Ước lượng tham số
TRẦN AN HẢI TUẦN 6 HÀ NỘI - 2009 Chương 5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ _________________________________________________ §1 ĐẶT VẤN ĐỀ Biết chiều dài một sản phẩm do một xưởng sản xuất ra là bnn X . Hãy ước lượng giá trị của . là một tham số cần ước lượng. Muốn ước lượng nó, ta phải dựa vào mẫu gồm một số sản phẩm do xưởng này sản xuất. Ta có thể ước đoán bởi một giá trị hoặc ước đoán thuộc khoảng (a; b) nào đấy. Trong thống kê, gọi là ước lượng điểm của , còn (a; b) là ước lượng khoảng của . §2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng chưa biết tham số nào đó. Ta ước đoán bởi một con số * như sau: Ta xây dựng hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát là . Với mỗi mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x1, x2, …, xn), ta lấy làm ước lượng cho . Gọi hay là ước lượng điểm của . Để đánh giá chất lượng * xem “tốt” hay không ta không thể mong muốn nó thật gần bởi vì ta chưa biết . Vì vậy, dưới đây người ta đưa ra các tiêu chuẩn để dựa vào đó kết luận về chất lượng của *. Ước lượng không chệch (ưlkc) Gọi là ước lượng không chệch của , nếu = . Ngược lại, nếu thì gọi là ước lượng chệch của . Ước lượng hiệu quả (ưlhq) Gọi là ước lượng hiệu quả của , nếu nó là ưlkc của và nhỏ nhất so với phương sai của mọi ưlkc khác của . Ước lượng vững (ưlv) Gọi là ước lượng vững của , nếu Ý nghĩa của công thức này Hầu như chắc chắn sai khác không nhiều miễn là n đủ lớn. Các kết quả về ước lượng điểm là ưlkc, ưlhq, ưlv của E(X). , là ưlkc, ưlv của D(X). là ưlkc, ưlhq, ưlv của P(A). , là ước lượng chệch của D(X). §3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Phương pháp ước lượng điểm có nhược điểm là khi kích thước mẫu nhỏ thì ước lượng điểm tìm được có thể sai lệch rất nhiều so với tham số cần ước lượng. Ngoài ra không thể đánh giá được khả năng mắc sai lầm khi ước lượng. Để khắc phục các nhược điểm này, ta thường dùng phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy. [...]... là một tham số cần ước lượng. Muốn ước lượng nó, ta phải dựa vào mẫu gồm một số sản phẩm do xưởng này sản xuất. Ta có thể ước đoán bởi một giá trị hoặc ước đoán thuộc khoảng (a; b) nào đấy. Trong thống kê, gọi là ước lượng điểm của , còn (a; b) là ước lượng khoảng của . §2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Giả sử bnn X đã biết được dạng của quy luật ppxs nhưng chưa biết tham số nào đó. Ta ước đốn bởi... cậy đối xứng là . Khi ấy ta gọi . là ước lượng khoảng (hay khoảng tin cậy của ), còn là độ tin cậy của ước lượng này. Số đo khả năng để rơi vào khoảng này, nên người ta thường chọn nó gần 1. Như vậy, khoảng tin cậy của E(X) với độ tin cậy là Đặc biệt: Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy đối xứng là . Ví dụ Để ước lượng số cá trong hồ, người ta vớt lên 2000 con để đánh... khối lượng trung bình là Ví dụ Khối lượng của một loại sản phẩm là bnn tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1g. Cân 25 sản phẩm loại này ta thu được kết quả sau Khối lượng (g) 18 19 20 21 Số sản phẩm 3 5 15 2 Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung bình với độ tin cậy 0,95. Giải Ta có f = 0,125. Theo cơng thức với , có độ chính xác của ước lượng. .. xuất, thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 0,95, hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm tối đa của máy đó. Giải Ta tính được . Với 0,95, ta có . , . Vì vậy, khoảng tin cậy đối xứng của khối lượng trung bình là Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên phải là . Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên trái là . Các kết quả về ước lượng điểm là ưlkc, ưlhq, ưlv của E(X). , là ưlkc,... lên 2000 con để đánh dấu rồi lại thả xuống hồ. Sau một thời gian, người ta bắt lên 400 con và thấy trong số đó có 80 con đã đánh dấu. Hãy ước lượng số cá có trong hồ, với độ tin cậy 95%. Ví dụ Đo đường kính của 100 chi tiết do một máy sản xuất, được Đường kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 Số chi tiết 5 37 42 16 a) Với độ chính xác = 0,006, hãy xác định độ tin cậy của ưlkc cho đường kính trung... Ta ước đốn bởi một con số * như sau: Ta xây dựng hàm của mẫu ngẫu nhiên tổng quát là . Với mỗi mẫu ngẫu nhiên cụ thể (x 1 , x 2 , …, x n ), ta lấy làm ước lượng cho . Ví dụ Do khu rừng trồng bạch đàn rộng, khơng có điều kiện đo chiều cao tồn bộ cây, nên người ta đo ngẫu nhiên 35 cây và thu được kết quả sau chiều cao (m) 6,5-7,0 7,0-7,5 7,5-8 8-8,5 8,5-9 9-9,5 số cây 2 4 10 11 5 3 ... cậy bên trái là . Các kết quả về ước lượng điểm là ưlkc, ưlhq, ưlv của E(X). , là ưlkc, ưlv của D(X). là ưlkc, ưlhq, ưlv của P(A). , là ước lượng chệch của D(X). III – Tìm khoảng tin cậy cho xác suất Cho mẫu định tính kích thước n, trong đó biến cố A xuất hiện m lần. là tỉ lệ mẫu, p = P(A), q = 1 - p. không âm thỏa . , . Với điều kiện ta có Nếu chọn , thì ta có... thấy có 25 phế phẩm. a) Nếu muốn độ chính xác của ưlkc cho tỉ lệ phế phẩm là = 0,035, thì độ tin cậy của ước lượng là bao nhiêu? b) Muốn độ chính xác của ưlkc cho tỉ lệ phế phẩm là 0,001 và độ tin cậy là 95%, thì cần kiểm tra thêm bao nhiêu sản phẩm? Giải Gọi p là tỉ lệ phế phẩm. Kích thước mẫu n = 400. Tỉ lệ mẫu là . Ta có . Với 0,95, ta có . , . Vì vậy, khoảng tin cậy bên trái của p... Giải Từ mẫu có s = 0,04. Theo cơng thức với , có độ chính xác của ước lượng là . . a) b) Từ . Vì vậy phải kiểm tra thêm 683 - 100 = 583 chi tiết nữa. Giải Ta tính được . Với 0,95, ta có . . Vì vậy, khoảng tin cậy đối xứng của chiều cao trung bình là Nếu chưa biết, ta dùng công thức trong đó n = kích thước mẫu, và khơng âm thỏa . Ví dụ Lấy ngẫu nhiên 200 sản... đo thêm bao nhiêu chi tiết? Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên phải là . Nếu chọn , thì ta có khoảng tin cậy bên trái là . b) Trường hợp X có phân bố bất kỳ, và kích thước mẫu lớn Khi kích thước mẫu là , ta dùng công thức và không âm thỏa , , . . xuất ra là bnn X . Hãy ước lượng giá trị của . là một tham số cần ước lượng. Muốn ước lượng nó, ta phải dựa vào mẫu gồm một số sản phẩm do xưởng này. về chất lượng của *. Ước lượng không chệch (ưlkc) Gọi là ước lượng không chệch của , nếu = . Ngược lại, nếu thì gọi là ước lượng chệch