Ma trận , Định thức

Chu.o.ng - i.nh th´ Ma trˆ a.n D u.c 3.1 Ma trˆ a.n 67 3.1.1 - inh ngh˜ıa ma trˆ D a.n 67 3.1.2 C´ ac ph´ep to´ an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆ a.n 69 3.1.3 Ph´ep nhˆ an c´ ac ma trˆ a.n 71 Ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆ a.n 72 - i.nh th´ D u.c 85 3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 85 85 88 89 Ha.ng cu’a ma trˆ a.n 109 3.3.1 3.3.2 3.4 Nghi.ch thˆe´ - inh th´ D u.c u.c T´ınh chˆ a´t cu’a di.nh th´ u.c ap t´ınh di.nh th´ Phu.o.ng ph´ - inh ngh˜ıa 109 D ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆ a.n 109 Phu.o.ng ph´ Ma trˆ a.n nghi.ch da’o 118 3.4.1 - inh ngh˜ıa 118 D 3.1 Ma trˆa.n 3.4.2 3.1 67 Phu.o.ng ph´ ap t`ım ma trˆ a.n nghi.ch da’o 119 Ma trˆ a.n Gia’ su’ P l`a tru.`o.ng sˆo´ n`ao d´o (P = R, C) 3.1.1 - i.nh ngh˜ıa ma trˆ D a.n u m × n sˆo´ cu’a P: Ta x´et ba’ng h`ınh ch˜ u nhˆa.t lˆa.p nˆen t` a11 a21 a12 a22 a1n a2n am1 am2 amn a.n (hay ch´ınh x´ac ho.n: ma trˆ a.n sˆ o´) Ba’ng sˆo´ n`ay du.o c go.i l`a ma trˆ `an k´ıch thu.´o.c m × n C´ac sˆo´ aij , i = 1, m, j = 1, n du.o c go.i l`a phˆ tu’ cu’a ma trˆa.n, d´o i chı’ sˆo´ hiˆe.u h`ang, j chı’ sˆo´ hiˆe.u cˆo.t cu’a ma trˆa.n K´ y hiˆe.u: c´o thˆe’ d` ung mˆo.t c´ac k´ y hiˆe.u     a11 a12 a1n a11 a12 a1n      a21 a22 a2n   a21 a22 a2n   A=     , hay   hay     am1 am2 amn am1 am2 amn a 11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 68 hay ng˘´an go.n ho.n
  A = aij m×n = aij m×n = aij m×n Tˆa.p ho p mo.i (m × n)-ma trˆa.n du.o c k´ y hiˆe.u l`a M(m × n) a.n vuˆ ong Nˆe´u m = n th`ı ma trˆa.n A = aij m×n du.o c go.i l`a ma trˆ n cˆ a´p n (thu `o ng k´ y hiˆeu: A = aij n×n = aij ) Dˆo´i v´o i ma trˆa.n n `an `an tu’ aii , i = 1, n du.o c go.i l`a nh˜ vuˆong A = aij c´ac phˆ u.ng phˆ `an tu’ n`ay lˆa.p th`anh du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ma tu’ du.` o.ng ch´eo C´ac phˆ trˆa.n vuˆong `an tu’ khˆong n˘`am trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh Ma trˆa.n vuˆong m`a mo.i phˆ `eu b˘a`ng (t´ dˆ `.ng ch´eo: u.c l`a aij = ∀ i 6= j) go.i l`a ma trˆ a.n du.o   d1     A=    d2 dn      = diag[d1 d2 dn ]    `an tu’ d1 = d2 = · · · = dn = Nˆe´u ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo A mo.i phˆ th`ı ma trˆa.n d´o du.o c go.i l`a ma trˆa.n do.n vi cˆa´p n v`a k´ y hiˆe.u:       En = E =     n Nhu vˆa.y En = δij , d´o δij =  0 1         nˆe´u i 6= j nˆe´u i = j 3.1 Ma trˆa.n 69 Sau c` ung, (m × n)-ma trˆa.n da.ng   0   0 0  Om×n =      0 go.i l`a ma trˆa.n - khˆong k´ıch thu.´o.c m × n Nˆe´u m = n th`ı k´ y hiˆe.u On n hay O1 ong pha’i l`a Nhˆ a.n x´et 1) Ta nhˆa´n ma.nh: ma trˆa.n A = aij m×n khˆ mˆo.t sˆo´, n´o l`a mˆo.t Ba’ng c´ ac sˆ o´ 2) Ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n) go.i l`a ma trˆa.n h`ang h i a1, a2, , an c`on ma trˆa.n (m × 1) go.i l`a ma trˆa.n cˆo.t   a1    a2        am 3.1.2 C´ ac ph´ ep to´ an tuyˆ e´n t´ınh trˆ en ma trˆ a.n ung mˆo.t tru.`o.ng P (= R, C) Gia’ su’ mo.i ma trˆa.n du.o c x´et l`a trˆen c` C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho p c´ac ma trˆa.n l`a ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n (chı’ dˆ ac ma trˆ a.n c` ung k´ıch thu.o ´.c!) v`a ph´ep nhˆan ma o´i v´ o.i c´ trˆa.n v´o.i mˆo.t sˆo´ v`a ch´ ung du.o c di.nh ngh˜ıa nh`o c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac `an tu’ cu’a ch´ phˆ ung       Cho A = aij m×n , B = bij m×n Ma trˆa.n C = cij m×n du.o c go.i l`a tˆo’ng cu’a A v`a B nˆe´u cij = aij + bij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 70 v`a k´ y hiˆe.u C = A+B
[cij ] = [aij + bij ], i = 1, m, j = 1, n     Gia’ su’ A = aij m×n v`a λ ∈ P Ma trˆa.n C = cij m×n du.o c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i sˆo´ λ nˆe´u cij = λaij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n v`a k´ y hiˆe.u C = λA   λA = λaij m×n ) Tru.`o.ng ho p d˘a.c biˆe.t λ = −1 ta viˆe´t (−1)A = −A v`a go.i −A l`a ma trˆa.n dˆo´i cu’a ma trˆa.n A C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho p ma trˆa.n M(m × n) c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay Gia’ su’ A, B, C ∈ M(m × n) v`a α, β ∈ P Khi d´o I A + B = B + A (luˆa.t giao ho´an) II A + (B + C) = (A + B) + C (luˆa.t kˆe´t ho p) III A + Om×n = A IV A + (−A) = Om×n V · A = A VI α(βA) = (αβ)A - luˆa.t kˆe´t ho p dˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan c´ac sˆo´ VII α(A + B) = αA + αB - luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n VIII (α + β)A = αA + βA - luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i ma trˆa.n dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng c´ac sˆo´ Hiˆe.u c´ac ma trˆa.n A − B c´o thˆe’ di.nh ngh˜ıa nhu sau def A − B = A + (−B) 3.1 Ma trˆa.n 3.1.3 71 Ph´ ep nhˆ an c´ ac ma trˆ a.n Ma trˆa.n A du.o c go.i l`a tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u sˆo´ cˆo.t cu’a ma trˆa.n A b˘a`ng sˆo´ h`ang cu’a ma trˆa.n B (t` u su tu.o.ng th´ıch cu’a A v´o.i B n´oi chung khˆong suy du.o c r˘a`ng ma trˆa.n B tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A)       Cho ma trˆa.n A = aij m×n v`a B = bij n×p Ma trˆa.n C = cij m×p du.o c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u cij = n X ais bsj (3.1) s=1 K´ y hiˆe.u C = AB v`a n´oi r˘`ang “nhˆan bˆen pha’i ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B” hay “nhˆan bˆen tr´ai ma trˆa.n B v´o.i ma trˆa.n A” T` u (3.1) suy quy t˘´ac t`ım c´ac sˆo´ ha.ng cu’a t´ıch c´ac ma trˆa.n: `an tu’ cij d´ phˆ u i v`a cˆo.t th´ u j cu’a ma u.ng o’ vi tr´ı giao cu’a h`ang th´ `an tu’ h`ang th´ trˆa.n C = AB b˘a`ng tˆo’ng c´ac t´ıch cu’a c´ac phˆ u i cu’a ma `an tu’ tu.o.ng u trˆa.n A nhˆan v´o.i c´ac phˆ ´.ng cu’a cˆo.t th´ u j cu’a ma trˆa.n B   a11 a12 a1n         b b b c c1p   ij 11 1p        11   ai1 ai2 ain  ×     =  cij              bn1 bij bnp cmp cm1 am1 am2 amn Ch´ u ´y 1) N´oi chung ph´ep nhˆan ma trˆa.n khˆong c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an 2) T´ıch hai ma trˆa.n kh´ac c´o thˆe’ b˘`ang ma trˆa.n khˆong `eu kiˆe.n c´ac ph´ep to´an du.o c viˆe´t c´o ngh˜ıa, ph´ep nhˆan 3) V´o.i diˆ ma trˆa.n c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau I (AB)C = A(BC) - luˆa.t kˆe´t ho p II α(AB) = (αA)B = A(αB), α ∈ P III (A + B)C = AC + BC (luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen pha’i - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D 72 dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n) IV C(A + B) = CA + CB (luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen tr´ai dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n) 3.1.4 Ph´ ep chuyˆ e’n vi ma trˆ a.n Ph´ep to´an trˆen c´ac ma trˆa.n m`a d´o c´ac h`ang chuyˆe’n th`anh c´ac cˆo.t c`on c´ac cˆo.t chuyˆe’n th`anh c´ac h`ang du.o c go.i l`a ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n   Cho ma trˆa.n A = aij m×n Ma trˆa.n thu du.o c t` u ma trˆa.n A b˘`ang ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n du.o c go.i l`a ma trˆ a.n chuyˆe’n vi dˆo´i v´o.i ma trˆa.n A v`a du.o c k´ y hiˆe.u l`a AT Nhu vˆa.y: AT l`a (n × m)-ma trˆa.n a.n dˆ o´i x´ u.ng nˆe´u AT = A v`a du.o c Ma trˆa.n vuˆong du.o c go.i l`a ma trˆ  n go.i l`a ma trˆ a.n pha’n x´ u.ng nˆe´u AT = −A Nhu vˆa.y nˆe´u A = aij l`a ma trˆa.n dˆo´i x´ u.ng th`ı aij = aji ∀ i, j = 1, n v`a nˆe´u A pha’n x´ u.ng th`ı `an tu’ trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ma trˆa.n aij = −aji Do d´o c´ac phˆ pha’n x´ u.ng l`a b˘a`ng ´ V´I DU CAC " # " # V´ı du 1) Cˆo.ng c´ac ma trˆa.n v`a " # −1 −1 2) Nhˆan ma trˆa.n A = v´o.i sˆo´ λ = Gia’i 1) Hai ma trˆa.n d˜a cho c´o c` ung k´ıch thu.´o.c nˆen c´o thˆe’ cˆo.ng v´o.i Theo di.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n ta c´o " " # " # 1+5 2+6 + = = 3+7 4+8 10 12 2) λA # = " · # " # −1 −1 = " −1 · · −1 · 4·3 0·3 1·3 # = 3.1 Ma trˆa.n 73 " # −3 −3 12 V´ı du Trong tru.`o.ng ho p n`ao th`ı: 1) c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n h`ang v´o.i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t ? 2) c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t v´o.i mˆo.t ma trˆa.n h`ang ? Gia’i 1) Ma trˆa.n h`ang l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n) c`on ma trˆa.n cˆo.t l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (m × 1) Ph´ep nhˆan ma trˆa.n h`ang (1 × n) v´o.i ma trˆa.n cˆo.t (m × 1) chı’ c´o thˆe’ nˆe´u n = m: 1×n · n×1 = 1×1 t´ u.c l`a kˆe´t qua’ ph´ep nhˆan l`a mˆo.t sˆo´, cu thˆe’ l`a   b1  h i  i  b2  h   a1 a2 an   = a1b1 + a2b2 + · · · + an bn = c   bn 2) Ma trˆa.n cˆo.t A   a1    a2   A=     am l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (m × 1) Ma trˆa.n n`ay tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n), t´ u.c l`a ma trˆa.n h`ang Nhu vˆa.y ph´ep nhˆan d˜a nˆeu luˆon luˆon thu c hiˆe.n du.o c, cu thˆe’ l`a     a1 a1b1 a1b2 a1bn   h  i   a2   a2b1 a2b2 a2bn    b1 b2 bn =       N     am am b1 am b2 am bn 74 - inh th´ u.c Chu.o.ng Ma trˆa.n D V´ı du T´ınh AB v`a BA nˆe´u   " #   1) A = , B = 3   " # −1 −1   2) A = , B =  3 −1 Gia’i 1) Theo quy t˘a´c nhˆan c´ac ma trˆa.n ta c´o   " " # # " #   3·1+2·3+1·3 12 AB = = 3 = 0·1+1·3+2·3 `on ta.i v`ı ma trˆa.n B khˆong tu.o.ng th´ıch v´o.i ma T´ıch BA khˆong tˆ trˆa.n A 2) Ta c´o ma trˆa.n A tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B Do d´o   " # −2 −1   AB =  3 −1 " # · (−2) + · + (−1)(−1) · + · + (−1) · = · (−2) + · + (1) · (−1) 2·0+0·3+1·1 " # 11 = −5 Tu.o.ng tu , ma trˆa.n B tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A v`a   −2 −8   BA =  2 N −4 " # V´ı du 1) Cho ma trˆa.n A = T`ım mo.i ma trˆa.n X giao 0 ho´an v´o.i A (AX = XA) 3.1 Ma trˆa.n 75 " # 2) T`ım mo.i ma trˆa.n giao ho´an v´o.i ma trˆa.n A = −1 −1 3) T´ınh t´ıch " # " # 1 1 0 −1 −1 Gia’i 1) V`ı A l`a ma trˆa.n cˆa´p nˆen dˆe’ c´ac t´ıch AX v`a " XA α ung pha’i l`a ma trˆa.n cˆa´p Gia’ su’ A = di.nh, ma trˆa.n X c˜ γ Khi d´o " AX = " α XA = γ # " α γ # " β δ # " β γ = δ # " = 0 x´a#c β δ # δ , # α γ T` u d´o nˆe´u AX = XA ⇒ γ = 0, α = δ Do d´o mo.i ma trˆa.n ho´an vi `eu c´o da.ng v´o.i ma trˆa.n d˜a cho dˆ " # α β X= α " # x y 2) Tu.o.ng tu nhu trˆen, gia’ su’ X = l`a ma trˆa.n giao ho´an u v ... ma. nh: ma trˆa.n A = aij m×n khˆ mˆo.t sˆo? ?, n´o l`a mˆo.t Ba’ng c´ ac sˆ o´ 2) Ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n) go.i l`a ma trˆa.n h`ang h i a 1, a 2, , an c`on ma trˆa.n (m × 1) go.i l`a ma. .. ho.n: ma trˆ a.n sˆ o´) Ba’ng sˆo´ n`ay du.o c go.i l`a ma trˆ `an k´ıch thu.´o.c m × n C´ac sˆo´ aij , i = 1, m, j = 1, n du.o c go.i l`a phˆ tu’ cu’a ma trˆa.n, d´o i chı’ sˆo´ hiˆe.u h`ang, j... [aij + bij ], i = 1, m, j = 1, n     Gia’ su’ A = aij m×n v`a λ ∈ P Ma trˆa.n C = cij m×n du.o c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i sˆo´ λ nˆe´u cij = λaij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n v`a k´