Giới hạn nghiên cứu của đề tài: Phương trình và bất phương trình vô tỉ: Các dạng toán cơ bản và nâng cao nằm trong chương trình Đại số 10. Một số bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học - Cao đẳng.
Sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUANG NAM ̉ TRƯỜNG THPT LÊ QUY ĐƠN ́ ¬ ĐÊ TAI: ̀ ̀ GIUP HOC SINH L ́ ̣ ỚP 10 REN LUYÊN ̀ ̣ KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VA BÂT PH ̀ ́ ƯƠNG TRINH VƠ T ̀ Ỉ Giao viên: Nguyên Thi Thanh Lam ́ ̃ ̣ Tô Toan ̉ ́ Trương THPT Lê Quy Đôn ̀ ́ GV: Nguyễn Thị Thanh Lam Tổ Tốn Trường THPT Lê Q Đơn Sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 2 Năm hoc: 2010 2011 ̣ I. TÊN ĐÊ TAI: ̀ ̀ GIUP ́ HOC ̣ SINH LỚP 10 REN ̀ LUYÊN ̣ KĨ NĂNG GIAỈ PHƯƠNG TRINH VA BÂT PH ̀ ̀ ́ ƯƠNG TRINH VƠ TI ̀ ̉ II. ĐĂT VÂN ĐÊ: ̣ ́ ̀ Trong chương trinh Toan THPT, ma cu thê la phân mơn Đai sơ 10, cac ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ́ ́ em hoc sinh đa đ ̣ ̃ ược tiêp cân v ́ ̣ ơi ph ́ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh ch ̀ ưa ân ́ ̉ dươi dâu căn cung nh ́ ́ ̃ cach giai môt vai dang toan c ́ ̉ ̣ ̀ ̣ ́ ban cua phân nay ̉ ̉ ̀ ̀ Tuy nhiên trong thực tê cac bai toan giai ph ́ ́ ̀ ́ ̉ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh ̀ chưa ân d ́ ̉ ươi dâu căn rât phong phu va đa dang. Đăc biêt, trong cac đê thi ́ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̀ Đai hoc Cao đăng THCN cac em se găp môt l ̣ ̣ ̉ ́ ̃ ̣ ̣ ơp cac bai toan vê ph ́ ́ ̀ ́ ̀ ương trinh, bât ph ̀ ́ ương trinh vô ti ma chi co môt sô it cac em biêt ph ̀ ̉ ̀ ̉ ́ ̣ ́́ ́ ́ ương phap ́ giai nh ̉ ưng trinh bay con lung cung, ch ̀ ̀ ̀ ̉ ̉ ưa được gon gang sang sua, thâm chi ̣ ̀ ́ ̉ ̣ ́ con măc môt sô sai lâm không đang co trong khi trinh bay ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ Trong SGK Đai sô l ̣ ́ ơp 10 nâng cao, phân ́ ̀ phương trinh va bât ̀ ̀ ́ phương trinh co ch ̀ ́ ưa dâu căn ́ ́ chi la môt muc nho trong bai: ̉ ̀ ̣ ̣ ̉ ̀ Môt sô ph ̣ ́ ương trinh va ̀ ̀ bât ph ́ ương trinh quy vê bâc hai ̀ ̀ ̣ cua ch ̉ ương IV. Thơi l ̀ ượng danh cho phân ̀ ̀ nay lai rât it, cac vi du va bai tâp trong phân nay cung rât han chê va chi ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ ̀ ̃ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ở dang c ̣ ban. Nh ̉ ưng trong thực tê, đê biên đôi va giai chinh xac ph ́ ̉ ́ ̉ ̀ ̉ ́ ́ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh ch ̀ ưa ân d ́ ̉ ưới dâu căn đoi hoi hoc sinh phai năm ́ ̀ ̉ ̣ ̉ ́ vưng nhiêu kiên th ̃ ̀ ́ ưc, phai co ki năng biên đôi toan hoc nhanh nhen va thuân ́ ̉ ́ ̃ ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̀ ̀ thuc. Muôn vây, trong cac tiêt luyên tâp giao viên cân tông kêt lai cach giai ̣ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ́ ̉ cac dang ph ́ ̣ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh th ̀ ương găp, cung nh ̀ ̣ ̃ bô sung ̉ thêm cac dang bai tâp nâng cao, đăc biêt la ren luyên cho hoc sinh ki năng ́ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ̣ ̣ ̃ giai ph ̉ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti băng ph ̀ ̉ ̀ ương phap đăt ân phu ́ ̣ ̉ ̣ Giơi han nghiên c ́ ̣ ưu cua đê tai: ́ ̉ ̀ ̀ GV: Nguyễn Thị Thanh Lam Tổ Tốn Trường THPT Lê Q Đơn Sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 3 Phương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti: Cac dang toan c ̀ ̉ ́ ̣ ́ ơ ban va nâng ̉ ̀ cao năm trong ch ̀ ương trinh Đai sô 10 ̀ ̣ ́ Môt sô bai toan giai ph ̣ ́ ̀ ́ ̉ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti trong cac đê ̀ ̉ ́ ̀ thi Đai hoc Cao đăng ̣ ̣ ̉ III. CƠ SỞ LI LUÂN: ́ ̣ Nhiêm vu trong tâm trong tr ̣ ̣ ̣ ương THPT va hoat đông day cua thây va ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ hoat đông hoc cua tro. Đôi v ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ́ ơi ng ́ ươi thây, viêc giup hoc sinh cung cô nh ̀ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ững kiên th ́ ưc phô thông noi chung, đăc biêt la kiên th ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̀ ́ ức thuôc bô môn Toan hoc ̣ ̣ ́ ̣ la viêc lam rât cân thiêt. ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́ Muôn hoc tôt môn Toan, cac em phai năm v ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ́ ững những tri thưc khoa hoc ́ ̣ ở môn Toan môt cach co hê thông, biêt vân dung ly thuyêt môt cach linh hoat ́ ̣ ́ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ́ ̣ vao t ̀ ưng bai toan cu thê. Điêu đo thê hiên ̀ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ̣ ở viêc ̣ hoc đi đôi v ̣ ơi hanh, ́ ̀ đoi hoi ̀ ̉ hoc sinh phai co t ̣ ̉ ́ duy logic va suy nghi linh hoat. Vi vây, ttrong qua trinh ̀ ̃ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ day hoc giao viên cân đinh h ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ương cho hoc sinh cach hoc va nghiên c ́ ̣ ́ ̣ ̀ ứu môn Toan môt cach co hê thông, biêt cach vân dung li thuyêt vao bai tâp, biêt phân ́ ̣ ́ ́ ̣ ́ ́ ́ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ dang bai tâp va giai môt bai tâp v ̣ ̀ ̣ ̀ ̉ ̣ ̀ ̣ ới nhiêu cach khac nhau. ̀ ́ ́ IV. CƠ SỞ THỰC TIÊN: ̃ Baì toan giai ph ́ ̉ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti hoc sinh chi đ ̀ ̉ ̣ ̉ ược hoc trong ch ̣ ương trinh Đai sô 10. Tuy nhiên, th ̀ ̣ ́ ơi l ̀ ượng danh cho phân nay ̀ ̀ ̀ nay rât it, hoc sinh không đ ̀ ́ ́ ̣ ược tiêp cân nhiêu dang toan khac nhau. Trong ́ ̣ ̀ ̣ ́ ́ SGK Đai sô l ̣ ́ ơp 10 nâng cao chi đ ́ ̉ ưa ra ba dang c ̣ ban: ̉ A B, A B và ̀ ̀ ̣ ̃ ̉ ững bai tâp năm trong ba dang nay. Tuy ̀ ̣ ̀ ̣ ̀ A B , phân bai tâp cung chi nêu nh nhiên, trong thực tê ́phương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti ̀ ̉ rât đa dang va ́ ̣ ̀ phong phu. Trong qua trinh hoc Toan ́ ́ ̀ ̣ ́ ở lơp 11 va 12, khi găp phai nh ́ ̀ ̣ ̉ ững baì toan đ ́ ưa vê ph ̀ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti, đa sô hoc sinh đêu lung ̀ ̉ ́ ̣ ̀ ́ tung, th ́ ương giai sai va thâm chi không biêt cach giai. Đăc biêt, cac đê thi ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ́ ́ ̉ ̣ ̣ ́ ̀ Đai hoc Cao đăng cac em se găp ph ̣ ̣ ̉ ́ ̃ ̣ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti ̀ ̉ ở nhiêu dang khac nhau ch ̀ ̣ ́ ứ không chi năm trong khuôn khô ba dang trên. Vi ̉ ̀ ̉ ̣ ̀ vây, ̣ viêc̣ giuṕ cho cać em có kĩ tôt, ́ cung ̃ cung câp ́ thêm cać phương phap giai ́ ̉ phương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti ̀ ̉ la rât cân thiêt ̀ ́ ̀ ́ nhăm đap ̀ ́ ứng nhu câu th ̀ ực tê hiên nay. Môt điêu rât quan trong la trong qua ́ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ́ trinh giai ̀ ̉ phương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh vô ti, ̀ ̉ giaó viên cân phai l ̀ ̉ ưu ý cho hoc sinh cac sai lâm th ̣ ́ ̀ ương măc phai va phân tich nguyên nhân sai lâm ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̀ đê cac em hiêu sâu h ̉ ́ ̉ ơn nhăm co đ ̀ ́ ược môt bai giai tôt sau nay ̣ ̀ ̉ ́ ̀ V. NƠI DUNG: ̣ A. Phương phap biên đơi t ́ ́ ̉ ương đương: Nơi dung cua ph ̣ ̉ ương phap nay la s ́ ̀ ̀ ử dung cac tinh chât cua luy th ̣ ́ ́ ́ ̉ ̃ ưa va ̀ ̀ cac phep biên đôi t ́ ́ ́ ̉ ương đương cua ph ̉ ương trinh, bât ph ̀ ́ ương trinh nhăm ̀ ̀ GV: Nguyễn Thị Thanh Lam Tổ Tốn Trường THPT Lê Q Đơn Sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 4 đưa cac ph ́ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương ban đâu vê ph ̀ ̀ ương trinh va bât ph ̀ ̀ ́ ương trinh đa biêt cach giai ̀ ̃ ́ ́ ̉ f ( x ) g ( x) : 1) Dang ̣ Vi du 1: ́ ̣ Giai ph ̉ ương trinh: ̀ x 3x Hương dân giai: ́ ̃ ̉ Ta thây VT luôn không âm, do đo nêu VP âm thi ph ́ ́ ́ ̀ ương 3x trinh vô nghiêm, nên ta chi cân giai ph ̀ ̣ ̉ ̀ ̉ ương trinh khi ̀ Khi x đo hai vê đêu không âm va binh ph ́ ́ ̀ ̀ ̀ ương ta thu được phương trinh t ̀ ương đương 3x x (3 x 1) pt f ( x) Nhân xet: * ̣ ́ 4x x 9x2 g ( x) x x 0, x x 0Vx g ( x) f ( x) (không cân đăt đk: ̀ ̣ f ( x) g ( x) * Ở bai toan trên ta co thê giai băng cach đăt ân phu: ̀ ́ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ t Vi du 2: ́ ̣ Giai ph ̉ ương trinh: ̀ x x (*) pt x x (1 x)(1 x ) x 2x 1 2x (1 x)(1 x ) x 2x 1 2x x Hương dân giai: ĐK: ́ ̃ ̉ x 0) 2x (2 x 1) (1 x)(1 x) x 2x2 7x x Đôi chiêu đk (*) ta thây x = 0 thoa man. Vây nghiêm cua pt đa cho la x = 0 ́ ́ ́ ̉ ̃ ̣ ̣ ̉ ̃ ̀ Nhân xet: ̣ ́ Ở phương trinh trên ta chuyên ̀ ̉ x qua vê phai rôi m ́ ̉ ̀ ơi binh ́ ̀ phương. Muc đich cua viêc lam nay la tao ra hai vê cua ph ̣ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ̉ ương trinh luôn ̀ cung dâu đê sau khi binh ph ̀ ́ ̉ ̀ ương ta thu được phương trinh t ̀ ương đương f ( x) 2) Dang ̣ f ( x) g ( x) g ( x) : g ( x) f ( x) f ( x) g ( x) Vi du 3: ́ ̣ Giai ph ̉ ương trinh: ̀ x x x (1) GV: Nguyễn Thị Thanh Lam Tổ Tốn Trường THPT Lê Q Đơn Sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 5 Giai: ̉ x 2 2x 6x 2 x x ( x 2) (1) x x x x Vx f ( x) 3) Dang ̣ f ( x) x x Vx x2 2x 3 7 g ( x) : f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) Vi du 4: ́ ̣ Giai bpt: ̉ 2( x 16) x x x (ĐH Khôi A 2004) ́ x x Giai: ĐK: ̉ 2( x 16) bpt x 34 x 10 x 2( x 16) x x 10 34 Vi du 5: ́ ̣ Giai ph ̉ ương trinh: ̀ 2x Giai: ̉ pt 2x x x 4x 6x2 x x ( x 1) x 0, x 10 x x 16 10 x 10 x 2( x 16) (10 x) x 6x x 1 x2 6x x 1 ( x 1) 2 Vi du 6: ́ ̣ Giai ph ̉ ương trinh: ̀ x( x 1) x( x 2) x2 x x (*) Hương dân giai: ĐK: ́ ̃ ̉ x Pt 2x2 x x ( x 1)( x 2) 4x2 x2 ( x2 x 2) x(2 x 1) GV: Nguyễn Thị Thanh Lam Tổ Tốn Trường THPT Lê Q Đơn Sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 6 4x2 ( x2 x 8x x (2 x 1) (do đk (*)) x 2) x x (thoa (*)) ̉ Qua vi du trên, l ́ ̣ ưu y cho hoc sinh cac điêm sau: ́ ̣ ́ ̉ 1) Bai toan trên con co cach giai nh ̀ ́ ̀ ́ ́ ̉ ư sau: * x = 0 la môt nghiêm cua ph ̀ ̣ ̣ ̉ ương trinh ̀ *x pt 4x2 *x x 4x2 4x 4x pt x x 2 x x x(1 x) x 2 x x2 x 2x (nhân) ̣ x ( x 2) x2 ( x)( x) x 2x (loai) ̣ x Vây nghiêm cua ph ̣ ̣ ̉ ương trinh đa cho la: x = 0 va x = ̀ ̃ ̀ ̀ 2) Khi biêń đôỉ trên, chung ́ ta thương ̀ măć sai lâm ̀ cho ̀ ̉ thưć naỳ chỉ đung ́ a, b Nêú a, b thì ab a b! Đăng ab a b Vi du 7: ́ ̣ Giai ph ̉ ương trinh: ̀ 3x Hương dân giai: ́ ̃ ̉ pt 3 x 2x x 33 ( x 1)( x 2) (3 x x 2) 2x x x 2x (*) ( x 1)( x 2)(2 x 3) x 1; x 2; x Qua vi du trên, l ́ ̣ ưu y cho hoc sinh cac điêm sau: ́ ̣ ́ ̉ a) Khi giai ph ̉ ương trinh trên chung ta th ̀ ́ ương biên đôi nh ̀ ́ ̉ ư sau: x 33 ( x 1)( x 2) (3 x x 2) 2x 3 0!? Phep ́ ( x 1)( x 2)(2 x 3) biên đôi nay không phai la phep biên đôi t ́ ̉ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ương đương! Vi ̀ở đây chung ta đa ́ ̃ thưa nhân ph ̀ ̣ ương trinh ban đâu co nghiêm. Do đo đê co đ ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̉ ́ ược phep biên đôi ́ ́ ̉ tương đương thi ta phai đ ̀ ̉ ưa vê hê nh ̀ ̣ ư trên. Chăng han ta xet pt sau: ̉ ̣ ́ x x 33 x (3 x x) x2 x Thay x = 0 vao ph ̀ ương trinh ban đâu ta thây x = 0 không thoa man ̀ ̀ ́ ̉ ̃ GV: Nguyễn Thị Thanh Lam Tổ Tốn Trường THPT Lê Q Đơn Sang kiên kinh nghiêm ́ ́ ̣ 7 b) Vơi dang tông quat: ́ ̣ ̉ ́ a b c ta lâp ph ̣ ương hai vê va s ́ ̀ ử dung hăng ̣ ̀ 3 đăng th ̉ ưć (a b) a b 3ab(a b) , ta co ph ́ ương trinh t ̀ ương đương vơí a 3b 3c hê:̣ Giai hê nay ta đ ̉ ̣ ̀ ược nghiêm cua ph ̣ ̉ ương trinh ̀ a b 33 a b.c Vi du 8: ́ ̣ Giai ph ̉ ương trinh: a) ̀ x2 x 7 (1) 3x x (2) x )( x x 1) b) x Hương dân giai: a) ́ ̃ ̉ x ( x 7) ( x pt x 5( x 5( x 3x ) 3x ) 4x 4x (x Vây pt đa cho co hai nghiêm: ̣ ̃ ́ ̣ x va ̀ x 2 x b) pt 29 x 7) 3x 3x 29 (4 x 1) (3 x 2) ( 4x 0 x x x x x x ).( x 3x ) Nhân xet: ̣ ́ *Vơi ph ́ ương trinh (1) ta co thê giai nh ̀ ́ ̉ ̉ ư sau: y2 x Đăt ̣ y x ta co hê ph ́ ̣ ương trinh: ̀ , trừ vê theo vê hai ph ́ ́ ương x2 y trinh trên ta đ ̀ ược: ( y x)( y x 1) Giai ra ta tim đ ̉ ̀ ược x * Dang tông quat cua pt (1) la: ̣ ̉ ́ ̉ ̀ x2 x a a *Vơi pt (2) ta con co cach giai khac nh ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ư sau: 4x (2) 3x 2 x 3x 4x 1 ( x 3)( x 2) x 4( x 2) 4x Vi VT(*)