Bài tập nguyên hàm _tích phân cực nhiều và hay

Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.1... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần..

I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1 f(x) = x2 – 3x + 1x ĐS F(x) = x − x + lnx+C

2

3 3

2 3

+ +

− 2 13

3

5 f(x) = x+ 3 x+ 4 x ĐS F(x) = x + x + x +C

5

4 4

3 3

5 3

4 2 3

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) =

x x

x

2

2 cos sin

2 cos

3 ln

3 ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1 +C

3 1

−

−x

x x

4 f’(x) = x - 12 + 2

x và f(1) = 2 ĐS f(x) =

2

3 2

1 2

2

− +

2 + +

x x

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = ∫f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x)⇒dt =u' (x)dx

 I = ∫f[u(x)].u' (x)dx =∫f(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

∫u(x).v' (x)dx =u(x).v(x) −∫v(x).u' (x)dx

Hay

∫udv =uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ∫x sin. xdx 2 ∫x cos xdx 3 ∫(x2 + 5 ) sinxdx 4∫(x2 + 2x+ 3 ) cosxdx

24 ∫x2 cos 2xdx

∫

6

1

3 0

(x +x x dx)

∫ 7.

2

1 ( x+ 1)(x− x+ 1)dx

∫ 12

3

3 1

x 2

5 2

3 6

x dxx

cos sin

tgx dxx

.cos

dx4x +8x

26 ∫

−

− 2

2

) 3 (x dx

−

− 4

1 1

1 3

2 2

dx x

x x

30 ∫e

e

x dx

x x

∫8 − 

1 33 2

1 4

x dx

1

1 +x dx

∫ 13

1 2 1

1 (1 3 ) + x dx

π

+

∫ 39

2 1 ln 2 ln

e e

x dx

e

e

dx cos + x

∫ 41

2

1 1 1

x dx x

+

∫ 50

2 1 ln 2 ln

e e

x dx

e

e

dx cos + x

0

dx

e x

dx x

∫ −

2

0 5 2 sin cos

π

dx x

x

75 ∫

+ 0

2

2 2 3

2 2

x x

π

dx x x

dx x x

(

π

dx x

π

x

x x

sin

π

dx x

sin

π

dx x

x

0 sin cos ) cos (

π

xdx x

99 ∫

− +

1

ln ln 3

1

2 0

2 0

1 (1 x dx)

x

− +

x +x dx

123

ln2

x 0

1 dx

e + 2

7 3 3 0

1

x dx x

+ +

125

2

2 3 0

ax

ax

f x cosax dx e

β α

∫

Đặt ln( )

dx du

x

u x e

dx dv

4 3 ( 1)

u x

x dx dv

0 1

dx x

= +

∫ bằng phương pháp đổi biến số

+

∫ bằng phương pháp từng phần : đặt

2 2 (1 )

1

3 3 1

ln

e

x dx x

ln

dx x

ln x

dx x

1

ln

0

cos

π

dx x x x

e sin xdx

2

0 sin xdx

π

∫ 17)

π

+

0 xsin x cos xdx

π

0 x(2cos x 1)dx

(x 1) e dx +

e

2 1

(x ln x) dx

0 cosx.ln(1 cosx)dx

xtg xdx

∫ 27) ∫ −1

0

2)2(x e x dx

28) ∫1 +

0

2)1

(

π

xdx x

0

)1ln(

)72

x

2. ∫b + +

a

dx b x a

( 1

x

x x

∫1 +++

0 2 3

1 1

5 ∫1 +

0

3 2

) 1 3

2 (

1

dx x

x

7 ∫2 −+

1

2008 2008

) 1

(

1

dx x

− 0

1 2

2 3

2 3

9 9 6 2

dx x

x

x x x

9 ∫3 −

2

2 2

4

) 1

) 1

x

n n

11 ∫21 4 + −2 +

2

) 2 3 (

3

dx x

x x

x

12 ∫21 ( 1+ 4 )

1

dx x x

x

x x

2 3

2

2 3

3 3 3

dx x

x

x x

x

20 ∫1 +

0 3

1

1

dx x

21 ∫1 + ++ +

0

6

4 5 6

1

2dx

x

x x x

1

dx x

1 2 0

3 1

2 2

1

1 2 1 2

2

dx x

0

1 2

1 3

x

x x

x

x x

∫

−  − − + 

+ + 0

1

2

1 2 1

1

x

x x

∫ − + 

+

− + 1

0

2

1 1

2 2

IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:

1 2 x 4xdx

0

2 cos sin

π

xdx x

3 ∫2 x x dx

0

5

4 cos sin

π

4 ∫2 + 0

3

3 cos ) (sin

π

dx x

0

4

4 cos ) (sin

2 cos

π

dx x x

π

dx x x

x x

10 cos cos sin ) (sin

π

dx x x x

π

dx x

sin

π

dx x

6

4 cos sin

x x

0 1 cos cos

π

dx x x

0 2 sin sin

π

dx x x

17 ∫2 +

0

3

cos 1

cos

π

dx x

19 ∫2 −

3

2

) cos 1 (

2

3 cos 2 sin

1 cos sin

π

π

dx x x

x x

dx tgx

cos

π

π

x x

dx

26 ∫2 ++ ++

0 4 sin 5 cos 5

6 cos 7 sin

π

dx x x

x x

0 sin cos

2 sin 2 cos 1

π

dx x x

x x

4

sin 2

π

dx x x

π

π

dx xtgx

x x

37 ∫2 + +

0 1 sin cos

π

x x

0 2 sin 1

π

x dx

4 sin

π

x xdx

6 sin(

4 cos(

47 ∫3 +

0

3

) cos (sin

sin 4

π

x x

2 sin

51 ∫2 +

0

1 2

2 sin

π

dx e

π

53 ∫4 +

6

2 cot

4 sin 3 sin

π

π

dx x g tgx

x x

0

2 5 sin 6 sin

2 sin

π

x x

π π

dx x x

57 ∫2 x− x dx

0

2

cos ) 1 2 (

π

xdx x

0

) 1

ln(

π

dx tgx

63 ∫4 +

0

2

) cos 2 (sin

π

x x

0

2 ) cos 2 )(

sin 1 (

cos ) sin 1 (

π

dx x x

x x

a

dx x

x a

+

− ) Đặt x = a cos2t, t ]

2

; 0

∈+) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t

+) R(x, n

d cx

b ax

+

+ ) Đặt t = n

d cx

b ax

+ +

+) R(x, f(x)) = (ax+b) αx2 +βx+γ

1

Với (αx2 + βx+ γ)’ = k(ax+b)Khi đó đặt t = αx2 + βx+ γ, hoặc đặt t =

\]

;0 [ π π

sin

π

dx x x

π

dx x x x

2

3 10 x dx x

dx x

4

5

2 8 4

x

x x

1

ln ln 3 1

31 ∫3 ++

3 5

x x

2

1 ln

x x x

2 cos

π

dx x

tgx x

π

x xdx

VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

∫

−

a a

a

dx x f x f dx

3 π π ] thỏa mãn f(x) + f(-x) =

x

2 cos 2

Tính: ∫

−

2 3

2 3

) (

π

π

dx x f

+) Tính ∫

+ 1

1

2 4

1

sin

dx x

x x

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫

−

a a

dx x

f ( ) = 0

Ví dụ: Tính: ∫

−

+ + 1

1

2 ) 1

−

+ + 2

2

2 ) 1 ln(

cos

π

π

dx x x

x

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫

−

a a

dx x

3

2

2 1

π

π

dx e

x x x

(sin

π π

dx x f

x f

Ví dụ: Tính ∫2 +

0

2009 2009

2009

cos sin

sin

π

dx x x

x

Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫π = π∫π

0 0

) (sin 2

Bài toán 6: ∫ + − =∫b

a

b a

dx x f dx x b a

f( ) ( ) ⇒ ∫b f b−x dx =∫b f x dx

0 0

) ( )

sin

dx x

x x

0

) 1 ln(

4 sin

π

dx tgx x

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:

a∫+T =∫T

a

dx x f dx x f

0

) ( )

∫

T nT

dx x f n dx

x

f

0 0

) ( )

(

Ví dụ: Tính 2008∫π −

0

2 cos

− 4

4

4

3 5 7

x x x x

3 −∫1 + +

1

2 ) 1 )(

2

2

sin 4 cos

π

π

dx x

x x

5 ∫

− 2

1

2

1

) 1

1 ln(

π

π

dx x

x x

dx x

3.∫1 −

0

dx m x

5 −∫π −

π

dx x

2

) 2 2

2

3

cos cos

cos

π

π

dx x x

4 2 1

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

= 1

b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =

1

c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

= 4

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π

Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi

a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π

Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt

Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau

Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi

3

y

x o

x x y

Có hai phần diện tích bằng nhau

Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần

Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

=

4 2 4

2 2

1

1

3 2

a

ax a y

a

a ax x y

2 : ) (

:) (

Ox

x y

d

x y C

2 :) (

:) (

x

y d

e y

−

−=

0 3

4

2

2

y x

=

0

0 2

y

y x

x y

2

2

y y x y

y x y

, 1

0 , ln

1

2 2

5 4

−

=

− +

−

=

15 3

3 4

5 62 2

x y

x x y

x x y

x y

0

1

x y

3 2

y

x x

2 22 2

y

x x y

x x y

2

2

x y

x x

y

;0 3

cos 2 sin

=

0

2 3

y

x

x y

2 22 2

x x

x x y

x x y

/6 5

/ 2

y

x x y

/2 3

/ 2

y

x x

/ 2

x

y

x x

x y

x x

/3 4

/ 2

y

x x

x x

x x

x y

/ /

/

sin/

x y

x y

= 0

0 1 2 2

2

2

y

y x

x y

2



a

x a x y

/1 /

)1 ( 2

x

x y

y x

2 1

; 0

4 y x

x y x x

=

16

6

2 2

2

y x

x y

x y

2727

2 2

x y

4

) 4(

2

3 2

/ log /

x x

y

x y

x x y

x y

2

)1 (8 27

2

x y

x

y

43) x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp

tuyến đi qua A(0;15/4)

44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k

để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất

−

=

0

3 4

2 2

3

y

x x x

∫

= π

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường : y = x;y 2 x;y 0 = − =

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2) = − 2 và y = 4

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh:

a) Trục Oxb) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= − 4 x y x2 ; = 2 + 2

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường : 21 ; 2

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường y = 2x2 và y = 2x + 4

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi cỏc đường y = y2 = 4x và y = x

Tớnh thể tớch khối trũn xoay được tạo nờn do D quay quanh trục Ox

a y= 0 b

) ( :

) (C y= f x b

b

y=

a

y=

Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 2

1

x

e

x ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln( 1 +x3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

2

y

x y

1

1

2

x x

)0 (

2

y

x y

x x

quay quanh trôc a) 0x;

8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

4 9

2 2

= + y

x quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

;,

1

0

x x

quay quanh trôc 0x;

x

y

3 10

2

quay quanh trôc 0x;

13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y