Nội Suy Đa Thức Và Ứng Dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - ĐẶNG CHÍ LINH NỘI SUY ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên Ngành: TOÁN THỐNG KÊ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN NGỌC LIÊN Cần Thơ – 6/2010 Trang LỜI CẢM ƠN - Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến! Cơ Trần Ngọc Liên, người ln theo dõi, hết lịng hướng dẫn, giúp đỡ động viên em suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Chân thành biết ơn! Quý thầy cô Bộ môn Khoa Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại học Cần Thơ truyền đạt kiến thức kinh nghiệm bổ ích cho em Cô cố vấn học tập Dương Thị Tuyền , người quan tâm, d ìu dắt, động viên giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường Thầy Lê Hoài Nhân, người gợi ý cho em lời khuyên bổ ích suốt thời gian thực đề tài Chân thành cảm ơn! Các bạn lớp Tốn Ứng Dụng K32 ln giúp đỡ khuyến khích tơi suốt q trình thực hoàn thành luận văn Bạn Nguyễn Thị Thanh Hồng, người trao đổi, giúp đỡ động viên thời gian làm đề tài Thân gởi về! Các bạn lớp Toán ứng Dụng K32 lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành đạt tương lai Cần Thơ, ngày tháng năm 2010 ĐẶNG CHÍ LINH Trang LỜI CAM ĐOAN - Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân, số liệu, kết trình bày luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình luận văn trước Tác giả luận văn Đặng Chí Linh Trang MỤC LỤC  Lời cảm ơn……………………………………….……………………………… i Lời cam đoan…………………………………………………………………… ii Danh sách bảng………………………………………………………………… v Danh sách hình………………………………………………………………… vi PHẦN MỞ ĐẦU ………………………………………………………………… CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VỀ ĐA THỨC NỘI SUY……………………… I ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE……………………………………… Định nghĩa ………………………………………………………………… 2 Định lý tồn tính đa thức nội suy………………… Nội suy tuyến tính……………………………………………………… Nội suy Lagrange bậc 2…………………………………………………… 5 Nội suy Lagrange bậc cao………………………………………………… II ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON …………………………………………… .8 Tỷ sai phân………………………………………………………………… 1.1 Định nghĩa…………………………………………………………… 1.2 Tính chất tỷ sai phân……………………………………………… 1.3 Bảng tỷ sai phân……………………………………………………… .9 Đa thức nội suy Newton với mốc không cách đều…………………… .9 Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều………………………… 12 3.1 Sai phân……………………………………………………………… 12 3.1.1 Định nghĩa…………………………………………………… 12 3.1.2 Bảng sai phân……………………………………………………12 3.2 Đa thức nội suy Newton tiến (nội suy đầu bảng)………………….… 13 3.3 Đa thức nội suy Newton lùi (nội suy cuối bảng)……………… …… 13 III SAI SỐ TRONG NỘI SUY ĐA THỨC…………………………………… 16 Sai số nội suy Lagrange…………………………………………… 16 1.1 Định lý Rolle ………………………………………………………… 16 1.2 Định lý …………………………………………………………………16 Trang Sai số nội Newton…………………………………………………… 20 2.1 Trường hợp nút nội suy không cách đều………………………….20 2.1 Trường hợp nút nội suy cách đều…………………………………20 Sự biến thiên sai số nội suy đa thức…………………………… 23 CHƯƠNG II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG NỘI SUY ĐA THỨC…… 27 I Bài toán 1…………………………………………………………………… 27 II Bài toán 2…………………………………………………………………… 30 III Bài toán 3…………………………………………………………………… 33 KẾT LUẬN……………………………………………………… 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………… 36 Trang DANH SÁCH BẢNG  Bảng Tên bảng Trang Tỷ sai phân bậc Sai phân Newton bậc 12 Trang DANH SÁCH HÌNH  Hình Tựa hình Trang Đồ thị đa thức nội suy P (x)=5x - 4 Đồ thị hàm y=2x đa thức nội suy Đồ thị hàm y=cos(x) đồ thị đa thức nội suy 11 Đồ thị biểu diễn sai số hàm y=sin(x) 19 Đồ thị biểu diễn sai số hàm y=ex 23 Đồ thị minh họa 23 Đồ thị biểu diễn sai số với mốc nội suy 24 Đồ thị biểu diễn sai số với mốc nội suy 24 Đồ thị biểu diễn sai số với 10 mốc nội suy 25 10 Đồ thị biểu diễn đa thức nội suy tăng mốc nội suy 26 11 Đồ thị biểu diễn tổng doanh thu công ty 29 12 Đồ thị biểu diễn gia tăng vi khuẩn 32 13 Đồ thị minh họa tuyến lỗ khoan quan trắc 33 14 Đồ thị khuynh hướng dâng cao mực nước 34 Trang PHẦN MỞ ĐẦU - Trong thực tế thường phải tính giá trị hàm y = f ( x ) với x ∈ [ a,b ] , chưa biết biểu thức giải tích mà biết số hữu hạn giá trị ết biểu điểm x0 ,x1 , ,xn ∈ [ a,b ] y0 , y1 , , yn Cũng có bi thức giải tích hàm phức tạp Khi đó, người ta thường xây dựng ị hàm P ( x ) đơn giản P ( x ) thỏa: P (= xi ) f (= xi ) y= i , i 0,1,2, ,n có giá tr "khá gần" với f ( x ) điểm khác thuộc [ x0 ,xn ] Đó tốn nội suy hàm P ( x ) tìm gọi hàm nội suy hay công thức nội suy Với định nghĩa hàm nội suy có nhiều dạng khác nhau: đa thức, hàm spline, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, chuỗi Fourier, Trong hàm nội suy đa thức quan trọng sở số phép tính đạo hàm, tích phân số,… Hàm nội suy đa thức có nhiều, phạm vi luận văn này, xem xét đa thức nội suy quen thuộc thường sử dụng đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newt on; tìm hiểu sâu sai số gặp phải sử dụng đa thức nội suy Nội dung luận văn trình bày số toán thực tế giải phương pháp nội suy đa thức thông qua việc sử dụng phần mềm Matlab, cơng cụ tiện ích cho phương pháp giải số Nội dung luận văn gồm: Lời mở đầu: Giới thiệu tổng quan nội dung luận văn, phạm vi phương pháp thực luận văn Chương I: Giới thiệu số kiến thức phép nội suy đa thức đa thức Lagrange, đa thức nội suy Newton sai số phép nội suy Chương II: Trình bày số toán thực tế giải nội suy đa thức chương trình Matlab để giải tốn Trang CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ NỘI SUY ĐA THỨC I ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Định nghĩa Xét hàm số y = f (x) đoạn [a , b] giả sử n + mốc nội suy xi ∈ [a , b] cho a ≡ x0 < x1 < x < < x n ≡ b ta biết giá trị yi = f ( xi ) với i = 0, 1, 2, , n Ta xây dựng đa thức Pn (x) có bậc khơng q n thỏa điều kiện Pn ( xi ) = f ( xi ) = yi với i = 0, 1, 2, , n Xét đa thức Li (x) đa thức bậc n cho bởi: Li ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xi−1 )( x − xi+1 ) ( x − xn ) ( xi − x0 )( xi − x1 ) ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 ) ( xi − xn ) (1) Ta nhận thấy đa thức Li (x) có tính chất: 0 Li ( x j ) =  1 i≠ j i= j (2) Khi ta đặt: n Pn ( x) = ∑ Li ( x) yi (3) i =0 Ta thấy Pn (x) đa thức bậc không n thỏa P( xi ) = f ( xi ) = yi Vì ta gọi (3) đa thức nội suy Lagrange, Li ( x j ) hàm nội suy sở Lagrange Định lý tồn tính đa thức nội suy Cho hàm số y = f (x) với mốc nội suy a ≡ x0 < x1 < x < < x n ≡ b n giá trị tương ứng y0 , y1 , , y n đa thức Pn ( x) = ∑ Li ( x) yi có bậc ≤ n thỏa điều i =0 kiện Pn ( xi ) = yi với i = , 1, 2, , n Chứng minh Việc xây dựng đa thức Lagrange đưa tồn đa thức Pn (x) có bậc khơng q n Trang Giả sử có hai đa thức Pn (x) , Qn (x) có bậc ≤ n nội suy điểm ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) , ( x2 , y ) , ( xn , y n ) thỏa điều kiện Pn ( xi ) = yi ; Qn ( xi ) = yi với i = ,1, , n Xét hiệu: Pn ( x) − Qn ( x) = Rn ( x) Chú ý Rn (x) có bậc khơng q n Ta có: Rn ( xi ) = Pn ( xi ) − Qn ( xi ) = yi − yi = với i = , 1, 2, ., n Nghĩa đa thức Rn (x) có tới n + nghiệm x0 , x1 , , xn , Vậy đa thức có bậc khơng q n mà có tới n + nghiệm, trái với giả thiết cho Vậy tồn đa thức Pn (x) có bậc ≤ n thỏa Pn ( xi ) = yi  Nội suy Lagrange bậc (nội suy tuyến tính) Giả sử cho hai điểm liệu ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) phân biệt bảng sau x x0 x1 y y0 y1 Với điểm liệu nên từ (3) ta có P1 ( x) = y0 L0 ( x) + y1L1 ( x) (4) Với L0 ( x) = x − x1 x0 − x1 Do đó: P1 ( x) = x − x1 x − x0 y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0 ; L1 ( x) = x − x0 x1 − x0 (5) Công thức (4 ) gọi công thức nội suy Lagrange tuyến tính L0 ( x) , L1 ( x) hàm nội suy sở Lagrange * Chú ý: Cơng thức (5) khai triển sau: P1 ( x) = x − x1 x − x0 y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0 = ( x1 − x) y0 + ( x − x0 ) y1 x1 − x0 = [( x1 − x0 ) − ( x − x0 )] y0 + ( x − x0 ) y1 x1 − x0 = y0 + Đặt µ = y1 − y0 ( x − x0 ) x1 − x0 x − x0 x1 − x0 ta suy P1 ( x) = y0 + µ ( y1 − y0 ) Trang 10 (6) 16.5 3.5 x 10 16 15.5 DO THI Y=ex 15 DO THI Y=ex 2.5 14.5 Y Y 14 13.5 DO THI DA THUC NOI SUY 1.5 DO THI DA THUC NOI SUY 13 12.5 12 2.5 2.55 2.6 2.65 X 2.7 2.75 0.5 -10 2.8 -8 Hình 5: Đồ thị biểu diễn sai số hàm y=ex -6 -4 -2 X 10 Hình 6: Đồ thị minh họa  Nhận xét: Từ đồ thị biểu diễn sai số ta thấy đường cong dường trùng nhau, điều có nghĩa sai số đa thức nội suy hàm số cho xảy ít, cụ thể sai số có giá trị tuyệt đối 0.0002248 Mặt khác, toán xét [2.5 , 2.8] nhỏ nên đường cong mà thấy giống đường thẳng, ta thấy điều từ đồ thị minh họa Sự biến thiên sai số nội suy đa thức Trong toán nội suy, người ta thường sử dụng đa thức, đặc biệt đa thức Lagrange Newton để xây dựng hàm xấp xỉ Trong phép nội suy Lagrange thuận lợi cho việc sử dụng, không ổn định Các hệ số bậc cao đa thức Lagrange tăng nhanh số điểm nội suy tăng Một số khảo sát chi tiết hệ số đa thức Lagrange cho thấy số hạng làm cho xấp xỉ khơng ổn định số hạng có số mũ bậc cao Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) = sin x cos x với x ∈ [0 , π ] Hãy tìm đa thức nội suy hàm số cho khảo sát biến thiên sai số trường hợp số điểm liệu khác Giải  Trường hợp chọn mốc nội suy cách x y 2π π 0.476 3π -0.294 -0.294 4π π 0.476 Đa thức nội suy có dạng: P5 ( x) = −0.5390 x + 3.3864 x − 6.4719 x + 3.6208 x Sai số [0.5 ; 2.5] R( x) = 0.4233 Trang 30 DO THI Y=SIN(4X)COS(X) 0.5 DO THI DA THUC NOI SUY Y -0.5 0.5 1.5 2.5 X Hình 7: Đồ thị biểu diễn sai số với mốc nội suy  Nhận xét: Với mốc nội suy ta thấy [0.5 ; 2.5] đồ thị chênh lệch lớn, nghĩa sai số tương đối lớn giá trị tuyệt đối 0.4233 Trên đoạn lại đồ thị chênh lệch lớn  Trường hợp chọn mốc nội suy cách x y 3π 2π π 0.878 5π 4π -0.271 -0.174 -0.174 -0.271 6π π 0.878 Đa thức nội suy có dạng: P7 ( x) = −1.0128 x + 9.5456 x − 34.3210 x + 58.6271x − 47.2460 x + 14.0853 x Sai số [0.5 ; 2.5] R( x) = 0.066 1.4 1.2 DO THI DA THUC NOI SUY 0.8 0.6 Y 0.4 DO THI Y=SIN(4X)SOS(X) 0.2 -0.2 -0.4 -0.6 0.5 1.5 2.5 3.5 X Hình 8: Đồ thị biểu diễn sai số với mốc nội suy Trang 31  Nhận xét: Với mốc nội suy ta thấy đồ thị đa thức nội suy hàm số cho gần [0.5 ; 2.5] , nghĩa sai số tương đối nhỏ giá tr ị tuyệt đối 0.066 Trên đoạn lại đồ thị đa thức nội suy hàm số cho chênh lệch lớn  Trường hợp chọn 10 mốc nội suy cách x y π 3π 2π 5π 4π 6π 0.925 0.262 -0.433 -0.112 -0.112 -0.433 7π 8π π 0.262 0.925 Đa thức nội suy có dạng: P9 ( x) =1.0488 x8 − 13.1793 x + 66.9159 x − 175.4062 x + 250.5868 x − 186.9164 x + 60.6608 x − 4.1270 x Sai số [0.5 ; 2.5] R( x) = 0.001 DO THI DA THUC NOI SUY 0.8 0.6 0.4 Y DO THI Y=SIN(4X)COS(X) 0.2 -0.2 -0.4 0.5 1.5 2.5 X Hình 9: Đồ thị biểu diễn sai số với 10 mốc nội suy  Nhận xét: Với 10 mốc nội suy ta thấy đồ thị đa thức nội suy hàm số cho gần trùng đoạn [0.5 ; 2.5] , nghĩa sai số nhỏ giá trị tuyệt đối 0.001 Trên đoạn lại đường cong chênh lệch  Khi tăng mốc nội suy lên ta có bảng số liệu sau: Số mốc nội suy 10 12 14 Sai số [0.5 ; 2.5] 0.4233 0.066 0.001 0.000052 0.0000094 Trang 32 1.5 MOC NOI SUY 10 MOC NOI SUY DO THI Y=SIN(4X)COS(X) Y MOC NOI SUY 0.5 -0.5 0.5 1.5 X 2.5 Hình 10: Đồ thị biểu diễn đa thức nội suy tăng mốc nội suy  Nhận xét: Qua trường hợp thấy tăng mốc nội suy bậc đa thức nội suy tăng lên Từ ví dụ thấy, với mốc nội suy sai số xảy lớn, tăng mốc nội suy lên sai số giảm Nhưng qua số tài liệu cho thấy tăng mốc nội suy đến mức sai số khơng giảm mà tăng lên Nhưng thời gian hạn hẹp không sâu vào giải vấn đề Trang 33 CHƯƠNG II MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG NỘI SUY ĐA THỨC I Bài toán Quảng cáo chiến lược kinh doanh quan trọng hầu hết công ty Thơng qua nhiều hình thức quảng cáo nhà kinh doanh thu hút quan tâm khách hàng sản phẩm họ Mỗi công ty có hình thức quảng cáo riêng Vấn đề đặt hình thức quảng cáo có phù hợp hay khơng ? Có thu lợi nhuận cao hay khơng ? Biết có cơng ty nhỏ quan tâm đến việc phân tích hiệu việc quảng cáo cho sản phẩm họ Do đó, cơng ty làm c uộc thử nghiệm diễn lần, lần tháng với số tiền quảng cáo tổng doanh thu tương ứng thu bảng sau: X 10 Y 16 25 27 28 28 Trong đó: X số tiền chi cho quảng cáo ( trăm USD ) Y tổng doanh thu ( nghìn USD ) Yêu cầu: Hãy ước lượng tổng doanh thu công ty sử dụng (trăm USD) cho việc quảng cáo ? Giải  Giải toán phương pháp nội suy đa thức Lagrange Do có điểm liệu nên đa thức cần tìm đa thức nội suy Lagrange bậc Ta có: P4 ( x) = L0 ( x) y0 + L1 ( x) y1 + L2 ( x) y2 + L3 ( x) y3 + L4 ( x) y4 Trước hết ta tìm đa thức Li ( x) L0 ( x) = = L1 ( x) = = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) ( x − 4)( x − 6)( x − 8)( x − 10) = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 )( x0 − x4 ) (2 − 4)(2 − 6)(2 − 8)(2 − 10) x − 28 x + 284 x − 1232 x + 1920 384 ( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) ( x − 2)( x − 6)( x − 8)( x − 10) = ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 )( x1 − x4 ) (4 − 2)(4 − 6)(4 − 8)(4 − 10) x − 26 x + 236 x − 856 x + 960 − 96 Trang 34 (35) L2 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 )( x − x4 ) ( x − 2)( x − 4)( x − 8)( x − 10) = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 )( x2 − x4 ) (6 − 2)(6 − 4)(6 − 8)(6 − 10) x − 24 x + 196 x − 624 x + 640 = 64 L3 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x4 ) ( x − 2)( x − 4)( x − 6)( x − 10) = ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 )( x3 − x4 ) (8 − 2)(8 − 4)(8 − 6)(8 − 10) x − 22 x + 164 x − 488 x + 480 = − 96 L4 ( x) = = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 2)( x − 4)( x − 6)( x − 8) = ( x4 − x0 )( x4 − x1 )( x4 − x2 )( x4 − x3 ) (10 − 2)(10 − 4)(10 − 6)(10 − 8) x − 20 x + 140 x − 400 x + 384 384 Thay Li ( x) vào (35) ta được: P4 ( x) = −0.0156 x + 0.4375 x − 4.5625 x + 21.5 x − 12 Thế x = vào P4 ( x) ta được: P4 (3) = −0.0156.(3) + 0.4375.(3) − 4.5625.(3) + 21.5.(3) − 12 = 21.98  Vậy tổng doanh thu công ty sử dụng 300(USD) cho vi ệc quảng cáo 21980(USD) Giải toán phần mềm Matlab % Nhập điểm liệu x=[2 10]; y=[16 25 27 28 28 ]; % Tìm hệ số đa thức P=polyfit(x,y,4) % Tính tổng doanh thu TongDoanhThu=polyval(P,3) % Kết P= -0.0156 0.4375 -4.5625 21.5000 -12.0000 TongDoanhThu = 21.9844 Vậy kết sau giải toán phần mềm Matlab tương tự giải thuật toán Trang 35  Các lệnh vẽ đồ thị t=2:0.0001:10; x=[2 10]; y=[16 25 27 28 28 ]; TongDoanhThu=polyval(P,3) P4=-0.0156.*t.^4+0.4375.*t.^3-4.5625.*t.^2+21.5.*t-12; plot(t,P4,'r','LineWidth',2) hold on plot(x,y,'bo-','LineWidth',2) hold off xlabel('CHI PHI QUANG CAO') ylabel('TONG DOANH THU') grid on 30 28 DO THI DA THUC NOI SUY TONG DOANH THU 26 24 DUONG GAP KHUC QUA CAC DIEM DU LIEU 22 20 18 16 CHI PHI QUANG CAO 10 Hình 11: Đồ thị biểu diễn tổng doanh thu công ty  Nhận xét: Từ đồ thị thấy đỉnh đường cong đạt vị trí cao x = sau vị trí đường cong giảm dần Điều có nghĩa tổng doanh thu đạt cao chi phí quảng cáo 900(USD) tổng doanh thu khơng cịn tăng chi phí quảng cáo tăng Do đó, dựa vào đồ thị đa thức nội suy lựa chọn mức chi phí quảng cáo cho phù hợp để đem lại lợi nhuận cao Trang 36 II Bài tốn Ơ nhiễ m nguồn nước vấn đề cấp thiết Theo nghiên cứu có nhiều yếu tố gây nhiễm nguồn nước Một yếu tố có mặt vi khuẩn E.coli Vi khuẩn E.coli gây nên bệnh dịch tả, kiết lỵ,… coi tiêu thích hợp cho việc quản lý nguồn nước Do đó, người ta tiến hành thu mẫu nước sơng để tìm hiểu q trình sinh sản vi khuẩn Sau thu mẫu, người ta thực việc tính số vi khuẩn cách khoảng ngày m ột vị trí xác định từ ngày bắt đầu đến ngày thứ Tuy nhiên trình theo dõi có số thiết bị hư hỏng nên khơng tính số lượng sản sinh vi khuẩn vào ngày thứ ngày thứ Dữ liệu thu sau: Ngày Số lượng vi khuẩn (triệu) 30 32 ? 40 48 ? 56 Yêu cầu: Hãy ước lượng số vi khuẩn có vào ngày thứ ngày thứ ? Giải  Giải toán phương pháp nội suy Newton Do điểm liệu ngày không cách nên ta áp dụng đa thức nội suy Newton với mốc không cách Gọi x ngày, y số lượng vi khuẩn Ta có bảng tỷ sai phân sau : x y 30 f[… , …] f[… , … , …] f[… , … , … , …] f[… , … , … , …, …] 32 2/3 40 1/6 4/3 48 -7/60 -8/15 -4/3 56 Trang 37  Tính số vi khuẩn vào ngày thứ Áp dụng công thức nội suy Newton tiến Với điểm liệu nên đa thức có dạng bậc Ta có: P4 ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x − x0 )( x − x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] P4 ( x) = 30 + ( x − 0)2 + ( x − 0)( x − 1) + ( x − 0)( x − 1)( x − 3) + ( x − 0)( x − 1)( x − 3)( x − 4)(− ) 60 97 133 11 = 30 + x − x + x − x 30 60 10 60 = 30 + 3.2333 x − 2.2167 x + 1.1x − 0.1167 x Thế x = vào đa thức vừa tìm ta có P4 (2) = 34.5  Tính số vi khuẩn vào ngày thứ Áp dụng công thức nội suy Newton lùi Ta có: P4 ( x) = f ( x4 ) + ( x − x4 ) f [ x4 , x3 ] + ( x − x4 )( x − x3 ) f [ x4 , x3 , x2 ] + ( x − x4 )( x − x3 )( x − x2 ) f [ x4 , x3 , x2 , x1 ] + ( x − x4 )( x − x3 )( x − x2 )( x − x1 ) f [ x4 , x3 , x2 , x1 , x0 ] P4 ( x) = 56 + ( x − 6)4 + ( x − 6)( x − 4)(− ) + ( x − 6)( x − 4)( x − 3)(− ) + 15 ( x − 6)( x − 4)( x − 3)( x − 1)(− ) 60 97 133 11 = 30 + x − x + x − x 30 60 10 60 = 30 + 3.2333 x − 2.2167 x + 1.1x − 0.1167 x Thế x = vào đa thức vừa tìm ta có P4 (5) = 55.3  Vậy số vi khuẩn E.coli có vào ngày thứ thứ 34.5(triệu con) 55.3(triệu con) Giải toán phần mềm Matlab % Nhập điểm liệu x=[0 6]; y=[30 32 40 48 56]; % Tìm hệ số đa thức P=polyfit(x,y,4); % Tính số vi khuẩn có vào ngày thứ thứ SoViKhuanT2=polyval(P,2) SoViKhuanT5=polyval(P,5) Trang 38 % Kết P = -0.1167 1.1000 -2.2167 3.2333 30.0000 SoViKhuanT2 = 34.5333 SoViKhuanT5 = 55.3333 Các lệnh vẽ đồ thị t=0:0.001:6; x=[0 6]; y=[30 32 34.5 40 48 55.3 56]; P=30+3.2333.*t-2.2167.*t.^2+1.1.*t.^3-0.1167.*t.^4; plot(x,y,'bo-','LineWidth',2) hold on plot(t,P,'r','LineWidth',2) hold off xlabel('Ngay Quan Sat') ylabel('So Luong Vi Khuan') grid on axis([-0.1 6.1 29 58]) 55 So Luong Vi Khuan 50 DUONG GAP KHUC QUA CAC DIEM DU LIEU 45 40 DO THI DA THUC NOI SUY 35 30 Ngay Quan Sat Hình 12 : Đồ thị biểu diễn gia tăng vi khuẩn Trang 39 III Bài toán Quan trắc động thái nước đất hình thức quản lý tài nguyên nước, định hướng sử dụng hợp lý nguồn nước bảo vệ chúng Từ nhà nghiên cứu tìm hiểu đưa nhiều biện pháp thực Để nghiên cứu động thái mực nước gần sông người ta thiết lập tuyến lỗ khoan quan trắc vuông góc với sơng ( hình vẽ minh họa ) Khoảng cách từ lỗ ực khoan đến sông x0 = 10m , x2 = 20m , x3 = 30m , x4 = 40m Cao trình m nước lỗ khoan vào thời điểm sau: H = 17 m , H = 27,5m , H = 76m , H = 210,5m Yêu cầu : Hãy dự đoán khuynh hướng dâng cao mực nước x = 25m Hình 13: Đồ thị minh họa tuyến lỗ khoan quan trắc Giải Bảng tóm tắt điểm liệu cho x 10 20 30 40 H 17 27.5 76 210.5  Giải toán phương pháp nội suy Lagrange Với điểm liệu nên đa thức cần tìm đa thức nội suy bậc Đa thức nội suy Lagrange bậc có dạng: P3 ( x) = L0 ( x).H + L1 ( x).H + L2 ( x).H + L3 ( x).H (36) L0 ( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 20)( x − 30)( x − 40) x − 90 x + 2600 x − 24000 = = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 ) (10 − 20)(10 − 30)(10 − 40) − 6000 L1 ( x) = ( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 ) ( x − 10)( x − 30)( x − 40) x − 80 x + 1900 x − 1200 = = ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 ) (20 − 10)(20 − 30)(20 − 40) 2000 L2 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 ) ( x − 10)( x − 20)( x − 40) x − 70 x + 1400 x − 8000 = = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 ) (30 − 10)(30 − 20)(30 − 40) − 2000 Trang 40 L3 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 10)( x − 20)( x − 30) x − 60 x + 2600 x − 24000 = = ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 ) (40 − 10)(40 − 20)(40 − 30) − 6000 Thế Li ( x) vào công thức (36) ta được: P3 ( x) = 0.008 x − 0.29 x + 4.15 x − 3.5 Thay x = 25 vào phương trình ta được: P3 ( x) = 0.008.253 − 0.29.25 + 4.15.25 − 3.5 = 44  Vậy mực nước x = 25 H = 44m Giải toán phần mềm Matlab x=[10 20 30 40]; y=[17 27.5 76 210.5]; P=polyfit(x,y,3) H=polyval(L,25) % Kết P = 0080 -0.2900 4.1500 -3.5000 H = 44.0000 200 DO THI DA THUC NOI SUY 150 H 100 50 DUONG GAP KHUC QUA CAC DIEM DU LIEU 10 15 20 25 X 30 35 40 Hình 14: Đồ thị khuynh hướng dâng cao mực nước  Nhận xét : Như biết mực nước thay đổi theo thời gian, phần nguyên nhân người tác động, mặt khác thay đổi tự nhiên Do đó, với phương pháp nội suy Lagrange cho phép ta xác định quy luật biến đổi cao trình mực nước, nhờ định hướng sử dụng hợp lý nguồn tài nguyên nước Trang 41 KẾT LUẬN Luận văn xem xét toán thực tế giải phương pháp nội suy đa thức mà chủ yếu sử dụng đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton Các hàm đa thức nhiều Mỗi loại hàm đa thức có ưu điể m định Việc nghiên cứu sử dụng hàm nội suy đa thức để giải toán cụ thể cho phù hợp nhanh chóng hướng mở để chúng tơi tiếp tục tìm hiểu, xem xét Ngồi ra, việc giới thiệu sử dụng phần mềm Matlab cho tính tốn tốn thực tế giảng dạy, nghiên cứu trường học xu hướng phát triển Việt Nam Với luận văn hy vọng góp phần nhỏ vào phát triển Trang 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO  A Tài liệu tiếng việt [1] Trần Ngọc Liên, Bài tốn khơi phục lý thuyết hàm giải tích , Đại học Cần Thơ, 2007 [2] Trần Ngọc Liên, Chuyên đề phép nội suy, Đại học Cần Thơ, 2007 [3] Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, NXB Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội, 1999 [4] Đinh Nghiệp, Phương pháp tính, NXB Đại học Quốc gia TP.HCM, 2001 [5] Hồng Xn Huấn, Giáo trình phương pháp số , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [6] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 [7] Phan Đăng Cầu, Phan Thị Hà, Bài giảng phương pháp số, Học viện cơng nghệ bưu viễn thơng, Hà Nội, 2004 [8] Nguyễn Chí Long, Phương pháp tính, NXB Đại học Quốc gia TP.HCM, 2002 [9] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường , Giải tích số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2001 B Tài liệu tiếng anh [10] Steven E.Pav, Numerical Methods Course Notes Version 0.11, University of California, 2005 [11] Richhar L Burden, J Douglas Faires, Numerrical Analysis, New York, 1997 [12] Wheatley, Applied numerical analysis gerald, California polytechnic state university, 2004 [13] Steven C Chapra, Applied numerical methods with Matlab for engineers and scientists, Berger chair in computing and engineering tufts university, 2008 [14] Stephen J Chapman, Matlab programming for engineers, Bae systems Australia, 2004 [15] Burden R.L, Faires T.D, Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Compani, USA – 1997 [16] P.B Patil, U.P Verma, Numerical computational methods, Alpha science, 2006 Trang 43 C Tài liệu mạng internet [17] http://www.google.com.vn/search?hl=vi&q=interpolation&aq=f&aqi=g3&aql= &oq=&gs_rfai= [18] http://www.google.com.vn/search?hl=vi&q=some+application+in+polynomial+ interpolation&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai= [19] http://www.google.com.vn/search?hl=vi&source=hp&q=%E1%BB%A9ng+d% E1%BB%A5ng+n%E1%BB%99i+suy++Lagrange+trong+quan+tr%E1%BA% AFc&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai= [20] http://www.google.com.vn/search?hl=vi&q=%E1%BB%A9ng+d%E1%BB%A5 ng+n%E1%BB%99i+suy+Lagrange+&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfa= [21] http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation= Trang 44 ... pháp nội suy đa thức mà chủ yếu sử dụng đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton Các hàm đa thức nhiều Mỗi loại hàm đa thức có ưu điể m định Việc nghiên cứu sử dụng hàm nội suy đa thức. .. 3.2 Đa thức nội suy Newton tiến (nội suy đầu bảng)………………….… 13 3.3 Đa thức nội suy Newton lùi (nội suy cuối bảng)……………… …… 13 III SAI SỐ TRONG NỘI SUY ĐA THỨC…………………………………… 16 Sai số nội suy. .. suy đa thức quan trọng sở số phép tính đạo hàm, tích phân số,… Hàm nội suy đa thức có nhiều, phạm vi luận văn này, xem xét đa thức nội suy quen thuộc thường sử dụng đa thức nội suy Lagrange đa