Mục tiêu của đề tài là Tìm hiểu nhu cầu và những khó khăn của học sinh khi các bài toán tính tổng các số tổ hợp. Từ đó nghiên cứu, đề xuất phương pháp khắc phục những khó khăn đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong trường trung học phổ thông.
PHÂN 1: M ̀ Ở ĐÂU ̀ 1. Li do chon đê tai ́ ̣ ̀ ̀ Cac bai toan tô h ́ ̀ ́ ̉ ợp (hay con goi la cac bai toan vê giai tich tô h ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ̉ ợp) chiêm ́ môt vi tri quan trong trong viêc phat triên t ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ư duy, tinh sang tao cua hoc sinh. Do ́ ́ ̣ ̉ ̣ sự ly thu cua cac bai toan nay nên chung luôn xuât hiên trong cac ki thi hoc sinh ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̀ ̣ gioi, thi tuyên sinh vao cac tr ̉ ̉ ̀ ́ ương Đai hoc va Cao đăng. Trong nôi dung nay, co ̀ ̣ ̣ ̀ ̉ ̣ ̀ ́ bai toan tinh cac tông liên quan đên sô tô h ̀ ́ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp. Khi gặp bài tốn thuộc loại này, học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ qua bài tốn. Bằng kinh nghiệm giảng dạy, tơi rút ra được một số ngun nhân sau đây dẫn đến các em học sinh có tâm lí sợ các bài tốn về tinh cac ́ ́ tông liên quan đên sô tô h ̉ ́ ́ ̉ ợp: Vi th ̀ ơi l ̀ ượng danh cho nôi dung nay qua it, nên hoc sinh chi m ̀ ̣ ̀ ́́ ̣ ̉ ơi đ ́ ược lam ̀ quen vơi môt sô bai toan ́ ̣ ́ ̀ ́ ở mức đô đ ̣ ơn gian ̉ Cac tai liêu viêt vê tô h ́ ̀ ̣ ́ ̀ ̉ ợp trinh bay nhiêu cach giai bai toan nay, trong đo co ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ́ cach kêt h ́ ́ ợp kiên th ́ ức tô h ̉ ợp vơi đao ham hoăc tich phân. Điêu đo tao ra s ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ự kho khăn nhât đinh cho hoc sinh vi li do kiên th ́ ́ ̣ ̣ ̀ ́ ́ ức vê tô h ̀ ̉ ợp được hoc ̣ ở hoc ki ̣ ̀ I, con đao ham đ ̀ ̣ ̀ ược trinh bay ̀ ̀ ở cuôi hoc ki II cua l ́ ̣ ̀ ̉ ơp 11, tich phân đ ́ ́ ược hoc̣ ở cuôi ch ́ ương trinh l ̀ ơp 12 ́ Hệ thống bài tập minh hoạ cho mỗi phương pháp tinh cac tông liên quan đên ́ ́ ̉ ́ sơ tơ h ́ ̉ ợp chưa phong phú, chưa đưa các em tới nhiều tình huống. Các bài tập mà các em được tiếp cận chưa phản ánh được bản chất và dấu hiệu của mỗi phương pháp tinh cac tơng liên quan đên sơ tơ h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp. Khi dạy học sinh tìm lời giải bài tốn tinh cac tơng liên quan đên sơ tơ h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp, các thầy cơ giáo chưa hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực, chưa phát huy được tính tự giác, năng lực sáng tạo của học sinh Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường trung học phổ thơng chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân học sinh, cá nhân hố việc dạy học, tích cực hố hoạt động học tập của học sinh. Một trong những hoạt động quan trọng của học sinh trong q trình giải tốn đó là hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài tốn, hoạt động tìm tịi, suy nghĩ lời giải các bài tốn nhằm nắm vững các khái niệm, các tính chất, các phương pháp, các thuật tốn, cac cơng th ́ ưc. ́ Vân đê đăt ra ́ ̀ ̣ ở đây la nêu chi dung kiên th ̀ ́ ̉ ̀ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy thi co giai ̀ ́ ̀ ́ ̉ được cac bai toan tinh cac tông liên quan đên sô tô h ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp không. Sau nhiêu trăn ̀ trở, tim toi, tôi đa co câu tra l ̀ ̀ ̃ ́ ̉ ơi: Co môt công th ̀ ́ ̣ ức đơn gian liên quan đên sô tô ̉ ́ ́ ̉ hợp co thê giup ta giai đ ́ ̉ ́ ̉ ược loai toan nay khi kêt h ̣ ́ ̀ ́ ợp no v ́ ơi nhi th ́ ̣ ưc Niut ́ ơn, co thê vi von công th ́ ̉ ́ ưc nay giông nh ́ ̀ ́ môt “bao bôi” cua ng ̣ ̉ ́ ̉ ười giai toan tô ̉ ́ ̉ hợp. No se đ ́ ̃ ược đê câp trong phân 2, muc I.3. Đê giup hoc sinh vân dung công ̀ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ̣ ̣ thưc nay môt cach linh hoat, giao viên cân giup cac em nhân dang đ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̣ ược những bai toan nao dung đ ̀ ́ ̀ ̀ ược công thưc đo. Cân giup cac em nhin nhân, biên đôi ́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̉ công thưc đo d ́ ́ ươi nhiêu hinh th ́ ̀ ̀ ưc khac nhau đê giai đ ́ ́ ̉ ̉ ược nhiêu bai toan kho ̀ ̀ ́ ́ hơn, la h ̣ ơn. Cân co môt hê thông bai tâp phong phu, phân loai đê hoc sinh ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̣ được ren luyên ky năng. T ̀ ̣ ̃ ừ đo gop phân phát tri ́ ́ ̀ ển cho hoc sinh năng l ̣ ực tìm tịi, suy nghĩ lời giải các bài tốn tinh cac tơng liên quan đên sơ tơ h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp, bởi vì mục đích của việc giải tốn khơng chỉ nắm vững từng kiểu bài tốn, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, khơng phụ thuộc vào khn mẫu có sẵn. Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm như sau: Dung kiên th ̀ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́ hương dân hoc sinh giai bai ́ ̃ ̣ ̉ ̀ toan tinh tông cac sô tô h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp 2. Muc đich nghiên c ̣ ́ ưu ́ Tìm hiểu nhu câu va nh ̀ ̀ ưng khó khăn c ̃ ủa học sinh khi cac bai tốn tinh ́ ̀ ́ tơng cac sơ t ̉ ́ ́ ổ hợp. Từ đó nghiên cứu, đề xuất phương phap kh ́ ắc phục nhưng ̃ kho khăn đo, góp ph ́ ́ ần nâng cao chất lượng dạy va h ̀ ọc mơn tốn trong trường trung học phổ thơng 3. Đơi t ́ ượng nghiên cưu ́ Cac bai toan tinh tông cac sô tô h ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp dung kiên th ̀ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy đê ̀ ́ ̉ giai quyêt ̉ ́ 4. Phương phap nghiên c ́ ưu ́ a) Phương phap nghiên c ́ ứu xây dựng cơ sở ly thut: Nghiên c ́ ́ ứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học tốn, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các cơng trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo… b) Phương phap đi ́ ều tra khao sat th ̉ ́ ực tê: Ti ́ ến hành tìm hiểu về các số liệu thơng qua giáo viên tốn các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trương THPT Vinh Lôc ̀ ̃ ̣ c) Phương phap thông kê, x ́ ́ ử ly sô liêu: Ti ́ ́ ̣ ến hành day th ̣ ực nghiệm một số buôi ̉ ở trường THPT Vinh Lơc ̃ ̣ PHÂN 2: NƠI DUNG SANG KIÊN KINH NGHIÊM ̀ ̣ ́ ́ ̣ I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SANG KIÊN KINH NGHIÊM ́ ́ ̣ 1. Công thức nhị thức Niutơn (a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cnk a n − k b k + + Cnnb n = n k =0 Cnk a n −k b k 2. Môt sô khai triên va công th ̣ ́ ̉ ̀ ưc suy ra t ́ ư công th ̀ ức nhi th ̣ ưc Niut ́ ơn n 2 3 n n (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x (1 − x)n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − Cn3 x3 + + (−1) n Cnn x n (1 + x)2 n = C20n + C21n x + C22n x + C23n x + + C22nn x n (1 − x)2 n = C20n − C21n x + C22n x − C23n x3 + − C22nn −1 x n −1 + C22nn x n (1 + x)2 n +1 = C20n +1 + C21n+1 x + C22n +1 x + C23n+1 x3 + + C22nn++11 x n +1 (1 − x)2 n +1 = C20n +1 − C21n +1 x + C22n +1 x − C23n+1 x3 + + C22nn+1 x n − C22nn++11 x n +1 (1 + x) n + (1 − x) 2n = C20n + C22n x + C24n x + + C22nn x n 2n (1 + x) − (1 − x) n = C21n x + C23n x3 + + C22nn −1 x n −1 2 n +1 (1 + x) + (1 − x) n +1 = C20n +1 + C22n +1 x + + C22nn+1 x n (1 + x) n +1 − (1 − x) n +1 = C21n +1 x + C23n +1 x3 + + C22nn++11 x n +1 Cn + Cn + Cn2 + Cn3 + + Cnn = 2n Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + (−1) n Cnn = Cn0 + Cn2 + Cn4 + = Cn1 + Cn3 + Cn5 + = 2n −1 3. Công thức quan trong dung trong đê tai ̣ ̀ ̀ ̀ k k kCn nCn ( n γ ﾥ * , n 2; k = 1, 2, , n) (I) (k 1)Cnk 11 (n 1)Cnk ( n �ﾥ * ; k = 0,1, , n) (II) 1 C nk C nk 11 ( n �ﾥ * ; k = 0,1, , n) (III) k n Chu y ́ ́. Cac công th ́ ưc nay t ́ ̀ ương đương nhau, chi khac nhau vê hinh th ̉ ́ ̀ ̀ ức viêt. Đê dê ́ ̉ ̃ nhơ, chung ta chi cân nh ́ ́ ̉ ̀ ớ công thức (I). Tuy viêc ap dung vao bai toan cu thê, ̀ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̉ co thê t ́ ̉ ừ công thưc (I) biên đôi thanh cac công th ́ ́ ̉ ̀ ́ ức (II), (III) đê s ̉ ử dung cho ̣ phu h ̀ ợp Công thưc (I) đ ́ ược chứng minh hêt s ́ ức đơn gian nh ̉ ư sau * Vơi ́ n γ ﾥ , n va ̀ k = 1, 2, , n ta co ́ n! k n.(n − 1)! (n − 1)! = = n = nCnk−−11 (đpcm) k !(n − k )! k (k − 1)!(n − k )! (k − 1)!(n − k )! n bởi n + va thay k bởi k + ta thu được công thưc Trong công thưc (I), thay ́ ̀ ́ kCnk = k (II) Công thưć (III) có được từ công thức (II) băng ̀ cach ́ chia cả hai vế cho (n + 1)(k + 1) 4. Dấu hiệu nhận biết dùng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) đê đ ́ ̉ ưa môt tông ̣ ̉ liên quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ợp vê môt tông quen thuôc ̀ ̣ ̉ ̣ Sử dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) cho chung ta m ́ ́ ột phương pháp hay và rất có hiệu quả để giai bai toan tinh tơng liên quan đên sơ tơ h ̉ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp. Các bài tốn tinh tơng liên quan đên sơ tơ h ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp có thể áp dụng được phương pháp này, nếu như sơ hang tơng quat cua các tơng đó co thê biên đơi thanh biêu th ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̀ ̉ ức ở vế trai cua môt trong cac công th ́ ̉ ̣ ́ ưc (I), (II), (III). Cac b ́ ́ ươc th ́ ực hiên tinh tông ̣ ́ ̉ liên quan đên cac sô tô h ́ ́ ́ ̉ ợp băng cach dung cac công th ̀ ́ ̀ ́ ức (I), (II), (III): Xac đinh sô hang tông quat cua tông cân tinh ́ ̣ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ ̀ ́ Biên đôi sô hang tông quat đo đê lam xuât hiên biêu th ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ̉ ức ở vê trai cua môt ́ ́ ̉ ̣ trong cac công th ́ ưc (I), (II), (III) ́ Dung cac công th ̀ ́ ức (I), (II), (III) đưa tông đa cho vê cac tông quen thuôc ̉ ̃ ̀ ́ ̉ ̣ Chu y ́ ́. Chung ta cân chu y đên đăc điêm nôi bât cua cac công th ́ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ ́ ức (I), (II), (III) đê co nh ̉ ́ ững đinh h ̣ ướng quan trong trong giai toan ̣ ̉ ́ k thay đôi con Trong cac công th ́ ưc (I), (II), (III), ́ ̉ ̀ n cô đinh. Nh ́ ̣ vây, khi ap ̣ ́ dung cac công th ̣ ́ ưc nay, ta co muc đich biên đôi đai l ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̉ ̣ ượng thay đôi ̉ k vê đai ̀ ̣ lượng cô đinh ́ ̣ n Tư tưởng chung nay giup ta biên đôi tông cân tinh thanh môt ̀ ́ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ̀ ̣ tơng quen thc. ̉ ̣ II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Tốn học là mơn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền giữa lí thuyết với bài tập áp dụng. Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập áp dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) h ́ ầu như khơng có. Vì thế các em học sinh rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng tốn tinh tơng co liên quan đên sơ ́ ̉ ́ ́ ́ tơ h ̉ ợp, dẫn đến việc bỏ qua bài tốn nay th ̀ ường xuất hiện trong các kỳ thi vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi Sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) là m ́ ột phương pháp hay và rất có hiệu quả để giai bai tốn tinh tơng co liên quan đên sơ tơ h ̉ ̀ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp, tạo nên sự độc đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giải của bài tốn. Qua thực tế dạy học, tơi thấy rằng học sinh đang cịn thiếu kinh nghiệm trong việc áp dụng cac cơng ́ thưc (I), (II), (III) đ ́ ể giải tốn nói chung và giải các bai tốn tinh tơng co liên ̀ ́ ̉ ́ quan đên sơ tơ h ́ ́ ̉ ợp nói riêng Khi sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) gi ́ ải các bài tốn tinh tơng co ́ ̉ ́ liên quan đên sơ tơ h ́ ́ ̉ ợp học sinh cịn gặp nhiều khó khăn như sau: Đứng trước những tơng co liên quan đên sơ tơ h ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp nào có thể lựa chọn sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) đ ́ ể giải và nếu dùng được cac cơng th ́ ức đó thì băt đâu t ́ ̀ ừ đâu đê biên đơi đ ̉ ́ ̉ ược tơng đo. Khó khăn đó n ̉ ́ ảy sinh do hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) trong viêc gi ́ ̣ ải các bài tốn tinh tơng ́ ̉ co liên quan đên sơ tơ h ́ ́ ́ ̉ ợp Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa đúng phương pháp và cơng cụ để giải là một u cầu phát triển trí tuệ cho học sinh Việc rèn luyện giải cac bai tốn tinh tơng co liên quan đên sơ tơ h ́ ̀ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp bằng phương pháp sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) s ́ ẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tịi, suy nghĩ lời giải các bài tốn, bởi vì mục đích của việc giải tốn khơng chỉ nắm vững từng kiểu bài tốn, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, khơng phụ thuộc vào khn mẫu có sẵn Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) ́ chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu các bài tốn tinh tơng co liên quan đên sơ ́ ̉ ́ ́ ́ tơ h ̉ ợp giai đ ̉ ược bằng phương pháp sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) nên ́ chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trị trong việc dạy và học về loai toan nay, ̣ ́ ̀ chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III), đ ́ ể học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải tốn, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Việc nghiên cứu các bài tốn trong tốn học sơ cấp bằng cách ghép thành những nhóm bài tốn giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa mơn tốn phổ thơng và một số sách tốn khác, người giáo viên bằng kiến thức và kinh nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài tốn, vạch ra sự khác biệt giữa các bài tốn theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh khi giải tốn Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tơi đã áp dụng đề tài tại các lớp 12A2, 12A3 trong hai năm học 20142015, 20152016. Khi được tiếp cận với chun đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm tra, đối chứng tơi nhận thấy chun đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải tốn cho các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng cac cơng th ́ ưc (I), (II), (III) ́ Đê thây đ ̉ ́ ược vai tro quan trong cua cac cơng th ̀ ̣ ̉ ́ ức trên, sau đây tơi xin trình bày một số ví dụ vận dụng. Cac vi du nay đ ́ ́ ̣ ̀ ược trich t ́ ừ cac đê thi Đai ́ ̀ ̣ hoc (vi du 7, 9, 17), thi th ̣ ́ ̣ ử đai hoc, thi hoc sinh gioi va đêu đ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ ược giai chi tiêt, ̉ ́ kem theo nh ̀ ưng phân tich va nhân xet đê hoc sinh thây đ ̃ ́ ̀ ̣ ́ ̉ ̣ ́ ược ứng dung rông rai, ̣ ̣ ̃ cai hay, cai đep cua cac công th ́ ́ ̣ ̉ ́ ức (I), (II), (III) Ví dụ 1. Tinh tơng ́ ̉ S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + (n − 1)Cnn −1 + nCnn Lơi giai ̀ ̉ Tông cân tinh hêt s ̉ ̀ ́ ́ ức quen thuôc. Sau đây tôi xin đ ̣ ưa ra 3 cach giai ́ ̉ k k −1 bai toan nay, trong đo co cach giai s ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ử dung công th ̣ ức kCn = nCn −1 Tư đo co thê ̀ ́ ́ ̉ binh luân vê ̀ ̣ ̀ưu nhược điêm cua t ̉ ̉ ừng cach ́ Cach 1 ́ Sô hang tông quat cua tông ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ kCnk , vơi ́ k = 1, 2, , n Sô hang tông quat nay lam ta nh ́ ̣ ̉ ́ ̀ ̀ ớ đên công th ́ ức k k −1 * kCn = nCn−1 (n γ ﾥ , n 2; k = 1, 2, , n) Ap dung công th ́ ̣ ưc nay, ta biên đôi đ ́ ̀ ́ ̉ ược tông ̉ S như sau n −1 n S = 1Cn + 2Cn + 3Cn + + (n − 1)Cn + nCn = n ( Cn0−1 + Cn1−1 + Cn2−1 + + Cnn−−11 ) = n.2n −1 Cach 2 ́ Sử dung công th ̣ ưc ́ Cnk = Cnn−k vơi ́ k = 0,1, , n , ta viêt lai tông đa cho nh ́ ̣ ̉ ̃ ư sau: S = nCn0 + (n − 1)Cn1 + (n − 2)Cn2 + + 1Cnn −1 Như vây, ta có ̣ S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + (n − 1)Cnn −1 + nCnn S = nCn0 + (n − 1)Cn1 + (n − 2)Cn2 + + 1Cnn −1 Công theo vê hai đăng th ̣ ́ ̉ ưc trên ta đ ́ ược n −1 n 2S = nCn + nCn + nCn + + nCn + nCn � 2S = n.2n Vây ̣ S = n.2n −1 Cach 3. Dung đao ham ́ ̀ ̣ ̀ n Ta co ́ (1 + x) = Cn + Cn x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n (1) Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược n −1 n(1 + x) = Cn + 2Cn x + 3Cn x + + (n − 1)Cnn−1 x n−2 + nCnn x n −1 (2) Trong (2), cho x = ta được S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + (n − 1)Cnn −1 + nCnn = n.2n −1 Nhân xet. ̣ ́ Viêc dung cach 1 la hêt s ̣ ̀ ́ ̀ ́ ức tự nhiên, tao nên s ̣ ự đơn gian trong l ̉ ơi giai bai ̀ ̉ ̀ toan. Cach giai nay chi dung cac kiên th ́ ́ ̉ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy, không mang tinh ki ̀ ́ ́ ̃ thuât trong biên đôi, tao nên s ̣ ́ ̉ ̣ ự nhe nhang, dê hiêu đôi v ̣ ̀ ̃ ̉ ́ ới đa sô hoc sinh ́ ̣ Hai cach giai con lai phai biêt kêt h ́ ̉ ̀ ̣ ̉ ́ ́ ợp nhiêu kiên th ̀ ́ ức, co nhiêu biên đôi mang ́ ̀ ́ ̉ tinh ki thuât cao, thâm chi con phai kêt h ́ ̃ ̣ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ợp vơi đao ham. Vi vây, hai cach giai ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ́ ̉ nay không hê đ ̀ ̀ ơn gian đôi v ̉ ́ ới hoc sinh ̣ Ví dụ 2. Chưng minh răng ́ ̀ 2C2 n + 4C24n + 6C26n + + 2nC22nn = n.22 n −1 Lơi giai ̀ ̉ Goi ̣ S la vê trai cua đăng th ̀ ́ ́ ̉ ̉ ức cân ch ̀ ứng minh 2k Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀ 2kC2 n , k = 1, 2, , n Vân dung công th ̣ ̣ ưc ́ kCnk = nCnk−−11 (n γ ﾥ * , n 2; k = 1, 2, , n) ta co ́ 2kC22nk = 2nC22nk−−11 Do đo ́ S = 2n ( C21n −1 + C23n −1 + C25n −1 + + C22nn−−11 ) = 2n.22 n −2 = n.22 n−1 Vi du 3 ́ ̣ Chưng minh răng ́ ̀ 1.22 C22n + 2.24 C24n + 3.26 C26n + + n.22 n C22nn = n ( 32 n −1 + 1) Lơi giai ̀ ̉ Goi ̣ S la vê trai cua đăng th ̀ ́ ́ ̉ ̉ ức cân ch ̀ ứng minh Ta biên đôi sô hang tông quat cua ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ S như sau: 2k 2k k −1 2k k −1 k C2 n = 2kC2 n = 2nC22nk−−11 , vơi ́ k = 1, 2, , n (1 + 2) n −1 − (1 − 2) n −1 = n ( 32 n −1 + 1) 2 n S = 1.2 C + 2.3 C + 3.4 C + + ( n − 1) nC Vi du 4 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ ́ n ﾥ va ̀ n > n n n n vơi Do đo ́ S = 2n ( C21n −1.21 + C23n−1.23 + + C22nn−−11.22 n −1 ) = 2n Lơi giai ̀ ̉ Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀(k − 1).kCnk , k = 2,3, , n Vơi ́ n ﾥ va ̀ n > va ̀ k = 2,3, , n ap dung công th ́ ̣ ưc ́ kCnk = nCnk−−11 hai lân ta co ̀ ́ k k −1 k −1 k −2 (k − 1)kCn = (k − 1)nCn −1 = n( k − 1)Cn −1 = n(n − 1)Cn − Ap dung kêt qua v ́ ̣ ́ ̉ ừa co, ta đ ́ ược S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + (n − 1).nCnn = n(n − 1) ( Cn0− + Cn1− + Cn2− + + Cnn−−22 ) = n(n − 1).2n − Nhân xet ̣ ́. Ta hay xem xet cach giai bai toan trên băng cach kêt h ̃ ́ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ́ ợp kiên th ́ ức tổ hợp vơi đao ham câp hai sau đây. ́ ̣ ̀ ́ n Ta co ́ (1 + x) = Cn + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n (1) Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược n −1 n(1 + x) = Cn + 2Cn x + 3Cn x + + nCnn x n−1 (2) Lây đao ham hai vê cua (2) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược n−2 n(n − 1)(1 + x) = 1.2Cn + 2.3Cn3 x + 3.4Cn4 x + + ( n − 1)nCnn x n −2 (3) Trong (3), cho x = ta được S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + (n − 1).nCnn = n(n − 1).2n −2 Ro rang l ̃ ̀ ơi giai trên mang tinh ki thuât cao va kho đôi v ̀ ̉ ́ ̃ ̣ ̀ ́ ́ ới nhiêu hoc sinh ̀ ̣ n S = 1.2.3.Cn + 2.3.4.Cn + + (n − 2)(n − 1)nCn Vi du 5 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ Lơi giai ̀ ̉ Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ kCnk = nCnk−−11 nhiêu lân đê biên đôi sô hang tông quat ̀ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ cua ̉ S như sau: (k − 2)(k − 1)kCnk = (k − 2)(k − 1)nCnk−−11 = n(k − 2)(k − 1)Cnk−−11 = n(k − 2)(n − 1)Cnk−−22 = n(n − 1)(k − 2)Cnk−−22 = n(n − 1)(n − 2)Cnk−−33 Suy ra S = n(n − 1)(n − 2) ( Cn0−3 + Cn1−3 + Cn2−3 + + Cnn−−33 ) = n(n − 1)(n − 2).2n −3 Vi du 6 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn vơi ́ n ﾥ va ̀ n > k Lơi giai ̀ ̉ Xet sô hang tông quat cua tông ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ k Cn , vơi ́ k = 2,3, 4, , n Trong sô hang tông quat nay co biêu th ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ̉ ức kCnk Tư đo ap dung công th ̀ ́́ ̣ ức kCnk = nCnk−−11 , ta có k 2Cnk = k kCnk = k nCnk−−11 = n[(k − 1) + 1]Cnk−−11 = n(k − 1)Cnk−−11 + nCnk−−11 = n(n − 1)Cnk−−22 + nCnk−−11 Hoăc: ̣ k 2Cnk = [k (k − 1) + k ]Cnk = (k − 1)kCnk + kCnk = n(n − 1)Cnk−−22 + nCnk−−11 Ap dung kêt qua nay va chu y ́ ̣ ́ ̉ ̀ ̀ ́ ́12 Cn1 = nCn0−1 , ta có S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn = n(n − 1) ( Cn0− + Cn1− + + Cnn−−22 ) + n ( Cn0−1 + Cn1−1 + + Cnn−−11 ) = n(n − 1).2n − + n.2 n −1 = n( n + 1).2 n −2 Nhân xet ̣ ́ Sau đây la hai cach tinh tông trên băng cach kêt h ̀ ́ ́ ̉ ̀ ́ ́ ợp kiên th ́ ức tô h ̉ ợp vơi đao ham ́ ̣ ̀ k 1) Ta co ́ k Cn = [k (k − 1) + k ]Cnk = (k − 1)kCnk + kCnk nên S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn = ( 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + ( n − 1).nCnn ) + ( 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn ) = n(n − 1).2n − + n.2 n −1 = n( n + 1).2 n −2 Cach giai nay s ́ ̉ ̀ ử dung cac tông ̣ ́ ̉ ở Vi du 1 va Vi du 4. Đây la ki thuât tach tông ́ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ̃ ̣ ́ ̉ cân tinh thanh hai tông quen thuôc. Nh ̀ ́ ̀ ̉ ̣ ưng ban chât cua cach giai vân la kêt h ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̃ ̀ ́ ợp kiên th ́ ức tô h ̉ ợp vơi đao ham nên không hê đ ́ ̣ ̀ ̀ ơn gian đôi v ̉ ́ ới hoc sinh ̣ n 2 3 n n 2) Ta co ́(1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x (1) Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược n −1 n(1 + x) = Cn + 2Cn x + 3Cn x + + nCnn x n −1 (2) Nhân hai vê cua (2) v ́ ̉ ơi ́ x ta được n −1 nx(1 + x) = Cn x + 2Cn2 x + 3Cn3 x3 + + nCnn x n (3) Lây đao ham hai vê cua (3) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược n −1 n−2 n(1 + x) + n(n − 1) x(1 + x ) = 12 Cn1 + 22 Cn2 x + 32 Cn3 x + + n 2Cnn x n−1 (4) Trong (4), cho x = ta được S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n2Cnn = n.2n −1 + n(n − 1).2n −2 = n(n + 1).2n −2 Cach giai nay rât kho đôi v ́ ̉ ̀ ́ ́ ́ ới hoc sinh ̣ Vi du 7 (ĐH khôi A năm 2005). ́ ̣ ́ Tim sô nguyên d ̀ ́ ương n sao cho C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + (2n + 1).2 n C22nn++11 = 2005 (1) Lơi giai ̀ ̉ Goi ̣ S la vê trai cua PT (1). ̀ ́ ́ ̉ k Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀(k + 1) ( −2 ) C2kn++11 , k = 0,1, , 2n Đăc điêm cua sô hang tông quat nay lam ta nh ̣ ̉ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ̀ ớ đên công th ́ ức k k * (k 1)Cn (n 1)Cn ( n �ﾥ ; k = 0,1, , n) Ap dung công th ́ ̣ ưc nay, ta biên đôi sô hang tông quat cua ́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ S như sau k k k k (k + 1) ( −2 ) C2kn++11 = ( −2 ) (k + 1)C2kn++11 = ( −2 ) (2n + 1)C2kn = (2n + 1).C2kn ( −2 ) Tư đo ̀ ́ S = C21n +1 − 2.2C22n+1 + 3.2 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + (2n + 1).2 n C22nn++11 2n = (2n + 1) � C −2 + C21n ( −2 ) + C22n ( −2 ) + C23n ( −2 ) + + C22nn ( −2 ) � �2n ( ) � = (2n + 1) ( − ) 2n = 2n + Theo gia thiêt ta co ̉ ́ ́ 2n + = 2005 � n = 1002 (thoa man) ̉ ̃ Vây gia tri cân tim cua ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ̉ n la ̀ n = 1002 Nhân xet ̣ ́ +) Sau đây la l ̀ ơi giai d ̀ ̉ ựa vao đao ham ̀ ̣ ̀ Ta co ́ (1 + x)2 n +1 = C20n +1 + C21n+1 x + C22n+1 x + C23n+1 x3 + + C22nn++11 x n +1 , ∀x ﾥ (1) Đao ham hai vê cua (1) ta co ̣ ̀ ́ ̉ ́ 2n (2n + 1)(1 + x) = C2 n +1 + 2C2 n +1 x + 3C23n +1 x + + (2n + 1)C22nn++11 x n , ∀x ﾥ (2) Trong (2), cho x = −2 ta được C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + (2n + 1).22 n C22nn++11 = 2n + Theo gia thiêt ta co ̉ ́ ́ 2n + = 2005 � n = 1002 (thoa man) ̉ ̃ +) Viêc binh luân vê hai cach giai trên xin danh cho cac ban ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̣ Vi du 8 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ 1 1 S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn (n ﾥ * ) n +1 Cnk , k = 0,1, , n Lơi giai ̀ ̉ Xet sô hang tông quat cua tông ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ k +1 1 Cnk = Cnk++11 , ta có Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ k +1 n +1 1 n +1 − 1 n +1 n +1 S= C + C + + C = − C = ( n+1 n+1 ( n +1 ) n +1 ) n +1 n +1 n +1 Nhân xet ̣ ́ +) Lơi giai trên co ̀ ̉ ́ ưu điêm la ngăn gon, dê trinh bay va co h ̉ ̀ ́ ̣ ̃ ̀ ̀ ̀ ́ ương giai “t ́ ̉ ự nhiên”. Quan trong h ̣ ơn ca la giao viên co thê h ̉ ̀ ́ ́ ̉ ướng dân hoc sinh giai bai toan ̃ ̣ ̉ ̀ ́ ngay ca khi ch ̉ ưa hoc đao ham va tich phân ̣ ̣ ̀ ̀ ́ +) Sau đây la cach giai bai toan băng cach dung tich phân đê cac ban xem xet ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ́ n 2 3 n n Ta co ́ (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + + Cn x 1 (1 + x) dx = � ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x3 + + Cnn x n ) dx Suy ra: � n 0 n Ta co: ́ (1 + x) dx = (1 + x) n +1 2n+1 − = n +1 n +1 Măt khac: ̣ ́ n +1 � �1 x x n x ( C + C x + C x + C x + + C x ) dx = �x + Cn + Cn + + Cn n + �0 � � 1 = + Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 1 2n +1 − n Vây: ̣ + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 n n n 3 n n n n Vi du 9 (ĐH khôi A năm 2007). ́ ̣ ́ Chưng minh răng ́ ̀ 1 22 n − C2 n + C2 n + + C22nn −1 = 2n 2n + Lơi giai ̀ ̉ Goi ̣ S la vê trai cua đăng th ̀ ́ ́ ̉ ̉ ức đa cho. ̃ k −1 C2 n , k = 1, 2, , n 2k 1 1 Cnk = Cnk++11 , ta co ́ C22nk −1 = C22nk+1 Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ k +1 n +1 2k 2n + Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀ Tư đo ̀ ́ 1 n −1 C2 n = ( C22n+1 + C24n+1 + + C22nn+1 ) 2n 2n + 1 22 n − 2n � � = C + C + C + + C − C = ( 2n+1 2n+1 2n+1 n +1 ) n +1 � 2n + � 2n + S = C21n + C23n + + Ta co đpcm ́ Nhân xet ̣ ́ +) Cac ban hay xem xet l ́ ̣ ̃ ́ ời giai bai toan trên d ̉ ̀ ́ ựa vao tich phân nh ̀ ́ ư sau 2n 2 2n 2n Ta co ́ (1 + x) = C2 n + C2 n x + C2 n x + + C2 n x (1 − x)2 n = C20n − C21n x + C22n x − + C22nn x n � (1 + x) n − (1 − x) n = ( C21n x + C23n x3 + C25n x + + C22nn −1 x n −1 ) 1 (1 + x) n − (1 − x) n �� dx = � C21n x + C23n x + C25n x + + C22nn −1 x n −1 ) dx ( 0 (1 + x) n − (1 − x) n (1 + x) 2n +1 + (1 − x) 2n +1 2 n − dx = = (1) 2n + 2(2n + 1) 2n � x2 �1 3 5 n −1 n −1 x x n −1 x C x + C x + C x + + C x dx = C + C + C + + C ( 2n 2n ) � 2n 2n 2n � 2n 2n 2n 2n �0 � 1 1 = C21n + C23n + C25n + + C22nn −1 (2) 2n Tư (1) va (2) ta co điêu phai ch ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ứng minh +) Ta thây cach giai d ́ ́ ̉ ựa vao tich phân kha ph ̀ ́ ́ ức tap. L ̣ ời giai chi d ̉ ̉ ựa vao cac ̀ ́ công thưc vê tô h ́ ̀ ̉ ợp thuân tuy ngăn gon h ̀ ́ ́ ̣ ơn va tiêp cân t ̀ ́ ̣ ự nhiên hơn S = C20n + C22n + C24n + + Vi du 10. ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ Lơi giai ̀ ̉ Sô hang tông quat cua tông ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ C22nn 2n + 1 C22nk , k = 0,1, , n 2k + 1 Cnk = Cnk++11 , ta biên đôi sô hang tông quat cua ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ S như k +1 n +1 1 C22nk = C22nk++11 sau: 2k + 2n + 1 22 n Suy ra S = C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 ) = ( 2n + 2n + 1 1 S = C20n + C22n + C24n + + C22nn Vi du 11 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ 2n + Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ Lơi giai ̀ ̉ Sô hang tông quat cua tông ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ C22nk , k = 0,1, , n 2k + 1 Cnk = Cnk++11 , ta có k +1 n +1 2k + 1 � 1 1 � = C22nk = � 1− C22nk++11 = C22nk++11 − C22nk++11 � 2k + 2k + 2n + 2n + k + � 2k + �2n + Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ C22nk 2k + 10 1 C22nk++11 − C22nk++22 2n + n + 2n + 1 C21n +1 + C23n +1 + + C22nn++11 ) − C22n + + C24n + + + C22nn++22 ) ( ( Suy ra S = 2n + (2n + 1)(2n + 2) 2n n +1 n +1 2 −1 n.2 + = − = 2n + (2n + 1)(2n + 2) (2n + 1)(2n + 2) = 22 2 n n −1 C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n 2n 22 k k −1 Lơi giai ̀ ̉ Sô hang tông quat cua tông ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ C2 n , k = 1, 2, , n 2k 1 Cnk = Cnk++11 , ta có Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ k +1 n +1 2k 1 C22nk −1 = 22 k C22nk −1 = 22 k C22nk+1 2k 2k 2n + Vi du 12 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ S= Suy ra S= � 3(32 n − 1) 1 � (1 + 2) n +1 + (1 − 2) n+1 2 4 2n 2n C + C + + C = − C = ( 2n+1 ) 2n + � n +1 n +1 n +1 � 2n + � � 2(2n + 1) Vi du 13 ́ ̣ Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 1 ( −1) n n Cn − C n + C n − C n + + Cn = n+2 156 Lơi giai ̀ ̉ Goi ̣ S la vê trai cua PT đa cho. ̀ ́ ́ ̉ ̃ (−1) k k Cn , k = 0,1, , n Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀ k+2 1 Cnk = Cnk++11 nhiêu lân ta co Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ ̀ ̀ ́ k +1 n +1 (−1) k k k +1 � �1 Cn = ( −1) k Cnk = (−1) k � 1− Cnk++11 � k+2 k + k +1 � k + �n + 1 1 1 = ( −1) k Cnk++11 − ( −1) k Cnk++11 = ( −1) k Cnk++11 − (−1) k Cnk++22 n +1 n +1 k+2 n +1 n +1 n + n 1 1 (−1) n Cn Tư đo ̀ ́ S = Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + n+2 1 � � Cn1+1 − Cn2+1 + Cn3+1 − Cn4+1 + + (−1) n Cnn++11 � − Cn2+1 − Cn3+1 + Cn4+1 − Cn5+1 + + (−1) n Cnn++22 � � � � n +1 (n + 1)(n + 2) � 1 1 1 =− −Cn0+1 − −Cn0+ + Cn1+ = − (n + 1) = − = n +1 ( n + 1)( n + 2) n + ( n + 1)( n + 2) n + n + ( n + 1)( n + 2) = ( ) ( ) Từ đó ta có (n + 1)(n + 2) = 156 � (n + 1)(n + 2) = 12.13 � n = 11 (vì n N* ) Nhân xet. ̣ ́ Mơi cac ban xem xet l ̀ ́ ̣ ́ ơi giai bai toan trên băng cach kêt h ̀ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ́ ợp kiên ́ thưc tô h ́ ̉ ợp vơi tich phân ́ ́ Với mọi x R và mọi số nguyên dương n, theo nhị thức Niutơn ta có ( ) Cn0 x − Cn1 x + + ( −1) n Cnn x n +1 = Cn0 − Cn1 x + + ( −1) n Cnn x n x = (1 − x) n x 11 ( ) Cn0 x − Cn1 x + + ( −1) n Cnn x n +1 dx = � (1 − x) n xdx Suy ra � Hay n 1 1 ( −1) n 1 (1 − x) n dx − � (1 − x) n +1dx = − = Cn − Cn + + n + C n = � , n + n + ( n + 1)( n + 2) 0 với mọi n N* 1 Từ đó ta có (n + 1)(n + 2) = 156 � n + 3n − 154 = � n = 11 (vì n N* ) −Cn1 2Cn2 3Cn3 (−1) n nCnn + − + + 2.3 3.4 4.5 (n + 1)(n + 2) (−1) k kCnk , k = 1, 2, , n Lơi giai. ̀ ̉ Sô hang tông quat cua tông ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ (k + 1)(k + 2) 1 Cnk = Cnk++11 , ta có Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ k +1 n +1 (−1) k kCnk 1 1 = (−1) k k Cnk = (−1) k k Cnk++11 (k + 1)(k + 2) k + k +1 k + n +1 1 1 = (−1) k k Cnk++11 = (−1) k k Cnk++22 n +1 k+2 n +1 n+2 S= Vi du 14 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ = 1 (−1) k k Cnk++22 = (−1)k [( k + 2) − 2].Cnk++22 n +1 n + ( n + 1)(n + 2) = � (−1) k (k + 2)Cnk++22 − 2(−1) k Cnk++22 � � � (n + 1)(n + 2) = � (−1) k (n + 2)Cnk++11 − 2( −1) k Cnk++22 � � � (n + 1)( n + 2) Tư đo ̀ ́ S= � (n + 2) −Cn2+1 + Cn3+1 − Cn4+1 + + (−1) n Cnn++11 − −Cn3+ + Cn4+ − Cn5+ + + (−1) n Cnn++22 � � (n + 1)(n + 2) � ( ) ( ) = − (n + 2) � Cn +1 − Cn1+1 + Cn2+1 − Cn3+1 + Cn4+1 + + (− 1) n+1 Cnn++11 ) − ( Cn0+1 − Cn1+1 ) � ( � � (n + 1)(n + 2) − � Cn0+ − Cn1+ + Cn2+ − Cn3+ + Cn4+ − Cn5+ + + (−1) n Cnn++22 ) − ( Cn0+ − Cn1+ + Cn2+ ) � ( � � (n + 1)( n + 2) = � � � � (n + 2)( n + 1) � � n +1 n+ � −(n + 2) � (1 − 1) − − n − − (1 − 1) − − n − + ( ) � � � � � � � � (n + 1)( n + 2) � � � � � −n [ −(n + 2)n + (n + 1)n] = (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) Nhân xet ̣ ́. +) Đây la bai toan rât kho. Cach giai chi dung kiên th ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy phân ̀ ́ ̀ nao giam b ̀ ̉ ơt đô kho đo, tao ra s ́ ̣ ́ ́ ̣ ự tự nhiên trong đinh h ̣ ướng vê ph ̀ ương phap ́ giai quyêt bai toan ̉ ́ ̀ ́ +) Mơi cac ban xem xet l ̀ ́ ̣ ́ ơi giai bai toan co s ̀ ̉ ̀ ́ ́ ử dung kiên th ̣ ́ ức tô h ̉ ợp kêt h ́ ợp vơi đao ham va tich phân ́ ̣ ̀ ̀ ́ n Ta co ́ (1 − x) = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − Cn3 x3 + Cn4 x − + (−1) n Cnn x n (1) = 12 Lây đao ham hai vê cua (1) đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược −n(1 − x) n −1 = −Cn1 + 2Cn2 x − 3Cn3 x + 4Cn4 x3 − + (−1) n nCnn x n −1 � −nx(1 − x ) n −1 = −Cn1 x + 2Cn2 x − 3Cn3 x + 4Cn4 x − + (−1) n nCnn x n � �� −nx (1 − x) n −1 dx = � −Cn1 x + 2Cn2 x − 3Cn3 x + 4Cn4 x − + (−1) n nCnn x n � dx � � � � � n� (1 − x) n − (1 − x)n −1 � −Cn1 x + 2Cn2 x − 3Cn3 x + 4Cn4 x − + (−1) n nCnn x n � dx � �dx = � � � � ( −1) n nCnn n +1 −(1 − x) n +1 (1 − x) n � −Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 � n� + = x + x − x + x − + x + C (2) � n + n n + � � x = , ta được Ta xac đinh hăng sô C băng cach trong (2) cho ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ � �1 n� − �= C � C = n +1 �n n + � Lây tich phân trên đoan [0; 1] hai vê cua (2) ta đ ́ ́ ̣ ́ ̉ ược 1 � � −Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 ( −1) n nCnn n +1 −(1 − x ) n +1 (1 − x) n � � n + dx = x + x − x + x − + x + dx � � � � � � n � n +1 n + 1� � n +1 0 � Hay: � (1 − x) n + (−1) n nCnn n + (1 − x)n +1 �1 �−Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 �1 n� − x − x + x − + x + x� �0 = � x + (n + 1)( n + 2) n( n + 1) � �2.3 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) n + �0 � � � −Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 ( −1) n nCnn 1 � n� − = + − + − + + � n(n + 1) ( n + 1)(n + 2) � 2.3 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) n + � −Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (−1) n nCnn −n � + − + − + = 2.3 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2) Cach giai nay rât kho đôi v ́ ̉ ̀ ́ ́ ́ ới hoc sinh ̣ 1 1 Cn + Cn + + Cnn 1.2 2.3 ( n + 1).(n + 2) 1 Cnk = Cnk++11 hai lân ta biên đôi sô hang tông Lơi giai ̀ ̉ Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̉ k +1 n +1 quat cua ́ ̉ S là 1 �1 1 �1 � � Cnk = � Cnk �= Cnk++11 = � Cnk++11 �= Cnk++22 (k + 1).( k + 2) k + �k + � k + n + n + �k + � n +1 n + S= Vi du 15 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ Vâỵ 1 2n + − n − 3 n+2 n+2 C + C + + C = − C − C = ( n+2 n +2 ( n+2 ) n+2 n+2 ) (n + 1)( n + 2) (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) 1 S= Cn0 + Cn1 + + Cnn Vi du 16 ́ ̣ Tinh tông ́ ̉ 1.2.3 2.3.4 ( n + 1).(n + 2)( n + 3) Cnk , k = 0,1, , n Lơi giai ̀ ̉ Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀ (k + 1)(k + 2)(k + 3) S= 13 Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ 1 Cnk = Cnk++11 ba lân ta co ̀ ́ k +1 n +1 1 1 1 1 Cnk = Cnk = Cnk++11 = Cnk++11 (k + 1)(k + 2)( k + 3) (k + 2)( k + 3) k + ( k + 2)( k + 3) n + n +1 k + k + = 1 1 1 Cnk++22 = Cnk++33 n +1 n + k + n +1 n + n + Suy ra S= = 1 Cn3+3 + Cn4+3 + + Cnn++33 ) = 2n +3 − Cn0+3 − Cn1+3 − Cn2+3 ) ( ( (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 2n + − n − 7n − 14 2(n + 1)(n + 2)(n + 3) Vi du 17 (ĐH khôi B năm 2003). ́ ̣ ́ Cho n la sô nguyên d ̀ ́ ương. Tinh tông: ́ ̉ n+1 −1 −1 2 −1 n S = Cn0 + Cn + Cn + + Cn n+1 2k+1 − k S Lơi giai ̀ ̉ Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ la ̀ Cn , k = 0,1, , n k +1 Ap dung công th ́ ̣ ưc ́ 1 Cnk = Cnk++11 , ta co ́ k +1 n +1 2k+1 − k 1 1 Cn = 2k+1 − Cnk = 2k+1 − Cnk++11 = Cnk++11.2k+1 − Cnk++11 k +1 k +1 n+1 n+1 n+1 ( ) ( ) Tư đo ̀ ́ 1 Cn1+1.2 + Cn2+1.22 + + Cnn++11.2n +1 ) − Cn1+1 + Cn2+1 + + Cnn++11 ) ( ( n +1 n +1 n +1 1 − n +1 n +1 n +1 � � = (1 + 2) − − (2 − 1) = � n +1 n +1 � n +1 S= Nhân xet ̣ ́ +) Mơi cac ban xem viêc tinh tông trên băng cach kêt h ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ́ ợp kiên th ́ ức tô h ̉ ợp với tich phân va cho binh luân ́ ̀ ̀ ̣ n Ta co ́ (1 + x) = Cn + Cn x + Cn2 x + + Cnn x n 2 (1 + x) dx = � Suy ra � ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n ) dx � n �0 x2 x3 x n +1 �2 (1 + x) n +1 = � Cn x + Cn1 + Cn2 + + Cnn � � n +1 n + �1 22 − 1 23 − 2n+1 − n 3n+1 − 2n+1 �C + Cn + Cn + + Cn = n+1 n+1 n +) Cach giai chi dung kiên th ́ ̉ ̉ ̀ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy co môt sô ̀ ́ ́ ̣ ́ưu điêm sau: ̉ Đây la cach tinh tr ̀ ́ ́ ực tiêp chi dung kiên th ́ ̉ ̀ ́ ức cơ ban cua giai tich tô h ̉ ̉ ̉ ́ ̉ ợp, không phai dung đên cac kiên th ̉ ̀ ́ ́ ́ ức vê tich phân ̀ ́ 14 Đê thi hiên nay co muc tiêu la phân loai hoc sinh, phat huy tinh sang tao, ̀ ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ̣ ́ ́ ́ ̣ không dâp khuôn, không theo lôi mon trong khi giai toan. Cach giai trên phân ̣ ́ ̀ ̉ ́ ́ ̉ ̀ nao đap ̀ ́ ứng được muc tiêu đo. H ̣ ́ ơn nưa t ̃ ừ cach giai trên cung co thê đê ra cac ́ ̉ ̃ ́ ̉ ̀ ́ bai toan khac, chăng han ̀ ́ ́ ̉ ̣ 1. Tinh tông: ́ ̉ a2 − 1 a3 − an+1 − n (a − 1)Cn0 + Cn + Cn + + Cn n+1 2. Tinh: ́ (a − b)Cn0 + a2 − b2 a3 − b3 an+1 − bn+1 n Cn + Cn + + Cn n+1 Vi du 18. ́ ̣ Cho đa thưć P( x) = (2x − 1)2015 viêt d ́ ươi dang khai triên la ́ ̣ ̉ ̀ P( x) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + + ak x k + + a2015 x2015 Tinh tông ́ ̉ S = a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 Lơi giai ̀ ̉ Ta co ́ P( x) = (2x − 1)2015 = ( −1 + 2x)2015 = 2015− k 2015 k= k C2015 ( −1)2015−k (2x)k , k = 0,1, ,2015 Hê sô cua sô hang ch ̣ ́ ̉ ́ ̣ ứa x la ̀C (−1) Sô hang tông quat cua tông ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S la ̀ k ak , k = 1,2, ,2015 Ta có k k k k −1 k2ak = k2C2015 ( −1)2015−k 2k = C2015 ( −1)2015−k 2k k.kC2015 = (−1)2015−k 2k k.2015.C2014 k k 2015 k k −1 k −1 k −1 = 2015.(−1)2015−k 2k.[(k − 1) + 1] C2014 = 2015C2014 (−1)2015−k 2k + 2015.(−1)2015−k 2k.( k − 1)C2014 k−1 k− = 2015C2014 (−1)2015− k 2k + 2015.2014.( −1)2015− k 2k.C2013 Tư đo ̀ ́ ( 2014 2015 a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 = 2015 C2014 − C2014 22 + C2014 23 − + C2014 2013 2015 +2015.2014.( −C2013 22 + C2013 23 − + C2013 ) ) = 2015.2.(1 − 2)2014 + 2015.2014.(−22 ).(1 − 2)2013 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 Nhân xet. ̣ ́ Mơi cac ban xem l ̀ ́ ̣ ơi giai tinh tông trên băng đao ham va so sanh v ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ới cach giai trên ́ ̉ Ta co ́ P '( x) = 2015.(2x − 1)2014 = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + + 2015.a2015 x2014 P ''( x) = 2015.2014.(2x − 1)2013.22 = 2a2 + 3.2a3 x + + 2015.2014.a2015 x2013 � P '(1) = 2015.2 = a1 + 2a2 + 3a3 + + 2015a2015 (1) P ''(1) = 2015.2014.4 = 2a2 + 3.2a3 + + 2015.2014a2015 (2) Céng (1) (2) theo vế ta đợc: a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 Hoăc: ̣ P '( x) = 2015.(2x − 1)2014 = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + + 2015.a2015 x2014 (3) Nhân hai vê cua (3) v ́ ̉ ơi ́ x , ta được 2014 2015.x(2x − 1) = a1x + 2a2 x2 + 3a3 x3 + + 2015.a2015 x2015 (4) 15 Lây đao ham hai vê cua (4) ta co ́ ̣ ̀ ́ ̉ ́ 2015.2(2x − 1)2014 + 2015.2.2014(2x − 1)2013.2x = a1 + 22 a2 x + 32 a3 x2 + + 20152.a2015 x2014 , ∀x (5) Trong (5), cho x = ta được S = a1 + 22 a2 + 32 a3 + + 20152 a2015 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 Vi du 19. ́ ̣ Haỹ tim sô t ̀ ́ ự nhiên n thoa man ̉ ̃ 2 n−1 n−1 C2n − 2.2.C2n + 3.2 C2n − − 2n.2 C2n + (2n + 1).22n.C22nn = 2013 Lơi giai ̀ ̉ Goi ̣ S la vê trai cua PT đa cho. ̀ ́ ́ ̉ ̃ Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀( −1)k (k + 1).2k.C2kn , k = 0,1, ,2n Ta biên đôi ́ ̉ k ( −1) (k + 1).2k.C2kn = (−1)k 2k.kC2kn + ( −1)k 2k.C2kn = ( −1)k 2k.2nC2kn−−11 + ( −1)k 2k.C2kn Tư đo ̀ ́ C20n − 2.2.C21n + 3.22.C22n − − 2n.22n−1.C22nn−1 + (2n + 1).22n.C22nn ( ) ( 2n−1 n 2n n = 2n −C2n−1.2 + C2n−1.2 − + C2n−1 + C2n − C2n + + C2n ) = 2n.( −2).( − 2) + ( − 2) = 4n + Theo gia thiêt ta co ̉ ́ ́ + 4n = 2013 � n = 503 Nhân xet ̣ ́ Sau đây la cach giai s ̀ ́ ̉ ử dung đao ham đê cac ban so sanh ̣ ̣ ̀ ̉ ́ ̣ ́ 2n 2 3 n −1 n −1 2n 2n Ta co ́ (1 − x) = C2 n − C2 n x + C2 n x − C2 n x + − C2 n x + C2 n x (1) Suy ra x(1 − x) n = C20n x − C21n x + C22n x − C23n x + − C22nn −1 x n + C22nn x n +1 vơi ́ x (2) Lây đao ham hai vê cua (2) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược 2n n −1 (1 − x) − 2n.x(1 − x) = C2 n − 2C2 n x + 3C22n x − 4C23n x + − 2nC22nn−1 x n −1 + (2n + 1)C22nn x n (3) Trong (3) cho x = ta được + 4n = C20n − 2.2.C21n + 3.22.C22n − − 2n.22n−1.C22nn−1 + (2n + 1).22n.C22nn Theo gia thiêt ta co ̉ ́ ́ + 4n = 2013 � n = 503 Lơi giai nay co tinh ki thuât cao nên rât kho đôi v ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̃ ̣ ́ ́ ́ ới hoc sinh ̣ Vi du 20. ́ ̣ Tim sô nguyên d ̀ ́ ương n thoa man ̉ ̃ n−1 2n 2C22n+1 − 3.2.2C23n+1 + + ( −1) k k( k − 1).2k−2.C2kn+1 + − 2n(2n + 1).22n−1.C22nn++11 = −40200 Lơi giai ̀ ̉ Goi ̣ S la vê trai cua PT đa cho. ̀ ́ ́ ̉ ̃ k Sô hang tông quat cua ́ ̣ ̉ ́ ̉ S la ̀( −1) k( k − 1).2k−2.C2kn+1, k = 2,3, ,2n + Ta có ( −1)k k( k − 1).2k−2.C2kn+1 = (−1)k 2k−2.( k − 1).kC2kn+1 = ( −1)k 2k−2.( k − 1).(2n + 1)C2kn−1 = (2n + 1).(−1)k 2k−2.(k − 1)C2kn−1 = (2n + 1).(−1)k 2k−2.2n.C2kn−−21 = (2n + 1).2n.(−1)k 2k−2 C2kn−−21 Tư đo ̀ ́ 2C22n+1 − 3.2.2C23n+1 + + (−1)k k(k − 1).2k−2.C2kn+1 + − 2n(2n + 1).22n−1.C22nn++11 ( = (2n + 1).2n C20n−1 − C21n−1.2 + C22n−1.22 − − C22nn−−11.22n−1 ) 16 = (2n + 1).2n.( − 2) = −(2n + 1).2n Do đo, theo gia thiêt ta co ́ ̉ ́ ́ (2n + 1).2n = 40200 � (2n + 1).2n = 201.200 � 2n = 200 � n = 100 (vi ̀ n ﾥ * ) Nhân xet ̣ ́ Mơi cac ban xem cach s ̀ ́ ̣ ́ ử dung đao ham đê giai bai toan va cho binh ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ̀ ́ ̀ ̀ luân ̣ Ta co ́ (1 − x)2 n +1 = C20n +1 − C21n +1 x + C22n +1 x − C23n+1 x3 + + C22nn+1 x n − C22nn++11 x n +1 (1) Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược 2n (2n + 1)(1 − x) = −C2 n +1 + 2C2 n +1 x − 3C23n +1 x + + 2nC22nn+1 x 2n −1 − (2n + 1)C22nn++11 x n (2) Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ược n −1 −2n(2n + 1)(1 − x) = 2C2 n +1 − 3.2C2 n+1 x + − 2n(2n + 1)C22nn++11 x n−1 (3) Trong (3) cho x = ta được 2C22n+1 − 3.2.2C23n+1 + + (−1)k k(k − 1).2k−2.C2kn+1 + − 2n(2n + 1).22n−1.C22nn++11 = −2n(2n + 1) Theo gia thiêt ta co ̉ ́ ́ 2n(2n + 1) = 40200 � 2n2 + n − 20100 = � n = 100 2n−1 BAI TÂP VÂN DUNG ̀ ̣ ̣ ̣ Bai 1 ̀ Tinh cac tông sau đây ́ ́ ̉ 1. S1 = 1Cn − 2Cn + 3Cn3 − + (−1) n nCnn vơi ́ n �ﾥ * , n > 2. S2 = 1Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + nCnn −1 3. S3 = 1Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + + (n − 1)Cnn vơi ́ n �ﾥ * , n > 4. S4 = 1Cn2 − 2Cn3 + 3Cn4 − + (−1) n (n − 1)Cnn vơi ́ n �ﾥ * , n > 5. S5 = Cn1 + 2.aCn2 + 3.a 2Cn3 + 4.a 3Cn4 + + n.a n −1Cnn , n ﾥ * 6. S6 = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + + (n + 1)Cnn, n ﾥ * 7. S7 = Cn0 − 2Cn1 + 3Cn2 − + (−1) n (n + 1)Cnn , n ﾥ * 8. S8 = 1.Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + + (n − 1)Cnn , n γ ﾥ * , n 9. S9 = n.2n Cn0 + (n − 1).2n−1 Cn1 + + 2Cnn−1 2014 + 8C2014 + 12C2014 + + 4028C2014 10. S10 = 4C2014 11. S11 = 22.Cn2 − 32.Cn3 + 42.Cn4 − + (−1)n n2 Cnn 12. S12 = n 2Cn0 + (n − 1)2 Cn1 + (n − 2) Cn2 + + 22 Cnn −2 + 12 Cnn −1 13. S13 = 5n −1 Cn1 − 2.5n −2 Cn2 + 3.5n −3 Cn3 − 4.5n − Cn4 + (−1) n −1 nCnn , n ﾥ * 14. S14 = 12 Cn1 a n −1 + 22 Cn2 a n −2 + + (n − 1) Cnn −1.a1 + n 2Cnn a , n ﾥ * 15. S15 = 13 Cn1 + 23 Cn2 + 33 Cn3 + + n3Cnn 16. S16 = 1.2Cn1+1 + 3.4.a 2Cn2+1 + 5.6.a 4Cn3+1 + 7.8.a 6Cn4+1 + + (2n + 1)(2n + 2).a nCnn++11 vơi ́ * a > 0, n ﾥ 17. S17 = Cn1 − Cn2 + Cn3 − + ( −1) n +1 n ́ n ﾥ * Cn vơi n +1 17 1 1 Cnn vơi ́ n ﾥ * n+2 1 1 C22nn 19. S19 = C20n + C22n + C24n + + 2n + 2 2 2n +1 n 20. S20 = Cn1 + Cn2 + Cn3 + + ́ n ﾥ * Cn vơi n +1 1 1 + + + + 21. S21 = vơi ́ n ﾥ * 1!.(2n − 1)! 3!.(2n − 3)! 5!.(2n − 5)! (2n − 1)!.1! 18. S18 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + 1 n −1 C2 n , n ﾥ * 2n a a a a n n −1 a n +1 n 23. S23 = Cn + Cn + Cn + + Cn + Cn , n ﾥ * n n +1 1 1 Cnn 24. S24 = 2.Cn0 + 22 Cn1 + 23 Cn2 + 24 Cn3 + + n Cnn −1 + 2n +1 n n +1 22. S22 = C21n + C23n + + 1 Cn + Cn + + Cnn 1.2 2.3 n.(n + 1) Bai 2 ̀ Cho < a < b, n ﾥ * Chưng minh răng ́ ̀ 25. S25 = b − a b2 − a b3 − a b n +1 − a n +1 n (1 + b) n +1 − (1 + a ) n +1 Cn + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 An3 + Cn3 n thoa man = 35 ( n 3) Tinh tông Bai 3 ̀ Cho sô nguyên ́ ̉ ̃ ́ ̉ ( n − 1)(n − 2) S = 22.Cn2 − 32.Cn3 + 42.Cn4 − + (−1)n n2 Cnn Baì 4. Tim ̀ hê ̣ số cuả x3 trong khai triên̉ P( x) = (1 + x + x3 + x ) n , biêt́ n là số 1 Cn0 − Cn1 + Cn − + (−1)n Cnn = − n+1 n n −1 2014 Bai 5. ̀ Chưng minh răng v ́ ̀ ới n la sô nguyên d ̀ ́ ương ta co ́ nguyên dương thoa man ̉ ̃ 2n.Cn0 2n−1.Cn1 20.Cnn 3n+1 − + + + = n+1 n 2(n + 1) IV. HIÊU QUA CUA SANG KIÊN KINH NGHIÊM ̣ ̉ ̉ ́ ́ ̣ 1. Thực nghiệm sư pham ̣ Mục đích của việc thực nghiệm là đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết khoa học, tính hiệu quả của việc sử dụng cac cơng ́ thưc tơ h ́ ̉ ợp thn tuy đê giai cac bai toan tinh tơng liên quan đên cac sơ tơ h ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp 2. Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm Được sự cho phép của Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tôi đã tiến hành dạy 2 buổi cho học sinh lớp 12A3 với nội dung: Sử dụng cac công th ́ ưć tô h ̉ ợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp Sau q trình dạy học, tơi đã tiến hành kiểm tra tại lớp 12A3 18 Chọn lớp đối chứng tại lớp 12A2 trường THPT Vĩnh Lộc Dưới đây là nội dung bài kiểm tra (thời gian: 60 phút) Bài 1. Tinh tơng ́ ̉ S = 1C21n +1 + 3C23n +1 + 5C25n+1 + + (2n + 1)C22nn++11 Bài 2. H·y t×m số tự nhiên n thoả mÃn 1.30.22n.C20n 2.3.22n1.C21n + 3.32.22n−2.C22n − 4.33.22n−3.C23n + + (2n + 1).32n.20.C22nn = 73 S = C20n + C22n + C24n + + Bài 3. Tinh tông ́ ̉ C22nn 2n + Dụng ý của các bài tập trên: Nhằm kiểm tra khả năng vận dụng cac công ́ thưc tô ́ ̉ hợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp 3. Kết quả thực nghiệm Trong lớp 12A3 mà tơi tiến hành dạy thực nghiệm khơng có học sinh giỏi, có khoảng 12 đến 15 em học tương đối khá, cịn lại là mức trung bình. Bởi vậy, phần lớn các em cho rằng phương pháp cac cơng th ́ ưc tơ h ́ ̉ ợp thn ̀ tuy đê giai cac bai toan tinh tơng liên quan đên cac sơ tơ h ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp là tương đối khó Về bài kiểm tra, tơi chấm kĩ và thu được kết quả như sau Lớp Sĩ số 45 Giỏi SL % 20 Khá SL % 22 48, 12 26, Trung bình SL % 20 Yếu SL % 11, 14 31, Kém SL % 0 12 A3 12 45 4,4 15 33,3 4,4 A2 Kết quả sơ bộ: + Lớp thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 88,9%, trong đó có 68,9% loại khá, giỏi + Lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 64,4%, trong đó có 31,1% loại khá, giỏi 4. Hiêu qua cua sang kiên kinh nghiêm ̣ ̉ ̉ ́ ́ ̣ Qua q trình thực nghiệm, tơi rút ra một số kết quả sau Việc dạy học phương pháp sử dung cac công th ̣ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy đê giai ̀ ́ ̉ ̉ cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp có tác dụng rèn luyện năng lực giải bài tập tốn cho học sinh Việc dạy học phương pháp đó cịn giúp cho học sinh khả năng nhìn nhận bài tốn cũng như lựa chọn phương pháp và cơng cụ để giải tốn một cách có hiệu quả hơn Việc tổ chức dạy học phương pháp đó có tác dụng tốt trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh, tạo điều kiện phát huy tính tích cực của học sinh trong việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải của bài tốn và giải bài tốn đó 19 Việc tổ chức dạy học phương pháp sử dung cac cơng th ̣ ́ ưc tơ h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́ đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp tạo cho học sinh có niềm tin, có tư duy linh hoạt, nhạy bén, chủ động tìm hướng giải quyết bài tốn theo nhiều cách và lựa chọn được cách giải có lợi nhất. PHÂN 3: K ̀ ẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHI ́ ̣ 1. Kết luận Qua q trình nghiên cứu đề tài “Dung kiên th ̀ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́ hương dân hoc sinh giai bai toan tinh tông cac sô tô h ́ ̃ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp”, tơi đã thu được một số kết quả sau Sáng kiến kinh nghiệm đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận của việc rèn luyện năng lực giải bài tập tốn Sáng kiến kinh nghiệm đã xây dựng được hệ thống các bài tốn minh hoạ cho việc áp dụng cac cơng th ́ ưc tơ h ́ ̉ ợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ liên quan đên cac sô tô h ́ ́ ́ ̉ ợp nhiều tình huống khác nhau. Giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy sáng tạo, nhạy bén trong giải quyết các vấn đề mới Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ phương pháp sử dung cac cơng th ̣ ́ ưc tơ h ́ ̉ ợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp là một phương pháp quan trọng trong hoạt động giải các bài tập toán Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng được yêu cầu của hoạt động đổi mới phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo, linh hoạt của người học. Bồi dưỡng năng lực tự học, lịng say mê học tập và ý chí vươn lên của học sinh Kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hồn thành Tơi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy học tốn và mong được q đồng nghiệp trao đổi, góp ý. 2. Kiên nghi ́ ̣ Qua q trình thực hiện, tơi có kiến nghị như sau: Sách giáo khoa và sách bài tập nên xây dựng hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dung cac cơng th ̣ ́ ưc tơ h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́ đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải tốn Các thầy cơ giáo nên dành một số buổi hoạt động ngoại khố về phương pháp sử dung cac công th ̣ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy đ ̀ ́ ể giải các bài tốn tơ h ̉ ợp, để học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về phương pháp nay, t ̀ đó các em có sự nhạy bén trong việc giải các bài tốn bằng phương pháp này. 20 Tơi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp và học sinh trong q trình dạy học về chủ đề tơ h ̉ ợp. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm nên khó tránh được thiếu sót. Tơi rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý của q đồng nghiệp và các bạn Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hố, ngày 08 tháng 05 năm 2016 Tơi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh ĐƠN VỊ nghiệm của mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác Người viết Hồng Văn Khanh TAI LIÊU THAM KHAO ̀ ̣ ̉ 1. Ban tơ ch ̉ ưc ky thi Olynpic 304 t ́ ̀ ư năm 2009 đên năm 2015 ̀ ́ 2. Phan Đức Chinh, Vu D ́ ̃ ương Thuy, Đao Tam, Lê Thông Nhât, Cac bai giang ̣ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̉ luyên thi môn Toan tâp 3, NXB Giao duc ̣ ́ ̣ ́ ̣ 3. Đai sô va giai tich 11 nâng cao, NXB Giao duc ̣ ́ ̀ ̉ ́ ́ ̣ 4. Bai tâp nâng cao va môt sô chuyên đê Đai sô va giai tich 11, NXB Giao duc ̀ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ́ ̣ 5. Phan Huy Khai, Cac ph ̉ ́ ương phap giai toan s ́ ̉ ́ ơ câp Giai tich tô h ́ ̉ ́ ̉ ợp, NXB Giao duc ́ ̣ 6. Nguyên Ba Kim, Vu D ̃ ́ ̃ ương Thuy, Ph ̣ ương phap day hoc môn toan ́ ̣ ̣ ́ 21 7. Phan Huy Khai, Toan nâng cao đai sô va giai tich 11, NXB ĐHQG Ha Nôi ̉ ́ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̣ 8. Trân Văn Hao (chu biên), Chuyên đê luyên thi vao Đai hoc, Tich phân va đai ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ̀ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ sô tô h ́ ̉ ợp 9. G.POLYA, Sang tao toan hoc, Giai môt bai toan nh ́ ̣ ́ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ư thê nao?, Toan hoc va ́ ̀ ́ ̣ ̀ nhưng suy luân co ly, NXB Giao duc ̃ ̣ ́ ́ ́ ̣ 10. Tap chi toan hoc va tuôi tre ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉ 22 ... ơn. Cân co môt hê thông bai tâp phong phu, phân loai đê hoc? ?sinh ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̣ được ren luyên ky năng. T ̀ ̣ ̃ ừ đo gop phân phát tri ́ ́ ̀ ển cho hoc? ?sinh? ?năng l ̣ ực tìm tịi, suy nghĩ lời giải các bài tốn tinh cac tơng liên quan đên sơ tơ h... ́ hương dân hoc? ?sinh? ?giai bai ́ ̃ ̣ ̉ ̀ toan tinh tông cac sô tô h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp 2. Muc đich nghiên c ̣ ́ ưu ́ Tìm hiểu nhu câu va nh ̀ ̀ ưng khó khăn c ̃ ủa học? ?sinh? ?khi cac bai tốn tinh... cận với chun đề này, học? ?sinh? ?học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm tra, đối chứng tơi nhận thấy chun đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải tốn cho các em học? ?sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử