2 MÎt sË v§n · v· l˛ thuy¸t Ëi ng¨u
2.5 p dˆng t½nh to¡n d˜Ói vi ph¥n
Cho X; Y l c¡c khÊng gian Banach, f : X ! R v g : Y ! R l c¡c h m
lÁi, ch½nh th˜Ìng, A : X ! Y l to¡n t˚ tuy¸n t½nh. X²t h m F (x) := f(x) + g(Ax);
vÓi mi·n h˙u hi»u
dom F := fx 2 dom f j Ax 2 dom gg:
X²t b i to¡n tËi ˜u
P 00 ) min f f(x) + g(Ax) g : (2.10)
( x X
2
31
(B i to¡n n y l tr˜Ìng hÒp ri¶ng cıa b i to¡n (2.5) vÓi g F; A G:)
H m Lagrange cıa b i to¡n n y l
L(x; y ) = f(x) + hy ; Axi = f(x) + hA y ; xi;
suy ra
inf L(x; y ) = supf f(x) + h A y ; x ig = f ( A y:
x X x2X )
2
V¼ vªy b i to¡n Ëi ng¨u cıa b i to¡n (2.10) l
(D00) maxf f ( A y ) g (y )g:
y 2Y
H m gi¡ tr‡ tËi ˜u t˜Ïng ˘ng vÓi b i to¡n (2.10)
l v = inf ff(x) + g(Ax)g:
x2X
Ta c‚
dom v = fx 2 dom f j Ax 2 dom gg = dom g A(dom f):
-i·u ki»n ch½nh quy 0 2 int(dom v) ˜Òc vi¸t l¤i th nh
0 2 intfA(dom f) dom gg: (2.11)
-‡nh l˛ 2.5. Cho X; Y l c¡c khÊng gian Banach, c¡c h m f : X ! R
v g : Y ! R l c¡c h m lÁi, ch½nh th˜Ìng, l.s.c., A : X ! Y l to¡n t˚ tuy¸n
t½nh li¶n tˆc v F (x) = f(x) + g(Ax). Gi£ s˚ r¬ng i·u ki»n ch½nh quy
(2.11) th‰a m¢n. Khi ‚, vÓi b§t k¼ x0 2 dom F , ta c‚ @F (x0) = @f(x0) + A [@g(Ax0)]:
Trong tr˜Ìng hÒp X = Y , ¡nh x¤ tuy¸n t½nh A l ¡nh x¤ Áng nh§t, ta c‚ k¸t qu£ sau
-‡nh l˛ 2.6. Cho X l khÊng gian Banach, h m f; g : X ! R lc¡c h m lÁi, l.s.c., ch½nh th˜Ìng. N¸u i·u ki»n ch½nh quy
0 2 intfdom f dom gg (2.12)
F (x) = f(x) + g(Ax) =
A(dom f) = dom f = f0g; dom g = [0; +1). Suy
0 2= int(A(dom f) dom g): g(Ax) = g(x) = x if x 0; >+1 if x < 0: : >+1 > : ˜Òc cho b i 8 > > 0 < > > p > < 8 ˜Òc x¡c
˜Òc th‰a m¢n th¼ vÓi b§t k¼ x0 2 (dom f) \ dom g, ta c‚
@(f + g)(x0) = @f(x0) + @g(x0): (2.13)
-‡nh l˛ 2.6 ch½nh l quy tc º t½nh to¡n d˜Ói vi ph¥n cıa tÍng hai h m lÁi, n˚a li¶n tˆc d˜Ói, ch½nh th˜Ìng.
Sau ¥y ta x²t mÎt sË v½ dˆ minh hÂa º th§y vai tr· cıa c¡c gi£ thi¸t trong -‡nh l˛ 2.6. -¦u ti¶n l mÎt v½ dˆ ch¿ ra s¸ c¦n thi¸t cıa i·u ki»n ch½nh quy (2.12).
V½ dˆ 2.2. L§y X = Y = R, f
v f(x) = +1 n¸u x 6= 0. Cho g
g(y) = +1 n¸u y < 0. Khi ‚
‡nh b i f (x) = 0 n¸u x = 0 g(y) = p y n¸u y 0 v Ta c‚ ra HÏn n˙a if x = 0; if x 6= 0:
ChÂn x := 0 2 dom F , ta c‚ @F (x) = R trong khi ‚
@f(x) + A (@g(Ax)) = ;:
Ti¸p theo, v½ dˆ sau ¥y ch˘ng t‰ r¬ng gi£ thi¸t v· t½nh l.s.c. cıa f v g khÊng thº b‰ qua trong -‡nh l˛ 2.6.
V½ dˆ 2.3. Cho X l khÊng gian Banach vÊ h¤n chi·u. Khi ‚ luÊn tÁn
t¤i phi¸m h m tuy¸n t½nh khÊng li¶n tˆc f : X ! R. -°t g := f, ta c‚ dom f = dom g = X, v¼ vªy i·u ki»n ch½nh quy (2.12) th‰a m¢n. V¼ f v g
l c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh khÊng li¶n tˆc, n¶n chÛng khÊng l.s.c.
MÎt m°t ta c‚, @f(x) = @g(x) = ; vÓi b§t k¼ x 2 X. M°t kh¡c, v¼ f(x) +
T i li»u tham kh£o
Ti¸ng Vi»t
[1]-È V«n L˜u, Phan Huy Kh£i, Gi£i t½ch lÁi, Nh xu§t b£n Khoa hÂc Kˇ thuªt, H NÎi (2000)
[2]Hu˝nh Th¸ PhÚng, CÏ s gi£i t½ch lÁi, Nh xu§t b£n Gi¡o dˆc Vi»t Nam, - N®ng (2012)
K¸t luªn
Trong luªn v«n n y, chÛng tÊi nghi¶n c˘u quy tc º t½nh to¡n d˜Ói vi ph¥n cıa tÍng hai h m lÁi, ch½nh th˜Ìng, n˚a li¶n tˆc d˜Ói b¬ng c¡ch ¡p dˆng l˜Òc Á Ëi ng¨u. Cˆ thº, chÛng tÊi s˚ dˆng c¡c cÊng cˆ cıa l˛ thuy¸t Ëi ng¨u º nghi¶n c˘u cÊng th˘c t½nh d˜Ói vi ph¥n cıa tÍng hai h m lÁi, ch½nh th˜Ìng, n˚a li¶n tˆc d˜Ói s˚ dˆng nh˙ng i·u ki»n ch½nh quy th½ch hÒp. C¡c k¸t qu£ ¥y ˜Òc x²t tr¶n c¡c khÊng gian Banach. NÎi dung ch½nh cıa luªn v«n ˜Òc d‡ch, tÍng hÒp v tr¼nh
b y chi ti¸t theo c¡c nÎi dung t˜Ïng ˘ng cıa mˆc 2.5 Duality Theory
Ti¸ng Anh
[3] J. F. Bonnans and A. Shapiro, Perturbation Analysis of
Optimization Problems, Springer-Verlag, New York
(2000)