* Vấn đề: định nghĩa và sự xác định đường tròn. 1. Tập hợp các điểm cách O cho trước một khoảng R không đổi gọi là đường tròn tâm O bán kính R. Kí hiệu: (O; R). 2. Để xác định được đường tròn ta có các cách sau: Biết tâm O và bán kính R. Biết 3 điểm không thẳng hàng nằm trên đường tròn. 3. Cho (O; R) và điểm M. Khi đó có các khả năng sau: Nếu MO > R thì M nằm ngoài đường tròn (O; R). Nếu MO=R thì M nằm trên đường tròn (O;R). Kí hiệu: M ∈ (O; R). Nếu MO < R thì M nằm trong đường tròn (O; R). 4. Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung qua tâm. Vậy đường kính là dây cung lớn nhất trong một đường tròn. 5. Muốn c/m các điểm cùng nằm trên (O; R) ta chỉ ra khoảng cách từ mỗi điểm đến O đều là R. 6. Đường tròn qua hai điểm A và B có tâm nằm trên trung trực của AB. 7. Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền. Bài tập: 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm; BC=9cm. a. C/m: A; B; C và D cùng thuộc một đường tròn. b. Tính bán kính đường tròn đó. 2. Cho hình thoi ABCD; gọi O là giao điểm hai đường chéo. M, N, R và S là hình chiếu của O trên AB; BC; CD và DA. C/m 4 điểm M; N; R và S cùng thuộc một đường tròn. 3. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và đáy lớn CD ; góc C = D = 60 0 ; CD=2AD. C/m 4 điểm A; B; C; D cùng thuộc một đường tròn 4. Cho hình vuông ABCD a. CMR 4 đỉnh của hình vuông cùng năm trên 1 đường tròn. Hãy chỉ ra vị trí tâm của đường tròn đó. b. Tính bán kính của đường tròn, biết cạnh góc vuông bằng 10dm. * Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường tròn. 1. Đường tròn là hình có một tâm đối xứng là tâm đường tròn đó. 2. Đường tròn có vô số trục đối xứng là mỗi đường kính của nó. 3. Đường kính vuông góc dây cung thì đi qua trung điểm và ngược lại. 4. Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. 5. Dây cung nào gần tâm hơn thì dài hơn và ngược lại. 6. Vận dụng các tính chất trên ta có thể tính độ dài các đoạn và c/m các tính chất cũng như so sánh các đoạn thẳng dựa vào đường tròn. Bài tập: 1. Cho (O) và một dây cung CD. Từ O kẽ tia vuông góc CD tại M cắt (O) tại H. Tính bán kính R của (O) biết: CD=16cm và MH=4cm. 2. Cho (O; 2cm), MN là một dây cung của đường tròn có độ dài bằng 2cm. Khi đó khoảng cách từ O đến MN là bao nhiêu? 3. Cho (O; 12cm) có đường kính CD. Vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho góc NID bằng 30 0 . Tính MN. 4. Cho đường tròn (O) và cung BC có số đo là 60 0 . Từ B kẽ dây BD vuông góc đường kính AC và từ D kẽ dây DF //AC. Tính số đo cung DC; AB; FD. 6. Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB bằng hai lần số đo cung AnB. a. Tính số đo hai cung trên. b. Tính các góc của ∆AOB. c. Tính khoảng cách từ O đến AB. 7. Một dây cung AB chia đường tròn (O) thành hai cung thỏa số đo cung AmB bằng ba lần số đo cung AnB. a. Tính số đo hai cung trên. b. Tính các góc của ∆AOB. c. Tính khoảng cách từ O đến AB. 1) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi I là trung điểm OA, vẽ đường tròn tâm I bán kính IA.Trên đường tròn (I) lấy điểm M, tia AM cắt (O) tại điểm thứ hai N. a) Hai đường tròn (O) và (I) có vị trí như thế nào ? b) Chứng minh IM // ON. c) Tìm vị trí của điểm M để BM là tiếp tuyến của đường tròn (I). 2) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB ( Ax, By cùng nằm trên nửa mặt phẳng với nửa đường tròn bờ là AB). Trên nửa đường tròn lấy điểm M bất kỳ, tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh góc COD vuông . b) Chứng minh CD = AC + BD. c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. d) Gọi I là giao điểm của AD và BC . Chứng minh MI ⊥ AB. 3) Cho hình vuông ABCD cạnh a vẽ đường tròn (A. a). Trên BC lấy điểm M, từ M vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt cạnh CD tại N. a) Chứng minh chu vi tam giác CMN bằng 2a. b) Tìm số đo góc MAN. 4) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của AO, qua I kẻ dây CD vuông góc với OA. a) Tứ giác ACOD là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh tam giác BCD đều. c) Tính chu vi và diện tích tam giác BCD theo R. 5) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của BO, qua I kẻ dây CD vuông góc với OB. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia AB tại E. a) Tính độ dài OE theo R. a) Tứ giác ACED là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh B là trực tâm tam giác CDE . 6) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A, AH). Kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn ( D, E khác điểm H). Chứng minh rằng : a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. 7) Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Kẻ các đường kính AB với (O), AC với (O’). Gọi M là trung điểm của BC , qua M kẻ dây DE ⊥ BC . a) Tứ giác BDCE là hình gì ? Tại sao ? b) CE cắt (O’) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) Chứng minh EA ⊥ CD tại một điểm nằm trên đường tròn (O’). 8) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC , B∈ (O), C∈ (O’). kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. a) Chứng minh rằng · 0 BAC 90= . b) Tính số đo góc OIO’. c) Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. 9) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE , D∈ (O), E∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt ED tại I. Gọi M là giao điểm của OI với AD, N giao điểm AE với O’I. a) Từ giác AMIN là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh hệ thức IM . IO = IN . IO’. c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. d) Tính độ dài DE theo R và R’. 10) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến của (O’)tại A cắt (O) tại điểm thứ hai là C, tiếp tuyến của (O)tại A cắt (O’) tại điểm thứ hai là D. Gọi M là trung điểm của OO’, I là điểm đối xứng của A qua M, E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh rằng : a) IB ⊥ AB. b) Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn. 11) Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N. a) Chứng minh OM = OP và ΔNMP cân. b) Hạ OI ⊥ MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của (O). c) Chứng minh AM. BN = R 2 . d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh họa. 12) Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC, với B∈(O), C∈(O’). Tiếp tuyến chung trong cắt AB tại M. a) Chứng minh MB = MC và ΔABC vuông. b) MO cắt AB ở E, MO’ cắt AC ở F. Chứng minh tứ giác MEAF là hình chữ nhật. c) Chứng minh hệ thức ME.MO = MF.MO’ d) Gọi S là trung điểm của OO’. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (S) đường kính OO’. 13) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BDcắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc AD. Chứng minh a/ Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp b/ Tia CA là phân giác BCF c/ Cho BAD=60 0 . Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB của nửa đường tròn theo R 14/Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh các tứ giác ABDE, HDCE nội tiếp b/ Chứng minh BED = BCF c/ AD cắt cung BC tại M. Chứng minh tam giác BHM cân 15. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. a) So sánh CE và CF. b) Chứng minh rằng AC là tia phân giác góc BAE c) Chứng minh rằng CH 2 = AE BF 16. Cho đường tròn (O) bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA. a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn C, tiếp tuyến này cắt đuờng thẳng OA tại I. Tính độ dài CI biết OA=R. . huyền. Bài tập: 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=12cm; BC=9cm. a. C/m: A; B; C và D cùng thuộc một đường tròn. b. Tính bán kính đường tròn đó. 2. Cho hình. đường chéo. M, N, R và S là hình chiếu của O trên AB; BC; CD và DA. C/m 4 điểm M; N; R và S cùng thuộc một đường tròn. 3. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ