Sáng kiến kinh nghiệm: Phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu toán học trong dạy học toán

Môn Toán là một môn khoa học cơ bản, là nền tảng để phát triển tư duy trí tuệ của con người. Thực tế đã cho thấy các nhà Toán học thường có một tư duy khoa học rất rõ ràng và làm các công tác nghiên cứu khoa học rất tốt, Từ thời cổ đại đến nay, các nhà Toán học thường có những sáng tạo vĩ đại ở các lĩnh vực khoa học khác như vật lý, thiên văn, hóa học, văn học, triết học… Chính vì vậy phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán là việc làm rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên dạy học Toán có kế hoạch kỹ lưỡng.

Phát triển tư duy biện chứng cho học sinh khá giỏi thơng qua khai thác hệ  thống bài tập về hình học khơng gian  “PHÁT HIỆN VÀ BỒI DƯỠNG               NĂNG KHIẾU TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC TỐN”         Mơn Tốn là một mơn khoa học cơ  bản, là nền tảng để  phát triển tư  duy trí tuệ của con người. Thực tế đã cho thấy các nhà Tốn học thường có  một tư  duy khoa học rất rõ ràng và làm các cơng tác nghiên cứu khoa học   rất tốt, Từ  thời cổ  đại đến nay, các nhà Tốn học thường có những sáng  tạo vĩ đại ở các lĩnh vực khoa học khác như vật lý, thiên văn, hóa học, văn  học, triết học… Chính vì vậy phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu Tốn là việc làm   quan  trọng   đòi  hỏi   người  giáo  viên  dạy  học  Tốn  có  kế  hoạch  kỹ  lưỡng       Trước hết cần tham mưu tốt với BGH nhà trường có kế  hoạch chung  cho cơng tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu tốn. Việc này rất  quan trọng vì nó giúp các cơng việc tiếp theo hồn thành tốt. Một trong   những việc làm này là tổ  chức các cuộc thi tuyển và phân loại các đối  tượng học sinh. Tùy theo năng lực của học sinh mà có biện pháp bồi dưỡng  cụ thể   Khơng có  niềm tin  thành cơng Mơn  Tốn  học thật  chán Khơng có  hành động  tích cực Khơng  hu hoạch  kết quả  cao   Không phát  huy tốt  tiềm năng  Niềm tin  thành  công Đam mê  mơn  Tốn  học Có hành  động  tích cực Thu  hoạch  kết quả  cao   Phát huy  tốt tiềm  năng        Bước tiếp theo là trong q trình dạy học cần chú trọng phương pháp   giảng dạy phát huy tính tích cực của học sinh, cần bồi dưỡng cho các em  có tình  Khơng có niềm tin=> thất bại                    Đam mê+niềm tin= thành cơng cảm tốt đẹp với mơn Tốn. Khi các em có niềm tin và tình cảm tốt với bộ  mơn thì các em sẽ  tiếp thu tốt hơn. Để  làm được việc này là một vấn đề  khó đối với giáo viên. Trước hết người dạy tốn cần phải u nghề, u  học sinh và nhất là đam mê bộ  mơn Tốn học. Khơng nên dạy học theo  kiểu đổ  kiến thức vào đầu học sinh như  đổ  nước vào bình mà cần chú ý   gợi mở để học sinh khám phá và biết nghiên cứu khoa học. Cần vận dụng  tốt các phương pháp dạy học tích cực, nắm kỹ các cách tiếp cận trong dạy   học bộ mơn Tốn. Cần phát huy tính sáng tạo, kích thích sự tị mị khám phá  của học sinh. Điều quan trọng nhất là phải biết tự  nâng cao kỹ  năng giải  tốn cho bản thân, phải biết tìm tịi, khám phá ra nhiều dạng bài tập, phải  biết cách khai thác tiềm năng sách giáo khoa một cách có hiệu quả. Từ một   bài tốn quen thuộc ta có thể biến đổi giả thiết, thay đổi kết luận tạo ra bài  tốn mới, kích thích sự  tị mị của học sinh. Để  làm được như  vậy địi hỏi   người thầy phải có kiến thức vững vàng, có năng lực, siêng năng, sáng tạo        Trong chương trình tốn lớp 10 THPT học sinh đã được học hệ thức  lượng trong tam giác vng. Các bài tốn chứng minh và tính các đại lượng    hình   học   sử   dụng     hệ   thức       nhiều   Trong     đề   thi  OLYMPIC phần hình học khơng gian cũng hay khai thác các vấn đề  này   Để  bồi dưỡng cho học sinh giỏi cần phải có kế  hoạch chu đáo, nhất là  phần hệ thống bài tập phải sắp xếp trật tự thật hợp lý. Giáo viên phải tìm  tịi, sáng tạo ra các dạng bài tập từ  đơn giản đến phức tạp, từ  hình học  phẳng cho  đến hình học khơng gian, từng phần phải có sự  gợi mở  và  chuyển hóa để học sinh khám phá sâu hơn bài tốn. Bằng cách thay đổi số  chiều khơng gian, thay đổi vai trị các đối tượng tốn học để  có một bài   tốn mới nhưng cách giải vẫn dựa trên kiến thức của bài tốn đã biết.       Từ  một bài tốn trong tuyển tập 10 năm đề  thi Olympic 30 tháng 4 lớp  11, tơi đã cố gắng khai thác, đào sâu, sáng tác ra các bài tốn khác nhằm có   một hệ thống các bài tốn vận dụng hệ thức lượng đơn giản đã được học  sinh biết đến. Theo hướng này, giáo viên sẽ có một phương pháp khai thác   các bài tốn một cách triệt để. Từ một bài tốn gốc, vận dụng các hình thức  biến đổi khác nhau, tạo ra một loạt các bài tốn từ đơn giản đến phức tạp   Trong phần sau các hình vẽ  được tơi dùng Photoshop để  vẽ  nên hình vẽ  đẹp, chính xác hơn dùng các cơng cụ  vẽ của Winword. Trong Mathtype và  Equation khơng có ký hiệu ký hiệu đồng dạng       mà chỉ  có ký hiệu này  , thật ra nó khơng chính xác. tơi đã tự  vẽ  ký hiệu    để  dùng. Kính gửi  thầy cơ xem và nếu có thể, tơi kính nhờ  thầy cơ sửa chữa những chổ  cịn  thiếu sót.   Bài tốn 1 .  Từ hệ thức lượng trong tam giác vng:  Cho tam giác OAB vng tại O   CMR  1 = + 2 OH OA OB Chứng minh OA2 + OB OA2OB ( AB AH )( AB.BH ) = � OH = � OH = 2 2 OH OA OB OA + OB AB � OH = AH BH � Bài toán 2.  OH BH = (Do  ∆ BOH    ∆ OAH) AH OH Cho tam giác OAB vng tại O.  Gọi  α , β  lần lượt là các góc tạo bởi  đường cao OH với hai cạnh OA, OB CMR a)  cos 2α + cos β = sin α + sin β = cos 2α b)  +3 cos β �sin α sin β � sin α + sin β �3 � �.  � OH OH OH OH 2 Chứng minh: a)  cosα + cos β = + � cos α + cos β = + OA OB OA2 OB OH OH � �1 � cos α + cos β = + = OH � + = OH =1W 2 � OA OB OH �OA OB � 2 Sin 2α + sin β = (1 − cos 2α ) + (1 − cos β ) = − (cos 2α + cos β ) = − = b) Đặt  a = sin α ; b = sin β  ta có a+b=1 và  cos 2α = − a; cos β = − b 1− a BĐT cần chứng minh trở thành  + 31−b �a b � �a + b � �3 � � 3 3 �a b � 6a 6b + b �6 � a + b �� a − a + b − b �0 � a (1 − 2a ) + b (1 − 2b) �0 a 3 3 3 �3 � 3 � 3 3 ( a + b − 2a) + b (a + b − 2b) �0 � a (b − a) + b ( a − b) �0 a 3 3 �1 � � �a − b � (b − a) �0 bất đẳng thức này ln đúng vì hàm số  y = x là  �3 � hàm  3a số giảm nên ta có:   a � b 3a a � b Dấu bằng xảy ra  1 �1 � 3b ( b − a ) �0   �� �a − b � �3 � 3b a=b   � cos α = cos β  hay  ∆ OAB vng cân tại O Vì trong tam giác vng, với các góc  α , β  như đề bài cho ta ln có  cos 2α + cos β = sin α + sin β =  nên ta có thể biến đổi bài 2 thành Bài tốn 3. Cho tam giác OAB vng tại O.  Gọi  α , β  lần lượt là các góc tạo bởi  đường cao OH với hai cạnh OA, OB CMR sin α +3 sin β �cos 2α cos β � cos α + cos β �3 2 � �.  � Cách giải bài này tương tự như bài trên khác cách đặt một chút như sau: Đặt  a = cos 2α ; b = cos β  ta có a+b=1 và  sin α = − a; sin β = − b phần cịn lại làm tương tự Bài tốn 4. Bây giờ ta mở rộng trong khơng gian:  Cho tứ diện OABC vng tại O, đường cao OH.  CMR  1 1 = + +   2 OH OA OB OC Chứng minh:  BC ⊥ OA  �� BC ⊥ AH BC ⊥ OH Gọi I là giao điểm của BC và AH, ta có  OI ⊥ BC  Áp dụng bài tốn 1 vào  ∆ OBC,  ∆ OAI ta có 1 1 1 = + = +  Thay (*) vào ta có ĐPCM  (*),  2 2 OI OB OC OH OA OI Bài tốn 5. Cho tứ diện OABC vng tại O. Gọi  α , β , γ lấn lượt là góc tạo  bởi đường cao xuất phát từ O với các cạnh OA, OB,OC. CMR  3sin α + 3sin β + 3sin γ 2 cos 2α 32−cos α + cos β 32−cos β + cos γ 32−cos γ 2 (4.1) Chứng minh: Áp dụng tỉ số lượng giác vào  các tam giác vng AOH, BOH, COH ta có: OH OH OH + + OA OB OC OH OH OH 2 2 � cos α + cos β + cos γ = + + OA2 OB OC cosα + cos β + cos γ = Áp dụng kết quả bài tốn 4 vào ta có  cos 2α + cos β + cos γ =  Đặt  a = cos α ; b = cos β ; c = cos 2γ ta có a+b+c=1 và  sin α = − a; sin β = − b; sin γ = − c , BĐT cần chứng minh (4.1) trở  thành  � 3 + + 3a 3b 3c 9a 9b 9c 1 + b + c   � a (1 − 3a) + b (1 − 3b) + c (1 − 3c) �0 a 3 3 3 1 (b + c − 2a) + b ( a + c − 2b) + c ( a + b − 2c) �0 a 3 1� 1� �1 � � �a − b � ( b − a) + � ( c − b) + � ( a − c ) �0 �b − c � �c − a � �3 � �3 � �3 � Bất đẳng thức sau cùng ln đúng vì hàm số  y = là hàm số giảm nên ta  3x có: 3a a � b 3a a � b 1 �1 � 3b ( b − a ) �0  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  �� �a − b � �3 � 3b a=b=c   � cos α = cos β = cos γ  hay tứ diện OABC vng cân tại O Chú ý rằng nếu ta thay vai trị của hàm sin và hàm cosin thì phải để ý là nếu  cos 2α + cos β + cos γ =  thì  sin α + sin β + sin γ = (1 − cos 2α ) + (1 − cos β ) + (1 − cos 2γ ) = − = Do đó ta có bài tốn 6 cách giải cũng tương tự: Bài tốn 6 Cho tứ diện OABC vng tại O. Gọi  α , β , γ lấn lượt là góc tạo bởi đường  cao xuất phát từ O với các cạnh OA, OB,OC. CMR  2(3cos α + 3cos β + 3cos γ ) sin α 32 −sin α + sin β 32−sin β + sin γ 32 −sin 2 2 2 γ Cách giải tương tự:  sin α + sin β + sin γ =  Đặt  a = sin α ; b = sin β ; c = sin γ ta có a+b+c=2 và  cos 2α = − a; cos β = − b; cos 2γ = − c , BĐT cần chứng minh trở thành 1 �3 3 � 9a 9b 9c � a + b + c � a + b + c   � a (2 − 3a) + b (2 − 3b) + c (2 − 3c) �0 3 3 �3 3 � � 1 ( b + c − a ) + ( a + c − b ) + ( a + b − 2c) �0 3a 3b 3c 1� 1� �1 � � �a − b � ( b − a) + � ( c − b) + � ( a − c ) �0  bất đẳng thức  �b − c � �c − a � �3 � �3 � �3 � này ln đúng vì hàm số  y = là hàm số giảm, các bước còn lại y hệt bài  3x ... học? ?sinh? ?và? ?nhất là đam mê bộ  mơn Tốn? ?học.  Khơng nên? ?dạy? ?học? ?theo  kiểu đổ ? ?kiến? ?thức vào đầu? ?học? ?sinh như  đổ  nước vào bình mà cần chú ý   gợi mở để? ?học? ?sinh khám phá? ?và? ?biết nghiên cứu khoa? ?học.  Cần vận dụng ...  tị mị của? ?học? ?sinh. Để  làm được như  vậy địi hỏi   người thầy phải có? ?kiến? ?thức vững vàng, có? ?năng? ?lực, siêng? ?năng, ? ?sáng? ?tạo       ? ?Trong? ?chương trình tốn lớp 10 THPT? ?học? ?sinh đã được? ?học? ?hệ thức ... gợi mở để? ?học? ?sinh khám phá? ?và? ?biết nghiên cứu khoa? ?học.  Cần vận dụng  tốt các phương pháp? ?dạy? ?học? ?tích cực, nắm kỹ các cách tiếp cận? ?trong? ?dạy   học? ?bộ mơn Tốn. Cần? ?phát? ?huy tính? ?sáng? ?tạo, kích thích sự tị mị khám phá  của? ?học? ?sinh. Điều quan trọng nhất là phải biết tự