Bài giảng Hình học 11 - Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng Hình học 11 - Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng với các nội dung định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; các tính chất trong đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết nội dung kiến thức.

KIỂM TRA BÀI CŨ Câu  1:  cho  hai  đường  thẳng  vng góc a và b.   a) Gọi  u , v  lần lượt là các véc tơ  chỉ phương c  ủa hai đường thẳng  a, b. Tính  u.v ?   b) cho đường thẳng  c song song  với đường thẳng  a. đường thẳng  c  có  mối  quan  hệ  như  thế  nào  với đường thẳng b?   Câu  2:  cho  ba   véc  tơ  a, b, c   trong  đó  a, b   khơng  cùng  phươ  ng.    Hãy  cho  biết  điều  kiện  để  a, b, c  đồng phẳng?  a)  a⊥ b u.v=  � � i u, v làvtcp a,b� �Vớ � b) � c //a  �� c ⊥ b a⊥b  a, b, c đồng phẳng  ! x, y     c x.a y.b §3.  §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG KIẾN THỨC  a⊥ b u.v=  � i u, v làvtcp a,b�� �Vớ � � c //a  �� c ⊥ b a⊥b  a, b, c đồng phẳng  ! x, y     c x.a y.b Bài toán: Cho hai đường thẳng cắt b c nằm mặt phẳng (P) Chứng minh a vng góc với b c vng góc với đường thẳng nằm (P) CM: Cho đt (d) mặt phẳng (P)   u  Gọi   u, v, w, x  lần lượt là các VTCP của a,b,c, d  a   u Do véc tơ x, v, w đồng phẳng nên   uu  x = k v + l.w v   uu � u.x = k u v + l.u w =   uu uv = 0, u.w = Vậy: d P b x c uu w Đt(a) vng góc với đt(d) Do d đường thẳng (P) nên có đpcm  u §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP P d a, a P Đn 1: d d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b ( P) 1. Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng ĐỊNH NGHĨA 1   Một đường thẳng gọi là vng góc với một mặt phẳng  nếu nó vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt  phẳng đó Kí hiệu:  d Vậy:  d Chú ý: Đường thẳng d vng góc mặt phẳng (P), ta cịn nói mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d d (P) vng góc với ĐỊNH LÍ P  hoặc  P P d ? d  a, a P   Từ bài tốn mở đầu, để cm đt vng  góc với mp ta cần cm điều gì ? Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) d ⊥ a, d ⊥ b Tức là: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b ( P ) §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP P d a, a P Đn 1: d   Ví dụ 1:  Cho tam giác ABC và đường thẳng  a. Nếu  a  vng góc với hai cạnh AB, AC. Có kết luận gì giữa  a  với cạnh BC ? a d ⊥ a, d ⊥ b A Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b B ( P) Hệ quả: C Nếu một đường thẳng vng góc với hai cạnh của  một tam giác thì nó vng góc với cạnh cịn lại.  ? Theo định lí 1, đường thẳng d vng góc mặt phẳng  (P) khi và chỉ khi d vng góc với hai đường thẳng  cắt nhau nằm trong (P) Như  vậy,  Nếu  cho  trước  một  điểm  O  và  đường  thẳng d thì có hay khơng một mặt phẳng đi qua O và  vng góc với d? §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY Ta thấy, từ một điểm O ta có thể dựng được các đường thẳng a, b đi qua O và vng góc với d 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: d ⊥ AB d ⊥ AC ( P) � d ⊥ BC   Khi đó, ta xác định được mp(P) đi qua a, b Theo định lí 1,  P d  Như vậy, tồn mp(P) đi qua O và vng góc với d Giả sử, có mp (Q) cũng đi qua O và (Q) vng góc với d ∀c �� (Q ) c ⊥ d c // ( a, b ) ( Q ) // ( a, b ) (Khơng xẩy ra) Khi đó: c ( a, b ) ( Q ) ( a, b ) d ( Q) ( P) b P O a §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 2. CÁC TÍNH CHẤT NỘI DUNG BÀI DẠY 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: d ⊥ AB d ⊥ AC   Tí nh chấ t  1Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua  điểm O cho trước và vng góc với đường  thẳng a đã cho.  ( P) a O P � d ⊥ BC ? Vấn đề đặt ra: Cho trước một điểm O và một mặt  phẳng  (P).  Liệu  có  hay  khơng  một  đường  thẳng  đi  qua O và vng góc với mặt phẳng (P)? §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY Ta thấy, khi cho trước một điểm O và một mặt phẳng  (P).  Trong (P), l ấy hai đường thẳng cắt nhau a và b 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: d ⊥ AB d ⊥ AC ( P) � d ⊥ BC 2. CÁC TÍNH CHẤT T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d   Dựng hai mp (Q), (R) đi qua O và lần lượt vng góc  với hai đường thẳng a, b Dựng giao tuyến d của hai mp (Q) và (R) Khi đó, đường thẳng d đi qua O, d vng góc với (P) tại H Giả sử, có đt c (khác đt d) đi O và c vng góc với (P) tại K ﾷ ﾷ OHK = OKH = 90 Ta có: o d c Vậy  tổng 3 góc của tg OHK lớn hơn 180 o Suy ra:  c O d Tí nh chấ t  2Có duy nhất đường thẳng d đi  qua điểm O cho trước và vng  góc với mặt phẳng (P) cho trước.  H R P a K Q b §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY NHẬN XÉT:  Cho  trước  điểm  O  và  đt  d.  Mặt  phẳng (P) đi qua điểm O và vng góc  P d a, a P   với đt d chính là mp đi qua hai đường  Đn 1: d b d ⊥ a, d ⊥ b thẳng  cắt  nhau  tại  O  và  cùng  vng  P góc với d Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M  Cho  trước  mp(p)  và  điểm  O.  a, b ( P ) Đường thẳng d đi qua điểm O và  d ⊥ AB vuông  góc  với  mặt  phẳng  (P)  Hệ quả: � d ⊥ BC d ⊥ AC chính là giao tuyến của hai mp  đi  qua  O  và  lần  lượt  vng  góc  với  2. CÁC TÍNH CHẤT hai đt cắt nhau nằm trong mp(P) R T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d  Từ  tính  chất  1,  ta  thấy  có  duy  P nhất một mp vng góc với AB tại  ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d trung điểm O của đoạn thẳng AB T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) Mặt phẳng đó gọi là mp trung trực  ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) của đoạn thẳng AB.  thấy,  Mặt  phẳng  trung  trực  của  { M MA = MB} = MP trung trực AB Dđoễạ n th ẳng là tập hợp các điểm cách  đều hai đầu mút của đoạn thẳng.  d 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP O O a d H a Q b §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: d ⊥ AB d ⊥ AC ( P) � d ⊥ BC   Ví d ụ 3 :   Tìm tập các điểm  cách đều ba đỉnh của tam giác  ABC Gi ải: P d M Gọi  M  là  điểm  cách  đều  ba  đỉnh  A của tam giác ABC Q O C Khi đó: MA=MB=MC MA = MB MB = MC 2. CÁC TÍNH CHẤT Mặt khác: T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d ( P ) ⊥ AB ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d ( Q ) ⊥ BC B M �( P ) , ( P ) = { N NA = NB} M �( Q ) , ( Q ) = { K KB = KC} d ⊥ AB d ⊥ BC d ⊥ ( ABC ) O d �( ABC ) = O O d ( ABC ) M d d = ( P) O ( Q) ( ABC ) OA = OB = OC T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) d = ( P ) ( Q ) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) Vậy, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác  { M MA = MB} = MP trung trực AB ABC là đường thẳng d vng góc với mp(ABC) tại O  tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC.  §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P   d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác  ABC được gọi trục đường tròn ngoại tiếp tam  giác ABC ( P) d d ⊥ AB � d ⊥ BC d ⊥ AC 2. CÁC TÍNH CHẤT T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) { M MA = MB} = MP trung trực AB Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  cách  đều  3  đỉnh  của  tam  giác  là  đt  đi  qua  tâm  đường  tròn  ngoại  tiêp  của  tam  giác  và  vng góc với mp tam gác M A O C B (O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA  (ABC),  ∆ABC  1. ĐN ĐT VNG GĨC MP vng tại B P d a, a P   a. Chứng minh : ∆ SAB,  ∆ SAC là các tam giác  Đn 1: d d ⊥ a, d ⊥ b vuông b. Chứng minh rằng: BC     (SAB) Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M c. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh rằng  AH    (SBC) a, b ( P ) s d ⊥ AB Hệ quả: � d ⊥ BC d ⊥ AC 2. CÁC TÍNH CHẤT T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d NỘI DUNG BÀI DẠY ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) { M MA = MB} = MP trung trực AB Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  cách  đều  3  đỉnh  của  tam  giác  là  đt  đi  qua  tâm  đường  tròn  ngoại  tiêp  của  tam  giác  và  vng góc với mp tam gác a H c B §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG a. Chứng minh :  SAB,   vuông  SA ⊥ ( ABC ) � SA ⊥ AB NỘI DUNG BÀI DẠY 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d SAC là các tam giác  SAB vuông tại  A SAC vuông tại  SA ⊥ ( ABC ) � SA ⊥ AC A b. Chứng minh rằng: BC   (SAB)  d ⊥ a, d ⊥ b a, a Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a P b=M ( P)   ABC vuông tại  BC (1) SA AB B SA  BC d ⊥ AB (ABC) (2) ra: BC Hệ quả: � d ⊥ BC Từ (1) vaø (2), suy d ⊥ AC (SAB) c. Ch ứng minh rằng: AH   (SBC) 2. CÁC TÍNH CHẤT s T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d AH SB H là hình chiếu của A lên  (3) ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d SB   BC      (SAB)    AH BC T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) AH      (SAB) (4) ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) Từ (3) (4), suy ra: AH { M MA = MB} = MP trung trực AB H (SBC) Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  cách  đều  3  a c a, b đỉnh  của  tam  giác  là  đt  đi  qua  tâm  đường  tròn  ngoại  tiêp  của  tam  giác  và  vng góc với mp tam gác B §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY ? 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P   Để chứng minh một đương thẳng vng góc với  một mặt phẳng, ta đi chứng minh đường thẳng đó  vng góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm  trong mặt phẳng đó d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: ( P) d ⊥ AB � d ⊥ BC d ⊥ AC 2. CÁC TÍNH CHẤT T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) { M MA = MB} = MP trung trực AB Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  cách  đều  3  đỉnh  của  tam  giác  là  đt  đi  qua  tâm  đường  trịn  ngoại  tiêp  của  tam  giác  và  vng góc với mp tam gác Qua  bài  tập  áp  dụng  ở  trên  em  hãy  cho  biết  “Phương  pháp  để  chứng  minh  một  đường  thẳng  vng góc với một mặt phẳng”? d ⊥ a, d ⊥ b Tức là: a �b = M � d ⊥ ( P ) a, b ? ( P) Qua  nội  dung  bài  học  hơm  nay,  ta  có  thêm  một  phương  pháp  chứng  minh  hai  đường  thẳng  vng  góc  với  nhau.  Em  hãy  cho  biết  đó  là  phương  pháp  nào? Để chứng minh hai đường thẳng vng góc với  nhau, ta đi chứng minh đương thẳng này vng góc  với một mặt phẳng chứa đương thẳng kia Tức là: a ⊥ ( P) b ( P) �a ⊥b §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P   d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: ( P) d ⊥ AB � d ⊥ BC d ⊥ AC 2. CÁC TÍNH CHẤT T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d ∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) { M MA = MB} = MP trung trực AB Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  cách  đều  3  đỉnh  của  tam  giác  là  đt  đi  qua  tâm  đường  tròn  ngoại  tiêp  của  tam  giác  và  vng góc với mp tam gác BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ NỘI DUNG BÀI HỌC 1. ĐN ĐT VNG GĨC MP Đn 1: d P d a, a P   d ⊥ a, d ⊥ b Định lí 1: d ⊥ ( P ) ��a b = M a, b Hệ quả: ( P) d ⊥ AB � d ⊥ BC d ⊥ AC 2. CÁC TÍNH CHẤT T.chấ t 1:Cho trước điểm O, đt d.∃!( P ) ,( P ) �O,( P ) ⊥ d T.chấ t 2:Cho trước điểm O, mp(P) ∃!d , d �O, d ⊥ ( P ) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳn AB= { M MA = MB} Tập hợp tất cả các điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác  là đt đi qua tâm đường trịn ngoại tiêp của tam giác và  vng góc với mp tam gác TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp chứng minh  đường thẳng d vng góc mặt  phẳng (P): d ⊥ a, d ⊥ b a �b = M � d ⊥ ( P ) a, b ( P) 2. Phương pháp chứng minh  đường thẳng a vng góc  đường thẳng b: a ⊥ ( P) b ( P) �a⊥b BÀI TẬP VỀ NHÀ Các em về nhà học bài và làm tập 16, 18/ SGK Xem trước các nội dung: Liên hệ giữa quan hệ song  song  và  quan  hệ  của  đường  thẳng  và  mặt  phẳng;  Định lí 3 đường vng góc; Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  ... Một? ?đường? ?thẳng? ?gọi là vng? ?góc? ?với? ?một? ?mặt? ?phẳng? ? nếu nó vng? ?góc? ?với? ?mọi? ?đường? ?thẳng? ?nằm trong? ?mặt? ? phẳng? ?đó Kí hiệu:  d Vậy:  d Chú ý: Đường thẳng d vng góc mặt phẳng (P), ta cịn nói mặt phẳng. .. Để chứng minh hai? ?đường? ?thẳng? ?vng? ?góc? ?với? ? nhau, ta đi chứng minh đương? ?thẳng? ?này vng? ?góc? ? với? ?một? ?mặt? ?phẳng? ?chứa đương? ?thẳng? ?kia Tức là: a ⊥ ( P) b ( P) �a ⊥b §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI... đường? ? thẳng? ? đi  qua O và vng? ?góc? ?với? ?mặt? ?phẳng? ?(P)? §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG NỘI DUNG BÀI DẠY Ta thấy, khi cho trước một điểm O và một? ?mặt? ?phẳng? ? (P).  Trong (P), l ấy hai? ?đường? ?thẳng? ?cắt nhau a và b