Chuyên đề 5 giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Chuyên đề TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC ĐỘ 9-10 ĐIỂM Dạng Định m để GTLN-GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 1: Tìm m để max y  f ( x )  m  a  ;   ( a  0) Phương pháp: Cách 1:Trước tiên tìm max f ( x )  K ;  ;  Kiểm tra max  m  K , m  k   f ( x )  k ( K  k )  ;  m K  m k m K mk K k   2 TH1: K k  m  k  a  m  a  k  a Để max y  a     m   a  k ; a  K   ;   m  K  a m  a  K TH2: K k  a  m  Cách 2: Xét trường hợp  m  K  a TH1: Max  m  K    m  K  m  k  m  k  a TH2: Max  m  k    m  k  m  K Dạng 2: Tìm m để y  f ( x )  m  a  ;   ( a  0) Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ; f ( x )  k ( K  k )  ;   ;  m  k  a m  K  a m  a  k m  a  K Để y  a      Vậy m  S1  S2  ;  m  k  m  K  m   k m   K Dạng 3: Tìm m để max y  f ( x )  m không vượt giá trị M cho trước  ;   Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ;  ;  f ( x )  k ( K  k )  ;  m  k   M  M  k  m  M  K Để max y  M    ;   m  K  M Dạng 4: Tìm m để y  f ( x )  m không vượt giá trị a cho trước  ;   Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ;  ;  f ( x )  k ( K  k )  ;  Để m  k  a m  K  a m  a  k m  a  K y  a     ( m  K )( m  k )       K  m  k  ;    m  k  m  K  m   k m   K Dang 5: Tìm m để max y  f ( x )  m đạt  a ;b  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ; f ( x )  k ( K  k )  a ;b  a ;b Đề hỏi tìm m  m   K k K k Đề hỏi tìm max y  giá trị  a;b 2 Dạng 6: Tìm m để y  f ( x)  m đạt  a;b Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ; f ( x )  k ( K  k )  a ;b  a ;b Đề hỏi tìm m  ( m  K )( m  k )   K  m  k Đề hỏi tìm min y  giá trị a;b Dạng 7: Cho hàm số y  f ( x )  m Tìm m để max y  h.min y ( h  ) Min  max  a ;b  a ;b  Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ; f ( x )  k ( K  k )  a ;b  a ;b K m  k m TH1: K  m  h k  m  K     m  S1  m cung dau k  m k m  K m  m  S2 TH2: k  m  h K  m  K  m cung dau k  m Vậy m  S1  S2 Dạng 8: Cho hàm số y  f ( x)  m Phương pháp: Trước tiên tìm max f ( x )  K ; f ( x )  k ( K  k )  a ;b  a ;b BT1: Tìm m để y  max y    m  K  m  k   a ;b a ;b BT2: Tìm m để y *max y    m  K * m  k    a ;b  Câu  a ;b  (Đề Tham Khảo 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y  x3  x  m đoạn  0;2 Số phần tử S A B C Lời giải D Chọn D Xét hàm số f ( x )  x  3x  m , ta có f  ( x )  3x  Ta có bảng biến thiên f ( x) : TH :  m   m   Khi max f ( x )   (   m)   m 0;2  m   m  1 (loại) 2  m  TH :     m  Khi : m    m    m m   max f ( x )   (   m)   m 0;2  m   m  1 (thỏa mãn) m  TH :    m  Khi : m    m    m  max f ( x )   m 0;2   m  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  m   m 1 (thỏa mãn) TH 4:   m   m  Khi max f ( x )   m 0;2  m   m 1 (loại) Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f ( x )  x3  3x  m đoạn  0;3 16 Tổng tất phần tử S là: A  16 B 16 C  12 Lời giải D 2 Chọn A Xét u  x3  3x  m đoạn  0;3 có u    x    x   0;3 max u  max u 0 , u 1 , u 3  max m, m 2, m 18  m  18  0;3 Khi  min u  u 0 , u 1, u 3  m, m 2, m 18  m   0;3   m  18  16    m  2   m  18  m  Suy M ax f  x   max  m  , m  18   16     m  14  0;3   m   16      m   m  18 Do tổng tất phần tử S  16 Câu xm ( m tham số thực) Gọi S tập hợp x 1 tất giá trị m cho max f ( x )  f ( x )  Số phần tử S (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số f ( x )  0;1 0;1 A B C Lời giải D Chọn B xm liên tục  0;1 x 1 Khi m  hàm số hàm nên max f ( x )  f ( x )  Do hàm số f ( x )  0;1 0;1 Khi m  hàm số đơn điệu đoạn  0;1 nên + Khi f ( ) ; f (1) dấu max f ( x )  f ( x )  f ( )  f (1)  m  0;1 0;1 m 1 + Khi f ( ) ; f (1) trái dấu  m 1  f ( x )  , max f ( x )  max f ( ) ; f (1)  max  m ;  0;1 0;1        m  1 TH1: f ( ) f (1)   m(m  1)    m    m  m 1 max f ( x )  f ( x )   m  2 (thoả mãn) 0;1 0;1 m    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 TH2: f ( ) f (1)   m(m  1)   1  m  m 2  m  2  max f ( x )  f ( x )    m    m  5 (không thoả mãn)  0;1 0;1 2   m  Số phần tử S Câu (THPT Đông Sơn - Thanh Hóa 2019) Tìm m để giá trị lớn hàm số y  x3  3x  2m  đoạn  0; 2 nhỏ Giá trị m thuộc khoảng nào?   A   ;  1   2  B  ;  3  C  1;0 D ( 0;1) Lời giải Chọn D Xét hàm số y  f ( x )  x3  3x  2m  đoạn  0;   x  1   0; 2 Ta có f ' ( x )  x     x 1 Ta có f ( )  2m  , f (1)  2m  f ( )  2m  Suy max f ( x )  max  2m  ; 2m  ; 2m    max  2m  ; 2m    P 0;2 Trường hợp 1: Xét 2m   2m   4 ( 4m  )   m  1 Khi P  2m   , m  Suy Pmin   m  2 Trường hợp 2: Xét 2m   2m   4 ( 4m  )   m  Câu Khi P  2m   , m  Suy Pmin không tồn Vậy m  (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tính tổng tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y  x  x  m đoạn  1;2  A 1 Ta có y   B C 2 Lời giải D 2x  , y   x  x  2x  m Do u cầu tốn tương đương max  y ( 1) , y ( ) , y (1)   max   m , m , m    + Trường hợp m  1 , ta có max   m , m , m      m   m  + Trường hợp m  1 ta có max   m , m , m     m    m  4 Vậy tổng giá trị m 2 Câu (THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho hàm số y  x  x  a  ( a tham số ) Tìm a để giá trị lớn hàm số đoạn  2;1 đạt giá trị nhỏ A a  B a  C a  Lời giải D a  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hàm số cho xác định liên tục đoạn  2;1 Ta có: y  x  x  a   ( x  1)  a  ( ) Đặt t  ( x  1) , x   2;1  a   0;  Lúc hàm số trở thành: f ( t )  t  a  với t   0; 4 Nên max y  max f ( t )  max x 2;1 t0;4 t0;4  f (0); f (4)  tmax  a  ; a  1  0;4    a 1  a  a 1   a  2 2 Đẳng thức xảy a   a    a   Do giá trị nhỏ max f ( t ) a  t 0;4  Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị x  mx  m lớn hàm số y  1;2  Số phần tử tập S x 1 A B C D Lời giải Chọn D Xét y   x   1;2 x2  x x  mx  m Ta có: f  ( x )  , f ( x)    x 1 ( x  1)  x  2  1;2 Mà f (1)  2m  3m   2m  3m   ,f ( )   max y   ;  x1;2 3    m  2m  Trường hợp 1: max y  2 x1;2 m    • Với m  3m  17    (loại) 3m    (thỏa mãn) • Với m     m  3m   3m  Trường hợp 2: max y  2  x1;2 3m   6  m   10  • Với m  2m     (thỏa mãn) • Với m   10 2m  17    (loại) Vậy có giá trị m thỏa mãn Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (HSG Bắc Ninh 2019) Xét hàm số f ( x )  x  ax  b , với a , b tham số Gọi M giá trị lớn hàm số  1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ được, tính a  2b A B C 4 D Lời giải Xét hàm số f ( x )  x  ax  b Theo đề bài, M giá trị lớn hàm số  1;3  M  f ( 1)  M  1 a  b   Suy  M  f ( 3)   M   3a  b  M   a  b   3a  b  1  a  b  M  f (1)  M  1 a  b     a  b   3a  b  (   a  b )  M   M  Nếu M  điều kiện cần  a  b   3a  b  1  a  b   a  b ,  3a  b ,   a  b   3a  b  1  a  b  a  2  1  a  b dấu   1  a  b   3a  b  1  a  b  2  b  1 a  2 Ngược lại,  ta có, hàm số f ( x )  x  x   1;3  b  1 Xét hàm số g ( x )  x  x  xác định liên tục  1;3 g  ( x )  x  ; g  ( x )   x  1  1;3  M giá trị lớn hàm số f ( x )  1;3  M  max g ( 1) ; g ( 3) ; g (1)  =2 a  2 Vậy  Ta có: a  2b  4  b  1 Câu Cho hàm số y  x3  x  ( m  1) x  27 Giá trị lớn hàm số đoạn  3; 1 có giá trị nhỏ A 26 B 18 C 28 D 16 Lời giải Chọn B Xét u  x3  x  ( m  1) x  27 đoạn  3; 1 ta có: u  3x  x  m2   0, x Do A  max u  u ( 1)  26  m ; a  u  u ( 3 )   3m  3; 1  3; 1  Do M  max y  max 26  m2 ,  3m2 3;1  4M  26  m   3m  72 Vậy M  18 Dấu xảy 26  m   3m  18  m  2 Câu 10 (Sở Quảng Nam - 2018) Có giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y  x  x  m  đoạn  2;1 ? A B C D Lời giải f ( x )  x  x  m  có f  ( x )  x  , f  ( x )   x  1 Do max x  x  m   max  m  ; m  ; m    2;1 Ta thấy m   m   m  với m   , suy max y m  m   2;1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  m    m 1 Nếu max y  m   2;1  m   m   m    m 5 Nếu max y  m   2;1  m   m  Vậy m  1; 5 Câu 11 (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y  x3  3x  x  m đoạn  2;  16 Số phần tử S A B C D Lời giải Xét hàm số f ( x )  x  x  x  m đoạn  2; 4  x  1 f   3x  x  ; f  ( x )    (thỏa mãn) x  f ( 2 )  2  m; f ( 1)   m; f ( 3)  27  m; f ( )  20  m  f ( x )  m  27; max f ( x )  m   max f ( x )  max  m  27 ; m    2;4 2;4  2;4 +) Trường hợp 1: Nếu m  27  m  (*)  m  11  max f ( x )  m   m   16   Đối chiếu điều kiện (*)  m  11  2;4  m  21 +) Trường hợp 1: Nếu m  27  m  (**)  m  43  max f ( x )  m  27  m  27  16   (Không thỏa mãn điều kiện (**) )  2;4  m  11 Vậy S  11  S có phần tử Câu 12 (Chuyên Hạ Long 2018) Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn 19 hàm số y  x  x  30 x  m  20 đoạn  0; 2 không vượt 20 Tổng phần tử S A 210 B 195 C 105 D 300 Lời giải Xét hàm số g ( x )  19 x  x  30 x  m  20 đoạn  0; 2  x  5   0; 2  Ta có g  ( x )  x  19 x  30 ; g  ( x )    x   x    0; 2  Bảng biến thiên g ( )  m  20 ; g ( )  m  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  m  20  20  g ( )  20   m  14 Để max g ( x )  20    0;2  g ( )  20  m   20 Mà m   nên m  0;1; 2; ;14 Vậy tổng phần tử S 105 Câu 13 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y  sin x  2sin x  m Số phần tử S A B B D Lời giải Chọn A Đặt sin x  t ( t   1;1)  y  t  2t  m Xét hàm số f ( t )  t  2t  m có f ' ( t )  2t    t  1  1;1 max f ( x )  max m  3; m  1  m    1;1 Có f ( 1)  m  3, f (1)  m  Khi  min f ( x )  m  3; m  1  m   1;1 TH1: m   m   m  1  m  2 ( l )  max f ( x )  m      m  4 ( l ) TH1: m   m   m  1 m  ( l )  max f ( x )  m      m  ( l )  Không tồn m thỏa mãn Câu 14 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hàm số y  x  ax  a , với a tham số thực Gọi M , m lần x 1 lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn 1; 2 Có giá trị nguyên tham số a để M  m ? A 10 B 14 C D 20 Lời giải Chọn B x  ax  a x4 Xét hàm số y   a x 1 x 1  3x  x3 x    Ta có y   y    ( x  1) x  Bảng biến thiên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  16   16  Dựa vào bảng biến thiên suy M  max  a  ; a   m   a  ; a        16 16 M  a a  3 1  Trường hợp a    a     2 m  a   a   2 16 1 13   2 a    a  2  13 Kết hợp điều kiện, ta có   a   có giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện  1  M  a   a  16 16  Trường hợp a    a     3 m  a  16  a  16  3 Khi M  2m  a  16  61    a    a   3  61 16 Kết hợp điều kiện ta có   a   Suy có giá trị nguyên a thỏa mãn  a   16 Trường hợp   a a  16   16 16 35 Nếu a   a   a   a   a   3 12   M  a  16  67   M  2m  a    a    a    3 18  m  a  16  16 67 Kết hợp điều kiện, ta có   a   Suy có giá trị nguyên a thỏa mãn điều kiện 18 16 16 35 Nếu a   a   a   a   a   3 12 16   M  a  16 1 19   M  2m  a     a    a    2  m   a   19 Kết hợp điều kiện, ta có   a   Suy có giá trị nguyên a thỏa mãn điều kiện Vậy có 14 giá trị nguyên a thỏa mãn điều kiện M  2m  a  Câu 15 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y  x  14 x  48 x  m  30 đoạn 0;2 không vượt 30 Tổng giá trị phần tử tập hợp S bao nhiêu? A 120 B 210 C 108 Lời giải D 136 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  14 x  48 x  m  30 hàm số xác định liên tục  0;2 Với x   0; 2 ta có f '( x)   x  28 x  48   x  Đặt f ( x)  Suy max f ( x)  max  f (0) ; f (2)   0;2   m  30  30   m  14  m  30  m  30  30  Theo đề max f ( x)  30    0;2  m  14  30  m  14  30    m  30  m  14 30  m  30  30 0  m  60     m  16 30  m  14  30 44  m  16 Do m    m  S  0;1; 2; ;16 Vậy tổng tất 17 giá trị tập S 136 Câu 16 (Chuyên Lương Văn Tỵ Ninh Bình 2020) Cho hàm số 4x 3x 2x x f ( x )  3e  4e  24e  48e  m Gọi A , B giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho  0;ln 2 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc  23;10) thỏa mãn A 33 A  3B Tổng phần tử tập S B C 111 Lời giải D 74 Chọn A Đặt t  e x , x   0;ln 2  t  1;2 Xét hàm số h ( t ) | 3t  4t  24t  48t  m | 1;2 Đặt g ( t )  3t  4t  24t  48t  m t  2  [1; 2] g ( t )  12t 12t  48t  48 ; g  ( t )   t  ; t  g (1)  m  23 , g ( 2)  m  16 TH1: 16  m  10  m  23  m  16   A  max h ( t )  m  23 ; B  h ( t )  m  16 1;2 1;2 16  m  10 16  m  10 25     m  10 Suy ra::  25 m  23  3m  48 m   Do đó: có 22 giá trị TH2: 23  m  16  m  23  m  23, | m  16 | m  16  m  23  m  16   16  m  19.5 m  16  Dễ thấy B  Suy   (VL)  m  23  m  16  19.5  m  23   m  23  Vậy S  12; 11; ; 0;1; 9 tổng phần tử tập S 12  ( 11)  ( 10 )  33 Câu 17 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hàm số y  x  x3  x  a Có số thực a để y  max y  10 ? 1;2 A 1;2 B C D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  cos x   Ta có: f  ( x )   cos x  cos x   cos x  cos x     cos x    Do x  00 ;900 nên ta nhận cos x   x  60 Ta có bảng biến thiên: 2 ( ) f ( x)  Từ bảng biến thiên ta thấy: max 0 (  max S  108 ( m Câu 13 ;90 ) 3 đạt x  600 ) góc đáy CD hình thang 60 ( C  D  60 ) 0 (Sở GD Quảng Nam - 2019) Cho nửa đường trịn đường kính AB  hai điểm C , D thay đổi nửa đường tròn cho ABCD hình thang Diện tích lớn hình thang ABCD A B 3 C D 3 Lời giải Chọn B Gọi H hình chiếu vng góc D lên AB , I trung điểm đoạn CD O trung điểm AB Đặt DH  x ,  x  Ta có DC  DI  2OH  OD  DH   x Diện tích hình thang ABCD S  f ( x )  Ta có f  ( x )   x2   x2 1 x ( AB  CD ) DH ( )    x2 x f  ( x )    x   x  (*) t  1 Đặt t   x , (điều kiện t  ) phương trình (*) trở thành 2t  t     t   2 3 ta có  x   x   x   2 Bảng biến thiên t  1 loại t  Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Vậy diện tích lớn hình thang ABCD 3 Câu 14 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình 2018) Một người đàn ơng muốn chèo thuyền vị trí A tới điểm B phía hạ lưu bờ đối diện, nhanh tốt, bờ sông thẳng rộng km (như hình vẽ) Anh chèo thuyền trực tiếp qua sơng để đến C sau chạy đến B , hay chèo trực tiếp đến B , chèo thuyền đến điểm D C B sau chạy đến B Biết anh chèo thuyền km/ h , chạy km/ h quãng đường BC  km Biết tốc độ dịng nước khơng đáng kể so với tốc độ chèo thuyền người đàn ông Tính khoảng thời gian ngắn (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B A B C 73 D  Lời giải  Cách 1: Anh chèo thuyền trực tiếp qua sơng để đến C sau chạy đến B Thời gian chèo thuyền quãng đường AC :  0,5 (giờ) Thời gian chạy quãng đường CB :  (giờ) Tổng thời gian di chuyển từ A đến B 1,5 (giờ)  Cách 2: chèo trực tiếp quãng đường AB  32  82  73 73 h  26  Cách 3: Gọi x ( km ) độ dài quãng đường BD ;  x ( km ) độ dài quãng đường CD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thời gian chèo thuyền quãng đường AD  x  là: x2  (giờ) 8 x (giờ) x2   x Tổng thời gian di chuyển từ A đến B f ( x )   x 9 8 x  Xét hàm số f ( x )  khoảng ( 0; ) x  ; f  ( x )   x2   4x  x  Ta có f  ( x )  x 9 Bảng biến thiên Thời gian chạy quãng đường DB là: Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn để di chuyển từ A đến B  Vậy khoảng thời gian ngắn để người đàn ông đến B  h  20 h  20 Dạng Dùng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Câu (HSG 12 - Sở Quảng Nam - 2019) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  0, y  0, z  , a a x  y  z  Biết giá trị lớn biểu thức P  xyz với a, b  * phân số tối b b giản Giá trị 2a  b A B 43 C D Lời giải Chọn D 2  x y  2 z  Ta có: P  xyz    z    z  ( z  z  z )     Xét hàm số f ( z )  ( z  z  z ) 1; 2  z  (loai )  Ta có: f  ( z )  (  z  z ) ; f  ( z )    z  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có: P  Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy Pmax Câu z  1     a  1; b   2a  b   x  y  (Chuyên Bắc Giang Nam 2019) Cho x  xy  y  Giá trị nhỏ P  x  xy  y bằng: 1 A B C D Lời giải Chọn A P x  xy  y x  xy  y Xét   2 x  xy  y +nếu y  x2  Do P  x  suy P  +nếu y  ta chia tử mẫu cho y ta x x 1      2 y y P x  xy  y      2 2 x  xy  y  x  x 1       y  y Đặt t  P 1 t  t2 x ,  1 t  t2 y 1 t  t2 2t  Xét f ( t )   f '(t )  1 t  t2 (1  t  t ) t  f '(t )    t  1 Bảng biến thiên Khi Câu P  P  3 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho x , y số thực thỏa mãn x  y  x   y  Gọi M , m giá trị lớn nhỏ P  x  y  ( x  1)( y  1)   x  y Tính giá trị M  m A 42 B 41 C 43 Lời giải D 44 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ( x  y)  ( ) x 1  y   3( x  y )   x  y  P  x  y  ( x  1)( y  1)   x  y  ( x  y )  ( x  y )    ( x  y ) Đặt t   ( x  y ) , t  1;2 Ta có: f ( t )  (  t )  (  t )   8t  t  10t  8t  26 f  ( t )  4t  20t  t   1; 2  t  f  (t )     t  1   1; 2  t  2t   t  1   1; 2 f (1)  25; f ( )  18 Suy m  f ( t )  f ( )  18; M  max f ( t )  f (1)  25 1;2 1;2 Vậy M  m  43 Câu (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị -2019) Cho x , y  thỏa mãn x  y  P A đạt giá trị nhỏ Tính x  y  x 4y 153 100 B 2313 1156 Lời giải C D 25 16 Chọn A 3 suy y   x Ta có:  x, y  2 4  3 Xét hàm P ( x )   khoảng  0;  , ta có:   x 3  x  4x  2 4  x    4 P ( x )    x (  x )2 Từ x  y  P ( x )   (6  4x)    x   4x 2 x   x   x   ( )  x  4x   x2  x   3 Bảng biến thiên P ( x )  0;  :  2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy P ( x )   3  0;   2 25 x  Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ biểu thức TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Với x  y  10 25 Như P  x  , y  10 153 Khi đó, x  y  100 Câu (Chuyên Hà Tĩnh - 2019) Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn x  y  xy  hàm số  5x  y   f ( t )  2t  3t  Gọi M , m tương ứng GTLN GTNN Q  f   Tổng  x y4  M  m bằng: A 4  B 4  C 4  D 4  2 Lời giải Chọn C 5x  y  2 Đặt t  Theo giả thiết, x  xy  y   ( x  y )  ( x  y )  x y4 4   x  cos   sin   cos   x  y ( )   cos  x  y   nên ta đặt    (    2 ) sin   ( x  y )  x  y  2sin   y   cos   sin     Khi đó, t  cos   4sin    ( t  ) sin   3.cos    2t 2sin   ( Phương trình (1) có nghiệm  ( t  )   ) (1)  (1  2t )  3t      t  Xét hàm số Q  f ( t )  2t  3t  1, t    ;  t     ;    f  ( t )  6t  6t Cho f  ( t )    t     ;     ( ) f   5  ; f ( )  ; f (1)  ; f ( )  5   M  max Q  max f ( t )  f ( )   ;      m  Q    f ( t )  f   5   ;   Vậy M  m  4  ( Câu ) (Sở Lào Cai - 2019) Cho hàm số f ( x )  x  ax3  bx  cx  Biết đồ thị hàm số y  f ( x ) có giao điểm với trục hoành Bất đẳng thức sau đúng? A a  b  c  B a  b  c  4 C a  b  c  3 Lời giải D a  b  c  Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm x  ax3  bx  cx   (1) Nhận xét x  nghiệm Với x  phương trình trở thành (1)  ax  bx  c    x3   ( x  ) x  2  1 2 2  x    ( ax  bx  c )  ( a  b  c )( x  x  1) x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2  1   x   x   x x    2  a b c   x  x  x2   x2 t2 t  2t t  x2   t   f (t )  , t   f ' ( t )   0, t  2 x t 1 ( t  1) Bảng biến thiên Vậy để đồ thị hàm số y  f ( x ) có giao điểm với trục hồnh a  b2  c  Câu (THPT Trần Nhân ( Tông Cho 2018) hai số thực x, y thỏa ) mãn: x   y xy  x  xy   Tìm giá trị nhỏ P  x3  y  xy  ( 3x  1) ( x  y  ) A 296 15  18 B 36  296 15 C 36  D 4  18 Lời giải ( ) Ta có x   y xy  x  xy    27 x  x  ( xy  ) xy   xy  Xét hàm f ( t )  t  2t với t  ( 0;  ) có f ' ( t )  3t   0t  ( 0;  ) nên hàm số liên tục đồng biến ( 0;  ) Khi ta có x  xy   x  x  xy  Với x   5 ( l ) với x  P  x3  y  xy  ( 3x  1) ( x  y  )  x3  y  xy  ( x  3) ( x  y  )  x  y  xy  ( xy  )( x  y  )  x  y  x y  xy  ( x  y )   ( x  y)  2( x  y)  Mà x  y  x  9x2  5 5  4x   x  Đặt t  x  y t  3x 3x 3x 3 Xét f ( t )  t  2t  với t  5 Khi f  ( t )  3t   với t  3   36  296 15 Do f ( t )  f      Suy P  Câu 36  296 15 36  296 15 Vậy GTNN P 9 (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho x, y  x  y   đạt giá trị nhỏ Khi x 4y 25 17 A x  y  B x  y  32 16 cho biểu thức P C x  y  25 16 D x  y  Lời giải Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 13 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 5 Từ x  y   y   x , nên P   4 x  4x Xét hàm số P   với  x  x  4x P   4  ; P   x  (  x ) 2 x (5  4x )   5  x  1  0;       5  x    0;   4  Bảng biến thiên Như vậy: P  x  ; y  Khi x  y  Câu 17 16 (Xuân Trường - Nam Định -2018) Cho x, y hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ( xy  1) xy   y   x  Tìm giá trị lớn biểu thức y x y x  2y ? P  2 6( x  y) x  xy  y ( )  30 A ( xy  1) ( B  30 ) xy   y   x   y ( xy  1) ( ) xy   y  ( ) (  30 Lời giải C 57 30 y xy   y ( D )0 ) xy   y  y ( xy  1)  xy   y      xy   y   xy   y  x 1 1 1         y y y  y 2 x    Dấu đạt y  , x  y x y x  2y t 1 t 2 x  1 P    với t  t   0;  2 y 6( x  y)  4 t  t  ( t  1) x  xy  y t 1 Ta có t t 3 Thật  (8t  ) với t   0;  27  4 2 ( 4t  1) ( 20t  25t  )  1   với t   0;  (8t  )   2 729 t t 3  4 t  t  27 t 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t2  f (t ) (8t  )  27 6t  16 5t  32 5t  16  27  1  với t   0;  Khi f  ( t )  54  4 ( t  1) P Vậy P  Câu 10 t 2    10  f (t )  f    , dấu đạt x  , y  ( 8t  )  27 6t  30 4 ( x   y  Giá trị D 148 (THPT Lê Xoay - 2018) Cho số thực x , y thỏa mãn x  y   lớn biểu thức M  A  9476 243 x  y 4  ( x  y  1) 7 x y  3( x  y 2 ) 193 Lời giải B 76 ) C Điều kiện x  2; y  3 x  y 1  ( ) ( ) x   y   ( x  y  1)  x  y   x  y  (*) Vì x  y   x  y  nên từ (*) suy ( x  y  1)  ( x  y  1)  x  y  Vì x  y   nên từ (*) suy x  y 1   x  y 1   x  y  1  ( x  y  1)     x  y 1   x  y 1  x  y  Do x  nên x  x , y   y , suy x  y   ( x  y ) Từ ta có ( x  y  1) M  3x  y 4  ( x  y  1) 27  x  y  ( x  y )  3x  y 4  ( x  y  1) 27 x  y  ( x  y )  Đặt t  x  y với t  1  t  Xét hàm số f ( t )  3t   ( t  1) 27 t  6t  , ta có f ( 1)  2188 243 f  ( t )  3t  ln  27 t  ( t  1) 27 t ln  f  ( t )  3t  ln  ( t  1) ln   27t.ln  , t  3;  Suy f  ( t ) đồng biến ( 3;7 ) , mà f  ( t ) liên tục 3;7  f  ( 3) f  ( )  nên phương trình f  ( t )  có nghiệm t0  ( 3;7 ) t to f'(t) 148 f(t) + f(to) Suy M  3x  y   ( x  y  1) 27  x  y  ( x  y )  Câu 11 148 Đẳng thức xảy x  , y  (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Tìm giá trị nhỏ hàm số 1 y  sin x  cos x  tan x  cot x   sin x cos x C  D 2  Lời giải 1  sin x  cos x   sin x  cos x  Ta có y  sin x  cos x  tan x  cot x  sin x cos x sin x.cos x A 1 B 2  Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2  t 1  ; Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , t     \ 1 , sin x.cos x  4   2  1 t  t t 1 t 1 Suy y  t  t   1( l ) t  1)  ( 2    Xét hàm số g ( t )  t  , g(t )  1  , g t  ( ) 2 t 1 t    1( t/m ) ( t  1) ( t  1) g ( 2)  ( ) ( )   0, g   0, g    2   Ta có bảng biến thiên t - 2+1 - + g'(t) g(- 2+1) +∞ g(t) g(- 2) y=g(t) g( 2) -∞ +∞ +∞ g( - ) g( ) g(- 2+1) ( ) Dựa vào bảng biến thiên suy ymin  y    2  Câu 12 (Sở Phú Thọ - 2018) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  xy  yz  zx  1 1 Giá trị nhỏ biểu thức x3  y  z     bằng: x y z A 20 B 25 C 15 Lời giải x  y   z  x  y  z    Ta có:   xy  yz  zx   xy   z ( x  y )   z  z ( ) 2 ( ) Lại có: ( x  y )  xy  (  z )   z  z  D 35  z  Dấu "  " xảy x  y 3 Và ( x  y  z )  x3  y  z  ( x  y  z )( x  y ) z  xy ( x  y ) ( )  x3  y  z  43  12 ( x  y ) z  xy ( x  y )  64  (  z )  z 1 1   Ta có: P  x3  y  z      3z  12 z  15 z     z  4z  5z  x y z 50  t  Đặt t  z  z  z , với  z   27 50 4   t  Do xét hàm số f ( t )     , với 27 t  20  50  Ta có f  ( t )   0, t   ; 2 nên hàm số f ( t ) liên tục nghịch biến t  27  ( ) ( ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do Pmin  f ( )  25 đạt x  y  , z  Câu 13 (Sở Bắc Ninh - 2018) Gọi M , m giá lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  sin 2018 x  cos 2018 x  Khi đó: 1 A M  , m  1008 B M  , m  1009 C M  , m  D M  , m  1008 2 Lời giải 1009 Ta có: y  sin 2018 x  cos 2018 x  ( sin x ) 1009  (1  sin x ) 1009 Đặt t  sin x ,  t  hàm số cho trở thành y  t1009  (1  t ) 1009 đoạn  0;1 Xét hàm số f ( t )  t1009  (1  t ) 1008 Ta có: f  ( t )  1009.t 1008  1009 (1  t ) 1008 f  ( t )   1009t1008  1009 (1  t ) 0 1008  1 t     t  1 t 1  t  t 1 Mà f (1)  f ( )  , f    1008 2 1  1 Suy max f ( t )  f ( )  f (1)  , f ( t )  f    1008 0;1  0;1 2 Vậy M  , m  1008 Câu 14 (Chuyên Long An - 2018) Cho số thực x , y thỏa mãn x  y  ( ) x   y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ( x  y )  15 xy A P  80 B P  91 C P  83 Lời giải D P  63 x  Điều kiện:   y  3 Ta có x y 2 ( x  y  x   y   ( x  y )  ( x  y )  x  y   ( x  y )   x  y  ) (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: x  y  x   y   2 ( x  y )  x  y  ( 2) ( ) Từ (1) ( ) ta có x  y   4;8 Ta lại có ( x  3)( y  3)   xy  3 ( x  y )  Đặt t  x  y suy P  ( x  y )  15 xy  ( x  y )  xy  4t  21t  63 Xét hàm số f ( t )  4t  21t  63 , với t   4;8 21   4;8 Do f ( t )  f ( )  83  4;8  x  y  x  Do P  83 suy P  83   x  y  x   y  y     Ta có f  ( t )  8t  21   t  ( Câu 15 ) (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hai số thực ( ) x, y thỏa mãn: y  y  x  x   x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B P  A P  10 ( C P  Lời giải D P  ) y3  y  x  x   x  y  ( )  y  y  y   ( y  1)  (1  x )  x   x   x  ( y  1)  ( y  1)  ( 1 x )   x (1) Xét hàm số f ( t )  2t  t  0;   ) Ta có: f  ( t )  6t   với t   f ( t ) đồng biến 0;   ) Vậy (1)  y    x  y    x  P  x  y  x    x với ( x  1) Xét hàm số g ( x )   x   x ( ;1 1  x 1 g ( x )   x   1 x 1 x Bảng biến thiên g ( x ) : Ta có: g  ( x )   Từ bảng biến thiên hàm số g ( x ) suy giá trị lớn P là: max g ( x )  ( ;1 Câu 16 (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2018) Cho x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x  xy   Tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức  2 x  y  14  P  x y  xy  x  x A B C 12 D Lời giải x  Theo giả thiết ta có x  xy    y  x 5x  4x  Từ bất phương trình x  y  14    1 x  x  x  xy   x  x y  3x  Mặt khác ta có  2  xy  x   xy  x y  y  x2   Thay vào ta P  3 y  x  3    x  5x  x  x   9 Xét hàm số f ( x )  x  đoạn 1;  x  5  9 9 Ta có f  ( x )    0, x  1;   f (1)  4 max  f       9 x  5 5 1;  1;     5 Suy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 17 (Sở Nam ( Định ) 2 Biết 2018) bất phương trình ( m x   x   x  x  x   x  có nghiệm m  ; a  b  với a, b   Tính giá trị T  a  b A T  B T  D T  C T  Lời giải Điều kiện: 1  x  ) ( m x   x2   x2  x4  x2   x2  m ( ) x2   x2   x2  x4  x2   x2  1  t  Đặt t  x   x   Khi đó, bất phương trình trở thành: 2 x  x  t  t2  t 1 m ( t  1)  t  t   m  (vì t  1; 2 nên t   ) t 1 t2  t 1 Xét hàm số f ( t )  1;  t 1 t  2t  f (t )   0, t  1;  suy hàm số đồng biến 1;    t 1 f ( t )  f (1)  ; max f ( t )  f  1  2 1;  1;    Bất phương trình cho có nghiệm bất phương trình t2  t 1 m có nghiệm t  1;   m  max f ( t )  m  1  2   t 1 1;   a  , b  1  a  b  ( ) Câu 18 (THPT Nguyễn Huệ 2018) Cho x, y số thực dương 3 thỏa mãn x y  x y  ( x  y )  xy  ( x  y )( xy  ) Giá trị nhỏ biểu thức P         x  y x  y 25 23 A  B C  D 13 4 Lời giải Ta có ( x  y )  xy  ( x  y )( xy  )  ( x  y ) 2 xy 2 Đặt a  x  y ; b  xy ta được: ( 2a  b )  8b ( a  2b )  4a  4ab  15b  a x2  y x y  Suy ra:  t   b xy y x Ta có:  x3 y3   x2 y  P          ( t  3t )  ( t  )  4t  9t  12t  18  f ( t ) với t  x  y x  y  Khảo sát hàm số f ( t ) với t  Câu 19 23 ta f ( t )   Vậy chọn C (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho số thực dương x , y thỏa mãn x  y  trị nhỏ Pmin biểu thức P   x 4y Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Tìm giá TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Pmin 34  B Pmin 65  C Pmin không tồn D Pmin  Lời giải 5 5 Từ giả thiết ta có y   x Vì y  nên  x   x  Do  x  4 8 2 10  15 x Ta có P   với  x     x 5  x  x 8 x  x   2x  4  15 ( 8 x  x )  ( 16 x  )(10  15 x ) 120 x  75 x  ( 160 x  240 x  50  75 x ) P   2 ( 8 x  x ) ( 8 x  x )   5  x    0;  120 x  160 x  50   P  Có P   120 x  160 x  50      5 ( 8 x2  x )  x    0;   8  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin  BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... Vậy 4002 giá trị nguyên m cần tìm Dạng Giá trị lớn – giá trị nhỏ hàm ẩn, hàm hợp Câu Cho hàm số y  f ( x ) xác định liên tục  , đồ thị hàm số y  f  ( x ) hình vẽ Giá trị lớn hàm số y  f... b tham số Gọi M giá trị lớn hàm số  1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ được, tính a  2b A B C 4 D Lời giải Xét hàm số f ( x )  x  ax  b Theo đề bài, M giá trị lớn hàm số  1;3  M ... Cho hàm số y  x  x  3m với m tham số Biết có hai giá trị m1 , m2 m để giá trị nhỏ hàm số cho  1;2 2021 Tính giá trị m1  m2 A B 4 052 C D 4 051 Lời giải Chọn D ( x   x  1 ) Xét hàm