti u z = 3 – 10 ln2ớ ố ạ ự ể ạ ể ừ ự ể 9. Tính các đ o hàm riêng c a hàm n z =z(x,y) xác đ nh t ph ng trình x+y+z =eạ ủ ẩ ị ừ ươ z Ta có F(x,y,z) = e z – x –y –z =0 F’ x (x,y,z) = -1 F’ y (x,y,z) = -1 F’ z (x,y,z) = e z – 1 Do đó z’ x = z’ y = 1 1 − z e 10. Tìm c c tr c a hàm s z = xự ị ủ ố 3 + y 3 – x – y Đi m d ngể ừ Z’ x = 3x 2 – 1 Z’ y = 3y 2 – 1 Gi i h trên ta có hai đi m d ng Mả ệ ể ừ 1 (1/ 3 ,-1/ 3 ) và M 2 (-1/ 3 ,1/ 3 ) Đi u ki n đ ề ệ ủ Z’’xx = 6x Z’’yy = 6y X’’yx = 0 T i M1 ta có A = 6/ạ 3 C = -6/ 3 B =0 ta có AC – B 2 = - 36*3 <0 không có c c trự ị T i M2 ta có A = -6/ạ 3 c = 6/ 3 B =0 v y AC – Bậ 2 = -36*3 <0 không có c c trự ị 11. Tính I = ∫ ∫ + 3)( yx dxdy = ∫ ∫ +− + 2 1 3 1 3)( x yx dy dx = ∫ + − 2 1 2 )(2 1 yx dx | y=1 y= 3-x = ) 18 1 )1(2 1 ( 2 2 1 − + ∫ x dx = )1(2 1 + − x | 2 1 - x 18 1 | 2 1 = 1/36 12. Tính Ta có I = ( ) dyyxxdx x x ∫∫ − 2 23 1 0 = ∫ − 1 0 22 3 2 yx yxdx |x 2 x = dx x x x xx −− − ∫ 22 6 5 1 0 3 3 = | 1 0 764 2 9 14 1 6 1 8 1 9 2 +−− xxxx 13. Tính Ta có I = ∫∫ + + x dyyxdx 1 1 1 0 )ln( b ng cách tích phân phân đo n ta đ c ằ ạ ượ ∫ ∫ + + + + −+=+ x x x yx ydy yxydyyx 1 1 1 1 1 1 | )ln()ln( = (1+x)ln(1+2x) – ln(1+x) - ∫ + − dy yx x )1( = (1+x)ln(1+2x) – ln(1+x) – x – xln(1+2x) – xln(1+x) =(1+2x)ln(1+2x) – (1+x)ln(1+x)-x Do đó I = [ ] ∫ −++−++ 1 0 )1ln()1()21ln()21( dxxxxxx Dùng ph ng pháp tích phân phân đo n ta đ cươ ạ ượ I= ||| 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 21 1 . 2 )1( )1ln( 2 )1( 21 2 . 4 )21( )21ln( 4 )21( x dx x x x x dx x x x x − + + ++ + − + + −+ + ∫∫ = 2 1 )1( 4 1 2ln2)21( 8 1 3ln 4 9 || 1 0 2 1 0 2 −++−+− xx = 4 3 2ln23ln 4 9 −− 14. Tính Đ ng xườ 2 + y 2 –x =0 là đ ng tròn tâm t i (1/2,0) bán kính b ng ½ , chuy n sang h t a đ c cườ ạ ằ ể ệ ọ ộ ự ph ng trình trình c a đ ng tròn đó là r = cosư ủ ườ ϕ Mi n l y tích phân trong m t ph ng(r, ề ấ ặ ẳ ϕ ) là - 2 ∏ <= ϕ <= 2 ∏ ; 0<= r<= cos ϕ Do đó ta có ∫ ∫ + ' 2 )1( D rdrdr ϕ = ∫ ∫ ∏ ∏− + 2 2 cos 0 3 )( ϕ ϕ drrrd = ∫ + ϕ ϕ d rr | cos 0 24 ) 24 ( = ∫ ∏ ∏− + 2 2 24 cos 2 1 cos 4 1 ϕϕϕ d = ∫ ∫ ∏ ∏ + 2 0 2 0 24 coscos 2 1 ϕϕϕϕ dd = 32 11∏ 15. Tính Chuy n sang h t a đ c c, ph ng trình c a đ ng tròn xể ệ ọ ộ ự ươ ủ ườ 2 + y 2 =2x là r = 2cos ϕ . Mi n D’ trongề m t ph ng (r, ặ ả ϕ ) đ c xác đ nh b i 0<=ượ ị ở ϕ <= 2 ∏ , 0<=r<=2cos ϕ I= ∫ ∫ ∏ − 2 0 cos2 0 2 4 ϕ ϕ rdrrd = ∫ ∏ −− 2 0 cos2 0 2 3 2 )4( 3 2 2 1 ϕ ϕ dr = ϕϕ d ∫ ∏ − 2 0 3 )sin1( 3 8 = − ∏ 3 2 23 8 16. Tính tích phân Đ t P(x,y) = xy + x + y, Q(x,y) = xy + x –yặ Ta có 1;1 +=+= y x Q x y P δ δ δ δ Áp d ng công th c Green vào tích phân đ ng ụ ứ ườ ∫ += L QdyPdxI ta đ c ượ ∫ ∫ −= D dxdyxyI )( trong đó D là đ ng tròn gi i h n b i đ ng L. chuy n sang h t a đ c c ph ng trình c a đ ng tròn Lườ ớ ạ ở ườ ể ệ ọ ộ ự ươ ủ ườ là r = acos ϕ ; 22 ∏ <=<= ∏ ϕ ta đ cượ ∫ ∫ ∫ ∏ ∏− ∏ ∏− −=−= 2 2 cos 0 2 2 cos 0 3 2 | 3 )cos(sin)cos(sin ϕ ϕ ϕϕϕϕϕϕ a a d r drrdI = ∫ ∏ ∏− − 2 2 3 3 cos 3 )cos(sin ϕϕϕϕ d a = 822 1 4 3 3 2 cos 3 2 33 2 0 4 3 aa d a ∏ −= ∏ −= − ∫ ∏ ϕϕ 17. Tính tích phân Đ t P(x,y) = y ; Q(x,y) = xặ Ta có 1;1 == x Q y P δ δ δ δ Áp d ng công th c Green vào tích phân đ ng ụ ứ ườ ∫ += L QdyPdxI ta đ c ượ ∫ ∫ = D dxdyI trong đó D là đ ng tròn gi i h n b i đ ng L. chuy n sang h t a đ c c ph ng trình c a đ ng tròn L là ườ ớ ạ ở ườ ể ệ ọ ộ ự ươ ủ ườ r = acos ϕ ; 22 ∏ <=<= ∏ ϕ ta đ cượ 18. Ph ng trình vi phân c p 1ươ ấ a. Ph ng trình có bi n phân lyươ ế y’ = f(x,y) (1) có tích phân t ng quát ổ ∫ ∫ =+ CdyyMdxxM )()( b. Ph ng trình phân ly bi n sươ ế ố M 1 (x)N 1 (y) dx + M 2 (x)N 2 (y)dy =0 (2) TH1: N 1 (y) = 0 => y = y 0 là nghi mệ TH2: M 2 (x) = 0 => x = x 0 là nghi mệ TH3: M 2 (x)N=(y) <> 0 chia c hai veescuar (2) cho Mả 2 (x)N=(y) đ c pt (1) d ng làượ ạ 0 )( )( )( )( 1 2 2 1 =+ dy xN yN dx xM xM c. D ng pt phân ly bi n sạ ế ố 222 111 ' cybxa cybxa y ++ ++ = (3) Th a mãn ỏ 2 1 2 1 b b a a = (3) s đ a v pt có bi n phân ly (2) nên đ t aẽ ư ề ế ặ 1 x + b 1 y = u ho c aặ 2 x+b 2 y =u trong đó u=u(x). VD1: y’ tgx + (1+y 2 )=0 Ta có 01 2 =++ ytgx dx dy hay 0)1( 2 =++ dyytgxdx (1) TH1: tgx =0 => x = k ∏ ∈ Zk là nghi m (1)ệ TH2: tgx(1+y 2 )<> 0 chia hai v c a (1) cho tgx(1+yế ủ 2 ) đ c ượ 0 1 2 =+ + tgx dx y dy (2) là ph ng trình có bi n phân lyươ ế ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =++= + += + += + + 0ln|sin|ln 1 sin sin 1 cos 1 222 Carctgyx y dy x xd y dy s xdx y dy tgx dx ln(Csinx) = - arctgy hay arctgy exC − =sin là nghi m t ng quát c n tìm.ệ ổ ầ VD2: x(y 2 -1)dx + (x 2 +1)(2y+1)dy =0 (1) TH1: y 2 -1 =0 y = +- 1 là các nghi m c a (1)ệ ủ TH2: (y 2 – 1 )(x 2 + 1) <> 0 chia c 2 v c a (1) cho (yả ế ủ 2 – 1 )(x 2 + 1) 0 1 12 1 22 = − + + + dy y y dx x x (2) Có ∫ ∫∫∫∫ − + − − + + + = − + + + 11 )1( 1 )1( 2 1 1 12 1 22 2 2 2 22 y dy y yd x xd dy y y dx x x + − +−++= + − − +−++= ∫ 1 1 ln 2 1 |1|ln)1ln( 2 1 1 1 1 1 2 1 |1|ln)1ln( 2 1 2222 y y yxdy yy yx C(x 2 +1)(y 2 -1) 1 1 1 = + − y y hay (x 2 +1)(y-1) 3 (y+1) =C 19. PT tuy n tính và PT Becnulyế y’ + p(x)y = q(x) (1) y’ + p(x)y = 0 (2) y’ + p(x)y = q(x) α y (3) PT becnuly ≠ α 0, ≠ α 1 Cách gi i (1),(3)ả - Tìm m t nghi m c a pt th nh t (2) là y = ộ ệ ủ ứ ấ ∫ − dxxp e )( - Tìm y = uy 0 (4) trong đó u = u(x) c n tìm. Thay (4) vào (1) hay (3) đ c pt có bi n phân ly u’yầ ượ ế 0 = VP. VD: Gi i ả yyx y 3 sinsin 1 ' + = yyx dy dx hay yyx dx dy 3 3 sinsin sinsin 1 ' += + = x’ - yyx 3 sinsin = (1) - M t nộ o c a pt thu n nh t x’ – xsiny = 0 là ủ ầ ấ ∫∫ − == ydydyyp eex sin)( 0 - Th Becnuly x = uxế 0 t c là x = u.ứ y e cos− (2) trong đó u = u(y) c n tìm.ầ Th (2) vào (1) đ c u’ế ượ y e cos− = sin 3 y du = y e cos sin 3 y dy ∫ = ydyeu y 3cos sin đ t cosy = t => -sinydy = dtặ = ∫∫∫ ∫∫ +−−=+−=−=−− CetdteetCedtetdtedtetdtte tttttttt 2)1( 2222 = CeteetCedteteet ttttttt ++−=+−+− ∫ 222 22 thay t = cosy vào và th vào (2) đ c nghi mế ượ ệ c a pt. x = cosủ 2 y – 2cosy + 1 +c y e cos− 20. Tìm nghi m t ng quátệ ổ a. y y xy ln cos' = 0 lncos ' =− yx y y 0 lncos =− yx y dx dy 0lncos =− ydxydyx (1) TH1: y=0 là m t nghi m c a (1)ộ ệ ủ TH2: cosx=0 x =k ∏ là m t nghi m c a (1)ộ ệ ủ TH3:ycosx <> 0 chia c 2 v c a (1) cho ycosx ta đ cả ế ủ ượ 0 ln cos =+ − y ydy x dx (2) l y tích phân hai v c a (2) ta có ấ ế ủ 0 ln cos =+ − ∫∫ y ydy x dx hay 0)(lnln ) 2 sin( =+ ∏ + − ∫∫ yyd x dx v y ngi m t ng quát c a (2) là ậ ệ ổ ủ C yx tg =+ ∏ +− 2 ln ) 42 (ln 2 b. y’’ – y = xsin 2 x Xét ph ng trình thu n nh t y’’ – y = 0 (1) có pt đ c tr ng là ươ ầ ấ ặ ư 101 2 ±== >=− λλ là nghi mệ Ng t ng quát c a (1) là yổ ủ 01 = C 1 e -x + C 2 e x (2) Pt y’’ – y = xsin 2 x = 2 2cos 2 xxx − = f1(x) + f2(x) Xét y’’-y = 2 x (3) ph ng pháp VP đ c bi t ươ ặ ệ )( 1 xpe x α trong đó 0= α không là ng cua ptđt b c c aậ ủ p(x) là 1 ta có y 02 = ax+b (4) th (4) vào (3) và so sánh 2 v ta đ c a = -1/2 ; b =0ế ế ượ V y yậ 02 = -1/2 x (4’) Xét y’’-y = -x/2 cos2x (5) vpdb x e α [p 1 (x) cos β x + q 1 (x) sin β x] đây ở 0= α , β =2 và ii 2=+ βα không ph i là ng c a ptdt.ả ủ Ta có y 03 = (ax+b)cos2x + (cx+d)sin2x (6) th (6) vào (5) so sánh h s hai v ta đ c a=ế ệ ố ế ượ 10 1 ; b=0,c=0;d=0 V y yậ 03 = 10 1 xcos2x (6’) T (2), (4’),(6’) ta có nghi m t ng quát c a pt nh sauừ ệ ổ ủ ư y(x) = xxx 2cos 10 1 2 1 + − + C 1 e -x + C 2 e x 21. Tìm NTQ c a pt y’’+5y’+4y = eủ -4x pttn y’’+5y’+4y =0 (1) xét ph ng trình đ c tr ng aươ ặ ư 2 -5a+4 =0 có nghi m là aệ 1 = -1; a 2 =-4 NTQ c a (1) là yủ 01 = C 1 e -x + C 2 e -4x (2) Xét pt y’’ + 5y’ + 4y = e -4x (3) pp v ph i đb eế ả λ x P(x) trong đó λ =-4 là nghi m c a ptdtệ ủ V y nghi m t ng quát c a (3) là yậ ệ ổ ủ 02 = axe -4x (4) Th (4) vào (3) ta đ cế ượ y 02 = axe -4x (*4) y’ 02 = ae -4x - 4axe -4x (*5) y’’ 02 = - 4ae -4x -4ae -4x + 16axe -4x (*1) so sánh h s 2 v rút ra a = 1ệ ố ế v y yậ 02 = xe -4x (4’) t (2) và (4’) ta có NTQ c a pt là ừ ủ y 02 = xe -4x + C 1 e -x + C 2 e -4x 22.