Đang tải... (xem toàn văn)
b). Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không đồng phẳng. Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa tam giác ABC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:.. a). Tìm g[r]
(1)1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng : Ta tìm hai điểm chung hai mặt phẳng giao tuyến đường thẳng qua hai điểm chung
Bài tập
1. Cho tứ diện ABCD M N trung điểm AD BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (NAD)
2. Cho tứ diện SABC Gọi M,N điểm đoạn SB SC cho MN khơng song song với BC Tìm giao tuyến mặt phẳng (AMN) (ABC), mặt phẳng (ABN) (ACM)
3. Cho tứ diện ABCD Trên AB lấy M với AM =
AB Gọi I, K trung điểm AC, AD Định giao tuyến (d) mặt phẳng (MIK) (BCD)
4. Cho tứ diện SABC Gọi I, J, K ba điểm tuỳ ý SB, AB, BC cho JK không song song với AC SA không song song với IJ Định giao tuyến (IJK) (SAC)
5. Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm AB, AC, BD cho (EF) cắt (BC) I , (EG) cắt (AD) H Định giao tuyến mặt phẳng (EFG) với hai mặt phẳng (BCD) (ACD)
6. Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, J trung điểm AD BC a) Xác định giao tuyến của(ICB) và(KAD)
b) Gọi M, N điểm lấy đoạn AB AC Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC) (DMN)
7. Cho hình thang ABCD ABEF có chung đáy lớn AB khơng đồng phẳng a) Xác định giao tuyến mặt phẳng (ACE) (BFD)
b) Xác định giao tuyến mặt phẳng (BCE) (ADF)
8. Cho tam giác ABC điểm S nằm mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AB, BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng:
a) (SMN) (ABC) b) (SAN) (SCM)
9. Trong mặt phẳng () hình thang ABCD (AB // CD, AB > CD) Điểm S nằm ngồi () Tìm giao tuyến hai mặt phẳng:
a) (SAC) (SBD) b) (SAD) SBC)
c) Điểm M thuộc SB Tìm giao tuyến (ADM) (SAC)
2 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG:
Ta chứng minh ba điểm điểm chung hai mặt phẳng phân biệt
Bài tập
1. Cho mặt phẳng () điểm A, B, C không thẳng hàng không nằm () Chứng minh đường thẳng AB, AC, BC cắt () I, J, K điểm thẳng hàng
2. Cho đường thẳng đồng quy Ox, Oy điểm A, B ngồi mặt phẳng (xOy) AB khơng song song với (xOy) Một mặt phẳng (P) di động qua AB cắt Ox, Oy E F Chứng minh EF qua điểm cố định
3. Cho tam giác ABC điểm O nằm mặt phẳng (ABC) Gọi A’, B’, C’ điểm lấy đoạn OA, Ob, OC khơng trùng với đầu mút đoạn thẳng Chứng minh cặp đường thẳng A’B’ AB; B’C’ BC; A’C’ AC cắt D, E, F ba điểm D, E, F thẳng hàng
4. Cho tứ diện ABCD I điểm đường thẳng BD không thuộc đoạn BD Trong (ABD) dựng đường thẳng qua I cắt AB, AD K, L Trong mặt phẳng (BCD) dựng đường thẳng qua I cắt CB, CD M, N Giả sử KM LN cắt H Chứng minh H, A, C thẳng hàng
3 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Ta chứng minh có đường thẳng cắt điểm thuộc đường thẳng thứ ba Bài tập
1. Cho tứ diện ABCD mặt phẳng(P) không chứa AB CD cắt cạnh AC, BC, AD M, N, R, S a) Chứng minh đường thẳng AB, MN, RS đồng qui
b) Chứng minh đường thẳng CD, MS, NR đồng qui
2. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm mặt phẳng chứa ABCD Gọi M, N trung điểm SC, SD Gọi I giao điểm AD BC, J giao điểm AN BM
a) CMR : S, I, J thẳng hàng
(2)3. Cho tứ diện ABCD M, N trung điểm BC, BD Các điểm P S thuộc AD, AC cho AR= AD:3 ; AS= AC:3 CMR : ba đường thẳng AB, MS, NR đồng qui
4 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tìm giao điểm đường thẳng (a) mặt phẳng (P):
- Chọn mặt phẳng (Q) chứa a
- Tìm giao tuyến b (P) (Q)
- Trong mặt phẳng (Q): Gọi I giao điểm a b I giao điểm a (P) Chú ý: Nếu (P) chứa đường thẳng c mà c cắt O O giao điểm a (P)
Bài tập
1. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC Gọi K điểm cạnh BD khơng phải trung điểm Tìm giao điểm của:
a) CD mặt phẳng (MNK) b) AD mặt phẳng (MNK)
2. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB Ac lấy điểm M, N cho MN không song song với BC Gọi O điểm nằm tam giác BCD
a) Tìm giao điểm MN (BCD) b) Tìm giao tuyến (OMN) (BCD)
c) Mặt phẳng (OMN) cắt đường thẳng BD CD H K Xác định điểm H K
3. Cho hình chóp SABCD Gọi I, J, K điểm cạnh SA, AB, BC Giả sử đường thẳng JK cắt đường thẳng AD, CD M, N Tìm giao điểm đường thẳng SD SC với mặt phẳng (IJK)
4. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P điểm cạnh AC, BC, BD a) Tìm giao điểm CP (MND)
b) Tìm giao điểm AP (MND)
5. Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC BC Trên BD lấy điểm P cho BP=2PD
a) Tìm giao điểm đường thẳng CD với mặt phẳng(MNP) b) Tìm giao điểm hai mặt phẳng (MNP) (ACD)
6. Cho hình chóp SABCD có ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm SA, SB M điểm tuỳ ý cạnh SD
a) Tìm giao tuyến của(SAD) (SBC)
b) Tìm giao điểm K IM với mặt phẳng (SBC) c) Tìm giao điểm N SC với mặt phẳng (IJM)
7. Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC a) Tìm giao điểm I đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD)
b) Chứng minh IA= 2IM
c) Tìm giao điểm F SD (ABM)
d) Điểm N thuộc AB Tìm giao điểm MN (SBD)
8. Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng (P) có hai cạnh AB CD khơng song song Gọi S điểm nằm (P) M trung điểm đoạn SC
a) Tìm giao điểm N SD (MAB)
b) Gọi O giao điểm AC BD CMR: SO, AM, BN đồng qui
9. Cho tứ diện ABCD Hai điểm M, N nằm tam giác ABC tam giác ABD I điểm tuỳ ý CD Tìm giao (ABI) đường thẳng MN
10. Cho hình chóp SABCD Gọi I, J hai điểm cạnh AD, SB a) Tìm giao điểm K, L IJ DJ với (SAC)
b) AD cắt BC O; OJ cắt SC M Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng
4 THIẾT DIỆN
Thiết diện hình chóp mặt phẳng(P) đa giác giới hạn giao tuyến (P) với mặt của hình chóp Để tìm thiết diện trước hết ta tìm đoạn giao tuyến (P) với mặt hình chóp Bài tập
(3)2. Cho tứ diện ABCD Trên đoạn AC, BC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với AB, NP không song song với CD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) tứ diện ABCD
3. Cho tứ diện ABCD cạnh a Kéo dài BC đoạn CE = a Kéo BD đoạn DF = a Gọi M trung điểm AB Xác định thiết diện tạo tứ diện với mặt phẳng (MEF)
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Trong mặt phẳng ABCD vẽ đường thẳng (d) qua A không song song với cạnh hình bình hành Gọi C’ điểm cạnh SC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (d,C’)
5. Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AD SC Mặt phẳng (MNP) cắt cạnh bên SB, SD Q R Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) hình chóp SABCD
6. Cho hình chóp SABCD Gọi M điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) (SAC)
b) Tìm giao điểm đường thẳng BM mặt phẳng (SAC) c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (ABM)
7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
8. Cho hình chóp tứ giác SABCD Điểm M nằm cạnh SC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (ABM)
9. Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành tâm O Một điểm M cạnh SD cho SD = 3SM a) Tìm giao tuyến (SAC) (SBD)
b) Xác định giao điểm I BM (SAC) Chứng tỏ I trung điểm SO c) Định thiết diện hình chóp SABCD (MAB)
ÔN TẬP CHƯƠNG
1 Cho tứ giác ABCD, ABEF không đặc sắc không đồng phẳng a) Tìm giao tuyến (ADF) (BCE)
b) M trung điểm đoạn EF Tìm giao điểm (ABM) (CE)
2 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J điểm AB, CD Trên AD lấy M cho AM=
AD Tìm thiết diện mặt phẳng (IJM) cắt tứ diện
3. Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành G trọng tâm tam giác SAC, I trng điểm CD, J trung điểm SD
a) Tìm giao điểm GI (SAD)
b) Tìm thiết diện mặt phẳng (CGI) cắt hình chóp
4 Cho hình thang ABCD mp() điểm S () (AB // CD, AB > CD) a) Tìm giao tuyến (d) (SAC) (SBD) giao tuyến (d’) (SAD) (SBC)
b) Tìm giao điểm mặt phẳng (d, d’) với AB, CD nói rõ vị trí chúng đoạn
5 Cho điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a) E, F điểm nằm đoạn BC, AD Tìm giao tuyến mặt phẳng (BCF) (ADE)
b) Ba điểm M, N, P nằm đoạn AB, AC, CD với MA = 2MB, NC =2NA Tìm giao tuyến (BCF) (MNP)
6. Cho tam giác ABC điểm D mặt phẳng (ABC) M, I trung điểm BD, AC N, P đoạn AB, BC cho NA =
3
NB, PB = 2PC Tìm giao điểm (DI) (MNP)
7. Cho ba đoạn thẳng khơng đồng phẳng AB < AC < AD Trên lấy điểm M, N P với AM = AN = AP a) Tìm giao điểm K (MNP) (BD), giao điểm L (MNP) (CD)
b) I điểm đoạn MN, (AI) cắt (BC) J Chứng minh đường thẳng KL, PI, DJ đồng qui điểm
8. Cho đoạn thẳng AB, CB không đồng phẳng có trung điểm I, J Một điểm K nằm BD thoả KB = 2KC
a) Tìm giao điểm L (AC) (IJK) b) Chứng minh LA = 2LC
9. Cho tứ diện SABC cạnh a Ba điểm M, N P nằm đoạn AB, BC, SA cho BM =
a
, BN =
2
a
, AP =
a
a) Tìm thiết diện mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện
b) G tâm tam giác ABC Tìm giao điểm I (SG) (MNP)
(4)11. Cho hình chóp SABCD có AD // BC, AD = 2BC= 2a M điểm bên tam giác SCD a) Hãy xác định thiết diện ABEF mặt phẳng(ABM) cắt hình chóp
b) Giả thiết thêm: F trùng với trung điểm SD Hãy tính
SC SE
12. Cho tứ diện ABCD Điểm I, J trung điểm AB, CD, điểm K thuộc BD cho BK = 2KD a) Tìm giao điểm AD (IJK)
b) Tìm thiết diện (IJK) tứ diện ABCD
13. Cho hình chóp SABCD (SA < SB < SC) Trên SA, SB, SC lấy M, N, P cho SN = SP a) Tìm giao điểm K MP (ABC)
b) Tìm giao điểm L CB (MNP)
c) Lấy I thuộc MN Gọi J giao điểm SI AB Chứng minh rằng: KL, PI, CJ đồng qui
14. Cho hình chóp SABCD M điểm thuộc miền tam giác SCD a) Tìm giao tuyến (SBM) (SAC)
b) Tìm giao điểm BM (SAC)
c) Tìm thiết diện hình chóp cắt (ABM)
15. Cho hình chóp SABCD Điểm M, N thuộc cạnh BC, BD a) Tìm giao điểm I BN (SAC)
b).Xác định giao điểm J MN (SAC) c) CMR: điểm I, J, C thẳng hàng d) CMR: SJ, AC, DM đồng qui
e) xác định thiết diện hình chóp SABCD (BCN)
16. Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ( AB// CD, AB > CD) Gọi I trung điểm SC mặt phẳng () quay quanh AI cắt SB, SD M, N
a) CMR: MN luơn qua điểm cố định
b) CMR: P, Q giao điểm (ABCD) với MI, NI PQ ln ln qua điểm cố định c) Tìm tập hợp giao điểm AN MI
QUAN HỆ SONG SONG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1/ Định nghĩa :
* Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng
* Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung
2/ Các định lí :
ĐL1 : Qua điểm A cho trước không nằm đường thẳng b cho trước, có và đường thẳng a song song với b
ĐL2 : Nếu
a b c
a // b // c a; b; c đồng qui
HQ : Nếu
// ;
a b
a b
c
c // a // b
ĐL3 : ba
cb ca
// // //
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
1/ Vấn đề 1: chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp chứng minh :
*Để chứng minh hai đường thẳng song song ta sử dụng cách sau :
a) Sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng song song mp (các định lí đường thẳng song song , đường trung bình tam giác , định lí Talét đảo )
(5)S
A E B
G
J I
D C
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi I,J,K,L theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC ,CD ,DA Chứng minh : IJ//KL JK//IL
Giải:
Trong tam giác ABC , KL đường trung bình, suy KL//AC (1)
Trong tam giác ADC , IJ đường trung bình, suy IJ//AC (2)
Từ (1) và(2) suy IJ//KL
Trường hợp JK// IL chứng minh tương tự
2/ Vấn đề 2: tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa hai đt song song
Phương pháp:
1) Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng 2) Sử dụng hệ
- Tìm điểm chung hai mặt phẳng.
- Tìm phương giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với đ thẳng có) Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung có phương nói trên
Ví dụ: cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I, J lầm lượt trung điểm DA BC G trọng tâm tam giác SAB
a) Tìm giao tuyến (SAB) (IJG)
b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành
Giải:
a)(SAB) (IJG) = MN
b)
3
SE SG AB MN
(áp dụng định lí Talet t/c trung tuyến)
MN AB
3
Mặt khác: ( )
2
CD AB
IJ (đoạn trung bình) => AB = 3CD
C BÀI TẬP :
1/ Hình chóp S.ABCD,đáy ABCD hình bình hành Lấy điểm M thuộc cạnh SC Mặt phẳng (ABM) cắt cạnh SD điểm N Chứng minh NM// CD
2/ Hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mp Trên AC lấy điểm M BF lấy
điểm N cho k
BF BN AC AM
Một mp( ) qua MN song song với AB, cắt cạnh AD M' cạnh AF N'
a)Chứng minh : M'N' // DF b) Cho
3
k , chứng minh MN // DE
3/ Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh AC, SC lấy điểm I, K cho:
SC SK AC
AI
mp( ) qua IK cắt đt AB, AD, SD, SB điểm theo thứ tự M, N, P, Q cm: MQ // NP
4/ Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC ADC Cm: IJ // CD
5/ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB > CD) Gọi M, N trung điểm SA SB
B
C D
A
I L
(6)d
a
a) Chứng minh: MN // CD
b) Tìm giao điểm P SC mặt phẳng (ADN)
c) Kéo dài AN DP cắt Chứng minh SI // AB // CD, tứ giác SABI hình gì? 6) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AC, BD
a) Chứng minh MNPQ hình bình hành
b) Từ suy đoạn thẳng MN, PQ, RS cắt trung điểm đường
7/ Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm nằm BC, SC, SD, AD cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD
a) Chứng minh: PQ // SA
b) Gọi K giao điểm MN PQ, chứng minh SK // AD // BC
c) Qua Q dựng đường thẳng Qx // SC Qy // SB Tìm giao điểm Qx với (SAB) Qy với (SCD) 8) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AD = a, BC = b I, J trọng tâm tam giác SAD SBC
a) Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) (SBC) đoạn giao tuyến (BCI) (SAD)
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn hai mặt phẳng (SAB) (SCD) 9) Cho tứ diện ABCD cạnh a I, J trung điểm AC BC Gọi K điểm trêm cạnh BD với KB = 2KD
a) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) Cm thiết diện hình thang cân b) tính diện tích thiết diện theo a
10) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, tâm O Mặt bên SAB tam giác đều, SAD 900 Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC
a) Tìm giao điểm I Dx mặt phẳng (SAB) Chứng minh AI // SB b) Tìm thiết diện hình chóp (AIC) Tính diện tích thiết diện
D HƯỚNG DẪN :
1/ Chứng minh MN // AB áp dụng định lí
2/a) Áp dụng định lí Talét thuận, đảo tam giác ACD,ABF, AFD b) Áp dụng định lí Talét đảo tính chất trọng tâm tam giác ABE 4) Sử dụng định lí Talet
5) Tứ giác SABI hình bình hành 8) b/ ( )
5
b a
9)
288 51
a
10) Thiết diện: ACM với M trung điểm SD Diện tích:
8 14
2
a
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1/ Định nghĩa : Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung
2/ Các định lí :
a) ĐL1 :
// //
d
d d a
b) ĐL2 :
// ;
//
d d
a d a
d
a
a
d
(7)F E A N B C P D M
c) ĐL3 : da
d d a // //; //
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
1/ Vấn đề 1: chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
Phương pháp chứng minh :
*Chứng minh đường thẳng d //mp(P) ta áp dụng :
a) Định nghĩa
b) Định lí : //( ) ) ( // P d P a a d
* Chú ý: a khơng có sẵn hình ta chọn mp chứa d xác định a =
Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng Trên cạnh AD; BE lấy điểm M, N cho k
BE BN AD AM
(0k1).Cm đường thẳng MN song song mp(CDE)
Giải:
Áp dụng định lí Talét cho tam giác BCE ta có :
MD NP AD MD BC NP AD MD AD AM AD AD AD AM BE BN EB BN EB EB EB EN Mà EB EN BC NP BC NP 1 : //
Vậy :tứ giác DMNP hình bình hành, MN // DP
Ta có: //( ).
) ( // ) ( CDE MN CDE DP DP MN CDE MN
2/ Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm thiết diện.
Phương pháp: sử dụng định lí 2, từ tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng theo phương pháp biết
Ví dụ: cho hình chóp S.ABCD M, N hai điểm AB, CD, mặt phẳng qua MN song song với SA Xác
định thiết diện hình chóp mặt phẳng Giải: Ta có: ) ( ) ( // SAB a M SAB SA SA MP SAB
a
( ) với MP // SA P SB Tương tự gọi {R}= MN AC ta có:
) ( ) ( ) ( // MP SAB a SAB a M SAB SA SA
Dễ thấy: (ABCD) = MN (SBC) = PQ
(8)Vậy thiết diện tứ giác MPQN C BÀI TẬP :
1/ Cho tứ diện S.ABCcó I,J trung điểm BA , BC Chứng minh với điểm M thuộc cạnh SB (MB) ta điều có IJ // (ACM)
2/ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trọng tâm tam giác ABD ACD Cm MN // (BCD) MN // (ABC)
3/ Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD a) Chứng minh MN // (SBC) MN // (SAD)
b) Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB // (MNP) SC // (MNP)
4/ Cho hình chóp S.ABCD M, N hai điểm SB CD mặt phẳng qua MN song song với SC
a) Tìm giao tuyến với mặt phẳng (SBC), (SCD) (SAC)
b) Xác định thiết diện S.ABCD với mặt phẳng
5/ Cho tứ diện ABCD Từ điểm M AC ta dựng mp song song AB CD Mp cắt BC, BD,
AD N, P, Q
a) Tứ giác MNQG hình gì?
b) Giả sử AB CD MNQG hình gì? Tính SMNPQ biết AM = x, AB = AC = CD = a Tính x để diện tích
này lớn
6) Cho điểm S ngồi mp hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm AD BC Mp qua MN song song
với SD cắt hình chóp S.ABCD theo hình gì?
7) Cho tứ giác ABCD AB CD cắt E, AD BC cắt F Điểm S mp tứ giác Một mp qua điểm M đoạn SA cắt SB, SC, SD N, P, Q
a) Cmr song song SE, SF MNPQ hình thang
b) Nếu song song SE SF MNPQ hình gì?
8) Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b I, J trung điểm AB CD, giả sử AB vuông CD mặt
phẳng qua M đoan IJ song song với AB CD a) Tìm giao tuyến mp với mp (ICD)
b) Xác định thiết diện tứ diện với mp Cm thiết diện hìng chữ nhật
c) Tính diện tích hình chữ nhật biết IM IJ
3
9) Cho tứ diện ABCD Từ điểm M cạnh AC dựng mặt phẳng song song AB CD Mặt phẳng cắt BC, BD, AD N, P, Q Cho AB = a, CD = b, AC = c MN = x
a) Tứ giác MNQG hình gì? Tính chu vi
b) Khi M lưu động AC, tìm hệ thức a b cho chu vi MNPQ khơng đổi c) Tìm tập hợp giao điểm I MP NQ M di chuyển từ A đến C
10) Cho tứ diện ABCD cạnh a I trung điểm AC, J điểm cạnh AD cho AJ = 2JD M điểm di động tam giác BCD cho mặt phẳng (MIJ) song song AB
a) Tìm tập hợp điểm M
b) Tính diện tích thiết diện tao tứ diện ABCD mặt phẳng (MIJ)
D HƯỚNG DẪN :
1/Chứng minh IJ // AC IJ //(ACM).; 2/ Theo giả thiết ta có MN//BC 3/ a) Theo giả thiết ta có MN//BC.; b) Sử dụng MP // SB ; NQ // SC 5/a) MNPQ hình bình hành ; b) MNPQ hình chữ nhật SMNPQ = x(a - x),
2 a x
2
max
a
S tức M trung điểm AC
8) c) 2ab
; 9) a) Hình bình hành, CV =
a
x a b
x ( )
2 ; b) a = b
c) Tập hợp điểm I đoạn EF nối trung điểm hai cạnh AB CD.; 10) b)
7 5a2
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1/ Định nghĩa : // 2/ Các định lí :
ĐL1 : //;a a// a
(9)a b A B C A’ B’ C’
ĐL2 :
// // ; // ; b a b a B b a
ĐL3 :
// ' // ,' // b', ' b , b b a a a I b a a
ĐL4 : b a
a // //
* ĐL Talet không gian:
'' '' ', ', ' ,, ,, ,, // // C B B A BC AB C B A b C B A
a
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
1/ Vấn đề 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phươmg pháp: Sử dụng định lí sử dung hệ 3. 2/ Vấn đề 2:
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước
Phương pháp:
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng sử dụng định lí 4: “ hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba giao tuyến song song với nhau”
Ta thường sử dụng định lí để xác định thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước
Ví dụ :
*VD1: Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng I, J, K trung điểm cạnh AB, CD, EF Chứng minh:
a) (ADF) // (BCE) b) (DIK) // (JBE)
Giải
a) Ta có: ABCD hình bình hành
AD // BC(BCE) => AD // (BCE) Tương tự , ta có : AF // BE AF // (BCE) Vậy ta có:
F K E
A I
a
B b
(10)O
C
B A
D
S
M
N H
K
L
I I
P
( )
) //(
) //(
) ( ,
ADF BCE
AF BCE AD
A AF AD
ADF AF AD
) //(BCE
b) Cm tương tự
*VD2: cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Tam giác SBD tam giác Một mp di động song
song với (SBD) qua điểm I đoạn AC Xác định thiết diện hình chóp cắt Giải:
Trường hợp 1: I OA
MN ABCD ABCD
I
BD SBD ABCD
SBD
( )
) (
) ( ) (
) ( //
Với MN qua I, MN // BD
Tương tự: (SAB) = MP // SB ; (SAD) = NP // SD
Vậy thiết diện tam giác MNP đồng dạng với Tam giác SBD
Trường hợp 2: I OC thiết diện tam giác HKL C BÀI TẬP :
1/ Cho hai hình bình hành ABCD ABEF hai mp khác Cm: (ADF) // (BCE)
1/ Cho hai mp (P) (Q) song song với ABCD hình bình hành nằm mp (P) đường thẳng song song qua A, B, C, D cắt mp (Q) điểm A', B', C', D'
a) Tứ giác A'B'C'D' hình gì? b) Chứng minh (AB'D') // (C'BD)
c) Cmr đoạn thẳng A'C qua trọng tâm hai tam giác AB'D' C'BD Hai mp (AB’D’), (C’BD) chia đoạn A'C làm ba phần
2/ Cho tứ giác ABCD nằm mp (P) Hai đt AB CD cắt E; AD BC cắt F Một điểm S nằm mp (P) mp (Q) lưu động cắt SA, SB, SC, SD I, J, K, L
a)Chứng minh điều kiện cần đủ đê IJ // KL SE //(Q)
b)Tìm điều kiện giũa SF (Q) để IL // JK Chứng minh IJKL ln hình bình hành (Q) ln song song với mp cố định
c)Chứng minh giao điểm O hai đường chéo hình bình hành IJKL nằm đường thẳng nối điểm S với giao điểm G AC BD
3/ Cho tứ diện ABCD ; I, J, K trọng tâm tam giác BCD, CDA, ABC Xác định giao tuyến cặp mp a) (IJK) (BCD) b) (IJK) (CDA) c) (IJK) (ABC)
4/ Cho ABCD nửa hình lục giác điểm S khơng thuộc mp (ABCD)
a)Vẽ giao tuyến hai mp (SAB) (SCD) b) Vẽ giao tuyến hai mp (SAD) (SBC)
c) Một mp (P) qua BC cắt cạnh SA điểm M cắt SD N Tứ giác BMNC hình ? Tìm điều kiện để BMNC hình bình hành
5/ Hai mp song song ABC tam giác nằm MN đoạn thẳng nằm
a) Tìm giao tuyến (MAB) ; Tìm giao tuyến (NAC)
b) Tìm giao tuyến (MAB) (NAC)
6/ Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD
a)ABD Chứng minh hai mặt phẳng (G1G2G3) (BCD) song song
b) Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3) Tính diện tích thiết diện biết diện tích tam
giác BCD s
7/ Cho hình bình hành ABCD Từ A C kẻ Ax, Cy song song chiều không nằm mp ABCD Chứng minh (BAx) song song (DCy)
8/ Từ đỉnh hình bình hành ABCD ta kẻ tia Ax, By, Cz, Dt song song chiều, không nằm mp (ABCD) Một mặt phẳng cắt tia A’, B’, C’, D’
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AA’, BB’) (CC’, DD’) song song b) Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành
(11)Cm: AA’ + CC’ = BB’ + DD’
9/ Cho hình bình hành ABCD ta kẻ tia Bx, Cy, Dz song song chiều, không nằm mp (ABCD) Một mặt phẳng qua A cắt tia B’, C’, D’
a) Tứ giác AB’C’D’ hình gì? b) Cho BB’ = b CC’ = c.Tính DD’
D HƯỚNG DẪN :
1/ a) A'B'C'D' hình bình hành 2/ a) Chứng minh: IJ // KL SE // (Q) SE // (Q) IJ // KL b) (Q) // (SEF) c)Chú ý:Tâm O hình bình hành giao điểm hai mp (SAC) (SBD)
3/ a)Ta có JK // BD IJK BCD BD
MD MJ KB
MK
;( ) ( )
3
B), c) tương tự
4/ a) Gọi I giao điểm AB CD; giao tuyến hai mp(SAB) (SCD) đường thẵng SI
b) Do BC // AD nên giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) đường thẵng qua S song song với AD, BC c) Dễ thấy MN // BC suy BMNC hình thang