CHUYÊN đề 2 toán luỹ thừa trong q

Mục lục Trang A Đặt vấn đề B Nội dung phơng pháp I Tình hình chung II Những vấn đề đợc giải III Phơng pháp tiến hành Cơ sở lí thuyết Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 2.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 2.1.3 Một số trờng hợp khác 2.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 2.2.1 Tìm chữ số tận 2.2.2 Tìm chữ số tận 2.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 2.3 Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa 2.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 2.5 Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa Kết thực VI Những vấn đề hạn chế hớng tiếp tục nghiên cứu V Điều kiện áp dụng C Kết luận Tài liệu tham khảo A Đặt vấn đề Phải nói rằng: Toán học môn khoa học tự nhiªn lý thó Nã cn hót ngêi tõ nhỏ Chính vậy, mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi môn toán nguyện vọng nhiều học sinh Trong giảng dạy môn toán , ,việc giúp học sinh nắm vững kiến thức , biết khai thác mở rộng kiến thức , áp dụng vào giải đợc nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển t , óc sáng tạo , nhanh nhạy giải toán từ học môn số học lớp Đó tiền đề để em học tốt môn ĐạI Số sau Trong toán học, Toán luỹ thừa mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều toán hay khó Để làm đợc toán luỹ thừa việc dễ dàng kể học sinh giỏi, ®èi víi häc sinh líp 6, líp 7, c¸c em đợc làm quen với môn đại số đợc tiếp cận với toán luỹ thừa nên cha có công cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phơng pháp, kĩ tính toán Để học tốt môn toán nói chung Toán luỹ thừa nói riêng, điều quan trọng biÕt rÌn nÕp suy nghÜ qua viƯc häc lý thut, qua việc giải tâp qua suy nghĩ, tìm tòi lời giải Đứng trớc toán khó, cha tìm cách giải, học sinh thực lóng tóng, hoang mang vµ rÊt cã thĨ sÏ bá qua toán đó, nhng có đợc giúp đỡ, gợi mở em không sợ mà thích thú làm toán nh Để nâng cao mở rộng kiến thức phần luỹ thõa cho häc sinh líp 6, líp 7, b»ng kinh nghiệm giảng dạy kết hợp với tìm tòi , học hỏi thầy cô giáo đồng nghiệp, muốn trình bày số ý kiến chuyên đề Toán luỹ thừa Q nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phơng pháp giải toán luỹ thừa cho đối tợng học sinh Bên cạnh giúp học sinh rèn luyện thao tác t duy, phơng pháp suy luận logic tạo say mê cho bạn yêu toán nói chung toán luỹ thừa nói riêng B Nội dung phơng pháp I Tình hình chung Thông qua giảng dạy, thấy hầu hết học sinh thấy toán liên quan đến luỹ thừa sợ, đặc biệt luỹ thừa với số mũ lớn , số mũ tổng quát Nh đà nói trên, học sinh lớp 6, lớp đợc tiếp xúc với toán luỹ thừa, sách giáo khoa yêu cầu mức độ vừa phải, nhẹ nhàng Chính mà giáo viên cần thay đổi yêu cầu đề học sinh đà thấy khác lạ, nâng cao lên chút em gặp khăn chồng chất: Làm cách nào? làm nh nào? cha cần trả lời câu hỏi: làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? Tôi chọn chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em không thấy sợ gặp toán luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6, lớp7 học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dới dạng tập II Những vấn đề đợc giải Kiến thức Kiến thức bổ sung Các dạng tập phơng pháp chung 3.1 Dạng1: Tìm số cha biết 3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần sè mị cđa l thõa 3.1.3 Mét sè trêng hỵp khác 3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa 3.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừa III Phơng pháp tiến hành CƠ Sở Lý THUYếT a Định nghĩa luỹ thừa với số mị tù nhiªn a a   a (n ∈ N*) an = n thõa sè b Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n ∈ N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p ∈ N) am : an = am-n (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy íc: a1 = a a0 =  (a ≠ 0) Víi : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z x.x   x (x ∈ N*) xn = n thõa sè n an a   = n b b (b ≠ 0, n ≠ 0) xo = xm xn = xm+n xm = x m−n n x x-n = xn (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym (x ≠ 0) (x ≠ 0) n  x xn   = n y  y c (y ≠ 0) KiÕn thøc bæ sung * Víi mäi x, y, z ∈ Q: x < y x + z < y + z Víi z > th×: x < y x z < y z z < th×: x < y x z > y z * Víi x ∈ Q, n ∈ N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Víi a, b ∈ Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an Các dạng tập Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phơng pháp: Đa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x biết rằng: a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = §èi với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm đợc, lu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xÐt hai trêng hỵp a, x3 = -27 x3 = (-3)3  x = -3 VËy x = - b, (2x – 1)3 = (2x – 1)3 = (-2)3 => 2x – = - 2x = -2 + 2x = - => x = −1 VËy x = −1 c, (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hc 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 VËy x = hc x = d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – = -4 hc x = -2 x–2=4 x=6 VËy x = -2 hc x = Bài Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5 NÕu ë bµi häc sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đà số- cha biết , số mũ- đà biết- lại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh tìm mò ằ đợc x = o x = 1, nhng cách không thuyết phục số x thỏa mÃn đề ? Giáo viên gợi ý : x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = => => x =   x − = => x =  x = x = x = Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau : Bài Tìm số h÷u tØ y biÕt : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Hớng dẫn : Đặt 3y = x Khi (*) trở thành : (*) x10 = x20 x =  10  x − = 10 Giải tơng tự ta đợc : => x = 10 x = => x =  x = −1   x = RÊt cã thÓ häc sinh dừng lại , đà tìm đợc x Nhng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Víi x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y = +) Víi x = ta cã : 3y -1 = 1 => 3y = => y = +) Víi x = -1 ta cã : 3y – = -1 => 3y = => y = VËy y= ; ;0 Bài : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 3x)2 Bài nàyngợc với , hai lũy thừa đà có số mũ -đà biÕt- gièng nhng c¬ sè – cha biÕt – lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất : bình phơng hai lũy thờa hai số đối Ta cè : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = – 3x hc x–5= 3x – => 4x = 2x = -4 => x= = x = -2 Bài : Tìm x y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 ≤ (*) Với toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm hai số x y bên cạnh dÊu ‘ ≤ ’’ , thËt lµ khã ! Lóc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải đợc vấn đề : hÃy so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 với Ta thÊy : (3x - 5)100 (2y +1)200 ≥ ≥ ∀ ∈ 0 x Q ∀ ∈ x Q => BiÓu thøc (*) chØ cã thÓ b»ng , nhỏ Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x – = 2y + =0 => x = Bài :Tìm số nguyên x y cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < Theo bµi , häc sinh sÏ nhËn : Z y= −1 (x + 2)2 ≥ ∀ ∈ x (1) 2(y – 3)2 ≥ ∀ ∈ x Z (2) Nhng n¶y sinh vÊn ®Ị ë “ < ” , häc sinh làm Giáo viên gợi ý : Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < th× xảy trờng hợp sau : +) Trêng hỵp : (x + 2)2 = => x = -2 +) Trờng hợp : (x + 2)2 = => +) Trêng hỵp : => => +) Trờng hợp : => x = -2 (x + 2)2 = (y – 3)2 = (y – 3)2 = => vµ x + =  x + = −1  y=3 y = y =  (y – 3)2 = => y=3  x = −1  x = −3  (x + 2)2 = vµ (y – 3)2 = =>  x = −1  x = −3  => y = y = Vậy ta có bảng giá trị tơng ứng x y thỏa mÃn đề bµi lµ : x y -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 Thật toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận xét thiếu trờng hợp ,bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mÃn điều kiện đề Bây giáo viên cho học sinh làm toán tơng tự sau : Tìm x biết : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 T×m y biÕt : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y – d, ( y -5 )2000 = ( y -5 )2008 T×m a , b ,c biÕt : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 ≤ ≤ 0 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 3.1.2 ≤ ≤ 0 Tìm số mũ , thành phần số mũ lũy thừa Phơng pháp : Đa hai lũy thừa có số Bài : Tìm n N biÕt : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm đợc câu a, a, 2008n = => 2008n = 20080 => n = 2007 2008 2009 + Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 2007 2008 2008 + < => 2008.A < 2008 B => A < B C¸ch 2: A = 2008 2009 + 2008 2008 + = 2008 2009 + 2008 − 2007 2008 2008 + = 2008.( 2008 2008 + 1) − 2007 2008 2008 + = 2008 B = 2008 2008 + 2008 2007 + = 2008 2008 + 2008 − 2007 2008 2007 + = 2008.( 2008 2007 + 1) − 2007 2008 2007 + 2007 2008 2007 + = 2008 - Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên => 2008 - VËy A > B 2007 2008 2008 + => A < B 2007 2008 2008 + > 2008 - 2007 2008 2008 + < 2007 2008 2007 + 2007 2008 2007 + (vì A,B > 0) Bài So sánh M vµ N biÕt: M= 100100 + 100 99 + ; N= 100101 + 100100 + Híng dÉn : C¸ch : N = => N = M VËy M < N 100101 + 100100 + 100101 + 100100 + > >1 100101 + + 99 100100 + + 99 = 100101 + 100 100100 + 100 = (100100 + 1).100 (100 99 + 1).100 = 100100 + 100 99 + = C¸ch : M= N= 100100 + 100 99 + 100101 + 100100 + = = 100100 + 100 − 99 100 99 + 100101 + 100 − 99 100100 + Vì 10099 + < 100100 + nên < 100 - = = (100 99 + 1).100 − 99 100 99 + (100100 + 1).100 − 99 100100 + 99 100 99 + > 99 100100 + = 100 - = 100 - => 100 - 99 100 99 + 99 100100 + 99 100 99 + 99 100100 + Vậy M < N Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tơng tự sau : So sánh : a, 528 2614 b, 521 vµ 12410 d, 421 vµ 647 c, 3111 vµ 1714 e, 291 vµ 535 g, 544 vµ 2112 h, 230 + 330 + 430 vµ 2410 So s¸nh : a, c, 1 300 200 199 vµ  1 −   4 vµ b, 1   8 d, 300 vµ 1    10  15 vµ  3    10  So s¸nh : a, A = 1315 + 1316 + vµ B = 1316 + 1317 + 20 b, A = c, A = 19991999 + 19991998 + vµ 100100 + 100 99 + B = vµ B = 1999 2000 + 19991999 + 100 69 + 100 68 + Gỵi ý : c, A = 100100 + 100 99 + vµ B = 100 69 + 100 68 + Bµi nµy không giống Học sinh lúng túng bắt tay làm bài, giáo viên cần hớng dẫn : Quy đồng mẫu A B , ta cã : A = (100100 + 1).(100 68 + 1) (100 99 + 1).(100 68 + 1) vµ B = (100 69 + 1).(100 99 + 1) (100 68 + 1).(100 99 + 1) Để so sánh A B lúc ta so sánh tử số cđa A vµ tư sè cđa B XÐt hiƯu tư sè cđa A trõ tư sè cđa B: (100100 + 1) (10068 + 1) - (10069 + 1) (10099 + 1) = 10068 + 100100 + 10068 + - 100168 – 10099 – 10069 – = 100100 – 10099 – 10069 + 10068 = 100 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068 = 99.10099 - 99.10068 = 99 (10099 - 10068) > v× 10099 > 10068 Vậy A > B 3.4 Dạng 4: Tính toán lũy thừa *Phơng pháp: Vận dụng linh hoạt công thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hòa số phơng pháp tính toán biến đổi Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: a, A= 30 + 213.5 27 27.5 + 210.5 27 b, M = ( x − ) ( x −5 ) ( x − )( x + ) ( x +5) víi x = Híng dÉn : Víi bµi nµy, häc sinh không nên tính giá trị lũy thừa thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh kh¸c theo thø tù thùc phép tính, mà làm nh khó đa đấp án Giáo viên cã thĨ híng dÉn häc sinh t×m thõa sè chung đa ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết toán nhanh đến bất ngờ a, b, A= M= 30 + 213.5 27 27.5 + 210.5 27 ( x − ) ( x − 5) = ( x −6 )( x + ) 213.5 (217 + 20 ) 210.5 (217 + 20 ) = 23 = ( x +5) Häc sinh dƠ ph¸t hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại cha cụ thể Nhng thay giá trị x vào M lại tìm đợc cách dễ dàng M= ( x − 4) ( x −5 ) ( x − ) 12 113 M= 32 ( x +6)( x +5) = ( − 4) ( −5)( − ) = 32 = 32 = Bµi 2: Chøng tá r»ng:  a, A = 102008 + 125 b, B = 52008 + 52007 + 52006 c, M = 88 + 220 d,  45  31 17 H = 3135 299 – 3136 36  ( + )( +5 ) Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ phơng pháp biến đổi, lu ý rằng: Nếu a = th× a  m.n (a, m, n ∈ m, a  n, (m;n) N*) a, A = 102008 + 125  45 100 Ta cã: 102008 + 125 = + 125 = 2008 sè A cã tËn cïng lµ => A  100 0125 2005 số Tổng chữ số A lµ : 1+1+2+5 = => A Mµ (5;9) = => A b,   5.9 hay A B = 52008 + 52007 + 52006    45 31 Ta tính giá trị cụ thể cđa tõng lịy thõa råi thùc hiƯn phÐp chia Gi¸o viên gợi ý đặt thừa số chung B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 ( 52 + 51 + 1) B = 52006 31 c, M = 88 + 220  31  17 Cách làm tơng tự nh câu b, nhng trớc tiên phải đa hai lũy thừa có số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 17 d, H = 3135 299 – 3136 36   17 Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, nhng đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, nh lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hớng dẫn H = 3135 299 – 3136 36 H = 3135 299 – 3136 - 35 3136 H = 3135 (299 – 313) - 35 3136 H = 3135 14 - 35 3136 H = (3135 – 3136 )  Bµi Cho A = 2+ 22 + 23 +……+ 260 Chøng tá r»ng :    A 3, A 7, A Với ,giáo viên hÃy hớng dẫn em nhóm lũy thừa thành tõng nhãm / / / ….lòy thõa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hÕt cho nã VÝ dô : A = 2+ 22 + 23 +……+ 260 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+…….+(257+258)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+… +257+259) = 3.( 2+23+25+… +257+259)  => A T¬ng tù ,ta cã : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+27+…….+258) = 7.(2+24+27+…….+258)  => A A = (2+ 23)+(22+24)+……+(257+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22) = (1+22).(2+22+25+26+…….+257+258) = (2+22+25+26+…….+257+258  => A Bµi 4: Chøng tá r»ng : a, D = + 32 + 33 + 34 +…… + 32007  13 b, E = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 74n-1 + 74n  400 Híng dÉn : a, Ta thÊy : 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp cđa tỉng thµnh mét nhãm nh sau : D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +…….+ (32005 + 32006.+ 32007) =3.(1 + + 32) +34.(1 + + 32) +…….+ 32005.(1 + + 32) = 13 + 34 13 + …… + 32005 13 = (3 + 34 + ……+ 32005) 13 => D 13 b, Tơng tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nªn : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343 ) (1+74 + 78 + …+74n-4) = 7.400 (1+74 + 78 + …+74n-4) => E Bµi :   400 400 a, TÝnh tæng : Sn = + a + a2 + + an b, ¸p dơng tÝnh c¸c tỉng sau: A = + + 32+ … + 32008 B = + + 22 + 23 + ……+ 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n a, Đây toán tổng quát , giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm Để thu gọn tổng lũy thừa , ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thõa * XÐt a = ta cã: * XÐt a ≠ ta cã : Sn = + + 12 + + 1n =( n +1).1 = n +1 Sn = + a + a2 + + an a Sn = a + a2 + + an+1 a Sn - Sn = an+1 – => Sn = a n +1 − a −1 b, Học sinh dễ dàng tính đợc tổng A, B , C nhê c«ng thøc Sn A = + + 32+ … + 32008 = 2009 − B = + + 22 + 23 + ……+ 21982 = 21983 - C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n = Bµi : Thu gän tỉng sau : n +1 − M = - + 22- 23 + … + 22008 MỈc dï đà có công thức tính tổng lũy thừa viết theo quy lt ë bµi nhng tÝnh tỉng M học sinh không tránh khỏi lúng túng víi nh÷ng dÊu ‘+’ , ‘-‘ xen kÏ NÕu vËn dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M không thu gọn đợc tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu đợc : câu b-bài 4, ta tÝnh hiƯu hai biĨu thøc v× hai biĨu thøc cã số hạng giống ; hai tổng 2M M lại có số hạng ®èi nªn ta sÏ xÐt hiƯu cđa chóng : M = - + 22- 23 + … + 22008 2M= - 22 + 23 – 24 + … + 22009 => 2M + M = 22009 + => M = 2009 + Bµi TÝnh : a, A = 1 1 + + + + 100 2 2 1 1 + + + + 500 5 5 b, B = 1+ Hớng dẫn : làm tơng tự bµi a, A= 1 1 + + + + 99 + 100 2 2 1 1 + + + + 99 2 2 2A = 1+ => 2A – A =(1+ A = 1+ A=1- 1 1 + + + + 99 2 2 )–( 1 1 + + + + 100 2 2 ) 1 1 1 1 − + − + − + + 99 − 99 − 100 2 2 2 2 2100 b, B = 1+ 5B = 5+1+ 1 1 + + + + 500 5 5 1 1 + + + + 499 5 5 => 5B – B = (5+1+ 1 1 + + + + 499 5 5 ) – (1+ 1 1 + + + + 499 5 5 ) = 5+1-1+ 4B = - 500 1 1 1 1 − + − + − + + 499 − 499 − 500 5 5 5 5 B = (5 Bµi TÝnh : 500 ):4 B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 - Víi bµi nµy rÊt cã thĨ häc sinh nghÜ tíi viƯc nhãm c¸c sè 100 , 982 , 22thành nhóm số lại thành nhóm Nhng nhóm nh không tính đợc nhanh để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau : Với số tự nhiên a b , ta cã : (a - b).(a+b) = a2 + b2 ThËt vËy , ta cã : (a - b).(a+b) =(a-b).a +(a-b).b = a2- ab+ab-b2 = a2+ b2 VËy : (a - b).(a+b) = a2 + b2 Ap dông đẳng thức vào ta đợc : B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 – = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+…… +(2-1).(2+1) = 100+99+98+97+…….+2+1 = 100.(100+1) : = 5050 Bµi 8: Chøng tá r»ng a, H = b, K = 1 1 + + + + + 1 1 1 1 + + + + + < + + + 2 1.2 2.3 2007.2008 2007 2008 H= (*) Mµ 1 1 1 1 1 + + + = − + − + − + + − = 1− H < Qua toán , giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau : Bài Chøng tá : 1 1 + + + + + + < 2 2003 n a, H = b, K = 1 1 1 + + + + + + 2 10 12 14 < (n ∈ N * , n ≠ 1) Híng dÉn : a, H < 1− 1 + + + 1.2 2.3 (n − 1).n = 1 1 1 1 + − + − + + − = 1− < 2 3 n −1 n n Nªn H < 1 1 1 1 1 1+ + + + + + 2 2 2 2 b, K = ( )< (1+1) = = (V× theo c©u a, VËy K < 1 1 1 + + + + + B víi: A= + + + + + + + + 58 B= + + + + 39 + + + + 38 3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa Dạng toán ®è víi lịy thõa cã mét sè bµi chđ u liên quan đến số phơng Số phơng bình phơng số tự nhiên *Phơng pháp: Cần nắm đợc số kiến thức sau +) Số phơng tận 0, , 4, 5, 6, tận 2, 3, 7, +) Khi ph©n tÝch thõa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ +) Số lợng ớc số phơng số lẻ Ngợc lại số có số lợng ớc số lẻ số số phơng Bài 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ số vào dòng chữ sau để đợc phép tính Mùi mùi = tân mùi (*) Bạn hÃy trả lời giúp Phân tích đề : Đề hay, nhng tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*) Mùi số có chữ số Theo (*) (Mùi)2 có tận mùi có chữ số Đi tìm đáp án: Gọi Mïi = a Ta cã: a2 = 1000 T¢N + a hay a2 – a = 1000 T¢N => a.(a-1) Ta thấy a-1 a hai số liên tiếp  1000 1000 = 125 víi (125 ; ) = VËy cã thĨ x¶y : +) a +) a   125 vµ a – vµ a-1  => a = 625  125 Do ®ã: 625 625 = 390625 376 376 = 141376 => a = 376 (tháa m·n) (không thỏa mÃn ,vì chữ T khác chữ N) Vậy Mùi mùi = tân mùi 625 625 = 390625 Bài 2: Đố bạn: số phơng có chữ số đợc viết chữ số: 3, 6, 8, Với toán này, ta phải sử dụng phơng pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phơng phải tìm n2 Số phơng không tận 3, nên n2 cã tËn cïng lµ Sè tËn cïng lµ 86 chia hết cho 2, không chia hết số phơng Vậy n2 có tận 36 Do số phơng cần tìm 8836 Bài Bạn hÃy tìm số phơng có chữ cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Gợi ý : Gọi số cần tìm n => n2 = => Ta cã 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => a0b ≤ k aabb = 11 = 11k2 ≤ a0b (k N ) Thử giá trị k có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = số cần tìm lµ 7744 ... : A = (2+ 22 + 23 )+ (24 +25 +26 )+……+ (25 8 +25 9+ 26 0 ) = 2. (1 +2+ 22) +24 .(1 +2+ 22) +……. +25 8.(1 +2+ 22) = (1 +2+ 22) . (2+ 24 +27 +……. +25 8) = 7. (2+ 24 +27 +……. +25 8)  => A A = (2+ 23 )+ (22 +24 )+……+ (25 7 +25 9)+ (25 8+ 26 0 )... VÝ dô : A = 2+ 22 + 23 +……+ 26 0 = (2+ 22) + (23 +24 )+ (25 +26 )+…….+ (25 7 +25 8)+ (25 9 +26 0) = 2. (1 +2) +23 .(1 +2) +25 .(1 +2) +……. +25 7.(1 +2) +25 9.(1 +2) = (1 +2) . (2+ 23 +25 +… +25 7 +25 9) = 3.( 2+ 23 +25 +… +25 7 +25 9)  =>... A = 2( 1 +22 ) +22 (1 +22 )+…… +25 7(1 +22 ) +25 8(1 +22 ) = (1 +22 ). (2+ 22+ 25 +26 +……. +25 7 +25 8) = (2+ 22+ 25 +26 +……. +25 7 +25 8  => A Bµi 4: Chøng tá r»ng : a, D = + 32 + 33 + 34 +…… + 320 07  13 b, E = 71 + 72 + 73