2 MÎt sË v§n · v· l˛ thuy¸t Ëi ng¨u
2.3 -Ëi ng¨u Lagrange
Trong mˆc n y chÛng tÊi tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn Ëi ng¨u dÚng h m Lagrange. Ph¦n cuËi chÛng tÊi cÙng ch¿ ra mËi quan h» gi˙a Ëi ng¨u li¶n hÒp (Mˆc 2.2) v Ëi ng¨u Lagrange.
Cho KX X; KY Y l c¡c tªp hÒp kh¡c rÈng b§t k¼. Ta x²t c°p b i to¡n gËc v b i to¡n Ëi ng¨u thÊng qua h m L : KX KY ! R, ˜Òc x¡c ‡nh nh˜ sau
min sup L(x; y);
(PL)
x
2K X y2KY
max inf L(x; y):
(DL)
y2KY x2KX
Ta gÂi L l h m Lagrange t˜Ïng ˘ng vÓi c¡c b i to¡n tr¶n. Hi»u sË gi˙a
val(P L) val(DL) (khi val(P L) v val(DL) khÊng cÚng nhªn gi¡ tr‡ vÊ h¤n) ˜Òc gÂi l kho£ng c¡ch Ëi ng¨u t˜Ïng ˘ng vÓi c°p b i to¡n Ëi ng¨u tr¶n. Ta n‚i r¬ng (x; y) 2 KX KY l mÎt iºm y¶n ng¸a cıa
h m L(x; y) n¸u L(x; y) 2 R v :
L(x; y) L(x; y) L(x; y); 8(x; y) 2 KX KY :
-‡nh l˛ 2.3. (i) Ta c‚ val(DL) val(P L). HÏn n˙a kho£ng c¡ch Ëi ng¨u
val(DL) val(P L) (n¸u n‚ x¡c ‡nh) l khÊng ¥m.
(ii) H m L(x; y) c‚ mÎt iºm y¶n ng¸a n¸u v ch¿ n¸u c¡c b i to¡n (DL)v
(P L) c‚ cÚng gi¡ tr‡ tËi ˜u v tªp nghi»m tËi ˜u cıa mÈi b i to¡n l kh¡c
rÈng. Trong tr˜Ìng hÒp n y, tªp hÒp c¡c iºm y¶n ng¸a ˜Òc k½ hi»u S(PL) S(DL).
Ch˘ng minh. (i) L§y(^x; y^) 2 KX KYb§t k¼. Khi‚
inf L(x; y^) L(^x; y^) sup L(^x; y)
x K2X y2KY
v
sup inf L(x; y) inf sup L(x; y):
x KX x KX y KY
y
2K y 2 2
2
T¯ ‚, suy ra b§t ¯ng th˘c val(DL) val(P L), v do ‚ kho£ng c¡ch Ëi ng¨u l khÊng ¥m.
(ii) Gi£ s˚ r¬ng tÁn t¤i mÎt iºm y¶n ng¸a (x; y). Khi ‚
sup L x; y ) L x; y inf L x; y:
( ( )x KX ( )
y2KY 2
Th¸c t¸ th¼ c¡c b§t ¯ng th˘c tr¶n ch½nh l c¡c ¯ng th˘c, b i v¼ cªn tr¶n Ûng v cªn d˜Ói Ûng l¦n l˜Òt thu ˜Òc vÓi y v x, v¼ vªy
val P L ) sup L(x; y) = L(x; y) = inf L(x; y) val DL :
( y2KY x KX ( )
2
M°t kh¡c, v¼ val(DL) val(P L) n¶n val(DL) = L(x; y) = val(P L). HÏn n˙a,
val(P L) = L(x; y) = sup L(x; y)
v y2KY
val(DL) = L(x; y) = inf L(x; y):
Hay n‚i c¡ch kh¡c x 2 S(P L) v x2KX
y 2 S(DL) t˜Ïng ˘ng.
B¥y giÌ ta s³ ch¿ ra r¬ng gi¡ tr‡ tËi ˜u cıa b i to¡n gËc v b i to¡n Ëi ng¨u l b¬ng nhau, v n¸u x 2 S(P L) v y 2 S(DL), th¼ (x; y) l mÎt iºm y¶n ng¸a cıa L. -i·u n y cho th§y r¬ng i·u ki»n n y l i·u ki»n ı, v t¯ ‚ tªp hÒp c¡c iºm y¶n ng¸a l S(P L) S(DL). Thªt vªy, v¼
val DL ) = inf Lx; y L x; y sup L x; y ) = val P L ;
( x KX ( ) ( ) ( ( )
2 2
y KY
v gi¡ tr‡ tËi ˜u cıa b i to¡n gËc v b i to¡n Ëi ng¨u l b¬ng nhau, ta c‚ L(x; y) = inf L x; y L x; y ; x KX : x 2KX ( ) ( ) 8 2 T˜Ïng t¸, ta cÙng c‚ L(x; y) = sup L(x; y) L(x; y); 8y 2 KY : y2KY
Khi ‚ (x; y) l iºm y¶n ng¸a.
-º th§y ˜Òc quan h» gi˙a Ëi ng¨u Lagrange v Ëi ng¨u li¶n hÒp, ta x²t h m sau, h m n y c‚ thº ˜Òc xem l h m Lagrange cıa c°p b i to¡n gËc (Pu) v b i to¡n Ëi ng¨u (Du) t˜Ïng ˘ng,
L(x; u ; u) := hu ; ui ’u (x; u ) ;
‚, vÓi x cho tr˜Óc, ’u l
li¶n hÒp cıa h m ’ theo bi¸nu:
’u (x; u ) = sup fhu ; u0i ’(x; u0)g :
u02U
Khi ‚ ta c‚
inf L (x; u ; u) = hu ; ui sup fhu ; u0i ’x; u0)g ;
x 2X (
(x;u0)2X U
v do ‚
inf L(x; u ; u) = hu ; ui ’ (0; u ):
x 2X
max inf L (x; u ; u) :
u 2U x2X
M°t kh¡c, ta c‚
sup L(x; u ; u) = sup fhu ; ui ’u(x; u )g = ’u (x; u):
u 2U u 2U
ChÛ ˛ r¬ng ’u 6 ’, v¼ vªy
val D inf L (x; u ; u) 6 inf sup L (x; u ; u)
( u) = supx X x X u 2U
u2U 2 2
= inf ’u (x; u) 6 val(Pu):
x2X
Ngo i ra, n¸u h m ’(x; ) lÁi v ‚ng vÓi mÂi x 2X, theo-‡nh l½ Fenchel-
Moreau (-‡nh l˛ 1.2), ta c‚
sup L(x; u ; u) = ’(x; u);
u 2U
v¼ vªy b i to¡n gËc (Pu) c‚ thº vi¸t d˜Ói d¤ng
x2X
u 2U L
min sup (x; u ; u) :
Suy ra r¬ng n¸u ’(x; ) l mÎt h m lÁi, n˚a li¶n tˆc d˜Ói, ch½nh th˜Ìng
th¼ b i to¡n (Pu) v (Du) c‚ ˜Òc nhÌ thay Íi th˘ t¸ trong ‚ c¡c to¡n t˚
"max" v "min" ˜Òc ¡p dˆng cho h m Ëi ng¨u Lagrange L (x; u ; u). T˘c
l , trong tr˜Ìng hÒp n y, Ëi ng¨u li¶n hÒp trÚng vÓi Ëi ng¨u Lagrange, v n¸u x; u l¦n l˜Òt l nghi»m tËi ˜u cıa b i to¡n gËc v Ëi ng¨u, v c¡c gi¡ tr‡ cıa c¡c b i to¡n n y b¬ng nhau, th¼ (x; u ) l mÎt iºm y¶n ng¸a cıa L( ; ; u), t˘c l
sup L(x; u ; u) = L(x; u ; u) = inf L(x; u ; u):
u 2U x2X