Một số vấn đề về lý thuyết đối ngẫu liên hợp và lý thuyết đối ngẫu lagrange

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ BÁ LONG NHẬT MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LIÊN HỢP VÀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LAGRANGE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số :8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Dương Thị Việt An THÁI NGUYÊN - 2020 Mˆc lˆc Danh mˆc k˛ hi»u M ¦u LÌi c£m Ïn Kián thc chuân b 1.1 Têp li v H m lÁi 1.2 H m liản hềp v mẻt sậ tẵnh chĐt 11 1.3 D˜Ĩi vi ph¥n cıa h m lÁi 13 1.4 Mẻt sậ kát quÊ b trề 14 Mẻt sậ vĐn à và l thuyát ậi ngău 17 2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 17 2.2 -ậi ngău liản hềp 20 2.3 -ậi ngău Lagrange 24 2.4 V½ dˆ v Ăp dng ậi ngău 27 2.5 p dng tẵnh toĂn dểi vi phƠn 31 Kát luên 35 Danh mc k hiằu R trèng sậ thác R têp sậ thác suy rẻng têp sậ thác khấng Ơm R+ khấng gian liản hềp (ậi ngău) ca X X ; têp rẩng 8x vểi mi x 9xM\ tn tÔi x N giao cıa hai tªp hỊp M v N gi¡ tr‡ tuy»t Ëi cıa x chu©n cıa v²ctÏ x jxj jjxjj BX(0; 1) int A hẳnh cƯu ẽn v ng X phƯn ca têp A inf f(x) infimum ca têp sậ thác ff(x) j x Kg x2K sup f(x) x2K () supremum ca têp sậ thác ff(x) j x Kg h m ch¿ cıa tªp epi f tr¶n Á th‡ cıa h m f dom f mi·n h˙u hi»u cıa h m f hx ; xi giĂ tr ca phiám h m x tÔi x @f(x) f d˜Ĩi vi ph¥n cıa h m lÁi f tÔi x h m liản hềp ca h m f f l:s:c: N (x) val(P ) h m li¶n hỊp th˘ hai cıa h m f n˚a li¶n tˆc d˜Ĩi h cĂc lƠn cên ca x têp cĂc giĂ tr tËi ˜u cıa b i to¡n P M ¦u L thuyát ậi ngău l mẻt bẻ phên quan trng cıa l˛ thuy¸t tËi ˜u ho¡ T˜Ïng ˘ng vĨi mÈi b i toĂn Quy hoÔch tuyán tẵnh (cÃn gi l b i to¡n gËc) c‚ mỴt b i to¡n Ëi ngău B i toĂn gậc v b i toĂn ậi ngău c mậi liản hằ qua lÔi vểi nhau, tẵnh ch§t cıa b i to¡n n y c‚ thº ˜Ịc kh£o s¡t thÊng qua b i to¡n Nhi·u quy trẳnh tẵnh toĂn hay phƠn tẵch ềc ho n thiằn xem x²t c°p b i to¡n gËc v b i toĂn ậi ngău mẩi quan hằ cht ch ca chng, mang lÔi nhng lềi ẵch viằc giÊi quyát cĂc vĐn à phĂt sinh t thác tá B i toĂn quy hoÔch toĂn hc cĂc khấng gian vấ hÔn chiÃu  ềc nghiản cu t gia thá k trểc, bt Ưu vểi mấ hẳnh b i toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh vấ hÔn chiÃu NhiÃu b i to¡n tËi ˜u c¡c khÊng gian h m, c‚ cĐu trc phc tÔp, nh b i toĂn iÃu khin tậi u v b i toĂn bián phƠn c th a và b i toĂn quy hoÔch toĂn hc khấng gian vấ hÔn chiÃu Php tẵnh vi phƠn l mẻt nhng à t i cẽ bÊn nhĐt ca giÊi tẵch c in Trong giÊi tẵch li, l thuyát n y lÔi c ng tr nản phong ph nhè nhng tẵnh chĐt c biằt ca têp li v h m lÁi D˜Ĩi vi ph¥n l kh¡i ni»m m rẻng cho khĂi niằm Ôo h m h m khÊng kh£ vi -i·u n y cho th§y vai tr· ca dểi vi phƠn giÊi tẵch hiằn Ôi cng c tƯm quan trng nh vai trà ca Ôo h m giÊi tẵch c in Trong L thuyát tậi u ni chung v GiÊi tẵch li ni riảng, cĂc quy tc tẵnh tng dểi vi phƠn ca cĂc h m li, chẵnh thèng c vai trà hát sc quan trÂng, °c bi»t l ta l m vi»c vÓi c¡c b i to¡n tËi ˜u c‚ r ng bc Mc ẵch ca luên vôn l nghiản cu l thuyát ậi ngău liản hềp v l thuyát ậi ngău Lagrange cho b i toĂn quy hoÔch li c tham sậ khÊng gian Banach T¯ ‚ ¡p dˆng l˜Òc Á ậi ngău nghiản cu quy tc tẵnh tng dểi vi phƠn ca cĂc h m li, chẵnh thèng dểi nhng iÃu kiằn chẵnh quy thẵch hềp Nẻi dung ca luên vôn ềc dch Tiáng Viằt mẻt sậ nẻi dung t¯ mˆc 2.5 Duality Theory cuËn s¡ch chuy¶n kh£o "Perturbation Analysis of Optimization Problems" (Springer, New York, 2000) cıa c¡c t¡c gi£ J F Bonnans and A Shapiro [3] Trong quĂ trẳnh nghiản cu tĂc giÊ cng tẳm hiu, tng hềp cĂc kián thc cẽ bÊn liản quan v cậ gng diạn Ôt chi tiát chng minh ca cĂc mằnh à v cĂc nh l Luên vôn gm phƯn m Ưu, phƯn kát luên, danh mc t i li»u tham kh£o, v hai ch˜Ïng c‚ nỴi dung nh˜ sau: Chẽng 1: Kián thc chuân b nhc lÔi mẻt sậ khĂi niằm v kián thc cẽ bÊn và têp li, h m li, h m liản hềp cng mẻt sậ kát quÊ b trề nhơm phc v cho viằc ch˘ng minh c¡c k¸t qu£ ch˜Ïng sau Ch˜Ïng 2: Mẻt sậ vĐn à và l thuyát ậi ngău trẳnh b y hai cĂch tiáp cên và l thuyát ậi ngău: -ậi ngău liản hềp v -ậi ngău Lagrange Vẵ d v Ăp dng ậi ngău cng ềc nghiản cu chẽng y -c biằt, phƯn cuậi chẽng, mẻt kát quÊ và quy tc tẵnh toĂn dểi vi phƠn cıa tÍng hai h m lÁi, n˚a li¶n tˆc d˜Ĩi, chẵnh thèng thu ềc bơng cĂch Ăp dng ậi ngău n Lèi cÊm ẽn Luên vôn n y ềc ho n th nh tÔi trèng -Ôi hc Khoa hc, -Ôi hc ThĂi Nguyản dểi sá hểng dăn tên tẳnh ca TS Dẽng Th Viằt An Em xin b y t lÃng biát ẽn chƠn th nh tểi Cấ  hểng dăn hiằu quÊ v truyÃn cho em nhng kinh nghiằm nghiản cu quĂ trẳnh em hc têp v ho n thiằn luên vôn n y Em cng xin chƠn th nh cÊm ẽn cĂc thƯy cấ Khoa ToĂn - Tin, trèng -Ôi hc Khoa hc, -Ôi hc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lềi cho em suật quĂ trẳnh em hc têp trèng ThĂi Nguyản, ng y 16 thĂng nôm 2020 Hc viản Lả BĂ Long Nhêt Chẽng Kián thc chuân b Trong chẽng n y, chng tấi nhc lÔi mẻt sậ khĂi niằm v kián thc cÏ b£n v· tªp lÁi, h m lÁi, h m liản hềp cng mẻt sậ kát quÊ b trề nhơm phˆc vˆ cho vi»c ch˘ng minh c¡c k¸t qu£ cıa ch˜Ïng sau NỴi dung cıa ch˜Ïng ˜Ịc tham kh£o t¯ c¡c t i li»u [1], [2] v [3] 1.1 Tªp lÁi v H m lÁi Gi£ s˚ X l khÊng gian Banach vểi khấng gian ậi ngău tẽng ng l X D , X; f : D ! R = R [ f 1g: CĂc têp hềp dểi Ơy: epif := f(x; ) D R j f(x) g; domf := fx D j f(x) < +1g; l¦n l˜Ịt ˜Ịc gÂi l tr¶n Á th‡ v mi·n h˙u hi»u cıa h m f: H m f ˜Òc gÂi l chẵnh thèng náu domf 6= ; v f(x) > ; 8x D: -nh nghắa 1.1 Têp A X ềc gÂi l lÁi n¸u 8x; y A; (0; 1) ) x + (1 Quy ˜Ĩc: Tªp ; l têp li )y A: Vẵ d 1.1 Trong khấng gian hu hÔn chiÃu, mt phng, oÔn thng, èng thng, tam giĂc, hẳnh cƯu l cĂc têp li M»nh · 1.1 (xem [1, trang 4]) Gi£ s˚ A X( I) l T vĨi I l tªp ch¿ sË b§t k˝ Khi ‚ A = A cÙng l R; 1; m Khi ‚ 1A1 + + mA m tªp lÁi 2I M»nh · 1.2 (xem [1, trang 4]) Gi£ s˚ tªp Ai i c¡c tªp lÁi, 2Xl c¡c tªp lÁi, l tªp lÁi M»nh · 1.3 (xem [1, trang 4]) Gi£ s˚ Xi l khÊng gian tuyán tẵnh, têp Ai Xi li (i = 1; n) Khi ‚, t½ch -· c¡c A1 A2 ::: An l têp li X1 X2 ::: Xn: -nh nghắa 1.2 H m f : D ! R ˜Òc gÂi l li trản D náu epif l têp li X R M»nh · 1.4 (xem [1, trang 40]) Cho f : X ! ( ; +1] Khi ‚ f l h m lÁi n¸u v ch¿ n¸u f( x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y); 8x; y X; (0; 1): (1.1) Ch˘ng minh )) V¼ f l h m li nản epif l têp li Khi vÓi mÂi (x; r) epif, (y; s) epif, (0; 1), ta c‚ (x; r) + (1 )(y; s) = ( x + (1 , f( x + (1 )y) r + (1 , f( x + (1 )y) f(x) + (1 )y; r + (1 )s) epif )s )f(y); (l§y r = f(x); s = f(y)): Náu x hoc y khấng thuẻc domf thẳ f(x) = +1 ho°c f(y) = +1 Khi ‚ (1.1) Ûng () Ngềc lÔi giÊ s (1.1) ng LĐy (x; r) epif; (y; s) epif, vÓi mÂi 2.3 -Ëi ngău Lagrange Trong mc n y chng tấi trẳnh b y cĂch tiáp cên ậi ngău dng h m Lagrange Ph¦n cuËi chÛng tÊi cÙng ch¿ mËi quan h» gia ậi ngău liản hềp (Mc 2.2) v ậi ngău Lagrange Cho KX X; KY Y l c¡c tªp hỊp khĂc rẩng bĐt kẳ Ta xt cp b i toĂn gậc v b i toĂn ậi ngău thấng qua h m L : KX KY ! R, ˜Òc x¡c ‡nh nh˜ sau sup L(x; y); x K X (PL y2KY max inf L(x; y): (DL ) ) y2KY x2KX Ta gÂi L l h m Lagrange t˜Ïng ˘ng vĨi c¡c b i to¡n tr¶n Hi»u sË gi˙a L val(P ) L L L val(D ) (khi val(P ) v val(D ) khấng cng nhên giĂ tr vấ hÔn) ềc gi l khoÊng cĂch ậi ngău tẽng ng vểi cp b i toĂn ậi mẻt im yản ngáa ca ngău trản Ta ni rơng (x; y) KX KY l h m L(x; y) n¸u L(x; y) R v : L(x; y) L(x; y) L(x; y); 8(x; y) KX KY : L L -‡nh l˛ 2.3 (i) Ta c‚ val(D ) val(P ) HÏn n˙a kho£ng c¡ch ậi ngău L L val(D ) val(P ) (náu n x¡c ‡nh) l khÊng ¥m (ii) H m L(x; y) c mẻt im yản ngáa náu v ch náu cĂc b i to¡n (DL)v L (P ) c‚ cÚng gi¡ tr‡ tËi ˜u v tªp nghi»m tËi ˜u cıa mÈi b i to¡n l kh¡c rÈng Trong tr˜Ìng hỊp n y, têp hềp cĂc im yản ngáa ềc kẵ hiằu L L S(P ) S(D ) 24 Ch˘ng minh (i) L§y (^x; y^) KX inf L(x; y^) KY b§t k¼ Khi ‚ L(^x; y^) sup L(^x; y) x KX y2KY v sup inf L(x; y) y inf sup L(x; y): x KX Ky y KY x KX 2 L L T¯ ‚, suy b§t ¯ng th˘c val(D ) val(P ), v ‚ kho£ng cĂch ậi ngău l khấng Ơm (ii) GiÊ s rơng tn tÔi mẻt im yản ngáa (x; y) Khi sup L x; y ( ) L x; y inf ( ) x KX L x; y: ( ) y2KY Thác tá thẳ cĂc bĐt ng thc trản chẵnh l cĂc ng thc, b i vẳ cên trản ng v cên dểi ng lƯn lềt thu ềc vểi y v x, vẳ vêy val P L ( ) sup L(x; y) = L(x; y) = inf L(x; y) val DL : ( x KX y2KY M°t kh¡c, v¼ val(DL) HÏn n˙a, L L ) L val(P ) n¶n val(D ) = L(x; y) = val(P ) L val(P ) = L(x; y) = sup L(x; y) v y2KY L val(D ) = L(x; y) = inf L(x; y): Hay n‚i c¡ch kh¡c x S(P L) v x2KX L y S(D ) t˜Ïng ˘ng B¥y giÌ ta s³ ch¿ r¬ng gi¡ tr‡ tËi ˜u cıa b i toĂn gậc v b i toĂn ậi ngău l bơng nhau, v náu x S(P L) v y S(DL), thẳ (x; y) l mẻt im yản ngáa ca L -iÃu n y cho thĐy rơng iÃu kiằn n y l i·u ki»n L L ı, v t¯ têp hềp cĂc im yản ngáa l S(P ) S(D ) Thêt vêy, vẳ val DL ) = inf ( x KX Lx; y ( L x; y ) ( ) sup L x; y ) = val P L ; y KY 25 ( ( ) v gi¡ tr‡ tËi ˜u cıa b i to¡n gËc v b i toĂn ậi ngău l bơng nhau, ta c‚ L(x; y) = inf L x; y x 2KX L x; y ; ( ) ( ) x KX : 82 T˜Ïng t¸, ta cÙng c‚ L(x; y) = sup L(x; y) L(x; y); 8y KY : y2KY Khi (x; y) l im yản ngáa - thĐy ềc quan hằ gia ậi ngău Lagrange v ậi ngău li¶n hỊp, ta x²t h m sau, h m n y c‚ thº ˜Òc xem l h m Lagrange cıa c°p b i to¡n gËc (Pu) v b i to¡n ậi ngău (Du) tẽng ng, L(x; u ; u) := hu ; ui ‚, vÓi x cho tr˜Óc, ’u l ’u (x; u ) ; li¶n hỊp cıa h m ’u (x; u ) = sup fhu ; u i ’ theo bi¸n u: ’(x; u )g : u 2U Khi ‚ ta c‚ inf L (x; u ; u) = h u ; ui x 2X sup fh u ; u0 i ’x; u0 )g ; ( (x;u )2X U v ‚ inf L(x; u ; u) = h u ; ui ’ (0; u ): x 2X Vêy nản, b i toĂn ậi ngău (Du) tẽng ẽng vểi max inf L (x; u ; u) : u 2U x2X M°t kh¡c, ta c‚ sup L(x; u ; u) = sup fhu ; ui ’u(x; u )g = ’u (x; u): u 2U u 2U 26 Ch rơng u , vẳ vêy val D ( u ) = sup inf L (x; u ; u) inf sup L (x; u ; u) xX xX u 2U u 2U = inf ’u (x; u) val(Pu): x2X Ngo i ra, n¸u h m ’(x; ) lÁi v ‚ng vĨi mÂi x X, theo -‡nh l½ FenchelMoreau (-‡nh l˛ 1.2), ta c‚ sup L(x; u ; u) = ’(x; u); u 2U vẳ vêy b i toĂn gậc (Pu) c th viát dểi dÔng x2X u 2U L (x; u ; u) : sup Suy rơng náu (x; ) l mẻt h m li, na liản tc dểi, chẵnh thèng thẳ b i toĂn (Pu) v (Du) c ˜Ịc nhÌ thay Íi th˘ t¸ ‚ c¡c to¡n t˚ "max" v "min" ˜Òc ¡p dˆng cho h m ậi ngău Lagrange L (x; u ; u) Tc l , trèng hềp n y, ậi ngău liản hềp trng vểi ậi ngău Lagrange, v náu x; u lƯn l˜Òt l nghi»m tËi ˜u cıa b i to¡n gËc v ậi ngău, v cĂc giĂ tr ca cĂc b i toĂn n y bơng nhau, thẳ (x; u ) l mẻt im yản ngáa ca L( ; ; u), t˘c l sup L(x; u ; u) = L(x; u ; u) = inf L(x; u ; u): u 2U x2X 2.4 V½ dˆ v ¡p dˆng sÏ Á Ëi ngău Cho X; X v Y; Y l cp cĂc khÊng gian vectÏ tÊpÊ lÁi ‡a ph˜Ïng X²t b i to¡n tËi ˜u (P ) minff(x) + F (G(x))g; 27 (2.5) ‚ f : X ! R, F : Y ! R l c¡c h m ch½nh th˜Ìng, v G : X ! Y Têp chĐp nhên ˜Òc cıa b i to¡n (P 0) l := fx dom f j G(x) dom F g: ChÛ rơng náu F ( ) = K ( ) l h m ch¿ cıa tªp khÊng rÈng K Y , b i toĂn (P 0) c dÔng f(x) cho G x ) K: (P ) x 2X (2.6) ( Ta x²t h c¡c b i to¡n tËi ˜u c‚ tham sË minf f(x) + F (G(x) + y) g; (P0) x 2X y ‚ y Y l tham sË Hiºn nhi¶n y = b i to¡n (P 0) trÚng vÓi b i to¡n (P 0) -°t ’(x; y) = f(x) + F (G(x) + y): H m gi¡ tr‡ tËi ˜u cıa b i to¡n v(y) = val(Py0) hay v(y) = inf ’(x; y): V¼ x2X F l chẵnh thèng, nản tn tÔi x dom f v hmfv y dom F Khi ‚ ’(x; y G(x)) = f(x) + F (y) < +1, suy (x; y G(x)) dom ’ HÏn n˙a ’(x; y) , vÓi mÂi (x; y) X Y , l h m chẵnh thèng Náu f v F na liản tc dểi thẳ cng na liản tc dểi Trèng hềp riảng náu F ( ) = K ( ) l h m ch¿ cıa tªp K, ‚ F l n˚a li¶n tˆc d˜Ĩi v ch¿ K ‚ng -‡nh ngh¾a 2.2 Ta n‚i r¬ng b i to¡n (P ) ˜Ịc cho b i cÊng th˘c (2.5) l lÁi n¸u h m F ( ) l n˚a li¶n tˆc d˜Ĩi v f(x) v (x; y) = F (G(x) + y) l lÁi -‡nh nghắa 2.3 Ta ni rơng b i toĂn (P ) ˜Òc cho b i cÊng th˘c (2.6) 28 l lÁi náu h m f(x) li, têp K l li v ng, Ănh xÔ G(x) l li tẽng ng vểi têp ( K) (hay (x; y) := K (G(x) + y) l lÁi) H m Lagrange cıa b i to¡n (P 0) l L(x; y ) := f(x) + hy ; G(x)i: M»nh · 2.7 Cho h m ’(x; y) = f(x) + F (G(x) + y) Khi ‚ h m liản hềp v th hai ca th nhĐt ’ l¦n l˜Ịt ˜Ịc x¡c ‡nh b i ’ (x ; y ) = supfhx ; xi L(x; y )g + F (y ): x2X ’ x; y) = sup fh y ; y inf L(x; y ) ( F (y )g : i + xX y 2Y Ch˘ng minh Theo cÊng th˘c cıa h m li¶n hỊp, ta c‚ ’ (x ; y ) = sup fhx ; xi + hy ; yi ’(x; y)g (x;y)2X Y = sup fhx ; xi + hy ; yi f(x) F (G(x) + y)g (x;y)2X Y = sup fhx ; xi + hy ; G(x) + yi (x;y)2X Y h y ; G(x)i f(x) F (G(x) + y)g = supfhx ; xi f(x) h y ; G(x)i x2X + sup[hy ; G(x) + yi F (G(x) + y)]g: y2Y B¬ng c¡ch Íi bi¸n G(x) + y 7! y ta ˜Ịc ’ (x ; y ) = supfhx ; xi L(x; y )g + F (y ): x2X Bơng cĂch bián i tẽng tá ta cng tẵnh ềc (x; y) = sup fhy ; yi + inf L(x; y ) x X y 2Y 29 F (y ) g : B i toĂn ậi ngău (Dy0) ca b i toĂn (Py0) c dÔng maxfhy ; y i + inf L(x; y ) y 2Y (D ) F (y ) : x2X y g Tr˜Ìng hỊp y = 0, b i toĂn ậi ngău ca (P 0) l max inf L(x; y ) F f y 2Y x2X ) (D0 (y ) : g Ta luÊn c‚ val(P 0) val(D0) vẳ v(u) v (u) Náu vểi mẻt v i x0 X; y Y m F (y ); f(x0) + F (G(x0)) = inf L(x; y ) (2.7) x2X th¼ val(P 0) = val(D0) (theo -‡nh l˛ 2.1) Khi val(P 0) = val(D0) hu hÔn thẳ x0 X v t˜Ïng ˘ng l y2 Y nghi»m tËi ˜u cıa b i to¡n (P 0) v (D ) -i·u kiằn (2.7) ềc viát lÔi nh sau inf L(x; y ) = f(x0) + F (G(x0)) F (y ) x2X ,0= Lx ; y ( )h y ; G x0)i + F ( G x 0)) ( ( x inf L(x; y ) + F (y ): X Hay L(x ; y ) inf L(x; y ) + F (G(x x2X Nhªn x²t 2.2 (i) L(x DĐu bơng xÊy v )) + F (y ) h y ; G(x ) = 0: (2.8) i ;y) inf L(x; y ) hay L(x ; y ) inf L(x; y ) 2 arg L(x; y ): ch¿ x 0 xX 0: xX xX (ii) F (G(x0))hy ; G(x0)i F (y ): D§u ¯ng th˘c x£y v ch¿ y @F (G(x0)): T¯ c¡c nhªn x²t tr¶n ta c‚ i·u ki»n (2.8) t˜Ïng ˜Ïng vĨi L(x; y ) v y @F( G x0)) : x0 (2.9) ( arg x X 30 0 val(P ) = val(D ) v x0 X; y Y -‡nh l˛ 2.4 N¸u l nghi»m tËi ˜u cıa b i to¡n (P ) v (D ) t˜Ïng ˘ng Khi ‚ i·u ki»n (2.9) th‰a mÂn Ngềc lÔi, náu iÃu kiằn (2.9) tha mÂn vểi mỴt v i x0; y l nghi»m tËi ˜u cıa b i to¡n (P ), y 0 , ‚ x0 l nghi»m tËi ˜u cıa b i to¡n (D ) v val(P ) = val(D ): BƠy giè ta xt iÃu kiằn chẵnh quy à 2.6 -i·u ki»n 0, i·u n y t˜Ïng M»nh ch½nh quy v(y) < +1 vểi mi y thuẻc lƠn v ch¿ cªn cıa ˜Ïng vĨi int(dom v) Mt khĂc, ta c tn v(y) < +1 tÔi x dom f cho G(x) + y K T˘c l dom v = K G(dom f): V¼ vêy trèng hềp n y, iÃu kiằn chẵnh quy int(dom v) ềc viát dểi dÔng int(G(dom f) K): 2.5 p dˆng t½nh to¡n d˜Ĩi vi ph¥n Cho X; Y l c¡c khÊng gian Banach, f : X ! R v g : Y ! R l c¡c h m lÁi, ch½nh th˜Ìng, A : X ! Y l toĂn t tuyán tẵnh Xt h m F (x) := f(x) + g(Ax); vÓi mi·n h˙u hi»u dom F := fx dom f j Ax dom gg: X²t b i to¡n tËi ˜u P 00 ( ) f f(x) + g(Ax) g : xX 31 (2.10) (B i to¡n n y l tr˜Ìng hỊp ri¶ng cıa b i to¡n (2.5) vĨi g G:) F; A H m Lagrange cıa b i to¡n n y l L(x; y ) = f(x) + hy ; Axi = f(x) + hA y ; xi; suy inf L(x; y ) = xX supf f(x) + h A y ; x ig = f ( x2X A y: ) Vẳ vêy b i toĂn ậi ngău cıa b i to¡n (2.10) l 00 (D ) maxf f ( A y ) g (y )g: y 2Y H m gi¡ tr‡ tËi ˜u t˜Ïng ˘ng vÓi b i to¡n (2.10) l v = inf ff(x) + g(Ax)g: x2X Ta c‚ dom v = fx dom f j Ax dom gg = dom g A(dom f): -iÃu kiằn chẵnh quy int(dom v) ềc viát lÔi th nh intfA(dom f) dom gg: (2.11) -‡nh l˛ 2.5 Cho X; Y l c¡c khÊng gian Banach, c¡c h m f : X ! R v g : Y ! R l c¡c h m lÁi, ch½nh th˜Ìng, l.s.c., A : X ! Y l to¡n t tuyán tẵnh liản tc v F (x) = f(x) + g(Ax) GiÊ s rơng iÃu kiằn chẵnh quy (2.11) tha mÂn Khi , vểi bĐt kẳ x0 dom F , ta c‚ @F (x0) = @f(x0) + A [@g(Ax0)]: Trong trèng hềp X = Y , Ănh xÔ tuyán tẵnh A l Ănh xÔ ng nhĐt, ta c k¸t qu£ sau 32 ˜Ịc x¡c ˜Ịc cho b i >p x if x 0; > < g(Ax) = g(x) = > >+1 if x < 0: : A(dom f) = dom f = f0g; dom g = [0; +1) Suy 2= int(A(dom f) dom g): > > < F (x) = f(x) + g(Ax) = > > : +1 -‡nh l˛ 2.6 Cho X l khÊng gian Banach, h m f; g : X ! R l cĂc h m li, l.s.c., chẵnh thèng Náu i·u ki»n ch½nh quy intfdom f dom gg (2.12) ềc tha mÂn thẳ vểi bĐt kẳ x0 (dom f) \ dom g, ta c‚ (2.13) @(f + g)(x0) = @f(x0) + @g(x0): -‡nh l˛ 2.6 ch½nh l quy tc tẵnh toĂn dểi vi phƠn ca tng hai h m li, na liản tc dểi, chẵnh thèng Sau Ơy ta xt mẻt sậ vẵ d minh thĐy vai trà ca cĂc giÊ thiát -nh l 2.6 -Ưu tiản l mẻt vẵ d ch sá cƯn thiát ca iÃu kiằn chẵnh quy (2.12) nh b i f (x) = n¸u x = g(y) = py náu y 0v Vẵ d 2.2 LĐy X = Y = R, f v f(x) = +1 n¸u x 6= Cho g g(y) = +1 n¸u y < Khi ‚ Ta c‚ HÏn n˙a if x = 0; if x 6= 0: ChÂn x := dom F , ta c‚ @F (x) = R ‚ @f(x) + A (@g(Ax)) = ;: 33 Tiáp theo, vẵ d sau Ơy chng t rơng giÊ thiát và tẵnh l.s.c ca f v g khÊng thº b‰ qua -‡nh l˛ 2.6 V½ dˆ 2.3 Cho X l khấng gian Banach vấ hÔn chiÃu Khi luấn tn tÔi phiám h m tuyán tẵnh khÊng li¶n tˆc f : X ! R -°t g := f, ta c‚ dom f = dom g = X, vẳ vêy iÃu kiằn chẵnh quy (2.12) tha mÂn Vẳ f v g l cĂc phiám h m tuyán tẵnh khấng liản tc, nản chng khấng l.s.c Mẻt mt ta c, @f(x) = @g(x) = ; vểi bĐt kẳ x X M°t kh¡c, v¼ f(x) + g(x) 0, ta c @(f + g)(x) = f0g Vẳ vêy, (2.13) khấng ng 34 Kát luên Trong luên vôn n y, chng tấi nghiản cu quy tc tẵnh toĂn dểi vi phƠn ca tng hai h m li, chẵnh thèng, na liản tc dểi bơng cĂch Ăp dng lềc ậi ngău C th, chng tấi s dng cĂc cấng c ca l thuyát ậi ngău nghiản cu cấng thc tẵnh dểi vi phƠn ca tng hai h m li, chẵnh thèng, na liản tc dểi s dng nhng iÃu kiằn chẵnh quy thẵch hềp CĂc kát quÊ Ơy ềc xt trản cĂc khấng gian Banach Nẻi dung chẵnh ca luên vôn ềc dch, tng hềp v trẳnh b y chi tiát theo cĂc nẻi dung tẽng ng ca mˆc 2.5 Duality Theory T i li»u tham kh£o Ti¸ng Viằt [1]-ẩ Vôn Lu, Phan Huy KhÊi, GiÊi tẵch li, Nh xuĐt bÊn Khoa hc K thuêt, H Nẻi (2000) [2]Hunh Thá Phng, Cẽ s giÊi tẵch li, Nh xuĐt bÊn GiĂo dc Viằt Nam, - Nđng (2012) 35 Tiáng Anh [3] J F Bonnans and A Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York (2000) 36 ... 23 2.3 -ậi ngău Lagrange Trong mc n y chng tấi trẳnh b y cĂch tiáp cên ậi ngău dng h m Lagrange PhƯn cuậi chng tấi cng ch mậi quan hằ gia ậi ngău liản hềp (Mc 2.2) v ậi ngău Lagrange Cho KX X;... y2KY Khi ‚ (x; y) l im yản ngáa - thĐy ềc quan hằ gia ậi ngău Lagrange v ậi ngău liản hềp, ta x²t h m sau, h m n y c‚ thº ˜Òc xem l h m Lagrange cıa c°p b i toĂn gậc (Pu) v b i toĂn ậi ngău (Du)... t¸ ‚ c¡c to¡n t˚ "max" v "min" ềc Ăp dng cho h m ậi ngău Lagrange L (x; u ; u) T˘c l , tr˜Ìng hềp n y, ậi ngău liản hềp trng vểi ậi ngău Lagrange, v náu x; u lƯn lềt l nghiằm tậi u ca b i toĂn