– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k. – Trung điểm của đoạn thẳng. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng AB. Cho hình bình hành ABCD. Cho tứ giác A[r]
(1)
CHƯƠNG I VECTƠ I VECTƠ
1 Các định nghĩa
• Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB • Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ
• Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB • Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0
• Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng • Hai vectơ phương hướng ngược hướng
• Hai vectơ gọi chúng hướng có độ dài Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a b, , để biểu diễn vectơ
+ Qui ước: Vectơ 0 phương, hướng với vectơ Mọi vectơ 0
2 Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC+ =
• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB AD AC+ = • Tính chất: a b b a+ = + ; (a b+ + = + +) c a (b c ); a+ =0 a
b) Hiệu hai vectơ
• Vectơ đối a vectơ b cho a b+ = 0 Kí hiệu vectơ đối a −a • Vectơ đối 0 0
• a b a− = + − ( )b
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB − = c) Tích vectơ với số
• Cho vectơ a số k ∈ R ka vectơ xác định sau: + ka hướng với a k ≥ 0, ka ngược hướng với a k < + ka = k a.
• Tính chất: k a b(+)=ka kb+ ; (k l a ka la+ )= + ; k la( ) =( )kl a ka =0 ⇔ k = a=0
• Điều kiện để hai vectơ phương: a b a ( ≠0)cùng phương⇔ ∃ ∈k R b ka: =
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k (≠ 0): AB k AC=
• Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phương: Cho hai vectơ không phương a b, x tuỳ ý Khi ∃duy cặp số m, n ∈ R: x ma nb = +
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA MB + =0 ⇔ OA OB + =2OM (O tuỳ ý) • Hệ thức trọng tâm tam giác:
(2)
Bài 1. Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác 0) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ?
Bài 2. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC ′ =C A A B′ = ′ ′
b) Tìm vectơ B C C A ′ ′ ′ ′,
Baøi 3. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP QN MQ PN = ; =
Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC BA AD− = ; AB AD AC+ =
b) Nếu AB AD+ = CB CD− ABCD hình chữ nhật
Bài 5. Cho hai véc tơ a b, Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a b+ = − a b Baøi 6. Cho ∆ABC cạnh a Tính AB AC + ; AB AC−
Bài 7. Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB AC AD+ +
Bài 8. Cho ∆ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA HB HC , ,
Bài 9. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB AD+ , AB AC + , AB AD−
Baøi 10.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác, M trung điểm BC AO cắt (O) tài A’ (≠A), BO căt (O) B’ (≠B)
a) Chứng minh: AH=B C HC' ; =AB' b) So sánh vectơ: HM ,MA'
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phân tích vectơ
Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình
- Tính chất vectơ - Khơng
Bài 1. Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:
a) AB DC AC DB+ = + b) AD BE CF AE BF CD + + = + +
Baøi 2. Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: a) Nếu AB CD= AC BD= b) AC BD AD BC+ = + =2IJ
c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA GB GC GD + + + =0
d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm
Baøi 3. Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh:
AB AI JA DA DB
2( + + + ) 3=
(3)
Chứng minh: RJ IQ PS + + =0
Bài 5. Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA IB IC + + =0
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC + + =4OI
Bài 6. Cho ∆ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh:
a) AH=2OM b) HA HB HC + + =2HO c) OA OB OC OH + + = Baøi 7. Cho hai tam giác ABC A′B′C′ có trọng tâm G G′
a) Chứng minh AA BB CC ′+ ′+ ′ =3GG′
b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm
Bài 8. Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh:
AM 1AB 2AC
3
= +
Baøi 9. Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN=2NA K trung điểm MN Chứng minh:
a) AK AB 1AC
4
= +
b) KD 1AB 1AC
4
= +
Bài 10.Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng:
AM 1OB OA
2
= −
b) BN 1OC OB
2
= −
c) MN 1(OC OB)
2
= −
Baøi 11.Cho ∆ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng:
a) AB 2CM 4BN
3
= − −
c) AC 4CM 2BN
3
= − −
c) MN 1BN 1CM
3
= −
Baøi 12.Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G
a) Chứng minh: AH 2AC 1AB
3
= −
CH 1(AB AC)
= − +
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH 1AC 5AB
6
= −
Bài 13.Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b=, = Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích vectơ BI AG , theo a b,
Baøi 14.Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD theo vectơ AB AF Bài 15.Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM
theo vectơ OA OB OC , ,
Baøi 16.Cho ∆ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB=3MC NA, =3CN PA PB, + =0
a) Tính PM PN , theo AB AC, b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Baøi 17.Cho ∆ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB
(4)
b) Đặt BB1=u CC,1=v Tính BC CA AB , , theo u vaø v
Baøi 18.Cho ∆ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC
a) Tính AI AF theo AB AC,
b) Gọi G trọng tâm ∆ABC Tính AG theo AI AF
Bài 19.Cho ∆ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA −5HB HC+ =0
b) Đặt AG a AH b=, = Tính AB AC , theo a b
Bài 20 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC, đường chéo BD theo thức tự E, F, M1 Biết: DE m DA DF= ; =n DC
(m, n > 0) Hãy biểu diễn: DM1 qua DB m, n
VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM a = , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành
– Trung điểm đoạn thẳng – Trọng tâm tam giác, …
Baøi 1. Cho ∆ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC − + =0
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI
a) Chứng minh: BN BA MB − =
b) Tìm điểm D, C cho: NA NI ND + = ; NM BN NC− = Bài 3. Cho hình bình hành ABCD
a) Chứng minh rằng: AB AC AD+ + =2AC
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3 AM AB AC AD= + + Baøi 4. Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC
a) Chứng minh: MN (AB DC)
= +
b) Xác định điểm O cho: OA OB OC OD + + + =0
Baøi 5. Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA SB SC SD + + + =4SO
Baøi 6. Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IB +3IC=0 b) 2JA JC JB CA + − =
c) KA KB KC + + =2BC d) 3LA LB − +2LC =0
Baøi 7. Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2 IA−3IB=3BC b) JA JB + +2JC =0
(5)
Baøi 8. Cho ∆ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA IB IC BC+ − = b) FA FB FC AB AC + + = + c) 3 KA KB KC+ + =0 d) 3 LA−2LB LC+ =0
Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau:
a) IA IB IC+ + =4ID b) 2FA +2FB=3FC FD − c) 4KA +3KB+2KC KD+ =0 Baøi 10.Cho tam giác ABC điểm M tùy ý
a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD MC AB = + , ME MA BC = + , MF MB CA = + Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) So sánh véc tơ MA MB MC vaø MD ME MF + + + + Baøi 11. Cho tứ giác ABCD
a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA GB GC GD + + + =0 (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD)
b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG 1(OA OB OC OD)
= + + +
Baøi 12. Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A′, B′, C′, D′ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:
a) G điểm chung đoạn thẳng AA′, BB′, CC′, DD′ b) G trọng tâm của tứ giác A′B′C′D′
Baøi 13.Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k cho vectơ v k MI. với điểm M:
a) v MA MB= + +2MC b) v MA MB = − −2MC
c) v MA MB MC MD= + + + d) v =2 MA+2MB MC+ +3MD
Bài 14 Cho đường tròn (O;R) hai điểm cố định A, B Với điểm M xác định M’ cho: '
MM =MA MB+
Hãy xác định vị trí M’ biết M chạy (O;R) VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Hai điểm trùng
• Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB k AC=
, với k ≠
• Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM ON = , với O điểm MN =0
Baøi 1. Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA +2OB−3OC=0 Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho:
BH 1BC BK, 1BD
5
= =
Chứng minh: A, K, H thẳng hàng
HD: BH AH AB BK AK AB = − ; = −
Baøi 3. Cho ∆ABC với I, J, K xác định bởi: IB=2IC, JC 1JA = −
(6)
a) Tính IJ IK theo AB AC , (HD: IJ AB 4AC
= −
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm ∆AIB)
Baøi 4. Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB=3MC, NA=3CN, PA PB + =0
a) Tính PM PN , theo AB AC,
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Baøi 5. Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD =
2AF, AB =
2AE Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng
b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành
Baøi 6. Cho ∆ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA +3IC=0, JA+2JB+3JC =0 Chứng minh điểm I, J, B thẳng hàng
Baøi 7. Cho ∆ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3 MA+4MB=0, NB−3NC=0 Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ∆ABC
Baøi 8. Cho ∆ABC Lấy điểm M N, P: MB −2MC NA= +2NC PA PB= + =0
a) Tính PM PN theo AB AC , b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng
Bài 9. Cho ∆ABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm
Baøi 10.Cho tam giác ABC, A′ điểm đối xứng A qua B, B′ điểm đối xứng B qua C, C′ điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC A′B′C′ có chung trọng tâm
Bài 11.Cho ∆ABC Gọi A′, B′, C′ điểm định bởi: 2 A B′ +3A C′ =0, 2B C ′ +3B A′ =0,
C A C B
2 ′ +3 ′ =0 Chứng minh tam giác ABC A′B′C′ có trọng tâm Bài 12.Trên cạnh AB, BC, CA ∆ABC lấy điểm A′, B′, C′ cho:
AA BB CC
AB BC AC
′= ′ = ′
Chứng minh tam giác ABC A′B′C′ có chung trọng tâm
Baøi 13.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A′, B′, C′ điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ đồng qui điểm N
b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN qua trọng tâm G ∆ABC Bài 14.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA +4MB=0,
CN 1BC
2 =
Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G ∆ABC
Baøi 15.Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD DE EC= =
a) Chứng minh AB AC AD AE + = +
(7)
Baøi 16.Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM BC = −2AB, CN xAC BC= −
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng
b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính IM IN Baøi 17.Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a b c+ + ≠0
a) Chứng minh có điểm G thoả mãn aGA bGB cGC + + =0
b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP aMA bMB cMC= + + Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng
Baøi 18.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN=2MA +3MB MC− a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA +3IB IC− =0
b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định
Baøi 19.Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN=2MA MB MC − + a) Tìm điểm I cho 2IA IB IC − + =0
b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định
c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP ln qua điểm cố định Bài 20.Cho tam giác ABC Các điểm P, Q thoả mãn:
3
PA PB
QA QC
=
+ =
a) Biểu diễn: AP AQ, theo AB AC,
b) Chứng minh rằng: PQ qua trọng tâm tam giác ABC Vấn đề Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa về tập hợp điểm biết Chẳng hạn:
– Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng
– Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng khơng đổi đường trịn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi
– Tập hợp M qua A có vtcp cho trước,
Baøi 1. Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho:
a) MA MB+ = MA MB− b) 2MA MB + = MA+2MB Baøi 2. Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M cho:
a) MA MB MC MB MC
2
+ + = +
b) MA BC+ = MA MB−
c) 2 MA MB+ = 4MB MC − d) 4 MA MB MC+ + = 2MA MB MC − − Baøi 3. Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I cho: 3IA −2IB IC+ =0
b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN =2MA−2MB MC+
qua điểm cố định
(8)
d) Tìm tập hợp điểm K cho: 2KA KB KC + + =3KB KC + Baøi 4. Cho ∆ABC
a) Xác định điểm I cho: IA +3IB−2IC=0 b) Xác định điểm D cho: 3DB −2DC=0 c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng
d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA +3MB−2MC = 2MA MB MC − − Bài Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp điểm M cho:
3 |MA MB MC + + +MD| |= MB MD MC + + |
VẤN ĐỀ 6: Áp dụng vectơ giải tốn
Bài 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B′ điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ AH vaø B C AB vaø HC ′ ; ′
Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC BD AD BC + = + =2IJ
b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA GB GC GD + + + =0
c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm
Bài 3. Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý
a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD MC AB = + , ME MA BC = + , MF MB CA = + Chứng minh điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) So sánh hai tổng vectơ: MA MB MC + + MD ME MF + + Baøi 4. Cho ∆ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM
a) Chứng minh: 2IA IB IC + + =0
b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA OB OC + + =4OI
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ∆ABC Chứng minh:
a) 2AI =2 AO AB+ b) 3DG DA DB DC = + +
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a) Chứng minh: AI D 2(A AB)
2
= +
b) Chứng minh: OA OI OJ + + =0 c) Tìm điểm M thoả mãn: MA MB MC− + =0
Baøi 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD=2AB,
AE 2AC
5 =
a) Tính AG DE DG theo AB AC, , b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng
Baøi 8. Cho ∆ABC Gọi D điểm xác định AD 2AC =
M trung điểm đoạn BD
(9)
b) AM cắt BC I Tính IC IB
AI AM
Bài 9. Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: a) MA MB = b) MA MB MC + + =0 c) MA MB + = MA MB− d) MA MB+ = MA MB+ e) MA MB + = MA MC+
Baøi 10.Cho hình thang cân ABCD có đáy AD, BC, góc 30 BAD
∠ = Biết: AB a= =;AD b= Hãy biểu diễn vectơ: BC CD AC BD , , , theo vectơ ;a b
Baøi 11. Cho vectơ ;a b không phương , (1 )
u = +a x b v = −x a− b Tìm x để hai vectơ ,
u v hướng
BÀI TẬP
Bµi1/ Cho tam giác ABC, M trung điểm AB N điểm cạnh AC
NA= AC Gọi G trọng tâm tam giác AMN Cmr: 7GA+2GB +3GC=0
Bµi 2/ Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC =a 5, AB=a
a) M điểm bất kỳ, đặt v=3MA−2 MB−MC.Cmr v véc tơ không đổi.Vẽ AD=vsuy v
b) Gọi I điểm đoạn BC
IB= BC, K trung điểm AI, cmr: 3KA+2KB +KC =0
Bµi 3/ Cho hbh ABCD với O tâm
a/ Xđ điểm M thỏa AB+AC+AD=3AM b/ Cm: AO=3OM c/ Tính AB+AD theo OM
Bµi 4/ Cho tứ giác ABCD Gọi M N trung điểm AD BC; I J trung điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh:
a) AB+DC=2MN b) AB CD+ =2IJ
Bµi 5/ Cho tam giác ABC.Gọi M điểm đoạn BC cho MB=2MC Cminh:
1
3
AM = AB+ AC
Bµi 6/ Cho tg ABC Gọi M trung điểm AB, N điểm AC cho CN=2NA; K trg điểm MN
a) Phân tích véc tơ AKtheo véc tơ AB AC,
b) b/ Gọi D trung điểm BC Chứng minh: 1
4
KD= AB+ AC
Bµi 7/ Cho tam giác ABC Đặt AB=u AC; =v
a/ Gọi P điểm đối xứng B qua C Tính AP theo u v , b/ Gọi Q R hai điểm định
2 AQ= AC
;
3 AR= AB
(10)
Bµi8: Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam gi¸c
a) BiĨu diƠn AG theo AB,AC b) BiĨu diƠn AG theo CA,CB
c) §Ỉt a= BA, b = BC. BiĨu diƠn AG theo a, b
Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác, I điểm xác định IA = 2IB, J
điểm BC cho JB= x JC
a) Biểu diễn CI, CJ theo CA,CB.b) Biểu diễn IJ theo CA,CB.c) Tìm x để IJ // CG
Bµi 10:Cho tam giác ABC điểm I cho IA + 2IB=O, J điểm BC cho JB= x JC
a)Biểu diễn CI, CJ theo CA,CB b) Biểu diễn AI,AJ theo AB,AC c) Biểu diễn IJ , IG theo AB,AC d) Tìm x để I, J, G thẳng hàng
Bài 11 : Cho tam giác ABC cạnh a, G trọng tâm tam giác Tính độ dài véctơ sau: a) AB+AC b) AB-AC c) AB-CA d) AB-BC
e)GB +GC
Bài12:Cho tam giác ABC vuông A AB = 3, AC = Tính độ dài véctơ sau: a) AB+AC b) AB-AC c) AB-CA d) AB-BC
e)GB +GC
Bài 13 : Cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a, H trung điểm BC Tính độ dài véctơ sau:
a)GB +GC b)2AB+AC c) 2AB-AC d) CA-HC
Bài 14 : Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm, M trung điểm BC H điểm đối xứng với B qua G CMR:
a) AH =
AC -3
AB b) CH = -3
AB -3
AC c) MH=
AC -6
AB
Bài 15:Cho tam giác ABC
a) Gọi P điểm đối xứng B qua C Tính APtheo AB, AC
b) Gọi Q R hai điểm xác định :AQ=
AC vµ AR=
AB
TÝnh RP,RQ theo AB, AC
c) CMR: P, Q, R thẳng hàng
Bài 16:Cho tam giác ABC hai điểm I, F cho bởi:IA+3IC=O;FA+2FB+3FC=O. CMR:
I,F,B thẳng hàng
Bài 17:Cho tam giác ABC