Một Số Phương Pháp Định Giá Quyền Chọn Mỹ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN MỸ Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Th.S: NGUYỄN THỊ HỒNG DÂN NGUYỄN THỊ MINH HIỀN (BỘ MƠN TỐN – KHOA KHTN) MSSV: 1066268 Lớp:TOÁN THỐNG KÊ CẦN THƠ - 06/2010 LỜI CẢM ƠN - Em xin gửi lời cám ơn chân thành xâu sắc đến Cô Nguyễn Thị Hồng Dân tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy Cô Khoa Khoa Học Tự Nhiên truyền đạt kiến thức quý báu cho em năm học vừa qua Con xin nói lên lịng biết ơn Cha Mẹ ln người chăm sóc động viên bước đường học vấn em Xin chân thành cảm ơn đến anh chị bạn bè ủng hộ, giúp đỡ động viên em thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù em cố gắng hoàn thành luận văn phạm vi khả cho phép không tránh thiếu sót Em kính mong nhận cảm thơng tận tình bảo q Thầy Cơ bạn Cần Thơ, tháng năm 2010 Người thực Nguyễn Thị Minh Hiền MỤC LỤC Lời nói đầu Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1.Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1 Kỳ vọng có điều kiện 1.1.2 Hàm đặc trưng 1.1.3 Hội tụ theo xác xuất – Luật số lớn 1.1.5 Hội tụ hầu chắn – Luật mạnh số lớn 1.2.Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Xích Markov 1.2.2 Thời điểm Markov thời điểm dừng 1.2.3 Chuyển động Brownian 10 Chương QUYỀN CHỌN MỸ 11 2.1 Các khái niệm … 11 2.1.1 Quyền chọn 11 2.1.2 Các loại quyền chọn 11 2.1.3 Quyền chọn Mỹ 12 2.2 Vấn đề hóa 13 2.3 Phương pháp tham số… 17 2.4 Phương pháp ngẫu nhiên 19 2.3.1 Ước lượng cao 20 2.3.2 Ước lượng thấp 23 2.3.3 Quá trình tạo 26 2.5 Không gian trạng thái phân vùng .28 2.6 Phương pháp lưới ngẫu nhiên 30 2.6.1 Điều kiện lưới 32 2.6.2 Chênh lệch cao 33 2.6.3 Ước lượng thấp 34 2.6.4 Khoảng ước lượng 35 Chương ỨNG DỤNG MATLAB 38 3.1 Mơ dịng tiền… 38 3.2 Mô phương pháp tham số 38 3.3 Mô phương pháp ngẫu nhiên 40 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI NÓI ĐẦU Vào đầu năm 1900, hiệp hội nhà môi giới kinh doanh quyền chọn (option) đời Thị trường hợp đồng quyền chọn gọi thị trường phi tập trung OTC ( over – the – counter ) Việc mua bán quyền chọn trở nên phổ biến Chicago Board of Options Exchange Vào thời chủ yếu trao đổi cổ phiếu thương mại đơn lẻ Năm 1982, quyền chọn bắt đầu giao dịch hợp đồng tương lai với trái phiếu phủ, loại giao dịch phát triển nhanh Sự thành công hợp đồng quyền chọn mở lối cho việc đời quyền chọn vô số hàng hóa tiêu dùng, ngơ, đậu nành sản phẩm khác Khi xã hội ngày phát triển, giao dịch quyền chọn ngày trở nên phổ biến hơn, lan rộng sang Anh, Brazil, Đức, Pháp, Nhật Bản, Singapore, Hồng Kơng Australia Việc tồn cầu hóa thị trường giới tạo nhu cầu liên kết điện tử thương mại 24/24 ngày Thị trường Mỹ đáp ứng nhu cầu cách tạo sản phẩm giao dịch quốc tế, mở rộng giao dịch triển khai sàn giao dịch điện tử Hiện giới, giao dịch quyền chọn dựa tài sản tài chiếm tỉ trọng lớn, đặc biệt quyền chọn ngoại tệ, cổ phiếu trái phiếu, vàng, dầu khí,… Mặc dù giao dịch quyền chọn giới phổ biến Việt Nam quyền chọn mẻ chưa phát triển nên giao dịch quyền chọn phi tập trung chiếm tỉ trọng tuyệt đối, đặc biệt quyền chọn ngoại tệ Ví dụ giá vàng giảm họ dự tính tương lai giá vàng lên nên người dân gấp rút đến ngân hàng rút tiền để mua vàng dự trữ giá vàng cao họ lại bán Tại họ phải làm thế? Sao họ không mua hợp đồng quyền chọn? họ chưa biết Lúc đầu nghe nói quyền chọn ? Quyền chọn Mỹ gì? Em bở ngỡ, khơng hiểu, nên em muốn tìm hiểu rõ hơn, kiếm kiến thức mà chưa biết lí để em làm đề tài Vận dụng kiến thức học chuyên nghành xác suất thống kê để giải số vấn đề kinh tế Phạm vi hợp đồng quyền chọn rộng em nghiên cứu khía cạnh nhỏ Đối tượng vàng bạc, dollar, cổ phiếu trái phiếu Trong đề tài em tập trung tìm hiểu quyền chọn Mỹ số phương pháp đánh giá quyền chọn Mỹ Làm rõ vấn đề chưa rõ chưa hiểu như: Quyền chọn Mỹ gì? Khi thực hợp đồng tốt nhất, sử dụng phương pháp để định giá Nội dung phương pháp Một số phương pháp em sử dụng để nghiên cứu vấn đề là:  Đọc sách có liên quan đến đề tài, tìm tài liệu Internet  Sử dụng phương pháp phân tích để phân tích vấn đề để cụ thể hóa toán  Sử dụng phương pháp tổng hợp, hệ thống kiến thức có liên quan để giải tốn Trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi CHƯƠNG 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.2.1 Kỳ vọng có điều kiện Trong phần ta ln cố định không gian xác suất sở  , A ,   Giả sử F  -trường A o Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên X  F biến ngẫu nhiên suy rộng không âm E  X F  :    0,   cho: i E  X F  F-đo ii Với A  F  Xd    E  X F d  A (1.1) A Với  A ta đặt:    F   E    F  gọi xác suất có điều kiện A F Trong  A hàm tiêu tập A, tức là: 1, t  A  A (t )   0, t  A Từ công thức (1.1) ta có :    F  biến ngẫu nhiên F-đo            F  d , B  F B o Nếu Y biến ngẫu nhiên  Y   -trường Y 1  B  R   ta viết   E  X Y   E X  Y   o Nếu Y  Y1 , , Yn  biến ngẫu nhiên  Y   -trường Y 1 B  R n   ta viết E  X Y1 , , Yn   E  X  Y   Đó định nghĩa kỳ vọng có điều kiện X Y  Y1 , , Yn  Cần ý , tồn hàm Borel f : R n  R cho: E  X Y1 , , Yn   f  Y1 , , Yn  Do đó, ta định nghĩa: E  X Y1  y1 , , Yn  yn   f  y1 , , yn  Có thể rằng:  Y 1  B  Xd    f  y1 , , yn d Y ; B  B  R  B Tính chất kỳ vọng có điều kiện Ta quy ước : -Khi viết kỳ vọng có điều kiện ta ngầm giả sử kỳ vọng có điều kiện tồn - Đồng biến ngẫu nhiên hầu chắn hầu chắn, đẳng thức, bất đẳng thức hiểu theo nghĩa: thực hầu chắn Dưới tính chất thường xuyên sử dụng Luận văn này: i Nếu X F-đo E  X F   X Đặc biệt, C số E C F   C ii Nếu X  Y E  X F   E Y F  Đặc biệt, ta có bất đẳng thức EX F  E X F iii Nếu a, b  R E  aX  bY F   aE  X F   bE Y F  iv E  E  X F    EX v Nếu   X  F-độc lập E  X F   EX Đặc biệt, X,Y độc lập E  X Y   EX vi Nếu F1  F2 E  E  X F2  F1   E  E  X F1  F2   E  X F1  vii Nếu Y F-đo thì: E  XY F   YE  X F  viii Nếu F0  ,  E  X F0   EX Chứng minh Ta chứng minh số tính chất Tính chất iv Từ (1.1) với B   ta có E  E  X F     E  X F d    X d   EX   Tính chất v Do với B  F , biến ngẫu nhiên X  B độc lập nên  E  X F d    X d     X  d   E  X    EX E  B B B B B   EX d  B  Tính chất vi Do E  X F1  F1-đo được, nên F2-đo (vì F1  F2 ) Theo i E  E  X F1  F2   E  X F1  Mặt khác, F1  F2 , nên  E  E  X F  F d    E  X F d    Xd    E  X F d , 2 B B B B  F1 B Thêm vào đó, E  E  X F2  F1  F1-đo được, nên theo định nghĩa kỳ vọng có điều kiện ta có: E  E  X F2  F1   E  X F1  1.2.2 Hàm đặc trưng Ta nói X   X , , X d  vectơ ngẫu nhiên d chiều, thành phần X k , k  1, , d X đại lượng ngẫu nhiên Nói cách khác, X :   R d vectơ ngẫu nhiên    X  x1 , , X d  xd   A với x   x1 , , xd   R d Hàm phân phối vectơ X xác định theo công thức sau đây: FX  x     X  x1 , , X d  xd  Hàm thuờng gọi hàm phân phối đồng thời đại lượng ngẫu nhiên X , , X d ký hiệu: FX1 X d  x1 , , xd     X  x1 , , X d  xd  Hàm đặc trưng X xác định theo công thức sau:  X1 , , X d  t   Eei t , X   ei t , X d    e i t,X d d t   t1 , , td  , x   x1 , , xd   R d t , x   tk xk k 1 dFX  x  1.2.3 Hội tụ theo xác suất – Luật số lớn a Định nghĩa hội tụ theo xác suất: Dãy biến ngẫu nhiên  X n , n  1 gọi hội tụ theo xác suất đến X   0, P  X n ( )  X ( )     (n  ) P Kí hiệu: X n  X (n   ) Hiển nhiên ta có hệ thức tương đương: P X n  X ( n  )  biến cố P  X n ( )  X ( )  gần tùy ý n   b Định nghĩa Luật số lớn: Ta nói họ biến cố ngẫu nhiên  X n , n  1 tuân theo luật số lớn (dạng Chebyshev)   : 1 n  n P   X k   EX k     1 n    n k 1  n k 1  Như vậy, điều kiện ban đầu để xem họ biến ngẫu nhiên có tuân theo luật số lớn (LSL) hay khơng có kỳ vọng EX k ,  k  Hệ thức tương đương định nghĩa: 1 n  n X , n  tuân theo LSL     0, P X  EX k      n     n     k n k 1  n k 1   n   X k  EX k    n    n k 1 Hệ quả: Nếu  X n , n  1 họ biến cố ngẫu nhiên độc lập, phân phối, có kỳ vọng chung hữu hạn a , phương sai chung  n   ta có: n  Xk  a n k 1 1.2.4 Hội tụ hầu chắn – Luật mạnh số lớn a Định nghĩa hội tụ hầu chắn: Dãy  X n , n  1 gọi hội tụ hầu h c c chắn (h.c.c) đến X n   , kí hiệu X n  X ( n  ) tồn tập N với P( N )  với   N có X n ( )  X ( ) ( n  ) b Định nghĩa Luật mạnh số lớn: Dãy  X n , n  1 gọi tuân theo luật mạnh số lớn nếu: h c c n n Xk  E Xk   n k 1 n k 1 (n   ) Vì hội tụ h.c.c mạnh hội tụ theo xác suất nên dãy tuân theo luật mạnh số lớn tuân theo luật số lớn 1.2 Q TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 Xích Markov Q trình ngẫu nhiên (QTNN)  X (t ), t  T  tập hợp đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) Nghĩa là, với t  T X t ĐLNN Chỉ số t xem thời gian X t trạng thái trình thời điểm t Định nghĩa Xích Markov: Ta nói đại lượng ngẫu nhiên X (t ) có tính Markov nếu: P  X (t n1 )  j / X (t0 )  i0 , , X (tn1 )  in1 , X (tn )  i  P  X (tn1 )  j / X (t n )  i , Với t0  t1   tn  tn 1  i0 , i1 , , in1 , i, j  E Trong đó: Ta xem in tại, in1 tương lai,  t0 , t1 , , tn 1  khứ Vì biểu thức tính Markov X (t ) Đặt p ( s, i, t , j )  P  X (t )  j / X ( s )  i , ( s  t ) Đó xác suất có điều kiện hệ (hay trình) thời điểm s trạng thái i , đến thời điểm t chuyển sang trạng thái j ta gọi p( s, i, t , j ) xác suất chuyển hệ (hay trình) Giá trị Pij xác suất trình trạng thái thứ i thời điểm n (hiện tại) biến đối sang trạng thái thứ j thời điểm n  (tương lai) pij  P ( X n1  j / X n  i )  P  X (tn1 )  j / X (t0 )  i0 , , X (t n1 )  in1 , X (tn )  i P=  pij  gọi ma trận chuyển sau bước Có tính chất:  pij  1,  i , j  E ; p ij jE 10  (1) Đối với toán định giá ta sử dụng phương pháp quy hoạch động công thức (2.4) (2.5) Trong lưới, ta sử dụng X i j biểu thị cho nút thứ j ngày thực thứ i , với i = 1, , m j = 1, , b , Vˆi j giá trị ước lượng nút tính sau: Tại nút cuối ta đặt: Vˆm j = hm ( X mj ) Còn nút cịn lại tính sau: ïì b ïü Vˆi j = max ïí hi ( X i j ), å W ji kVˆi + 1, k ïý ùợù ùỵù b k= (2.25) Vi W ji k trọng số Tại nút gốc ta đặt b Vˆ0 = å Vˆ1k b k= (2.26) Hoặc max {Vˆ0 , h0 ( X )} ta muốn thực thời điểm Sự phân biệt công thức (2.24) (2.25) công thức (2.25) khai triển lấy mẫu ngẫu nhiên nút, (2.24) khai triển tập cố định không gian trạng thái Như ta nhìn thấy số thuật toán với cấu trúc tương tự (2.25), vấn đề ta lựa chọn trọng số W ji k Dựa giá trị có X i j Xây dựng bước độc lập hình 2.5 Ví dụ, tạo b nút i cách vẽ mẫu độc lập từ phân phối biên duyên X i Quy tắc khác lấy mẫu ngẫu nhiên chọn trọng số tương ứng từ mơ hình khác phương pháp 2.6.1 Điều kiên lưới Ta đặt: X i = (X i , , X i b ) Là “trạng thái lưới” bước thứ i gồm nút bước i , với i = 1, , m đặt X = X Ta giả sử cấu trúc lưới Markov theo nghĩa sau: Ta có ba diều kiện sau: (M1) {X , , X i- } {Xi+ , ,X m } độc lập với X i , " i = 1, , m - 34 Điều kiện thõa mãn bước xây dựng độ lập Bởi cách chọn {X1 j , , X m j }, j = 1, , b độc lập theo định nghĩa xích Markov (M2) Mỗi trọng số W ji k hàm xác định X i Xi+ Đó hàm xác định X i j Xi + 1, k Nhớ lại công thức (2.8), Ci ( x) giá trị chuyển tiếp không gian x thời điểm i Điều kiện hạn chế lựa chọn trọng số để ước lượng xác giá trị liên tục, trung bình: " i = 1, , m - " j = 1, , b , (M3) b é i å E W jkVi+ ( X i+ 1,k / X i )ùúû= Ci (X ij ) b k = ëê Nghĩa ta biết giá trị quyền chọn thực thời điểm i + , trung bình kỳ vọng trọng số tính thời điểm i giá trị liên tục 2.6.2 Chênh lệch cao Sự kéo theo (M1) – (M3), ta thấy điều kiện bao hàm ước lượng lưới Vˆ0 xác định (2.25) (2.26) chênh lệch cao Đối số tương tự ta sử dụng thuật toán phương pháp ngẫu nhiên phần (2.3.1) Ta chứng minh tồn i cho E éêVˆi j / Xi ùú³ Vi + ( X i+ 1, j ), ë û j = 1, , b (2.27) Ta lưu giữ tất i nhỏ Sử dụng (2.26) bất đẳng thức Jensen’s, ta đặt: ïì b ïü E éêVˆij / X i ùú³ max ïí hi ( X ij ), å E éêW jki Vˆi+ 1, k / X i ùúïý ë û ûïï ïỵï b k= ỵ (2.28) Ta kim tra cỏc kỳ vọng có điều kiện vế phải điều kiện X i+ sử dụng (M2), ta đặt: E éêW jki Vˆi+ 1, k / Xi , X i+ ùú= W jki E éêVˆi+ 1, k / Xi , X i+ ùú ë û ë û = W jki E éêVˆi+ 1,k / Xi + ùú, ë û (2.29) Phương trình thứ hai (M1) xác định Vˆi + 1, k thông qua công thức (2.23) Áp dụng giả thuyết (2.27) tới (2.29), ta đặt 35 E éêW jki Vˆi+ 1, k / Xi , X i+ ùú³ W jki Vi + 1,k / Xi + 1, k ë û (2.30) Từ ta có b b é i ˆ ù³ E W V / X , X E éëêW jki Vi + 1,k ( X i + 1, k ) / X i ùûú å jk i + 1,k i i+ ú û bå b k = êë k=1 =Ci ( X i j ) Sử dụng (M3) Áp dụng bất phương trình từ (2.28), ta kết luận: E éêVˆij / X i ùú³ max {hi ( X ij ), Ci ( X ij )}= Vi ( X ij ) ë û Đó ta cần chứng minh Các đối số mang lại vài nhận thức loại điều kiện cần thiết để đảm bảo hội tụ giá trị lưới Vˆij tới giá trị thực Vi ( X i ) xác định X i j Áp dụng tài sản rút ngắn (2.19) (M3) để (2.24) tiến hành bị chặn sau: b Vˆij - Vi ( X ij ) £ å W ji kVˆi + 1, k - E éêëW ji kVi+ ( X i + 1, k ) / X i ùûú b k=1 b i £ å W j kVi + 1, k ( X i + 1, k ) - E éêëW ji kVi + ( X i+ 1, k ) / X i ùúû b k= + b i éˆ å W j k êëVi+ 1, k - Vi+ ( X i+ 1, k )ùúû b k= Để tìm số hạng vế phải bất phương trình cuối triệt tiêu tìm số hạng thõa luật số lớn Tìm số hạng thứ hai giả thuyết quy nạp đủ mạnh hội tụ ước lượng lưới thời điểm i + Với b , nút cuối ta đặt Vˆm j = Vm ( X m j ) giống phần quy nạp lùi phần trước Broadie Glasserman dùng phép toán để chứng minh hội tụ ước lượng lưới X1 , , X m độc lập nhau, X i1 , X i , , X ib độc lập với i , trọng số W ijk hàm X i j X i + 1, k Những giả thuyết độc lập để ta áp dụng luật số lớn Trường hợp tổng quát hơn, bao gồm điều kiện (M1) – (M2), vấn đề phức tạp phụ thuộc nút tạo trọng số 2.6.3 Ước lượng thấp Broadie Glasserman bổ sung thêm ước lượng lưới chênh lệch cao với ước lượng thấp Họ sử dụng quy tắc dừng để xác định ước lượng thấp 36 Để xác định quy tắc dừng, ta cần khai triển trọng số W ijk từ X i1 , X i , , X ib đến điểm không gian trạng thái i Ta xét cụ thể cách chọn trọng số, ta có hàm Wki (.) không gian trạng thái thời điểm i Ta giải thích Wki ( x ) trọng số từ trạng thái x thời điểm i đến nút X i + 1, k Thông qua hàm lưới trọng lưới định nghĩa giá trị chuyển tiếp từ đầu đến cuối trạng thái, không nút trọng lưới Giá trị chuyển tiếp trạng thái x thời điểm i, i = 1, , m - cho (2.31) b Cˆ i ( x ) = å Wki ( x )Vˆi + 1, k b k= Nếu Wki ( X i j ) = W ji k Cˆ i ( X i j ) trùng với ước lượng giá trị liên tục X i j Cˆ i nội suy từ nút gốc tới không gian trạng thái lại Đặt Cˆ m º Ta cố định lưới, ta mô bước X , X1 , , X m xích Markov, bước độc lập dùng để xây dựng lưới Định nghĩa thời điểm dừng tˆ = i : hi ( X i ) ³ Cˆ i ( X i ) ; { } (2.32) Đó thời điểm giá trị thực ước lượng giá trị chuyển tiếp Ước lượng thấp cho bước vˆ = htˆ ( X tˆ ) (2.33) Thanh toán tˆ Ước lượng thấp tối ưu ta tìm sách tốt Điều kiện lưới cố định quy tắc lợi nhuận E [vˆ / X , , X m ]£ V0 ( X ) Sau ta áp dụng kỳ vọng không điều kiện Bằng cách mô nhiều bước, lưới ta định nghĩa quy tắc dừng sau, ta tính trung bình ước lượng thấp có điều kiện lưới Ta tạo độc lập lưới ta tính lượng cao ước lượng thấp từ Từ ước lượng cao ước lượng thấp ta tính trung bình mẫu độ lệch chuẩn để hình thành khoảng tin cậy cho ước lượng Hai khoảng kết hợp hình (2.1) Giả sử nút độc lập lưới, Broadie Glasserman [66] cho điều kiện cho điều kiện mà ước lượng thấp tiệm cận không chệch, 37 nghĩa E [vˆ ]đ V0 ( X ) b đ Ơ lưới Khi đó, hợp khoảng tin cậy chứa điểm V0 ( X ) b ® ¥ n ® ¥ 2.6.4 Khoảng ước lượng Một số điểm chương ta lưu hai nguồn chênh lệch ảnh hưởng đến mô ước lượng giá quyền chọn Mỹ: kết chênh lệch cao (thông qua bất đẳng thức Jensen’s ) đến áp dụng quy tắc tập bước xác định ước lượng hai nguồn giữ lại phần trên, áp dụng quy tắc lùi áp dụng lưới – định nghĩa quy tắc dừng Sự phát triển ước lượng cao ước lượng thấp phần hai nguồn sở Giả sử ước lượng giá trị Vˆi+ 1, j , , Vˆm j , j = 1, , b , xác định với bước i + 1, , m bắt đầu với giá trị ban đầu Vˆm j = hm ( X m j ) Xác định ước lượng giá trị chuyển tiếp b Cˆ lj = å W jkl Vˆl + 1, k b k= l = i, , m - 1, Cˆ m = Mở rộng trọng số thông qua không gian trạng thái trước, sau xác định giá trị chuyển tiếp Cˆ l ( x) với trạng thái x thời điểm l Để tìm giá trị nút X i j bước thứ i , ta xét hai cách chọn Nếu thực trực tiếp, giá trị hi ( X i j ) nhỏ ước lượng giá trị chuyển tiếp Cˆ i j , sau ta thực nút X i j đặt Vi j = hi ( X i j ) ; trùng với ước lượng cao (2.26) Tuy nhiên, hi ( X i j ) < Cˆ i j gán giá trị Cˆ i j đến nút hành (như (2.25)) Ta mô đường dẫn xích Markov X%i , X%i+ , , X%m nút X%i = X i j Từ bước ta sử dụng quy tắc dừng (2.31) xác định giá trị chuyển tiếp i + 1, , m - Ta lưu lại giá trị Vi j sử dụng ước lượng thấp nút X i j Để xác hơn, ta phải xác định thời điểm dừng với i áp dụng để bắt đầu đường dẫn từ X i j Vì vậy, cho đường dẫn X%i , X%i + , , X%m bắt đầu X%i = X i j , định nghĩa 38 tˆi = l Ỵ {i, i + 1, , m - 1}: hl ( X%l ) ³ Cˆ l ( X%l ) { } Sau đó, hai trường hợp để gán giá trị Vi j kết hợp thành quy tắc Vˆi j = htˆi ( X%tˆi ) (2.33) Thủ tục xen phần tử ước lượng cao ước lượng thấp, thay phiên hay ước lượng cách sử dụng quy nạp lùi để ước lượng giá trị chuyển tiếp sau sử dụng quy tắc dừng tối đa bắt đầu đến nút Điều bù đắp hai nguồn chênh lệch này, so sánh xác kiểm tra lại Nếu đường dẫn X%i , X%i + , , X%m dùng (2.33) độc lập với tập xuất phát (cho X%i = X i j ), sau đó, Vˆi j kết từ qui tắc dừng, giá trị ước lượng chênh lệch thấp Trong thực tế sử dụng lưới gốc đường dẫn X%i j , , X%m j đường dẫn độc lập thường sử dụng ước lượng thấp ước lượng cao thường sử dụng bất đẳng thức Jensen’s ước lượng thấp sử dụng sụ tối đa quy tắc dừng Trong phương pháp vấn đề cần giải tìm giá trị trọng số W jkl từ tìm giá trị chuyển tiếp Cˆ lj Do thời gian hạn hẹp nên em đưa giải thuật Nếu quan tâm tham khảo thêm sách: Monte Carlo methods infinancial engineering_Paul Glasserman 39 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG MATLAB TRONG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN MỸ 3.1 MƠ PHỎNG DỊNG TIỀN Chúng ta mơ n lần với giá trị ban đầu S1,lãi suất phi rủi ro r độ biến động s Ta có chương trình sau: function [X]=market(S1, n, r, sigma) S(1)=S1; dt=1/1000; for i=1:n-1, dB=normrnd(0, sqrt(dt)); S(i+1)=S(i)+S(i)*(r*dt+sigma*dB); end X=S Ví dụ: Mô n =10 lần với giá trị ban đầu S1=100, r =0.1, s =0.2 Ta gọi hàm market(100, 10, 0.1, 0.2) matlap cho với kết sau: >> market(100, 10, 0.1, 0.2) 3.2 MÔ PHỎNG PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ Chúng ta mô n lần với giá trị ban đầu S1, lãi suất phi rủi ro r độ biến động d , giá trị thực hợp đồng K, b nhánh Đoạn code dựa thuật toán phương pháp tham số Ta có đoạn code sau: function parametric (S1, b, n, K, r, sigma) X=[]; theta=[]; k=0; for i=1:b X(i, :)=market(S1, n, r, sigma); E=[]; V=[]; h=[];j=n; 40 while (j>=1) if j==n h(i, j)= max(X(i, j) - K, 0); V(i, j)= max(X(i, j) - K, 0); else h(i, j)=max( X(i, j) - K, 0); E(i, j+1)=mean( h(i, j+1:n)); V(i,j)=max(E(i, j+1)-K, h(i, j)); if V(i, j)> parametric(19000,100,500,50,19090,0.1,0.2) Gia tri quyen chon la 41 value =1.7961e+003 Ta thấy giá trị mơ n1 n2 lón giá trị mô dần giá trị quyền chọn V0 ( X ) Theo kết cho thấy nhà khinh doanh thục hợp đồng giá $ thị trường 19090+179620951đ/$ Vậy người sẻ lời (1861- phí quyền chọn)x1000000 Cũng vói hợp đồng ta dùng phương pháp ngẫu nhiên để mô so sánh giá trị quyền chọn với giá trị quyền chọn phương pháp ngẫu nhiên 3.3 MÔ PHỎNG PHƯƠNG PHÁP CÂY NGẪU NHIÊN 3.3.1 Đoạn code tính ước lượng cao: function treehight(S1,b,K,r,sigma,m) X=[]; for j=1:m h{j}=[]; for i=1:b^(j-1) X{j}(i,1:b)=market(S1,b,r,sigma); end X{j} end V=[]; E{j}=[]; j=m-1; V{m}(:,:)=max(X{m}(:,:)-K,0); while j>=1 j k=0; for i=1:b^(j-1) for l=1:b k=k+1; h{j}(i,l)=max(X{j}(i,l)-K,0); V{j}(i,l)=max( mean(V{j+1}(k,1:b)),h{j}(i,l)); end end 42 V{j+1} h{j} V{j} j=j-1; end disp'Gia uoc luong cao la t ' t=mean(V{1}(:)) end 3.3.2 Đoạn code tính ước lượng thấp: function treelow(S1,b,K,r,sigma,m) X=[]; for j=1:m h{j}=[]; for i=1:b^(j-1) X{j}(i,1:b)=market(S1,b,r,sigma); end X{j} end V=[]; v=[]; E{j}=[]; j=m-1; V{m}(:,:)=max(X{m}(:,:)-K,0); while j>=1 j k=0; for i=1:b^(j-1) for l=1:b k=k+1; t=1:b; h{j}(i,l)=max(X{j}(i,l)-K,0); if (sum(V{j+1}(k,:))-V{j+1}(k,t))/(b-1)=1 j k=0; for i=1:b^(j-1) for l=1:b k=k+1; t=1:b; h{j}(i,l)=max(X{j}(i,l)-K,0); V1{j}(i,l)=max( mean(V1{j+1}(k,1:b)),h{j}(i,l)); if (sum(V2{j+1}(k,:))-V2{j+1}(k,t))/(b-1)> tree(19000,1000,19090,0.1,0.2,2) >> tree(19000,1000,19060,0.1,0.2,2) Uoc luong cao la t1 = 1.8803e+003 Uoc luong thap la t2 = 1.8802e+003 Với khảng tin cậy 95% ta thấy giá trị ước lượng cao ước lượng thấp gần Người thực hợp đồng giá $ thị trường giá trị thực K +1880=20970 Giá trị quyền chọn phương pháp tham số thấp giá trị quyền chọn phương pháp ngẫu nhiên Ta thấy ước lượng cao ước lượng thấp gần xấp xỉ với b   chúng tiến dần đến giá trị thực V0 ( X ) Phương pháp khắc phục phương pháp tham số cịn tính chậm tồn nhiều thời gian Tuy nhiên, phương pháp lưới ngẫu nhiên cải tiến hai phương pháp thời gian cịn hạn chế nên chưa trình bày kịp để viết chương trình Matlab để mơ định giá quyền 46 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn “Một số phương pháp định giá quyền chọn Mỹ” phản ánh tầm quan trọng định giá việc dự báo thời điểm thực hợp đồng tốt ứng dụng quan trọng mà Luận văn hướng tới Tuy nhiên, kiến thức hạn hẹp thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên có phương pháp chưa giới thiệu kịp Tôi hy vọng tương lai nghiên cứu sâu định giá quyền chọn đồng thời tìm hiểu thêm “phương phương pháp Monte Carlo” nhiều Phương pháp tham số sử dụng số lần mô lớn để giá trị đạt hội tụ giá trị thực quyền chọn, địi hỏi thời gian tính tốn nhiều hội tụ chậm Phương pháp ngẫu nhiên khắc phục tính tốn nhiều phương pháp tham số trên, tính tốn phương pháp ngẫu nhiên cách sử dụng phương pháp ước lượng cao ước lượng thấp, hai giá trị ước lượng hội tụ giá trị thực quyền chọn áp dụng cho quyền chọn có bước thực Phương pháp lưới ngẫu nhiên kết hợp hai phương pháp việc định giá quyền chọn, nhằm khắc phục khuyết điểm hai phương pháp Tuy nhiên thời gian thực đề tài hạn hẹp, nên em nghiên cứu giải thuật phương pháp, chưa lập trình matlab để kiểm tra tính tối ưu 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] - Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại Học quốc gia Hà Nội, 2005 [2] - Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất ứng dụng, Phần I: Xích Markov ứng dụng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2000 [3] - Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần II: Quá trình dừng ứng dụng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [4] - Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [5] - Dương Thị Tuyền, Giáo trình Nguyên Lý Thống kê năm 2009 [6] - Paul – Glasserman, Monte carlo methods in financial engineering, Gradute school of Business Columbia University [7] http://vi.wikipedia.org/wiki/Quy%E1%BB%81n_ch%E1%BB%8Dn [8] http:www.math.hcmus.edu.vn/ of /Hop%20dong%20quyen%20chon.pdf [9] www.soixam.com/ /lich+su+hinh+thanh+quyen+chon?& 48 ... đồng Việc lựa chọn ta xét phần Các phương pháp quyền chọn Mỹ Ta thấy: Giá trị quyền chọn mua quyền chọn bán đối nhau, hai quyền chọn có giá trị dương hợp đồng có giá trị Giá hành giá thực gốc... (cao hơn) giá thực At - the - money (ngang giá) Quyền chọn mua(bán) Một quyền chọn mua (bán) out-of-the-money giá tài sản sở với giá thực 2.1.3 Định nghĩa quyền chọn Mỹ Quyền chọn Mỹ (American... lệch mức giá gọi giá trị nội (intrinsic value) quyền chọn Giá trị nội lớn giá trị quyền chọn lớn Đối với quyền chọn mua, giá trị nội = giá trị hành – giá trị thực Ngược lại, quyền chọn bán, giá trị