Giải bài toán hình học bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ

I đặt vấn đề Lý chọn đề tài Cùng với phát triển đất nớc, nghiệp giáo dục đổi không ngừng Các nhà trờng trọng đến chất lợng toàn diện bên cạnh đầu t thích đáng cho giáo dục Với vai trò môn học công cụ, môn Toán đà góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn học khác Việc giảng dạy môn Toán nhà trờng không nhằm truyền thụ cho học sinh kiến thức Toán học mà vũ trang cho em công cụ sắc bén để nghiên cứu giới tự nhiên Dạy học nh để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để em có hứng thú, say mê học tập Đó câu hỏi mà thầy, cô giáo đặt cho Trong học Toán, đa số em học sinh ngại học Hình học, để học tốt Hình học đòi hỏi em học sinh phải có khả t tốt, tính sáng tạo cao, trí tởng tợng phong phú, đặc biệt thực say mê nghiên cứu, tìm tòi học hỏi Đối với giáo viên để truyền đạt đợc cho em học sinh hiểu đợc cách chặt chẽ hình học không đơn giản chút Trong phơng pháp chung để giải toán hình học cụ thể Có thể nói, có số phơng pháp để giải toán Hình học nh sau: Vẽ thêm yếu tố phụ Đặc biệt hoá Tổng quát hoá Phản chứng Tơng tự Bốn loại mệnh đề: Thuận - Đảo - Phản - Phản đảo mối quan hệ chúng Trong năm học 2009 2010, thân đợc phân công giảng dạy lớp 9, đặc biệt dạy đội tuyển HSG nhận thấy Vẽ thêm yếu tố phụ tơng đối hữu hiệu để giải toán Hình học Mục đích đề tài Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả t duy, lực tự học học sinh, tạo điều kiện cho em hứng thú , say mê học tập môn Nêu lên đợc số kinh nghiệm thân về: Giải toán Hình học cách vẽ thêm yếu tố phụ Thực trạng a) Thuận lợi: Học sinh đa số em dân tộc nên có tính cần cù, chịu khó Mặt khác lứa tuổi em thích nghiên cứu, tìm tòi, tìm hiểu phơng pháp giải tập Đợc quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện Ban giám hiệu tổ chuyên môn b) Khó khăn: Nhà trờng thuộc xà miền núi, đặc biệt khó khăn, đờng xá lại khó khăn học sinh học không đều, mạch kiến thức tiếp thu không liên tục Trình độ học sinh không đồng đều, chất lợng đại trà thấp Tính tự giác, khả t duy, sáng tạo hạn chế, nhiều học sinh cha chăm học II giải vấn đề Nội dung Trong tìm phơng pháp giải toán hình học, có lúc việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh toán có lời giải ngắn gọn vấn đề mà chúng tan cần phải đầu t suy nghĩ Vẽ thêm yếu tố phụ cách hợp lý phơng pháp tốt để giải toán hình học Thực tế cho thấy phơng pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học Tuỳ toán cụ thể mà có cách vẽ thêm đờng phụ hợp lí, song việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo toán dựng hình mà đà biết Trớc hết cần nhớ rằng: Vẽ thêm yếu tố phụ thờng là: Vẽ thêm điểm (trung điểm đoạn thẳng ); nối hai điểm đà cho đoạn thẳng; dựng thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc; vẽ thêm đờng thẳng song song hay vuông góc với đờng thẳng đà cho; vẽ tia phân giác góc; tạo góc góc cho trớc Tạo đoạn thẳng, góc trung gian vị trí thuận lợi hơn, làm xuất thêm quan hệ có liên quan đến yếu tố đà cho toán Tạo tam giác nhau, tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, nhờ chứng minh đợc đoạn thẳng bẳng nhau, góc Trớc dạy "Giải toán hình học phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ", giáo viên cần củng cố lại cho học sinh nắm vững toán dựng hình Các toán vẽ thêm đờng phụ phải dựa vào phép dựng hình Hệ thống tập đa phải từ dễ đến khó, vẽ thêm yếu tố phụ từ đơn giản đến phức tạp Trong giải pháp vẽ thêm yếu tố phụ, sau suy luận mẫu giáo viên để đa cách vẽ yếu tố phụ hợp lý đơn giản cần chọn lọc tập tơng tự cho học sinh tập suy luận độc lập t duy, tìm tòi sáng tạo để tìm lời giải hay Một số giải pháp thờng dùng để "giải toán cách vẽ thêm yếu tố phụ" 2.1 Vẽ thêm trung điểm, đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc Bài 1: Tam giác ABC có BC = 2AB, M trung điểm BC, D trung điểm BM Chøng minh r»ng AD = AC Híng dÉn giải: Cách 1: + Gọi F trung điểm AC Nèi FM ⇒ FC = AC A (1) + C/m ∆ ADB = ∆ CFM ( c.g.c ) F (2) B D M C + Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD = FC = AC (đpcm) * Nhận xét: Nhờ vẽ thêm trung điểm F AC mà ta tạo nên tam giác dựa vào tính chất đờng trung bình tam giác để chứng AC thông qua đoạn minh ∆ ADB = ∆ CFM, tõ ®ã dÉn ®Õn AD = thẳng trung gian FC Giờ ta đặt vấn đề, không vẽ thêm trung điểm AC mà vẽ thêm trung điểm AB sao? Cách 2: A Hớng dẫn giải: + Lấy F trung điểm cña AB Nèi FM ⇒ FM = F AC (1) + C/m ∆ ADB = ∆ MFB ( c.g.c ) B ⇒ AD = FM + Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD = D M C AC (đpcm) * Ta vẽ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc A Cách 3: + Vẽ DK cho D trung điểm AK Nối KB, AM; đó: AK = 2AD (1) ABKM hình bình hành B D + C/m ABK = ∆ CMA ( c.g.c ) ⇒ AK = AC C K (2) K + Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC ⇒ AD = M AC (đpcm) A B D M C Cách 4: + Vẽ AK cho A trung điểm BK Nèi KM, AM; ®ã: MK = 2AD (1) + C/m ∆ AMK = ∆ MAC ( c.g.c ) ⇒ MK = AC (2) + Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC ⇒ AD = AC (®pcm) C¸ch 5: K + VÏ AK cho A trung điểm MK Nối KB, BK = 2AD (1) A + C/m đợc KAB = ∆ AMC ( c.g.c ) ⇒ BK = AC (2) + Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC ⇒ AD = B D M C AC (®pcm) 2.2 Vẽ thêm đờng vuông góc với đờng cho trớc Bài 2: Cho M điểm thuộc miền hình chữ nhật ABCD Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 * NhËn xÐt: Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Pi-ta-go Vì vẽ đờng phụ qua M vuông góc với AB E cắt DC F Ta có MF DC Từ tạo vuông EAM, FMC, EBM, FMD hai hình chữ nhật AEFD, EBCF Dựa vào định lí Pi-ta-go thành lập hệ thức giúp ta tìm lời giải toán Lời giải: + Vẽ ME AB, E AB, EM cắt DC F A E B + Tứ giác AEFD hình chữ nhật nên EA = FD + Tứ giác EBCF hình chữ nhật nên EB = FC + áp dụng định lí Pi-ta-go vào M vuông EAM, FMC, EBM, FMD ta có: D MA2 = EM2 + EA2; MC2 = FM2 + FC2 F C MB2 = EM2 + EB2; MD2 = FM2 + FD2 Do ®ã: MA2 + MC2 = EM2 + EA2 + FM2 + FC2 Vµ: MB2 + MD2= EM2 + EB2 + FM2 + FD2 Mµ: EA = FD; FC = EB Suy ra: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 * Chóng ta h·y nghÜ xem trêng hỵp M nằm hình chữ nhật hệ thức có không? Bài 3: Cho ABC cân A, gọi I giao điểm đờng phân gi¸c BiÕt IA = cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Hớng dẫn giải: + Kẻ đờng vuông góc với AB A cắt BI K + KỴ AH A BK (H ∈BK) + Chøng minh AIK cân A (AKI = AIK ) Nên AK = 5 + Đặt HK = x ⇒ HI = x vµ BK = 2x + ABK vuông A nên: AK2 = HK.BK B x H I C K ⇔ ( )2 = x(2x + 3) ⇔ 2x2 + 3x – 20 = ⇔ x1 = 2,5; x2 = - ABK vuông A nên: AB2 = BH.BK = 5,5(5 + 3) = 44 ⇒ AB = 11 (cm) * Nhận xét: Nhờ tạo tam giác vuông đa đoạn thẳng cần tính (AB) trở thành cạnh tam giác vuông để tính độ dài cạnh Từ tính đợc độ dài AB Thông qua hệ thức lợng tam giác, lập đợc mối liên hệ độ dài đà biết với độ dài cần tính giúp ta giải đợc toán Chú ý: Cần biết kết hợp sử dụng kiến thức đại số vào giải toán hình học Bài 4: Cho đờng tròn (O;R), hai dây cung AB CD (AB > CD) Hai đờng thẳng AB CD cắt M Chứng minh rằng: MA + MB > MC + MD (1) * NhËn xÐt: V× AB > CD nên để chứng minh (1) Ta nghĩ ®Õn ®êng phơ OH Vµ OK CD (H ∈AB, K ∈CD ) AB A H B M Lêi gi¶i: + KỴ OH O AB, OK CD D (H ∈AB, K CD ) K + Vì AB > CD nên OH < OK BH > DK áp dụng định lí Pitago cho hai tam giác vuông MHO MKO ta đợc MH > MK + Lại có: MA + MB = MH + HA + MB = 2MH C + T¬ng tù: MC + MD = 2MK Suy ra: MA + MB > MC + MD * Tõ bµi toán trên, ta cho C D M ta đợc toán sau: Bài 5: Cho điểm A đờng tròn (O;R) Vẽ cát tuyến ABC tiếp tuyến AM với đờng tròn (O), M tiÕp ®iĨm Chøng minh r»ng AB + AC ≥ 2AM Gợi ý: Vẽ OH M BC (H BC) để có ®ỵc AB + AC = 2AH B H C A Bài toán đa việc chứng minh O AH AM Điều có đợc từ hai tam giác vuông MAO HAO 2.3 Kẻ đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc Bài 6: Gọi M, N lần lợt trung điểm hai đoạn thẳng cắt AC BD Đờng thẳng MN cắt BC AD lần lợt P Q Chứng minh rằng: PB QD = PC QA Hớng dẫn giải: Cách 1: + Từ B D kẻ đờng thẳng B Song song với AC cắt MN lần lợt A Tại E vµ F PBE PCM ⇒ PB BE = (1) PC CM E 10 C P M N Q F D QD DF QDF QAM ⇒ QA = AM (2) NBE = NDF (g.c.g) ⇒ BE = DF (3) + MỈt kh¸c: CM = AM (4) + Tõ (1), (2), (3) (4) PB QD = PC QA (đpcm) * Nhận xét: Nhờ vẽ đờng thẳng song song mà hình vẽ xuất cặp đoạn thẳng tỉ lệ với cặp đoạn thẳng đợc nêu đề Phơng pháp vẽ đờng thẳng song song phơng pháp thờng dùng để vận dụng định lí Talét; tam giác đồng dạng chứng minh hệ thức đoạn thẳng Vì AC BD có vai trò nh nên ta vẽ đờng thẳng song song với BD từ A C (hình vẽ) chứng minh tơng tự nh cách B A Cách 2: Từ A C kẻ đờng thẳng E Song song với BD, cắt MN lần F P M N Q Lợt E F C D Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // DC) có đờng cao b»ng 4cm, ®êng chÐo BD = 5cm, hai ®êng chéo AC BD vuông góc với Tính diện tÝch h×nh thang ABCD * NhËn xÐt: V× h×nh thang ABCD có hai đờng chéo vuông 11 Góc nên để tính diện tích hình thang ta cần A tính ®é dµi AC B NhËn thÊy r»ng ®êng phơ BE // AC, E DC giúp ta tính đợc AC Hớng dẫn giải: + Từ B kẻ BE song song với AC (E DC) D ABEC hình bình hµnh H C E ⇒ AC = BE vµ tam giác BDE vuông B 1 BE = = + 2 BH BD BE ⇒ AC = BE = 20 BD BH = (cm) 2 BD − BH 20 (cm) VËy S ABCD = AC.BD = 50 (cm ) Bài 8: Cho đờng tròn (O;R) nội tiếp tam giác ABC, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB, AC lần lợt D, E Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD; CM cắt DE I Chøng minh r»ng IM DM = IC CE Gỵi ý: Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến định lí Ta lét cần làm xuất "hai đờng thẳng song song" Cách 1: A M Vẽ CK // AB, K ∈DE D E IM DM = Ta cã: IC CK K I O Từ chứng minh đợc CE = CK B C 12 A C¸ch 2: M H VÏ MH // DE, H ∈AC Ta cã: D DM HE = ; AD = AE AD AE E I IM HE = ; ®ã DM = HE IC CE O Từ suy điều phải chứng minh B C A C¸ch 3: M VÏ ML // AC, L ∈DE D IM ML = Ta cã: , DM = ML IC CE E L I Tõ ®ã suy điều phải chứng minh O B C 2.4 Vẽ thêm đờng phân giác Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh tg ABC AC = AB + BC Lời giải: + Vẽ đờng phân giác BD tam giác ABC, theo tính chất đờng phân giác tam giác, ta có: AD DC AD AD + DC AC = ⇒ = = AB BC AB AB + BC AB + BC A D 13 B C ABD cã A = 900 nªn tgABD = Do ®ã: tg AD AB ABC AC = AB + BC Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đờng tròn (O;R), AH đờng cao Chøng minh r»ng BAC vµ HAO cã cïng mét tia phân giác Lời giải: Vẽ tia phân giác Ax HAO, vÏ ®êng kÝnh AD A Ta chøng minh: BAH = DAC Cã: ACD = 900 (gãc néi tiÕp ch¾n nửa đờng tròn) DAC + ADC = 900 (1) O Trong tam giác vuông AHB: BAH + ABH = 90 (2) L¹i cã: ABC = ADC (gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AC) B Hay ABH = ADC (3) H C D Tõ (1), (2), (3) ⇒ BAH = DAC x VËy BAC vµ HAO cã cïng mét tia phân giác Ax 2.5 Vẽ thêm tiếp tuyến chung hai đờng tròn Đối với toán hình học có hai đờng tròn tiếp xúc nhiều ta nên vẽ thêm tiếp tuyến chung hai đờng tròn làm xuất yếu tố liên quan đến hai đờng tròn, từ tìm đến lời giải toán dễ dàng Bài 11: Cho đờng tròn (O/; R/) tiếp xúc với đờng tròn (O; R) x A Vẽ dây cung AB, AC (O), AB AC cắt (O /) lần lợt D B vµ E (D ≡ A, E ≡ A) Chøng minh r»ng: BC // DE D Híng dÉn gi¶i: + VÏ tiÕp tuyÕn chung xAy A O/ O / + XÐt (O ) cã yAE = ADE (cïng ch¾n cung AE) E 14 y C + XÐt (O) cã yAC = ABC (cïng ch¾n cung AC) Suy ADE = ABC ⇒ BC // DE Bµi 12: Cho hai đờng tròn (O; R) (O/; R/) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn (B (O); C (O/) ) Chøng minh r»ng BAC = 900 Híng dÉn gi¶i: + Kẻ tiếp tuyến chung A hai đờng tròn (O) (O/) cắt BC D + Ta có DB = DA A DC = DA + ABC cã AD đờng trung tuyến AD = BC nên ABC vuông A O O/ C D B Suy ra: BAC = 90 2.6 VÏ thêm đờng kính đờng tròn Trong số toán hình học đờng tròn, nhiều vẽ đờng phụ đờng kính đờng tròn làm xuất yếu tố mới, từ A tìm đợc lời giải dễ dàng Bài 13: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c néi tiếp đờng tròn (O; R), AH đờng cao tam gi¸c ABC, AH = h a Chøng minh r»ng bc = 2Rha Hớng dẫn giải: O + Vẽ đờng kÝnh AD + Ta cã ACD = 900, ABH = ADC B H C 15 D + XÐt HBA vµ CDA cã: AHB = ACD = 900 ABH = ADC Do ®ã: ⇒ HBA ~ CDA AH AB = ⇒ AB AC = AD AH AC AD VËy bc = 2Rha (đpcm) Một số tập tham khảo (Tài liệu: Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số toán hình học Nguyễn Đức Tấn) Bài 1: Cho tam gi¸c ABC cã AC > AB C¸c điểm D E theo thứ tự nằm cạnh AB AC cho BD = CE Chứng minh điểm D, E thay đổi vị trí (vẫn thoả mÃn điều kiện trên) đờng trung trực DE luôn qua điểm cố định Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, M điểm thuộc cạnh BC Chứng minh 2MA2 = MB2 + MC2 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân A, AH đờng cao tam giác ABC D điểm đoạn thẳng HC Vẽ hình chữ nhật AHDO, vẽ đờng tròn tâm O bán kính OD cắt tia đối tia AB E, cắt cạnh AC F Chứng minh AE = AF Bài 4: Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB dây CD (C, D không trùng với A, B) Gọi M giao điểm tiếp tuyến C, D đờng tròn (O), AC cắt BD N Chứng minh MN AB Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A có AB cố định C chuyển động nửa mặt phẳng bờ AB Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AC CB M N Chứng minh MN qua điểm cố định 16 iii Kết luận Kết đạt đợc Giải toán hình học công việc không đơn giản, nhng toán học hấp dẫn ta khó khăn ý tởng dẫn đến kết toán Tìm đợc đờng nối từ giả thiết ®Õn kÕt ln lµ mét viƯc khã nhng cịng lµ điều lý thú, trình rèn luyện cho ta t duy, kỹ thói quen phân tích, suy luận cách đắn, phẩm chất đển học tập, nghiên cứu sáng tạo Qua thời gian dạy đội tuyển toán 9, thân nhận thấy: Khi dạy "Giải toán hình học phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ" học sinh đà tiếp thu kiến thức cách chủ động hơn, có hệ thống, khả t duy, quan sát hình đà nâng lên rõ dệt Nhiều em đà biết phân tích hình, có cách vẽ thêm đờng phụ cách hợp lý dẫn đến có lời giải hay, bắt đầu có hứng thú với hình học, xoá cảm giác khó, phức tạp mà trớc em quan niệm hình học Qua rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác đợc hình thành học sinh thấy đợc hình học thật phong phú, đa dạng lý thú không đơn điệu, giúp học sinh say mê, hứng thú học hình học Với hình học cho kiểm tra thử nghiệm hai lớp 9A 9C, lớp 9C đợc học phơng pháp kết cụ thể nh sau: Bảng 1: Chất lợng kiểm tra lớp 9A Sĩ Loại giỏi SL % Loại SL % Lo¹i TB SL % 17 Lo¹i yÕu SL % Lo¹i kÐm SL % sè 35 2,90 14,3 20 57,1 25,7 0 B¶ng2 : ChÊt lợng kiểm tra lớp 9C Sĩ số 34 Loại giỏi SL % 11,7 Loại SL % Lo¹i TB SL % 11 15 32,4 44,1 Lo¹i yÕu SL % 11,7 Lo¹i kÐm SL % 0 Bài học kinh nghiệm Hình học phân môn khó, dạy "Giải toán hình học phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ" cần cho học sinh nắm toán dựng hình vẽ thêm yếu tố phụ phải dựa sở toán dựng hình Để học sinh nắm chăc kiến thức có hứng thú học tập, giáo viên phải chän läc hƯ thèng kiÕn thøc, hƯ thèng bµi tËp theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, giúp họ sinh phát huy khả suy luận tính độc lập sáng tạo Với toán cụ thể quy tắc tổng quát, nhiên dạy học sinh giáo viên cần đặc điểm toán để có cách vẽ đờng phụ cách hợp lý học sinh liên hệ đợc gặp có đặc điểm tơng tự Trên vài kinh nghiệm đợc rút dạy hình học cho đội tuyển học sinh giỏi học sinh lớp Chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tính khách quan Rất mong đợc lĩnh hội thông tin đánh giá để thân tiếp tục nghiên cứu 18 bổ sung, đồng nghiệp đạt đợc mục đích nâng cao chất lợng, hiệu công tác giảng dạy đáp ứng đợc yêu cầu đổi giai đoạn nay./ Yên Thắng, ngày 20 tháng năm 2010 Ngời viết Nguyễn Quèc Trëng 19 ... häc kinh nghiƯm Hình học phân môn khó, dạy "Giải toán hình học phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ" cần cho học sinh nắm toán dựng hình vẽ thêm yếu tố phụ phải dựa sở toán dựng hình Để học sinh nắm chăc... yếu tố phụ cách hợp lý phơng pháp tốt để giải toán hình học Thực tế cho thấy phơng pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học Tuỳ toán cụ thể mà có cách vẽ thêm đờng phụ hợp lí,... vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh toán có lời giải ngắn gọn vấn đề mà chúng tan cần phải đầu t suy nghĩ Vẽ thêm yếu tố phụ