bai tap giai tich ham

MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM QUA CÁC KỲ THI Trần Mậu Quý - K.16 - http://mathvn.com Tập tài liệu nhỏ tuyển chọn tập không gian định chuẩn thường xuyên xuất đề thi PGS.TS Nguyễn Hoàng Hầu hết chúng đơn giản mà học viên dễ dàng giải Toán tử tuyến tính liên tục Bài Cho X, Y hai không gian tuyến tính định chuẩn A : X −→ Y toán tử cộng tính, tức A(x + y) = Ax + Ay , với x, y ∈ X Chứng minh A liên tục A liên tục X Giải Trước hết ta có: • A(0) = A(0 + 0) = A(0) + A(0) nên A(0) = • = A(0) = A(x − x) = A(x + (−x)) = A(x) + A(−x) Suy A(−x) = −Ax với x ∈ X • A(x − y) = A(x + (−y)) = Ax + A(−y) = Ax − Ay , với x, y ∈ X Lấy x ∈ X Giả sử xn −→ x Khi xn − x −→ Do A liên tục nên A(xn − x) −→ A(0) = 0, hay A(xn ) − Ax −→ Suy A(xn ) −→ Ax Vậy A liên tục X Bài Cho X, Y hai không gian tuyến tính định chuẩn thực A : X −→ Y toán tử cộng tính Chứng minh sup ||Ax|| < +∞ A toán tử tuyến ||x||≤1 tính liên tục X Giải Ta dễ dàng chứng minh A(qx) = qAx, với q ∈ Q, x ∈ X Tiếp theo ta chứng minh A liên tục X Cách ( Gián tiếp ) Giả sử A không liên tục Khi đó: ∃ε0 > 0, ∀n ∈ N∗ , ∃yn ∈ X : ||yn || < Đặt xn = nyn ||xn || = n||yn || < n n2 = n ||Ayn || ≥ ε0 n2 ≤ 1, ∀n ∈ N∗ Tuy nhiên ||A(xn )|| = ||A(nyn )|| = n||A(yn )|| ≥ nε0 Suy sup ||Ax|| ≥ sup ||Axn || ≥ sup nε0 = +∞ Điều mâu thuẩn với giả thiết ||x||≤1 n∈N∗ n∈N∗ Do A liên tục Theo Bài A liên tục X Nếu X không gian định chuẩn phức phải giả sử A tuyến tính Tổng quát, A biến tập bị chặn X thành tập bị chặn Y MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Cách ( Trực tiếp ) Đặt M = sup ||Ax|| Lấy x ∈ X Giả sử xn −→ x ||x||≤1 cho M K Với ε > 0, chọn K ∈ N < ε Vì Kxn −→ Kx nên có n0 ∈ N cho ||Kxn − Kx|| < 1, ∀n ≥ n0 Suy ||A(Kxn − Kx)|| ≤ M , hay K||A(xn ) − Ax|| ≤ M Do ||A(xn ) − Ax|| ≤ M K < ε, ∀n ≥ n0 Vậy A(xn ) −→ Ax Cuối cùng, với r ∈ R, lấy dãy (rn ) ⊂ Q cho rn −→ r Khi đó: A(rx) = A( lim rn x) = lim A(rn x) = lim (rn A(x)) = ( lim rn )Ax = rAx n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Vậy A tuyến tính Bài Cho X, Y hai không gian tuyến tính định chuẩn thực A : X −→ Y toán tử cộng tính Giả sử dãy (xn ) X mà xn −→ dãy (A(xn )) bị chặn Y Chứng minh A tuyến tính liên tục X Giải Tương tự cách Bài (Dãy (xn ) dần dãy (A(xn )) không bị chặn Y ) Bài Kí hiệu X = C[0,1] không gian hàm số liên tục [0, 1] với chuẩn "max" Ánh xạ A : X −→ X xác định Ax(t) = x(1) − tx(t), t ∈ [0, 1], x ∈ X Chứng minh A tuyến tính liên tục tính ||A|| Giải Dễ dàng chứng minh A tuyến tính, liên tục ||A|| ≤ Với n ∈ N∗ , đặt n −1 ≤ t ≤ n+1 n 2(n + 1)t − 2n − n+1 cho ∀n ∈ N, ∃xn ∈ X : ||xn || < |f (xn )| ≥ ε0 n Đặt yn = xn a f (x n) xn f (xn ) − x1 f (x1 ) a = a = Khi yn ∈ f −1 (a), với n Tuy nhiên dãy (yn ) hội tụ y ∈ / f −1 (a) Điều mâu thuẩn với f −1 (a) tập đóng Vậy f liên tục X Bài 10 Cho X không gian định chuẩn f ∈ X ∗ , a số thực Chứng minh f liên tục X f −1 ([a, +∞)) = {x ∈ X|f (x) ≥ a} đóng X Giải Nếu f liên tục hiển nhiên f −1 ([a, +∞)) tập đóng X xn x1 + f (x Ta có f (yn ) = a Ngược lại, lập luận tương tự Bài với dãy yn = (a − 1) f (x 1) n) x1 nên yn ∈ f −1 ([a, +∞)), với n Tuy nhiên yn −→ y = (a − 1) f (x ∈ / f −1 ([a, +∞)) (vì 1) f (y) = a − ∈ / [a, +∞)) K = R K = C x1 y = a = , y = − f (x a = 1) MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Bài 11 Cho f : X −→ K phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn |f (x) − f (y)| = r sup x,y∈B (0,1) Chứng minh f ∈ X ∗ tính ||f || Giải Với x ∈ B (0, 1) −x ∈ B (0, 1) nên: 2|f (x)| = |f (x) − f (−x)| ≤ |f (x) − f (y)| = r sup x,y∈B (0,1) ⇒ |f (x)| ≤ r8 r ⇒ ||f || = sup |f (x)| ≤ 2 x∈B (0,1) Mặt khác, với x, y ∈ B (0, 1) ta có: |f (x) − f (y)| = |f (x − y)| ≤ ||f ||||x − y|| ≤ ||f ||(||x|| + ||y||) ≤ 2||f || Suy r = |f (x) − f (y)| ≤ 2||f ||, đó: sup x,y∈B (0,1) r ≤ ||f || Vậy ||f || = 2r Bài 12 Cho f ∈ X ∗ f = Đặt α = inf {||x|||x ∈ X, f (x) = 1} Chứng minh ||f || = α1 Giải Đặt A = {x ∈ X|f (x) = 1} Với x ∈ A ta có: = f (x) ≤ ||f ||||x|| ⇒ Suy ||f || ≤ inf ||x|| = α Do x∈A α ≤ ||x|| ||f || ≤ ||f || x Mặt khác, với x ∈ X mà ||x|| = f (x) = ta có f ( f (x) ) = nên α ≤ || x f (x) ∈ A Do ||x|| 1 x || = ⇒ |f (x)| ≤ ||x|| = f (x) |f (x)| α α Do ||f || = sup |f (x)| ≤ α1 ||x||=1 Bài 13 Cho f ∈ X ∗ f = Chứng minh với a ∈ X ta có d(a, N ) = N = Kerf |f (a)| ||f || , Giải 10 Nếu a ∈ N đẳng thức hiển nhiên Xét a ∈ / N Với y ∈ N , ta có |f (a)| = |f (a) − f (y)| = |f (a − y)| ≤ ||f ||||a − y|| ⇒ |f (a)| ≤ d(a, N ) ||f || Từ suy f liên tục Khi f (x) = bất đẳng thức hiển nhiên 10 Bài có nhiều cách giải, số nằm trang 111 - sách Bài tập Giải tích hàm Nguyễn Xuân Liêm MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Với x ∈ X mà ||x|| = f (x) = , ta đặt y = a − y ∈ N Do d(a, N ) ≤ ||a − y|| = || Suy |f (x)| ≤ |f (a)| 11 d(a,N ) Từ ||f || ≤ f (a) f (x) x Khi f (y) = nên |f (a)| f (a) x|| = (do ||x|| = 1) f (x) |f (x)| |f (a)| d(a,N ) , hay d(a, N ) ≤ |f (a)| ||f || Ta gặp số biến tướng tập sau Bài 14 Cho f ∈ X ∗ f = 0, đặt N = Kerf , x ∈ / N Giả sử tồn y ∈ N cho d(x, N ) = ||x − y|| Chứng minh tồn x0 ∈ X, ||x0 || = cho ||f || = |f (x0 )| Giải Theo Bài 13 ||x − y|| = d(x, N ) = |f (x)| 12 |f (x) − f (y)| = ||f || ||f || Suy |f (x − y)| = ||f ||.||x − y|| Đặt x0 = x−y ||x−y|| ta |f (x0 )| = ||f || Bài 15 Cho X không gian Hilbert, a ∈ X, a = Khi với x ∈ X ta có x,a | d(x, N ) = | ||a|| , N = {a} ⊥ Giải Đây hệ trực tiếp Bài 13 Tuy nhiên ta giải cách ngắn gọn sau ∀y ∈ N , ta có: | x, a | = 13 | x − y, a | ≤ ||x − y||||a|| Suy | x,a | ||a|| ≤ ||x − y|| Do Mặt khác, đặt z = x − | x,a | ||a|| x,a ||a||2 a ≤ d(x, N ) z ∈ N z, a = Do d(x, N ) ≤ ||x − z|| = || | x, a | x, a a|| = ||a||2 ||a|| Nguyên lý bị chặn Bài 16 Cho X, Y hai không gian định chuẩn, (Aα )α∈I họ toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chứng minh khẳng định sau tương đương14 a) ∀ε > 0, ∃δ > : ∀x ∈ X, ∀α ∈ I, ||x|| < δ ⇒ ||Aα (x)|| < ε b) ∃N > : ∀α ∈ I, ||Aα || ≤ N 11 Do x ∈ / N N đóng nên d(x.N ) > Để ý y ∈ Kerf 13 Để ý y ∈ N nên y, a = 14 Như hai khái niệm đồng liên tục bị chặn tương đương 12 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Giải a) ⇒ b) Lấy cố định ε0 > Khi đó, tồn δ0 > cho ||x|| < δ0 ⇒ ||Aα (x)|| < ε0 Đặt δ = min(1, δ0 ) δ ≤ δ ≤ δ0 Do ||Aα || = 15 sup ||Aα (x)|| ≤ ε0 ||x|| 0, đặt δ = ε N Khi đó, ||x|| < δ Aα (x)|| ≤ ||Aα ||||x|| ≤ N ||x|| < N δ = N ε =ε N Bài 17 Cho X, Y hai không gian định chuẩn, (Aα )α∈I họ toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Chứng minh khẳng định sau tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Aα x)| < +∞ α∈I b) ∀x ∈ X : sup ||Ax|| < +∞ α∈I Giải a) ⇒ b) Để ý y ∗ (Aα x) = Aα x(y ∗ ) Lấy x ∈ X , theo giả thiết dãy (Aα x)α∈I 16 dãy bị chặn điểm Do Y ∗ Banach 17 nên dãy (Aα x)α∈I bị chặn đều, tức sup ||Ax|| < +∞ α∈I b) ⇒ a) Hiển nhiên (Bị chặn suy bị chặn điểm) Bài 18 Cho X không gian Banach, Y không gian định chuẩn, M tập L(X, Y ) Chứng minh khẳng định sau tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Ax)| < +∞ A∈M b) M tập bị chặn L(X, Y ) Giải b) ⇒ a) Hiển nhiên a) ⇒ b) Theo Bài 17, từ giả thiết ta suy sup ||Ax|| < +∞, ∀x ∈ X A∈M Do X Banach nên theo nguyên lý bị chặn ta có sup ||A|| < +∞, nghĩa M A∈M tập bị chặn L(X, Y ) Bài 19 Cho X, Y hai không gian định chuẩn, (Aα )α∈I họ toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Với n ∈ N∗ , đặt Cn = {x ∈ X| sup ||Aα x)|| < n} Chứng α∈I minh sup ||Aα || = +∞ int(Cn ) = ∅, ∀n ∈ N∗ α∈I 15 Có thể chứng minh δ ≤ ||A|| = sup ||A(x)|| ||x|| Từ ta có B( nx00 , nr0 ) ⊂ F Vì int(F ) = ∅ 18 Đậu Anh Hùng - K16 Tập F ⊂ X gọi hấp thụ với x ∈ X, tồn λ > cho với α ∈ K, |α| ≥ λ x ∈ αF 19 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Nguyên lý ánh xạ mở - Định lí đồ thị đóng Bài 22 Cho X không gian Banach, f phiếm hàm tuyến tính lên tục khác Chứng minh f ánh xạ mở Giải Theo nguyên lý ánh xạ mở, ta cần chứng minh f toàn ánh đủ Do f = nên có x0 ∈ X cho f (x0 ) = ∀r ∈ K , đặt x = f (xr ) x0 f (x) = f (xr ) f (x0 ) = r Vậy f toàn ánh Bài 23 Giả sử ||.||1 ||.||2 hai chuẩn X cho với chuẩn X không gian Banach ||.||1 ≤ K.||.||2 , với K số dương Chứng minh hai chuẩn tương đương 20 Giải Do ||.||1 ≤ K.||.||2 nên id : (X, ||.||1 ) −→ (X, ||.||2 ) liên tục X Mặt khác, id song ánh Theo hệ nguyên lý ánh xạ mở id phép đồng phôi Do hai chuẩn tương đương Bài 24 Kí hiệu X = C[0,1] không gian gồm hàm số khả vi liên tục [0, 1] Với x ∈ X , ta đặt ||x||1 = max |x (t)| + |x(0)|, ||x||2 = ( (|x(t)|2 + |x (t)|2 )dt)1/2 t∈[0,1] Chứng minh (X, ||.||1 ) không gian Banach hai chuẩn cho không tương đương Suy (X, ||.||2 ) không gian Banach Giải Ta dễ dàng kiểm tra (X, ||.||1 ) không gian Banach n Với n ∈ N∗ , đặt xn (t) = √t n , t ∈ [0; 1] xn ∈ X Và ta có √ √ ||xn ||1 = max | ntn−1 | + |0| = n −→ ∞ n → ∞ t∈[0;1] Tuy nhiên ||xn ||2 = ( ( t2n + nt2n−2 )dt)1/2 = n n + −→ √ n → ∞ n(2n + 1) 2n − Vậy dãy (xn )n bị chặn (X, ||.||2 ) không bị chặn (X, ||.||1 ) Do hai chuẩn không tương đương Tiếp theo, áp dụng công thức số gia hữu hạn ta chứng minh ∀x ∈ X, ||x||2 ≤ √ ||x||1 Sử dụng Bài 23 ta suy (X, ||.||2 ) không gian Banach 20 Ta hay dùng kết tương đương với tập là: Nếu hai chuẩn không tương đương (X, ||.||1 ), (X, ||.||2 ) Banach 10 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Bài 25 Cho X, Y hai không gian Banach, A : X −→ Y ánh xạ tuyến tính cho y ∗ A ∈ X ∗ , với y ∗ ∈ Y ∗ 21 Chứng minh A liên tục Giải Ta chứng minh A có đồ thị GA đóng Lấy dãy (xn , Axn ) −→ (x, y) Giả sử y = Ax Khi theo hệ định lí HahnBanach, tồn g ∈ Y ∗ cho g(Ax − y) = Mặt khác ta có g(Ax − y) = g(Ax − lim Axn ) = g( lim (Ax − Axn )) = lim gA(x − xn ) = n→∞ n→∞ n→∞ Điều mâu thuẩn Vậy y = Ax Suy GA đóng Theo Định lí đồ thị đóng A liên tục Định lí Hahn - Banach Kerf = {0} Bài 26 Cho X không gian định chuẩn Chứng minh f ∈X ∗ Kerf Khi ta có f (x) = , với f ∈ X ∗ Theo hệ Giải Lấy x ∈ f ∈X ∗ Định lí Hahn - Banach ta có x = Bài 27 Cho x1 , x2 , , xn n vectơ độc lập tuyến tính không gian định chuẩn X Chứng minh tồn f ∈ X ∗ cho f (xi ) = f (xj ) i = j Giải Với i ∈ {1, 2, , n}, đặt Li = {xj |j = i} Li không gian hữu hạn chiều nên không gian đóng X Do hệ {x1 , x2 , , xn } độc lập tuyến tính nên xi ∈ / Li Theo định lí Hahn - Banach, tồn fi ∈ X ∗ cho fi (xi ) = i fi (xj ) = 0, ∀j = i22 Đặt f = f1 + f2 + + fn , ta có f (xi ) = i, ∀i ∈ {1, 2, , n} Do f (xi ) = f (xj ) i = j Bài 28 Cho M tập X x0 ∈ X Chứng tỏ x0 ∈ M với x∗ ∈ X ∗ thỏa điều kiện x∗ (M ) = {0} x∗ (x0 ) = Giải (⇒) : hiển nhiên (⇐) : Đặt Y = M Giả sử x0 ∈ / Y , d(x0 , Y ) > Theo Định lí Hahn - Banach, ∗ ∗ ∗ tồn x ∈ X cho x (Y ) = {0} x∗ (x0 ) = Do M ⊂ Y nên x∗ (M ) = {0} x∗ (x0 ) = Điều mâu thuẩn với giả thiết Vậy x0 ∈ Y Một số đề thi Giải tích hàm Mục giới thiệu đề thi Giải tích hàm PGS.TS Nguyễn Hoàng dành cho sinh viên Đại học học viên Cao học Đại học sư phạm Huế 10 năm qua Có thể thấy trùng lặp câu hỏi dày đặc Có thể hạn chế điều kiện thành: Mọi dãy (xn ) X cho xn −→ y ∗ (Axn ) −→ 0, ∀y ∗ ∈ Y ∗ Trong Định lí Hahn - Banach người ta chọn phiếm hàm gi ∈ X ∗ cho gi (xi ) = Khi đó, đặt fi = igi ta phiếm hàm fi 21 22 11 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi 5.1 Dành cho sinh viên năm Năm học 1997-1998 Câu I Kí hiệu X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0} Với x ∈ X , ta đặt ||x|| = max |x(t)| [0,1] Chứng minh (X, ||.||) không gian Banach Đặt A : X −→ X ánh xạ xác định x −→ Ax, Ax(t) = x(t)+x(1−t) Chứng minh A ∈ L(X) tính ||A|| Câu II Kí hiệu X không gian Banach Y không gian định chuẩn Phát biểu nguyên lí bị chặn dãy toán tử (An )n∈N ⊂ L(X, Y ) Chứng minh với x ∈ X tồn Ax = lim An x A ∈ L(X, Y ) n→∞ Cho (xn )n∈N ⊂ X Giả sử với x∗ ∈ X ∗ ta có sup |x∗ (xn )| < +∞ Chứng minh n∈N sup ||xn || < +∞ n∈N Câu III Cho X không gian Banach Giả sử f : X −→ R phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn điều kiện: với dãy (xn )n∈N ⊂ X , xn −→ dãy (f (xn ))n bị chặn Chứng minh f ∈ X ∗ Cho f ∈ X ∗ f = Chứng minh G tập mở X f (G) tập mở R Câu IV Cho H không gian Hilbert ∞ Cho {x1 , x2 , , xn } hệ trực giao H Chứng minh chuỗi ∞ tụ H chuỗi số xn hội n=1 ||xn ||2 hội tụ n=1 ∞ Cho (en )n sở trực chuẩn H (ξn )n ⊂ R cho |ξn |2 < +∞ n=1 Chứng minh tồn x ∈ H nhận (ξn )n hệ số Fourier (en )n Cho (en )n sở trực chuẩn H A ∈ L(H) toán tử compact Chứng minh A(en ) −→ H n −→ ∞ Năm học 1999-2000 Câu I Kí hiệu X = M[0,1] tập hàm số xác định bị chặn [0, 1] Với x ∈ X , ta đặt ||x|| = sup |x(t)| [0,1] Chứng minh (X, ||.||) không gian Banach Đặt A : X −→ X ánh xạ xác định x −→ Ax, Ax(t) = x(0) + tx(t) Chứng minh A ∈ L(X) tính ||A|| Câu II Cho X không gian định chuẩn Cho f ∈ X ∗ thỏa mãn điều kiện sup |f (x) − f (y)| = r Tính ||f || x,y∈B (0,1) Cho x1 , x2 , , xn n vectơ độc lập tuyến tính không gian định chuẩn X 12 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Chứng minh tồn f ∈ X ∗ cho f (xi ) = f (xj ) i = j Câu III Cho X không gian định chuẩn f ∈ X ∗ Chứng minh f liên tục X {x ∈ X|f (x) = 1} tập đóng X Câu IV Cho H không gian Hilbert Cho A tập khác rỗng H Đặt M = A Giả sử x ∈ H x, y = 0, với y ∈ A Chứng minh x ∈ M ⊥ Cho (en )n sở trục chuẩn H Chứng minh với x ∈ H , chuỗi ∞ ∞ x, en en hội tụ ||x||2 = n=1 w | x, en |2 Suy en − → n=1 Đặt A : H −→ H xác định ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, en en n=1 Chứng minh A ∈ L(H), tính ||A|| tìm toán tử liên hiệp A Năm học 2000-2001 Câu I Kí hiệu X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0} Với x ∈ X , ta đặt ||x|| = max |x(t)| [0,1] Chứng minh (X, ||.||) không gian Banach Đặt A : X −→ X ánh xạ xác định x −→ Ax, Ax(t) = x(t)+x(1−t) Chứng minh A ∈ L(X) tính ||A|| Câu II Cho X, Y hai không gian định chuẩn, (Aα )α∈I ⊂ L(x, Y ) Chứng minh hai mệnh đề sau tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Aα x)| < +∞ α∈I b) ∀x ∈ X : sup ||Ax|| < +∞ α∈I Câu III Cho X không gian Banach Giả sử f : X −→ R phiếm hàm tuyến tính cho f −1 (−∞, 0) f −1 (0, +∞) mở X Chứng minh f ∈ X ∗ Cho f ∈ X ∗ f = Chứng minh G tập mở X f (G) tập mở R Câu IV Cho H không gian Hilbert ∞ Cho (en )n sở trực chuẩn H (ξn )n ⊂ R cho |ξn |2 < +∞ n=1 Chứng minh tồn x ∈ H nhận (ξn )n hệ số Fourier (en )n Cho A ∈ L(H) toán tử compact λ = giá trị riêng A Chứng minh tập N (Aλ ) = {x ∈ H|Ax = λx} không gian hữu hạn chiều H Cho M, N hai không gian đóng H cho M ⊥ N Chứng minh M + N không gian đóng H 13 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Năm học 2001-2002 Câu I Cho (X, ||.||1 ), (Y, ||.||2 ) hai không gian định chuẩn Đặt Z = X × Y Với z = (x, y) ∈ Z , ta đặt ||z|| = ||x||1 + ||y||2 Chứng minh ||.|| chuẩn Z Chứng minh (Z, ||.||) không gian Banach X Y Banach Câu II.Cho e1 , e2 , , en n vectơ độc lập tuyến tính không gian định chuẩn X Chứng minh tồn phiếm hàm fi ∈ X ∗ , i = 1, , n cho fi (ej ) = δij n Kí hiệu M = {e1 , e2 , , en } đặt A : X −→ X, Ax = fi (x)ei Chứng minh i=1 A ∈ L(X) X = M ⊕ KerA Giả sử f : X −→ R phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn điều kiện {x ∈ X|f (x) ≥ 1} tập đóng X Chứng minh f ∈ X ∗ Câu III Cho H không gian Hilbert Cho (en )n sở trực chuẩn H Chứng minh trực tiếp hai mệnh đề sau tương đương ∞ a) ∀x ∈ H, x = x, en en n=1 b) ∀x ∈ H, ||x||2 = ∞ | x, en |2 n=1 Cho u, v ∈ H A : H −→ H xác định ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, u v n=1 Chứng minh A ∈ L(H) tìm toán tử liên hiệp A ∞ Cho (en )n sở trực chuẩn H Cho B ∈ L(H) cho chuỗi n=1 n hội tụ Với n ∈ N, đặt Bn x = ||Ben ||2 x, ek Bek , ∀x ∈ H Chứng minh Bn toán tử k=1 compact, suy B toán tử compact Năm học 2002-2003 Câu I Kí hiệu X = M[0,1] tập hàm số xác định bị chặn [0, 1] cho x(0) = x(1) = Với x ∈ X , ta đặt ||x|| = sup |x(t)| [0,1] Chứng minh (X, ||.||) không gian Banach Đặt A : X −→ X ánh xạ xác định x −→ Ax, Ax(t) = x(1 − t) − tx(t) Chứng minh A ∈ L(X) tính ||A|| Câu II Cho X, Y hai không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) 14 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Xét hai phương trình Ax = y (1) A∗ y ∗ = x∗ (2) Giả sử với y ∈ Y , phương trình (1) (ẩn x) có nghiệm X Chứng minh với x∗ ∈ X ∗ , phương trình (2) (ẩn y ∗ ) có nhiều nghiệm Y ∗ Giả sử x0 ∈ X sup ||Ax − Ay|| = α Tính ||A|| x,y∈B (x0 ,r) Câu III Cho f phiếm hàm tuyến tính không gian định chuẩn thực X Chứng minh f liên tục tập {x ∈ X|f (x) > 0} mở X Câu IV Cho H không gian Hilbert Cho A tập khác rỗng H Đặt M = A Giả sử x ∈ H x, y = 0, với y ∈ A Chứng minh x ∈ M ⊥ Cho (en )n sở trục chuẩn H Chứng minh trực tiếp với ∞ x ∈ H , chuỗi x, en en hội tụ ||x||2 = n=1 ∞ | x, en |2 Suy C ∈ L(H) toán n=1 tử compact Cen −→ 0, n −→ ∞ Đặt A : H −→ H xác định ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, en en+1 n=1 Chứng minh A ∈ L(H) tìm toán tử liên hiệp A Năm học 2003-2004 Câu I Kí hiệu X = M[0,1] tập hàm số xác định bị chặn [0, 1] Với x ∈ X , ta đặt ||x|| = sup |x(t)| [0,1] Chứng minh (X, ||.||) không gian Banach Kí hiệu Y = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0} Chứng minh Y không gian đóng X Câu II Cho X không gian định chuẩn thực Cho f : X −→ K phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn sup |f (x) − f (y)| = r x,y∈B (0,1) Chứng minh f ∈ X ∗ tính ||f || Giả sử (xn )n (fn )n hai dãy X X ∗ Chứng minh (fn (xn ))n dãy hội tụ Câu III Cho f : X −→ K phiếm hàm tuyến tính khác a) Đặt N = Kerf Chứng minh N = N N = X 15 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi b) Chứng minh dim X = ∞ tồn phiếm hàm tuyến tính không liên tục xác định X Câu IV Cho H không gian Hilbert trường K Cho A : H −→ H toán tử tuyến tính Giả sử Ax, y = x, Ay với x, y ∈ H Chứng minh A liên tục Cho {x1 , x2 , , xn } hệ vectơ trực giao khác H Chứng minh với x ∈ H , tồn số α1 , , αn cho với β1 , , βn , ta có n n ||x − αi xi || ≤ ||x − i=1 βi xi || i=1 Cho (en )n sở trực chuẩn H Đặt B : H −→ H xác định ∞ ∀x ∈ H, Bx = x, en+1 en n=1 Chứng minh B ∈ L(H), tính ||B|| tìm toán tử liên hiệp B Năm học 2004-2005 Câu I Kí hiệu X = {x ∈ C[0,1] |x(0) = x(1) = 0} Với x ∈ X , ta đặt ||x|| = max |x(t)| [0,1] Chứng minh ||.|| chuẩn X Chứng minh (X, ||.||) không gian Banach Đặt A : X −→ X ánh xạ xác định x −→ Ax, Ax(t) = x(t) + x(1 − t) Chứng minh A ∈ L(X) tính ||A|| Câu II Cho X, Y hai không gian định chuẩn, (Aα )α∈I ∈ L(X, Y ) Chứng minh khẳng định sau tương đương a) ∀x ∈ X, ∀y ∗ ∈ Y ∗ : sup |y ∗ (Aα x)| < +∞ α∈I b) ∀x ∈ X : sup ||Ax|| < +∞ α∈I Câu III Cho X không gian Banach A ∈ L(X) Giả sử tồn số dương r cho r||x|| ≤ ||Ax||, với x ∈ X Chứng minh: A(X) không gian đóng X A phép đồng phôi tuyến tính từ X lên A(X) Câu IV Cho H không gian Hilbert Giả sử E tập H x0 ∈ H Đặt M = E Chứng minh x0 ∈ M với y ∈ E ⊥ y, x0 = Cho A, B : H −→ H hai toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện Ax, y = x, By với x, y ∈ H Chứng minh A, B liên tục B = A∗ 16 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Giả sử A ∈ L(H) toán tử compact λ số khác Chứng minh Ker(A − λI) không gian hữu hạn chiều H Năm học 2005-2006 Câu I Kí hiệu X = M[0,1] tập hàm số xác định bị chặn [0, 1] Với x ∈ X , ta đặt ||x|| = sup |x(t)| [0,1] Chứng minh (X, ||.||) không gian Banach Đặt A : X −→ X ánh xạ xác định x −→ Ax, Ax(t) = x(0) − t2 x(t) Chứng minh A ∈ L(X) tính ||A|| Câu II Cho X không gian định chuẩn Cho f ∈ X ∗ thỏa mãn điều kiện sup |f (x) − f (y)| = r Hãy tính ||f || x,y∈B (0,1) Cho x1 , x2 , , xn n vectơ độc lập tuyến tính không gian định chuẩn X Chứng minh tồn g ∈ X ∗ cho g(xi ) = g(xj ) i = j Câu III Cho X không gian định chuẩn M tập X Giả sử với f ∈ X ∗ ta có sup |f (x)| < +∞ Chứng minh M tập bị chặn X x∈M Câu IV Cho H không gian Hilbert Cho A tập khác rỗng H Đặt M = A Giả sử x ∈ H x, y = 0, với y ∈ A Chứng minh x ∈ M ⊥ Cho (en )n sở trực chuẩn H Đặt M = {en |n ∈ N} Chứng minh trực tiếp hai mệnh đề sau tương đương ∞ a) ∀x ∈ H, x = x, en en n=1 b) M ⊥ = {0} Cho u, v ∈ H hai vectơ cố định A : H −→ H xác định ∞ ∀x ∈ H, Ax = x, u v n=1 Chứng minh A ∈ L(H) Tìm toán tử liên hiệp A∗ tính ||A∗ || 5.2 5.2.1 Dành cho học viên cao học Đề kiểm tra kì KHÓA 13 Câu I Cho X không gian Banach, Y không gian định chuẩn M tập L(X, Y ) Chứng minh M tập bị chặn không gian L(X, Y ) với x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ ta có sup |y ∗ (Ax)| < +∞ A∈M 17 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Câu II Cho X không gian định chuẩn 1) Giả sử f ∈ X ∗ , f = Chứng tỏ tồn không gian chiều E cho X = E ⊕ Kerf 2) Cho M tập X x0 ∈ X Chứng tỏ x0 ∈ M với x∗ ∈ X ∗ thỏa điều kiện x∗ (M ) = {0} x∗ (x0 ) = Câu III Cho X, Y hai không gian định chuẩn 1) Giả sử A : X −→ Y ánh xạ thỏa mãn điều kiện A(x + y) = Ax + Ay , với x, y ∈ X sup ||Ax|| < +∞ Chứng minh A ánh xạ tuyến tính liên x∈B (0,1) tục 2) Cho B : X −→ Y ánh xạ tuyến tính Gọi GB đồ thị B Chứng minh B(X) tập đóng Y tập GB + (X × {0}) tập đóng X × Y KHÓA 14 không gian gồm hàm số khả vi liên tục [0, 1] Câu I Kí hiệu X = C[0,1] Với x ∈ X , ta đặt ||x||1 = max |x (t)| + |x(0)|, ||x||2 = ( (|x(t)|2 + |x (t)|2 )dt)1/2 t∈[0,1] Kiểm tra ||.||1 , ||.||2 hai chuẩn X Chứng minh (X, ||.||1 ) không gian Banach hai chuẩn cho không tương đương Suy (X, ||.||2 ) không gian Banach Câu II Cho X không gian Banach, Y không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) Biết với r > ta có B (0Y , r) ⊂ A(B(0X , r)) Chứng minh 0Y điểm A(B(0X , r)) Câu III Cho X hai không gian định chuẩn A : X −→ X ánh xạ tuyến tính liên tục Gọi GA đồ thị A Chứng minh A(X) tập đóng X tập GA + (X × {0}) tập đóng X × X Tìm ví dụ không gian định chuẩn X A ∈ L(X) A(X) không đóng X KHÓA 15 Câu I Với p ≥ 1, ta kí hiệu Lpn = {f ∈ Lp (R)|suppf ⊂ [−n, n]} Chứng minh ∞ Lpn p L (R) = n=1 18 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Giả sử (X, µ) không gian độ đo, E ⊂ X cho µE < ∞ Cho f ∈ Chứng minh f ∈ Lp (E, µ) với p ≥ L∞ (E, µ) |f |p dµ)1/p = ess sup |f (x)| lim ( p→∞ x∈E E Câu II Cho X không gian Banach, Y không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) Biết với r > ta có B (0Y , r) ⊂ A(B(0X , r)) Chứng minh 0Y điểm A(B(0X , r)) Câu III Cho X không gian Banach, F tập đóng, hấp thụ chứa X Chứng minh int(F ) = ∅ Bằng ví dụ, chứng tỏ F không thiết nhận vectơ điểm KHÓA 16 - I Câu I Kí hiệu X = C[0,1] không gian gồm hàm số liên tục [0, 1] Với x ∈ X , ta đặt |x(t)|p dt)1/p , p > ||x||∞ = max |x(t)|, ||x||p = ( t∈[0,1] Chứng minh hai chuẩn cho không tương đương Suy (X, ||.||p ) không gian Banach Câu II Cho X, Y hai không gian định chuẩn A : X −→ Y ánh xạ tuyến tính 1) Chứng minh A liên tục A biến tập bị chặn X thành tập bị chặn Y 2) Giả sử X, Y hai không gian Banach, A liên tục tồn λ > cho với x ∈ X ta có ||Ax|| ≥ λ||x|| Chứng minh A(X) không gian Banach Câu III Tìm ví dụ không gian định chuẩn X có chứa không gian Y mà Y tập đóng X KHÓA 16 - II Câu I Cho f : X −→ K phiếm hàm tuyến tính a) Giả sử f = Chứng minh tồn không gian chiều E cho X = Kerf ⊕ E b) Biết phiếm hàm f không liên tục Chứng minh Kerf tập trù mật khắp nơi 19 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi Câu II trình 23 Cho X, Y hai không gian định chuẩn A ∈ L(X, Y ) Xét hai phương Ax = y (1) A∗ y ∗ = x∗ (2) Giả sử với y ∈ Y , phương trình (1) (ẩn x) có nghiệm X Chứng minh với x∗ ∈ X ∗ , phương trình (2) (ẩn y ∗ ) có nhiều nghiệm Y ∗ Câu III Cho X không gian định chuẩn M ⊂ X, N ⊂ X ∗ Kí hiệu M ⊥ = {x∗ ∈ X ∗ |x∗ (M ) = {0}} ⊥ N = {x ∈ X|x(N ) = {0}} a) Chứng minh M ⊥ ⊥ N không gian vectơ đóng không gian X ∗ X b) Chứng minh M = ⊥ (M ⊥ ) KHÓA 16 - III Câu I Cho H không gian tiền Hilbert trường K x, y ∈ H Giả sử với λ ∈ K , ta có ||x + λy|| ≥ ||x|| Chứng minh x ⊥ y Câu II Cho H không gian Hilbert thực A toán tử liên tục tự liên hiệp a) Chứng minh Au, v = 14 ( A(u+v), u+v − A(u−v), u−v ), với u, v ∈ H b) Chứng minh Ax, x = với x ∈ H A = c) Giả sử thêm A toán tử compact Chứng minh σ(A) bao đóng tập giá trị riêng A Câu III Cho X không gian Banach A ∈ L(X) Chứng minh σ(A) = σ(A∗ ) Nếu X không gian Hilbert đẳng thức không? Tại sao? 5.2.2 Đề thi chứng cao học 23 Đây dạng phát biểu khác Bài 20 - trang 92 - sách Bài tập Giải tích hàm - Nguyễn Xuân Liêm 20 MathVn.Com - Bài tập Giải tích hàm qua kỳ thi ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC GIẢI TÍCH HÀM - KHÓA 16 Thời gian làm bài: 150 phút 24 Câu I Cho X không gian định chuẩn vô hạn chiều Chứng minh tồn phiếm hàm tuyến tính không liên tục f xác định X Khi đó, kiểm tra tập P = {x ∈ X|f (x) < 1} trù mật X Chứng minh tồn hai tập lồi A, B chứa X cho A∪B = X, A∩B = ∅ A = X = B Câu II Cho X, Y, Z ba không gian vectơ trường K Giả sử f : X −→ Y, g : X −→ Z ánh xạ tuyến tính cho Kerg ⊂ Kerf Chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính h : Z −→ Y cho f = h ◦ g Lấy Y = K, Z = K n chọn ánh xạ g thích hợp, áp dụng câu để chứng minh n Kerfi ⊂ Kerf f, f1 , , fn phiếm hàm tuyến tính X cho i=1 f tổ hợp tuyến tính f1 , , fn Cho X không gian định chuẩn vô hạn chiều U lân cận yếu, tức σ(X, X ∗ )−lân cận, ∈ X Chứng minh U tập không bị chặn không gian định chuẩn X Câu III Cho X không gian định chuẩn Giả sử M tập trù mật X Chứng minh với x ∈ X , tồn dãy (xn )n ⊂ M cho ||xn || ≤ 3n ||x||, n ∞ = 1, 2, x = xn n=1 Cho (xn )n dãy X cho sup ||xn || < +∞ Kí hiệu E = {f ∈ n X ∗ |(f (x n ))n hội tụ } Biết E = X ∗, w chứng minh tồn x ∈ X cho xn − → x Câu IV Cho H không gian Hilbert trường K A ∈ L(H) Giả sử A = A∗ λ ∈ K cho inf ||Ax − λx|| > Chứng minh λ giá ||x||=1 trị quy A Giả sử A∗ A toán tử compact Chứng minh A toán tử compact ————————————————————————————————————– Ghi chú: Thí sinh phép sử dụng tài liệu làm 24 June 12nd, 2008 21