Áp dụng hằng đẳng thức

áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán I. Đặt vấn đề Toán học là môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông đối với học sinh khá và giỏi môn toán, học toán hay giải toán là yêu cầu thờng nhật trong mọi hoạt động và suy nghĩ. Vì vậy vấn đề bồi dỡng học sinh có khả năng t duy sáng tạo, luôn vận dụng tốt các lý thuyết đã học và phát huy hết năng lực của cá nhân là một vấn đề rất đợc coi trong và cũng chẳng đơn dản, dễ dàng gì. Để quá trình bồi dỡng học sinh có kết quả tốt hơn, có chất lợng cao ngời thầy phải nắm chắc chơng trình bồi dỡng vấn đề nào cơ bản trọng tâm, vấn đề nào cần trình bày kỹ hay cần lớt qua và đặc biệt phải có một kế hoạch cụ thể, thờng xuyên liên tục bồi dỡng (cho cả thầy và trò). Ngời học sinh giỏi toán trớc hết phải nắm vững kiến thức cơ bản để dựa vào đó suy luận và phát triển thành kiến thức mới của chính mình. Là một giáo viên trẻ tôi luôn có ý thức học hỏi và quan tâm đến việc bồi dỡng học sinh giỏi. Tôi đã nghiên cứu nhiều dạng toán trong quá trình bồi dỡng tôi thấy học sinh đang còn lúng túng cha tìm ra phơng pháp chung để giải quyết các bài toán theo từng dạng. Bởi vậy tôi luôn tự mình học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô giáo đi trớc cũng nh cố gắng tìm tòi các loại tài liệu mới để tham khảo và rút kinh nghiệm. Với một bài toán, việc định hớng để tìm ra lời giải là một việc rất quan trọng, vì vậy khi học sinh giải một bài tập, để có một định hớng rõ ràng cho việc tìm ra lời giải quả thật không phải là một công việc đơn giản. Khi học sinh định hớng đợc lời giải thì cũng có nghĩa là sẽ đa ra bài toán phụ thích hợp, có khả năng suy luận dẫn tới lời giải tốt. Vậy làm thế nào để học sinh có định hớng tốt để tìm ra lời giải cho từng bài toán là một điều tôi luôn trăn trở, băn khoăn trong quá trình dạy và bồi dỡng học sinh khá và giỏi toán. Sau đây tôi đa ra một vài nhận xét, suy nghĩ một vài định hớng giải các bài toán, chẳng hạn nh việc áp dụng các hàng đẳng thức để giải toán, mong đợc sự góp ý của các thầy cô để công tác dạy và học toán đợc tốt hơn. II. Giải quyết vấn đề: 1. Một số tồn tại trong việc giải toán Học sinh và giáo viên thờng bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán khi tìm đợc một cách giải nào đó, cha chú ý đến việc tìm tòi cách giải khác, cách giải hay hơn hoặc khai thác phát triển thêm ở bài toán vừa giải để phát huy t duy linh hoạt và sáng tạo, không biết liên hệ giữa những điều cho trong đầu bài toán với những kiến thức đã học, không phân biệt đợc điều đã cho và điều cần tìm. áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán Lý luận không chính xác, không chặt chẽ, không biết rút kinh nghiệm vừa bài vừa giải, nên thờng lúng túng trớc những bài toán khác đôi chút với bài toán đã giải. 2. Biện pháp thực hiện. Nắm vững kiến thức, thuộc bài tại lớp và có khả năng vận dụng tốt từ đó phát huy năng lực, t duy sáng tạo của từng em là yêu cầu cơ bản. Rèn luyện cho học sinh suy nghĩ linh hoạt, phân tích, tổng hợp vấn đề, tiếp thu kiến thức mới liên hệ với kiến thức cũ. Một điều quan trọng là sau khi giải xong một bài toán còn biết đề ra những bài toán mới bằng cách tổng quát hoá, bằng cách liên hệ những trờng hợp tơng tự. Từ đó tìm ra phơng pháp chung giải quyết từng loại bài toán. 3. Hai hằng đẳng thức áp dụng vào giải toán . Ngoài những hằng đẳng thức quen thuộc đã học trong chơng trình lớp 8. Chúng ta còn có hai hằng đẳng thức rất quen thuộc với các em học sinh giỏi toán, chúng đợc đa vào trong chơng trình phổ thông nh là một bài toán đó là: HĐT1: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc = (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca) Chứng minh: Ta có: a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2 ) = (a+b) 3 -3ab (a +b) Do đó a 3 +b 3 +c 3 - 3abc = (a+b) 3 -3ab(a+b) + c 3 -3abc = (a +b +c)[(a+b) 2 - c (a+b)] + c 2 - 3ab (a +b +c) = (a+b + c)(a 2 + 2ab +b 2 - ac - bc + c 2 - 3ab) = (a +b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca) HĐT2: (a +b +c) 3 - a 3 -b 3 -c 3 = 3(a +b)(b + c)(c +a) Chứng minh: Ta có: (a +b+c) 3 - a 3 - b 3 - c 3 = (a +b +c) 3 - a 3 - (b 3 + c 3 ) = (b+c) ((a +b +c) 2 +a (a +b +c) + a 2 ) - (b + c)(b 2 bc +c 2 ) = (b +c)(a 2 +b 2 +c 2 +2ab +2bc+2ca + a 2 + ab + ac+a 2 -b 2 + bc - c 2 ) = (b+c)(3a 2 +3ab+3bc+3ac) = 3 (a +b)(b +c)(c+a) Ngoài cách chứng minh trên còn có cách chứng minh khác, các bạn có thể chứng minh. Hai hằng đẳng thức này hầu nh bị nhiều ngời bỏ rơi. Trong khi đó, nó lại đem cho ta nhiều điều thú vị. Trớc hết ta chú ý rằng từ HĐT1 suy ra: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc a + b + c = 0 a = b = c (a-b) 3 +(b-c) 3 +(c-a) 3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) Từ HĐT2 suy ra: (a+b+c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 a = -b b = -c c = -a áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán Việc vận dụng hai hằng đẳng thức này trong nhiều trờng hợp thật là hiệu quả và bất ngờ. Sau đây tôi xin đa ra một vài bài toán minh hoạ. a) Các bài toán rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức Bài 1: Rút gọn biểu thức: A= (a+b+c) 3 - (a+b-c) 3 - (b+c-a) 3 - (c+a-b) 3 Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: x = a + b - c y = b + c a x + y + z = a + b + c z = c + a - b khi đó: A= (x + y + z) 3 - x 3 -y 3 - z 3 = 3 (x+y)(y+z)(z+x)= 3.2b.2 c.2a = 24 abc Nhận xét: - Nh vậy, trong lời giải của bài toán ta đã sử dụng yếu tố phụ x, y, z với mục đích giảm thiểu độ phức tạp lời giải. - Nếu cho thêm giả thiết về các số a, b, c bài toán có thể đợc phát biểu dới dạng yêu cầu chứng minh về tính chia hết. Bài 2: Cho 3 số nguyên a, b, c thoả mãn: a + b + c = (a-b)(b-c)(c-a) Chứng minh rằng: (a-b) 3 + (b-c) 3 + (c-a) 3 chia hết cho 3 Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: x = a-b y = b-c x+y+z=0 z = c-a Khi đó: (a-b) 3 + (b-c) 3 + (c-a) 3 = x 3 + y 3 + z 3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) Từ đó ta thấy ngay: (a-b) 3 + (b-c) 3 + (c-a) 3 chia hết cho 3 Nhận xét: Cũng với phơng pháp trên, chúng ta còn có thể chứng minh đợc các kết quả tổng quát hơn sau: 1) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a) Chứng minh rằng: (a-b) 3 + (b-c) 3 + (c-a) 3 chia hết cho 81 2) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số: (a+b+c) p + (a-b-c) p + (b-c-a) p + (c-b-a) p chia hết cho 8pabc. 3) Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số: (a-b) p + (b-c) p + (c-a) p chia hết cho p(a-b)(b-c)(c-a). 4)Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k S = 1.2.3 + 3.4.7 + 7.8.15 + 15.16.31+ (2 k -1)(2 k+1 -1) Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z = 0 thì 2(x 5 +y 5 +2 5 ) = 5xyz (x 2 +y 2 +z 2 ) Giải: Từ giả thiết: x+y+z = 0 suy ra. x 3 +y 3 +z 3 = 3xyz áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán (x 3 +y 3 +z 3 )( x 2 +y 2 +z 2 ) = 3xyz (x 2 +y 2 +z 2 ) x 5 +y 5 +z 5 +x 2 y 2 (x+y) + x 2 z 2 (y+z) + z 2 x 2 (x+z) = 3xya ( x 2 +y 2 +z 2 ) x 5 +y 5 +z 5 - xyz(xy+yz+zx) =3xyz( x 2 +y 2 +z 2 ) x 5 +y 5 +z 5 +xyz ( 2 222 zyx ++ ) = 3xyz(x 2 +y 2 +z 2 ) 2(x 5 +y 5 +z 5 )= 5xyz ( x 2 +y 2 +z 2 ) Bài tập đề nghị: 1) Chứng minh rằng nếu hệ: =+ =+ =+ baycx acybx cbyax có nghiệm thì a 2 +b 2 +c 2 = 3abc 2) Biết: =+ =+ =+ baycx acybx cbyax Chứng minh rằng: a 5 + b 5 + c 5 = 3abc 3) Biết: x n +y n +z n = a n +b n +c n đúng với n = 1, 2, 3 Chứng minh rằng nó cũng đúng với mọi số tự nhiên n 4. Cho x, y, z đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện: (x-z) 3 3 1 x + (z-x) 3 3 1 y + (x-y) 3 3 1 z =0 Chứng minh rằng: (1-x 3 )(1-y 3 )(1-z 3 ) = (1-xyz) 3 b) Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đại số, trục căn thức bậc 3 ở mẫu số và tính giá trị của biểu thức. Bài 4: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức. A = 162244 1 33 + Giải: Ta coi mẫu số của A có dạng a + b+ c, khi đó nhân cả tử và mẫu của A với (a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca) ta có: A = 16.22.43416)22()44( 23246416256441616 3333333 3333 + +++ = 3056 460272 3 = 764 68415 3 Bài tập đề nghị: Trục căn thức ở mẫu số của các biểu thức. B = 42231 1 35 + ; C= 241 1 33 ++ ; D = cba 335 1 ++ với: abc=1; abc=8 Bài 5: Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc và abc 0. Tính giá trị của biểu thức: áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán M= (1+ b a ) (1+ c b ) (1+ a c ) Giải: Từ giả thiết : a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc Suy ra a + b + c =0 a = b = c Ta xét 2 trờng hợp. Trờng hợp 1: Nếu a + b + c =0. Suy ra a + b = -c b + c = -a c + a = -b M = 1 = = +++ b a c b a c b cb c ca a ba Trờng hợp 2: Nếu a = b = c có: M = (1+1) (1+1) (1+1) = 2.2.2 = 8 Bài 6: Cho xy + yz + zx = 0, xyz 0. Tính giá trị của biểu thức: P= 222 z xy y xz x zy ++ Giải: Từ giả thiết: xy + yz + zx=0. Suy ra 0 111 =++ zyx nên xyzzyx 3111 333 =++ Khi đó: P = 333222 z xyz x xyz y xyz z xy y xz x yz ++=++ = xyz( ) 111 333 zyx ++ = xyz 3 3 = xyz Bài tập đề nghị: Cho: a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 = 3 a 2 b 2 c 2 và abc 0. Tính giá trị của biểu thức P = (1+ b a ) (1+ c b ) (1+ a c ) Nhận xét: ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng điều kiện xuôi để tính giá trị của biểu thức. Các bài toán sua đay ta sử dụng điều kiện ngợc để tính giá trị của biểu thức Bài 7: Biết a 3 +b 3 =3ab - 1. Tính giá trị của biểu thức B=a+b Giải: Từ a 3 +b 3 =3ab - 1 ta có : a 3 +b 3 + 1 = 3ab a + b +1 = 0 a = b = 1 Bài tập đề nghị:. 1) Biết a + b + c = 0.Tính giá trị của biểu thức: A= a 3 +b 3 +c 3 -3abc 2) Biết a 3 - b 3 = 3ab+1. Tính giá trị của biểu thức C = a-b. 3) Biết a + b + c = 0 và abc 0. Tính giá trị của các biểu thức: A= [ ] + + ++ )( 1 )( 1 )( 1 .)()()( acaccbbcbaab accacbbcbaab c) Sử dụng hai hằng đẳng thức đó vào việc giải phơng trình và hệ phơng trình. Bài 8: Giải các phơng trình sau: a) x 3 -3x+2=0; b) x 3 +16 =12x. áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán Giải: a) x 3 -3x+2=0 x 3 +1 3 +1 3 =3.x.1.1 x+1+1=0 x=-2 x=1=1 x=1 Vậy phơng trình có 2 nghiệm: x = -2; x=1 b) x 3 +16 =12x x 3 +2 3 +2 3 =3.2.2.x x+2+2 =0 x =-4 x = 2 =2 x = 2 Vậy phơng trình có 2 nghiệm: x=-4 và x=2. Bài 9: Giải các phơng trình: a) 3 1 x + + 3 2 + x + 3 3 + x = 0 b) (x-3) 3 +(x+1) 3 =8 (x-1) 3 Giải: a) Đặt = a , 3 2 + x = b, 3 3 + x = c Khi đó: phơng trình 3 1 x + + 3 2 + x + 3 3 + x = 0 a+b+c = 0 a 3 +b 3 +c 3 =3abc. (x+1)+(x+2)+(x+3)=3 3 )3)(2)(1( +++ xxx 3(x+2) = 3 3 )3)(2)(1( +++ xxx (x+2) [ ] 0)2)(1()2( 2 =+++ xxx x=-2 Vậy phơng trình có nghiệm x =-2. b) Vì (a-b) + (b-c) + (c-a)=0 nên (a-b) 3 + (b-c) 3 + (c-a) 3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) nên (x-3) 3 + (x+1) 3 = 8(x-1) 3 (x-3) 3 + (x-1) 3 + (2-2x) 3 =0 [ ] [ ] [ ] 0)33()5()5()62()62()33( 333 =++++++++ xxxxxx 3(x-3)(x+1)(2-2x)=0 x=3 x=-1 x=1 Vậy phơng trình có 3 nghiệm x=3; x=-1 và x=1. Nhận xét: Trong câu b chúng ta có thể sử dụng ngay đánh giá: (x-3) + (x+1) +(2-2x) =0 Do đó phơng trình tơng đơng với: 3(x-3)(x+1)(2-2x)=0 x=3; x=-1; x=1 Bài tập đề nghị: 1) Giải các phơng trình sau: a) (x-3) 3 + (2x-3) 3 =27(x-2) 3 b) (ax+b) 3 + (bx+a) 3 = (a+b) 3 (a+1) 3 c) (x 2 - 3) 3 - (4x+6) 3 + 216 = 18(4x+6)(3-x 2 ) d) 3 1 x + 3 2 x + 3 3 + x = 0 e) 3 17 x - 3 2 8 xx + 3 2 18 xx = 2 f) 54x 3 -9x+ 02 = . g) 6x 3 +3x - 5 =0 áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán 2)Giải và biện luận phơng trình: ax 3 +bx+c với điều kiện: )0(0 27 1 3 3 2 2 + a a b a c Bài 10: Giải hệ phơng trình: x+y+z=1 (1) x 2 +y 2 +z 2 =1 (2) x 3 +y 3 +z 3 =1 (3) Giải: Từ (1) và (3) suy ra: (x+y+z) 3 - (x 3 +y 3 +z 3 )=0 3(x+y)(y+z)(z+x)=0 x + y=0 hoặc y + z=0 hoặc z + x=0 Với x + y = 0 hệ có nghiệm là (0, 0, 1) Với y + z = 0 hệ có nghiệm là (1, 0, 0) Với x + z = 0 hệ có nghiệm là (0, 1, 0) Nhận xét: Từ nghiệm tìm đợc của hệ ta thấy: x -1=0 hoặc y-1=0 hoặc z-1=0 do đó có cách giải khác: Từ (2) và (3) ta có: x 2 (1-x)+y 2 (1-y)+z 2 (1-z) =0 (4) Phải có: 1-x 0 vì nếu 1-x<0 tức x>1 thì x 2 +y 2 +z 2 >1 trái với (2) Tơng tự: 1-y 0 và 1-z 0 Do đó (4) xảy ra khi và chỉ khi x 2 (1-x)=y 2 (1-y)=z 2 (1-z) =0 suy ra: x=0; y=0; z=1 x=0; y=1; z=0 x=1; y=0; z=0 Bài 11: Tìm nghiệm nguyên của hệ phơng trình: x+2y+3z = 6 (x-1) 3 +(2y-3) 3 +(3z-2) 3 =18 (I) Giải: (I) (x-1)+(2y-3)+(3z-2)=0 (x-1)+(2y-3)+(3z-2)=0 (x-1) 3 +(2y-3) 3 +(3z-2) 3 =18 (x-1).(2y-3).(3z-2)=6 (II) Vì x, y, z nguyên nên z-1; 2y-3; 3z-2 nguyên. Do đó giá trị tuyệt đối của mỗi số (x-1),(2y-3),(3z-2) đều là ớc của 6, nghĩa là thuộc tập hợp 1 ; 2 ; 3 ; 6 Từ đó để 3z-2 nguyên thì chỉ có thể 3z -2 =1 hoặc 3z - 2= -2. a) Với 3z-2 =1 thay vào hệ (II) đợc hệ (x-1)+(2y-3)=-1 (x-1)+(2y-3)=6 Vậy (x-1), (2y-3) là nghiệm của phơng trình t 2 + t + 6 = 0 phơng trình này vô nghiệm. b) Với 3z-2=-2 thay vào hệ (II) đợc hệ (x-1)+(2y-3)=2 (x-1)+(2y-3)=-3 áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán Vậy (x-1), (2y-3) là nghiệm của phơng trình: t 2 - 2t-3 = 0 phơng trình này có 2 nghiệm t 1 =-1, t 2 = 3. Kết hợp với phơng trình 3z-2=-2 suy ra hệ phơng trình (I) có 2 nghiệm nguyên (x, y, z) là (0, 3, 0); (4, 1, 0) Bài tập đề nghị: 1. Giải các hệ phơng trình x+y+z=a x+y+z=a+b+c a) x 2 +y 2 +z 2 =a 2 b) x 2 +y 2 +z 2 = a 2 +b 2 +c 2 x 3 +y 3 +z 3 =a 3 x 3 +y 3 +z 3 = a 3 +b 3 +c 3 c) x+y+z=6 x 2 +y 2 +z 2 =12 2) Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+y+z=1 x 3 +y 3 +z 3 =1 Tính tổng: T= x 2003 +y 2003 +z 2003 3) Tìm nghiệm nguyên của các hệ phơng trình: a) x+y+z=3 b) x 3 + y 3 +3xyz =z 3 x 3 +y 3 +z 3 =3 (2x+2y) 2 =z 3 4. Kết quả đạt đợc: Qua việc áp dụng sáng kiến trên vào việc bồi dỡng học sinh giỏi tôi thấy rất có kết quả: Học sinh nắm vững kiến thức cơ bản đã đợc học và vận dụng tốt vào trong giải toán. Từ chổ xác định ra cách giải bài toán đúng hớng học sinh không những giải nhanh và chính xác loại toán này mà còn đa ra những lời giải hợp lí ngắn gọn để giải những bài toán khác. Nhiều em còn thể hiện t duy sáng tạo rất rõ nét qua những bài toán không mẫu mực. Tự các em luôn có ý thức thi đua trong mọi lĩnh vực làm toán, thể hiện sự sáng tạo, khả năng vận dụng lý thuyết và bài toán phụ khá thành thạo và đa về bài toán có cách giải đơn giải tối u nhất. Từ chổ nắm chắc kiến thức và vận dụng khá thành thạo nên kết quả bớc đầu của học sinh cũng rất khả quan. Trớc lúc hớng dẫn: Điểm 3 4 5 6 7 8 9 10 Số lợng(15) 3 2 5 4 1 0 0 0 Sau khi hớng dẫn: Điểm 3 4 5 6 7 8 9 10 Số lợng(15) 0 1 2 3 4 4 1 III- Kết luận: áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán Trên đây chỉ là một vài suy nghĩ cũng nh việc làm của cá nhân tôi đã tiến hành trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán 8,9 tôi thấy rất có hiệu quả song nó còn có thể còn nhiều khiếm khuyết. Mong đợc sự đóng góp những ý kiến quý báu của bạn đọc để có thể tìm thêm nhiều phơng pháp khác vận dụng vào việc giải toán và bồi dỡng học sinh giỏi. Tôi thiết nghĩ rằng, đây chỉ là những việc làm rất cần thiết và cũng là bớc đi ban đầu trong nghề dạy học và tự nhận thấy cần phải cố gắng thật nhiều trong phơng pháp giảng dạy. Đặc biệt việc học hỏi ở đồng nghiệp để phơng pháp và những kinh nghiệm giảng dạy là điểu cốt yếu và không thể thiếu đợc cho cá nhân tôi. Để công tác giảng dạy ngày càng tốt hơn, tôi nhận thấy nhất thiết phải thờng xuyên bồi dỡng chuyên môn, nghiệp vụ, phải tự tích lũy nhiều kiến thức, nhiều dạng toán và phơng pháp giải tốt nhất. Riêng về học sinh cần tuyệt đối ngăn chặn các sai lầm thờng mắc phải bằng cách giáo dục thờng xuyên, kiểm tra và uốn nắn cách tốt nhất là học sinh phải độc lập suy nghĩ không có ý thức . Ngày 10 tháng 12 nm 2007 . Từ đó tìm ra phơng pháp chung giải quyết từng loại bài toán. 3. Hai hằng đẳng thức áp dụng vào giải toán . Ngoài những hằng đẳng thức quen thuộc đã học. 3 = a 3 + b 3 + c 3 a = -b b = -c c = -a áp dụng hằng đẳng thức vào giải toán Việc vận dụng hai hằng đẳng thức này trong nhiều trờng hợp thật là hiệu