Thông tin tài liệu
Chng 5 C LNG THAM S 111 Chương 5 Ước lượng tham số Giả sử ñặc trưng của tổng thể cần nghiên cứu ñược biểu diễn bởi một biến ngẫu nhiên X, xác ñịnh trên một không gian mẫu M . Có thể nói gọn là "tổng thể X". Tổng thể X có các giá trị cần biết như kỳ vọng, phương sai . . . , ñược gọi là các tham số của tổng thể (gọi tắt là tham số). Vì chúng ta không nghiên cứu trên toàn bộ tổng thể, nên các tham số này chưa ñược biết một cách chính xác, mà chỉ ñược ước tính nhờ các quan sát trên mẫu. Một trong những bài toán quan trọng của thống kê toán là ước lượng giá trị của một hoặc nhiều tham số tổng thể. Lời giải ñáp cho vấn ñề này có thể có dạng một giá trị duy nhất, gọi là Ước lượng ñiểm, hoặc có dạng một khoảng, gọi là Ước lượng khoảng. 1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Giả sử chúng ta ñã biết dạng của h.m.ñ. f của BNN X, nhưng giá trị của f phụ thuộc một tham số θ, với θ có thể lấy bất kỳ giá trị nào trong một tập hợp Ω. Giá trị của f ñược viết dưới dạng f (x;θ ), θ ∈ Ω. Tập hợp Ω ñược gọi là không gian tham số. Như vậy, chúng ta có một họ các h.m.ñ. ñược ký hiệu bởi {f (x; θ ), θ ∈ Ω}. Với mỗi giá trị của θ , có tương ứng một phần tử của họ. Cũng có thể dùng ký hiệu riêng của phân phối thay cho h.m.ñ. của phân phối ñó. Thí dụ, họ phân phối chuẩn {n (θ ,1), θ ∈ }; một phần tử của họ là N(0,1). Xét họ h.m.ñ. {f (x;θ ), θ ∈ Ω}. Giả sử chúng ta muốn chọn chính xác một phần tử của họ ñó làm h.m.ñ. cho BNN X ñang nghiên cứu, i.e. chúng ta cần một ước lượng ñiểm cho θ . Xét mẫu (X 1 , X 2 , , X n ) ñược thành lập từ BNN X có h.m.ñ. là một trong các phần tử của họ {f (x;θ ), θ ∈ Ω}, i.e. mẫu ñó ñược thành lập từ phân phối có h.m.ñ. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Bài toán ñược ñặt ra là: Tìm một thống kê T = u (X 1 , X 2 , , X n ) sao cho nếu (x 1 , x 2 , , x n ) là một mẫu cụ thể, thì số thực t = u(x 1 , x 2 , , x n ) là một ước lượng ñiểm tốt cho θ . Chng 5 C LNG THAM S 112 1.1. Định nghĩa. Giả sử (X 1 , X 2 , , X n ) là mẫu ñược thành lập từ phân phối có h.m.ñ. f (x;θ ), θ ∈ Ω. Một thống kê T = u (X 1 , X 2 , , X n ) không phụ thuộc θ ñược gọi là một ước lượng ñiểm (nói gọn là một ước lượng) của tham số θ nếu giá trị của nó tại một mẫu cụ thể ñược dùng ñể tính xấp xỉ θ . Giá trị ñó ñược gọi là một giá trị ước lượng của θ. Các nhà thống kê ñã nêu lên một số tiêu chuẩn ñể chọn ước lượng tốt nhất cho tham số θ . 1.2. Định nghĩa. Giả sử (X 1 , X 2 , , X n ) là mẫu ñược thành lập từ phân phối có h.m.ñ. f (x;θ ), θ ∈ Ω, và T = u (X 1 , X 2 , , X n ) là một ước lượng của θ . (a) T ñược gọi là một ước lượng không chệch của θ nếu E(T ) = θ. (b) Nếu T là một ước lượng không chệch của θ và D(T) không lớn hơn phương sai của bất kỳ một ước lượng không chệch nào khác của θ, thì T ñược gọi là một ước lượng hiệu quả của θ . (c) T ñược gọi là một ước lượng vững của θ nếu nếu với mọi ε > 0, ( ) lim P 1 n T ∞ − θ < ε = . Thí dụ. Giả sử (X 1 , X 2 , , X n ) là mẫu ñược thành lập từ phân phối có kỳ vọng µ và phương sai σ 2 . Xét thống kê 1 1 n i n i X X = = ∑ , chúng ta có: E( X ) = µ và ( ) lim P 1 →∞ − µ < ε = n X (do Định lý Chebyshev), nên X là một ước lượng không chệch và vững của µ . Tương tự, thống kê 1 2 2 1 1 ( ) n i n i S X X − = = − ∑ là m ộ t ướ c l ượ ng không ch ệ ch và v ữ ng c ủ a σ 2 . 1.3. Định nghĩa. Cho BNN X có h.m. ñ . f (x;θ ), θ ∈ Ω. Ng ườ i ta g ọ i s ố th ự c ( ) 2 ln ( , ) I( ) E f X∂ θ ∂θ θ = , n ế u nó t ồ n t ạ i, là Lượng thông tin Fisher c ủ a X. 1.4. Định lý. ( Bất ñẳng thức Rao - Cramer ) Chng 5 C LNG THAM S 113 Gi ả s ử (X 1 , X 2 , , X n ) là m ộ t m ẫ u ñượ c thành l ậ p t ừ BNN X có h.m. ñ . f (x;θ), θ ∈ Ω, t ồ n t ạ i I(θ ), và T = u (X 1 , X 2 , , X n ) là m ộ t ướ c l ượ ng không ch ệ ch c ủ a θ. Khi ñ ó, 2 1 .I( ) T n θ σ ≥ • Nh ư v ậ y, n ế u t ồ n t ạ i I(θ ) thì m ộ t ướ c l ượ ng không ch ệ ch c ủ a θ s ẽ là m ộ t ướ c l ượ ng hi ệ u qu ả c ủ a θ n ế u nó có ph ươ ng sai b ằ ng 1 .I( ) n θ . Thí dụ. Gi ả s ử (X 1 , X 2 , , X n ) là m ộ t m ẫ u ñượ c thành l ậ p t ừ BNN X có phân ph ố i chu ẩ n n(θ , σ 2 ), θ ∈ . Th ố ng kê 1 1 n i n i X X = = ∑ là m ộ t ướ c l ượ ng hi ệ u qu ả c ủ a θ . Th ậ t v ậ y, v ớ i m ọ i s ố th ư c x và θ , giá tr ị c ủ a h.m. ñ . c ủ a X là: 2 2 ( ) 1 2 2 ( ; ) exp − θ σ π σ θ = − x f x > 0 nên 2 ln ( ; )f x x ∂ θ − θ ∂θ σ = Do ñ ó, ( ) 2 4 2 2 ln ( ; ) E( ) 1 I( ) = E f X X∂ θ − θ ∂θ σ σ θ = = Chúng ta ñ ã bi ế t X là m ộ t ướ c l ượ ng không ch ệ ch c ủ a θ ; ngoài ra, 2 1 .I( ) D( ) n n X σ θ = = , nên X là m ộ t ướ c l ượ ng hiệu quả c ủ a θ. 2. PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Có m ộ t s ố ph ươ ng pháp ñể tìm hàm ướ c l ượ ng t ố t nh ấ t cho m ộ t tham s ố θ nh ư ph ươ ng pháp moment, ph ươ ng pháp h ợ p lý c ự c ñạ i, …. Giáo trình này ch ỉ nêu ph ươ ng pháp h ợ p lý c ự c ñạ i. 2.1. Phương pháp họp lý cực ñại. Gi ả s ử (X 1 , X 2 , , X n ) là m ẫ u ñượ c thành l ậ p t ừ t ổ ng th ể X có h.m. ñ . f (x; θ), θ ∈ Ω. Giá tr ị c ủ a h.m. ñ . c ủ a vect ơ ng ẫ u nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) t ạ i m ộ t m ẫ u c ụ Chng 5 C LNG THAM S 114 th ể (x 1 , x 2 , , x n ) là: 1 2 ( , ). ( , ). . . ( , ) n f x f x f x θ θ θ Xác su ấ t trên có th ể ñượ c xem nh ư là m ộ t hàm c ủ a θ và ñượ c ký hi ệ u là L(θ ). Hàm L : θ ֏ L(θ ) xác ñị nh trên Ω ñượ c g ọ i là hàm hợp lý c ủ a X. Gi ả s ử r ằ ng chúng ta có th ể tìm ñượ c m ộ t hàm u ñ o ñượ c trên n sao cho, khi θ l ấ y giá tr ị u(x 1 , x 2 , , x n ) thì hàm L ñạ t cực ñại . Khi ñ ó, th ố ng kê u (X 1 , X 2 , , X n ) ñượ c g ọ i là m ộ t ước lượng hợp lý cực ñại cho θ, và ñượ c ký hi ệ u là ˆ θ , i.e. ˆ θ = u (X 1 , X 2 , , X n ) u(x 1 , x 2 , , x n ) ñượ c g ọ i là giá trị ước lượng hợp lý cực ñại cho θ . Chú ý: N ế u L > 0 thì hàm h ợ p lý L và ln L ñạ t giá tr ị c ự c ñạ i t ạ i cùng m ộ t ñ i ể m, nên ñ ôi khi ng ườ i ta dùng ln L thay cho L. 2.2. Thí dụ. Cho (X 1 , X 2 , , X n ) là m ộ t m ẫ u ñượ c thành l ậ p t ừ phân ph ố i chu ẩ n n(θ,1), θ ∈ . Hãy tìm m ộ t ướ c l ượ ng h ợ p lý c ự c ñạ i cho θ . Giải. Giá tr ị c ủ a h.m. ñ . c ủ a vect ơ ng ẫ u nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) t ạ i m ộ t m ẫ u c ụ th ể (x 1 , x 2 , , x n ) hay giá tr ị c ủ a hàm h ợ p lý L là: ( ) 2 1 1 2 2 1 L( ) exp ( ) n n i i x π = θ = − − θ ∑ Vì L(θ ) > 0 v ớ i m ọ i θ ∈ , nên 1 2 2 1 ln (L( )) ( ) ln( 2 ) n i i x n = θ = − − θ − π ∑ 1 ln (L( )) ( ) n d i d i x θ = θ = − θ ∑ ln (L( )) d d θ θ = 0 ⇔ 1 1 n i n i x = θ = ∑ Ngoài ra, 2 2 ln (L( )) 0 d d n θ θ = − < Chng 5 C LNG THAM S 115 nên L ñạ t c ự c ñạ i t ạ i duy nh ấ t ñ i ể m 1 1 n i n i x = θ = ∑ Do ñ ó, th ố ng kê 1 1 ˆ n i n i X X = θ = = ∑ là ướ c l ượ ng h ợ p lý c ự c ñạ i duy nh ấ t c ủ a k ỳ v ọ ng θ, và giá tr ị trung bình m ẫ u 1 1 n i n i x x = = ∑ là giá tr ị ướ c l ượ ng h ợ p lý c ự c ñạ i cho θ. X c ũ ng là m ộ t ướ c l ượ ng không ch ệ ch, v ữ ng và hi ệ u qu ả c ủ a θ . 2.3. Chú ý. ( Trường hợp nhiều tham số ) Cho (X 1 , X 2 , , X n ) là m ộ t m ẫ u ñượ c thành l ậ p t ừ t ổ ng th ể X có h.m. ñ . ph ụ thu ộ c k tham s ố : f (x ; θ 1 , θ 2 , …, θ k ), (θ 1 , θ 2 , …, θ k ) ∈ Ω Giá tr ị c ủ a h.m. ñ . c ủ a vect ơ ng ẫ u nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) t ạ i m ộ t m ẫ u c ụ th ể (x 1 , x 2 , , x n ) là: 1 2 1 ( ; , ,. . . ., ) n i k i f x = θ θ θ ∏ Xác su ấ t trên có th ể ñượ c xem nh ư là m ộ t hàm c ủ a (θ 1 , θ 2 , …, θ k ) ∈ Ω và ñượ c ký hi ệ u là L(θ 1 , θ 2 , …, θ k ). Hàm L : (θ 1 , θ 2 , …, θ k ) ֏ L(θ 1 , θ 2 , …, θ k ) xác ñị nh trên Ω ñượ c g ọ i là hàm hợp lý c ủ a X. Gi ả s ử r ằ ng chúng ta có th ể tìm ñượ c các hàm ñ o ñượ c u 1 , u 2 , …, u k xác ñị nh trên n sao cho, khi θ 1 , θ 2 , …, θ k , theo th ứ t ự , l ấ y giá tr ị u 1 (x 1 , x 2 , , x n ), u 2 (x 1 , x 2 , , x n ), …, u k (x 1 , x 2 , , x n ) thì hàm L ñạ t cực ñại . Khi ñ ó, các th ố ng kê 1 ˆ θ = u 1 (X 1 , X 2 , , X n ); 2 ˆ θ = u 2 (X 1 , X 2 , , X n ); …; ˆ k θ = u k (X 1 , X 2 , , X n ) theo th ứ t ự , ñượ c g ọ i là m ộ t ước lượng hợp lý cực ñại cho θ 1 , θ 2 , …, θ k . 3. KHÁI NIỆM ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Thông báo θ b ằ ng giá tr ị ướ c l ượ ng ñ i ể m t = u(x 1 , x 2 , , x n ) mà không kèm theo m ộ t ñộ chính xác thì thông báo ñ ó ít có giá tr ị vì t = u(x 1 , x 2 , , x n ) c ũ ng là Chng 5 C LNG THAM S 116 m ộ t giá tr ị ng ẫ u nhiên ñượ c tính t ừ m ộ t m ẫ u ng ẫ u nhiên. Do v ậ y, ng ườ i ta ph ả i dùng thêm ph ươ ng pháp ướ c l ượ ng kho ả ng. Gi ả s ử , d ự a vào m ẫ u (X 1 , X 2 , , X n ), chúng ta mu ố n ướ c l ượ ng tham s ố θ c ủ a t ổ ng th ể . N ế u tìm ñượ c hai th ố ng kê T 1 = u 1 (X 1 , X 2 , , X n ) và T 2 = u 2 (X 1 , X 2 , , X n ) sao cho P( T 1 ≤ θ ≤ T 2 ) = γ, v ớ i γ ∈ (0,1) cho tr ướ c thì kho ả ng (t 1 , t 2 ), trong ñ ó t 1 và t 2 l ầ n l ượ t là giá tr ị c ủ a T 1 và T 2 t ạ i m ộ t m ẫ u c ụ th ể , ñượ c g ọ i là Khoảng ước lượng của θ θθ θ với ñộ tin cậy γ γγ γ (hay nói g ọ n là khoảng tin cậy γ γγ γ c ủ a θ ). α = 1 − γ ñượ c g ọ i là m ứ c xác su ấ t sai l ầ m c ủ a kho ả ng ướ c l ượ ng. 4. KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ Gi ả s ử t ổ ng th ể X tuân theo lu ậ t phân phối chuẩn N(µ, σ 2 ), nh ư ng ch ư a bi ế t k ỳ v ọ ng µ, i.e. µ là m ộ t h ằ ng s ố nào ñ ó mà giá tr ị c ủ a nó ch ư a ñượ c bi ế t. Chúng ta ph ả i tìm kho ả ng ướ c l ượ ng cho µ . Phân bi ệ t hai tr ườ ng h ợ p 4.1. Trường hợp 1: Biết σ σσ σ Khi ñ ó, BNN ( ) X n U −µ = σ tuân theo lu ậ t phân ph ố i N(0,1). Cho tr ướ c γ ∈ (0, 1), có s ố c sao cho: P(| U | < c) = γ hay ( ) n n P X c X c σ σ − <µ < + = γ Ngoài ra, P(| U | < c) = γ ⇔ 1 2 P( )U c + γ < = nên c = 1 2 u + γ V ậ y, v ớ i m ẫ u c ụ th ể , kho ả ng tin c ậ y γ cho µ là : ( x − e; x + e), trong ñ ó e = 1 2 . n u + γ σ , và 1 2 u + γ là bách phân v ị m ứ c 1 2 + γ c ủ a phân ph ố i chu ẩ n. Chng 5 C LNG THAM S 117 e ñượ c g ọ i là Sai số ước lượng ( ở ñộ tin c ậ y γ hay ở m ứ c sai l ầ m a = 1 − γ). Gi ữ a ñộ tin c ậ y γ, sai s ố cho phép và c ỡ m ẫ u n có quan h ệ m ậ t thi ế t v ớ i nhau. N ế u ñộ tin c ậ y γ càng l ớ n thì sai s ố càng l ớ n và do ñ ó ướ c l ượ ng ít có giá tr ị . Mu ố n gi ả m b ớ t sai s ố ướ c l ượ ng mà không gi ả m ñộ tin c ậ y thì ph ả i t ă ng c ỡ m ẫ u n. Thí dụ: Gi ả s ử kh ố i l ượ ng c ủ a m ỗ i nam sinh viên n ă m th ứ nh ấ t tr ườ ng ñạ i h ọ c A tuân theo lu ậ t phân ph ố i chu ẩ n v ớ i ñộ l ệ ch chu ẩ n 3kg. Ch ọ n ng ẫ u nhiên 25 nam sinh viên n ă m th ứ nh ấ t, ng ườ i ta tính ñượ c kh ố i l ượ ng trung bình là 52 kg. (1) Hãy tìm kho ả ng tin c ậ y 95% cho kh ố i l ượ ng trung bình c ủ a m ỗ i nam sinh viên n ă m th ứ nh ấ t tr ườ ng ñạ i h ọ c A. (2) V ớ i m ẫ u trên, n ế u mu ố n b ề r ộ ng c ủ a kho ả ng ướ c l ượ ng trung bình t ổ ng th ể là 1,8 kg thì ñộ tin c ậ y là bao nhiêu? Giải. G ọ i X là bi ế n ng ẫ u nhiên ch ỉ kh ố i l ượ ng m ỗ i nam sinh viên n ă m th ứ nh ấ t tr ườ ng ñạ i h ọ c A thì X ~ N(µ, 3 2 ), và chúng ta ph ả i ướ c l ượ ng µ. (1). Kho ả ng tin c ậ y 95% cho µ là: ( x − e; x + e), v ớ i x = 52 và e = 3 0,975 5 25 1,960. 1,176 u σ = = V ậ y, kho ả ng tin c ậ y 95% cho kh ố i l ượ ng trung bình c ủ a m ỗ i nam sinh viên n ă m th ứ nh ấ t tr ườ ng ñạ i h ọ c A là (50,824; 53,1766) (kg). (2). Xác ñị nh ñộ tin c ậ y γ: Theo gi ả thi ế t, sai s ố ướ c l ượ ng là e = 0,9. Khi ñ ó, 1 2 3 25 0,9 u + γ = ⇔ 1 2 u + γ = 1,5 ⇔ 1 2 0,9332 + γ = V ậ y, γ = 86,64%. 4.2. Trường hợp 2: Không biết σ σσ σ Khi ñ ó, BNN ( ) X n S T − µ = , trong ñ ó S là ñộ l ệ ch chu ẩ n m ẫ u, tuân theo lu ậ t phân ph ố i Student v ớ i n − 1 b ậ c t ự do. V ớ i γ (0, 1) cho tr ướ c, lý lu ậ n t ươ ng t ự nh ư trên, kho ả ng ướ c l ượ ng v ớ i ñộ tin c ậ y γ cho µ là: ( x − e ; x + e), trong ñ ó e = 1 2 ( 1) . n s n t + γ − , Chng 5 C LNG THAM S 118 và 1 2 ( 1) n t + γ − là bách phân v ị m ứ c 1 2 + γ c ủ a phân ph ố i t (n − 1). Thí dụ. Bi ế t r ằ ng chi ề u cao c ủ a các thanh niên cùng m ộ t l ứ a tu ổ i tuân theo lu ậ t phân ph ố i chu ẩ n. Kh ả o sát ng ẫ u nhiên chi ề u cao c ủ a 80 thanh niên cùng l ứ a tu ổ i ñ ó, ng ườ i ta tính ñượ c chi ề u cao trung bình là 162cm và ñộ l ệ ch chu ẩ n là 14cm. Hãy ướ c l ượ ng chi ề u cao trung bình c ủ a m ỗ i thanh niên ở l ứ a tu ỏ i trên b ằ ng kho ả ng tin c ậ y 92%, Giải. G ọ i X là bi ế n ng ẫ u nhiên ch ỉ chi ề u cao c ủ a m ộ t thanh niên cùng l ứ a tu ổ i trên thì X ~ N(µ, σ 2 ), v ớ i σ ch ư a bi ế t và c ầ n ph ả i ướ c l ượ ng µ. Kho ả ng tin c ậ y 92% cho µ là: ( x − e; x + e), v ớ i x = 162 và (79) 14 0,96 80 80 1,7735 2,7760 = = = s e t Kho ả ng tin c ậ y ph ả i tìm là: ( x − e ; x + e) = (159,224; 164,775) (cm). 4.3. Chú ý. Tr ườ ng h ợ p lu ậ t phân ph ố i c ủ a t ổ ng th ể X ch ư a ñượ c bi ế t, các kho ả ng tin c ậ y trong 4.4.1 và 4.4.2 v ẫ n dùng ñượ c v ớ i ñ i ề u ki ệ n là c ỡ m ẫ u n ph ả i khá l ớ n (n > 30). Có ñượ c ñ i ề u này là do Đị nh lý gi ớ i h ạ n trung tâm. 4.4. Trường hợp mẫu nhỏ. Khi mẫu nhỏ (n < 30) và không biết lu ậ t phân ph ố i c ủ a t ổ ng th ể X thì c ả phân ph ố i chu ẩ n l ẫ n phân ph ố i t ñề u không dùng ñượ c trong vi ệ c xây d ự ng kho ả ng tin c ậ y cho trung bình t ổ ng th ể . Tuy nhiên, trong tr ườ ng h ợ p này, bất ñẳng thức Chebyshev l ạ i t ỏ ra h ữ u hi ệ u. V ớ i m ọ i k > 1 cho tr ướ c, chúng ta có: ( ) 1 2 P 1 X k X k−µ ≤ σ ≥ − Vậy, khoảng tin cậy 2 1 1 k − cho µ là: ( ; ) X X x k x k − σ + σ . Ví dụ: cho tổng thể X có kì vong µ và phương sai là 1. Khảo sát mẫu gồm 16 phần tử thấy trung bình mẫu 5 x = . Hãy tìm kho ả ng tin c ậ y 97% cho trung bình t ổ ng th ể . Vì m ẫ u bé và không bi ế t lu ậ t phân ph ố i nên ta dùng bdt Chebyshev: Chng 5 C LNG THAM S 119 ( ) 2 2 2 1 1 0,97 1 1 0,03 33,33 0,03 5,77 6 X P X k k k k k k − µ < σ ≥ − ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ = ⇒ ≥ ⇒ = Do ñ ó kho ả ng tin c ậ y 97% cho trung bình t ổ ng th ể là ( ) ( ) 1 1 ; 5 6 ;5 6 3,75;6,25 4 4 X X x k x k − σ + σ = − + = GIảI VÌ 5. KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ. Gi ả s ử X ~ B(p) và chúng ta mu ố n tìm kho ả ng tin c ậ y cho p. V ớ i m ẫ u (X 1 , X 2 , , X n ), nX nP = có phân ph ố i B(n, p). Phân ph ố i chu ẩ n s ẽ ñượ c dùng nh ư m ộ t x ấ p x ỉ c ủ a phân ph ố i nh ị th ứ c trong vi ệ c xây d ự ng kho ả ng tin c ậ y cho t ỉ l ệ t ổ ng th ể p khi n ≥ 30, np ≥ 5 và n(1 − p) ≥ 5. Tuy nhiên, nhi ề u nhà th ố ng kê toán ñề ngh ị m ẫ u c ỡ n ≥ 100. Áp d ụ ng 5.4.1, kho ả ng tin c ậ y γ cho p là: ( p − e; p + e ), trong ñ ó p là giá tr ị t ỉ l ệ m ẫ u, và 1 2 (1 ) . p p n e u + γ − = Thí dụ. Trong m ộ t ñợ t ñ i ề u tra v ề nha khoa, khám ng ẫ u nhiên 100 tr ẻ em ở m ộ t ñị a ph ươ ng, ng ườ i ta th ấ y có 36 tr ẻ b ị sâu r ă ng. Hãy tìm kho ả ng tin c ậ y 99% cho t ỉ l ệ tr ẻ b ị sâu r ă ng ở ñị a ph ươ ng ñ ó. Giải. G ọ i p là t ỉ l ệ tr ẻ b ị sâu r ă ng ở ñị a ph ươ ng ñ ang kh ả o sát. Giá tr ị t ỉ l ệ tr ẻ em b ị sâu r ă ng trên m ẫ u : p = 0,36 Chúng ta nh ậ n th ấ y n p = 36 > 5 và n(1 − p ) = 64 > 5 nên kho ả ng tin c ậ y 99% cho p là: ( p − e; p + e ), v ớ i Chng 5 C LNG THAM S 120 (1 ) 0,36 0,64 0,995 100 2,5758 0,1236 p p n e u − × = = = V ậ y, kho ả ng tin c ậ y 99% cho t ỉ l ệ tr ẻ b ị sâu r ă ng ở ñị a ph ươ ng là: (0,36 − 0,1236 ; 0,36 + 0,1236) = (0,2364; 0,4836) Chú ý. Tr ườ ng h ợ p n l ớ n và p quá g ầ n 0 ho ặ c g ầ n 1, ng ườ i ta x ấ p x ỉ phân ph ố i nh ị th ứ c b ằ ng phân ph ố i Poisson. Trên c ơ s ở ñ ó, ng ườ i ta thành l ậ p ñượ c b ả ng s ố cho phép tìm kho ả ng tin c ậ y 95% cho t ỉ l ệ p g ầ n 0 ho ặ c g ầ n 1. Tr ườ ng h ợ p m ẫ u c ỡ nh ỏ , không th ể x ấ p x ỉ phân ph ố i nh ị th ứ c b ằ ng phân ph ố i chu ẩ n ho ặ c phân ph ố i Poisson mà ph ả i tính kho ả ng tin c ậ y cho t ừ ng tr ườ ng h ợ p c ụ th ể b ằ ng phân ph ố i nh ị th ứ c. Vì phép tính ph ứ c t ạ p nên ng ườ i ta ñ ã tính s ẵ n và l ậ p thành b ả ng. Nhìn chung, trong tr ườ ng h ợ p này, kho ả ng ướ c l ượ ng quá r ộ ng, ít có giá tr ị . 6. KHOẢNG TIN CẬY CHO PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ Gi ả s ử t ổ ng th ể X có phân ph ố i chu ẩ n N(µ, σ 2 ), trong ñ ó σ 2 ch ư a bi ế t và chúng ta nu ố n tìm kho ả ng ướ c l ượ ng cho σ 2 v ớ i ñộ tin c ậ y γ (0 < γ < 1) cho tr ướ c. 6.1. Trường hợp 1: Biết µ µµ µ . Trong tr ườ ng h ợ p này, bi ế n ng ẫ u nhiên 2 1 ( ) k n X n k Y − µ σ = = ∑ tuân theo lu ậ t phân ph ố i χ 2 (n). V ớ i γ cho tr ướ c, có hai s ố a và b sao cho: P (a < Y n < b) = γ Các s ố a, b nh ư th ế r ấ t nhi ề u. Ng ườ i ta th ườ ng ch ọ n a và b sao cho: 1 2 P( ) P( ) n n Y a Y b − γ < = > = T ừ ñ ó, 1 2 2 ( ) a n −γ = χ và 1 2 2 ( ) b n + γ = χ V ậ y, kho ả ng tin c ậ y γ cho σ 2 ñượ c ñị nh b ở i: a < 2 2 ( ) 1 k n x k − µ σ = ∑ < b hay: [...]...Chng 5 121 C L NG THAM S n n ∑ ( xk − µ)2 k =1 χ2 (n ) 1+ γ 2 ∑ ( xk − µ)2 < σ2 < k =1 χ2 1− γ 2 ( n) 6.2 Trư ng h p 2: Không bi t µ Trong trư ng h p này, bi n ng u nhiên Yn − 1 = ( n − 1) S 2 σ2 có phân ph i χ 2 (n − 1)... cho l ch chu n t ng th Gi i G i X là BNN ch kh i lư ng tr sơ sinh Theo gi thi t, x = 2982 g và s2 = 209108 V i n = 20 và γ = 90%, chúng ta có: (n − 1)s2 = 19 × 209108 = 3973052 Chng 5 122 C L NG THAM S Kho ng tin c y 90% cho phương sai t ng th : 19 s 2 2 χ0,95 (19) 19 s 2 < σ2 < 2 Tra b ng: χ0,05 (19) = 10,117 và 2 χ0,05 (19) 2 χ0,95 (19) = 30,144 Kho ng tin c y 90% cho σ là: ( 363,046; 626,666)... qui thì tăng này là 2,098 v i l ch chu n là 10,384 Gi s hai phân ph i t ng th là phân ph i chu n có cùng phương sai Tìm kho ng tin c y 90% hi u gi a hai trung bình t ng th Gi i Chng 5 123 C L NG THAM S G i X và Y, theo th t , là BNN ch tăng bách phân hàng năm c a thu nh p ròng c a ngân hàng có l p k ho ch tài chính chính qui và c a ngân hàng không l p k ho ch X và Y tuân theo lu t phân ph i chu... dò thì ngư i ta dùng giá tr l n nh t c a hàm y = p(1 − p) trên kho ng (0, 1); giá tr ó b ng 1 và kích thư c m u c n 4 thi t là s nguyên n1 th a: u1+ γ n1 ≥ 2 2ε 2 Chng 5 124 C L NG THAM S Thí d Bi t chi u cao c a nh ng ngư i cùng l a tu i có phân ph i N(µ, 100) Mu n ư c lư ng chi u cao trung bình µ v i sai s không quá 1cm tin c y 95% thì ph i quan sát ít nh t m y ngư i ? Gi i bài,... u thăm dò là: p = 0, 4 tin c y 95%, t l s n ph m không t tiêu chu n l n nh t ư c xác nh b i: p ≤ p + u0,95 p (1 − p ) = 0, 4 + 1, 6449 100 0,4 × 0,6 = 0, 48058 100 Chng 5 V y, hơn 0,48058 C L NG THAM S tin c y 95%, t l s n ph m không XS 125 t tiêu chu n không l n TK 2008 BÀI T P 5.1 Gi s r ng tu i th c a m t lo i bóng èn hình TV có l ch chu n b ng 500, nhưng chưa bi t trung bình Ngoài ra, tu i... máy ó, ngư i ta tính ư c x = 148,50 gam và s = 35,75 gam Tìm kho ng tin c y 95% cho kh i lư ng trung bình c a m i s n ph m trong lô hàng nói trên Bi t r ng chi phí s n xu t 1 gam Chng 5 126 C L NG THAM S s n ph m là 50 ngàn nói trên ng, tìm kho ng tin c y 95% cho chi phí s n xu t lô hàng 5.6 M t lô bút bi c a xí nghi p A s n xu t ra g m 1000 h p, m i h p 10 cây Ki m tra ng u nhiên 50 h p, th y có... con bò c a nông trư ng và có k t qu sau: SLSHN (kg) 10 12 14 15 S con bò (a) 9 10 24 42 16 8 Ư c lư ng s n lư ng s a trung bình m i ngày c a m t con bò b ng kho ng tin c y 97% Chng 5 127 C L NG THAM S (b) V i tin c y 97%, có th nói s n lư ng s a trung bình hàng ngày c a m t con bò nhi u nh t b ng bao nhiêu? (c) Tìm kho ng tin c y 90% cho t l bò cho SLSHN trên 11kg (d) Mu n sai s khi ư c lư ng... m t ơn v s n ph m là m t bi n ng u nhiên X tuân theo qui lu t chu n Quan sát 28 s n ph m ư c ch n ng u nhiên, ngư i ta thu ư c k t qu cho trong b ng sau: x (gam) 19 19,5 20 20,5 Chng 5 128 C L NG THAM S s s n ph m 5 6 14 3 Hãy xây d ng kho ng tin c y 90% cho phương sai t ng th trong hai trư ng h p: (a) bi t E(X) = 20g; (b) chưa bi t E(X) 5.16 Vi n th ng kê mu n ư c lư ng t l p ngư i dân không m... ch tiêu c a m t lo i s n ph m m t s s n ph m (s.ph), ngư i ta có s li u: Xi S s n ph m [5,7) 2 [7,9) 8 [9,11) 14 [11,13) 19 [13,15) 22 i u tra Chng 5 [15,17) 20 [17,19) 10 [19,21) (a) 129 C L NG THAM S 5 ư c lư ng trung bình ch tiêu X v i tin c y 92% và 0,3% thì c n i u tra thêm bao nhiêu s n ph m n a? chính xác (b) Ngư i ta xem các s n ph m có ch tiêu X dư i m t m c qui nh là lo i 2 T s li u... t 2000 con cá t h ó, ánh d u r i th l i xu ng h Vài ngày sau, h ánh b t l i 400 con thì th y có 80 con có ánh d u (a) Hãy ư c lư ng tr lư ng cá trong h b ng kho ng tin c y 95% Chng 5 130 C L NG THAM S (b) N u mu n sai s c a ư c lư ng gi m i m t n a thì l n sau ph i ánh b t bao nhiêu con cá? 5.21 nghiên c u s phát tri n c a m t lo i cây tr ng, ngư i ta quan tâm n ư ng kính X (cm) và chi u cao . toán là ước lượng giá trị của một hoặc nhiều tham số tổng thể. Lời giải ñáp cho vấn ñề này có thể có dạng một giá trị duy nhất, gọi là Ước lượng ñiểm, hoặc có dạng một khoảng, gọi là Ước lượng. ñược gọi là một ước lượng ñiểm (nói gọn là một ước lượng) của tham số θ nếu giá trị của nó tại một mẫu cụ thể ñược dùng ñể tính xấp xỉ θ . Giá trị ñó ñược gọi là một giá trị ước lượng của θ một ước lượng của θ . (a) T ñược gọi là một ước lượng không chệch của θ nếu E(T ) = θ. (b) Nếu T là một ước lượng không chệch của θ và D(T) không lớn hơn phương sai của bất kỳ một ước lượng
Ngày đăng: 03/09/2014, 11:28
Xem thêm: ước lượng tham số, ước lượng tham số
