MA TRẬN ĐỊNH THỨC

Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC MA TRẬN 1.1 Đònh nghóa ma trận Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột  a11  a A =  21  ⋯ a  m1 a12 a 22 ⋯ a m2 ⋯ a1n   ⋯ a 2n  ⋯ ⋯  ⋯ a mn  ( ) gọi ma trận cấp m × n , ký hiệu A = a ij m×n hay A = a ij  , a ij m×n số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j ma trận A Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm× n Với A ∈ Mm× n , số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j , ≤ i ≤ m , ≤ j ≤ n , A ký hiệu  A  ij  3 Ví dụ Với A =   ∈ M2× , ta có  6  A  =  A  = 21 23  A  = , 11 ( ) A= AB ,  A  = , 13 Chú ý việc xử lý bảng công cụ quen thuộc đời sống Chẳng hạn, để ghi số lượng bán mặt hàng ngày, ta dùng số Số lượng bán n mặt hàng ngày biểu diễn n số mà ta gọi vectơ n – chiều, hay ma trận cấp × n Số lượng bán n mặt hàng m ngày biểu diễn m vectơ n – chiều, hay ma trận cấp m × n Trong xử lý ảnh, ảnh đen trắng biểu diễn ma trận bít , Trong thống kê ứng dụng, khảo sát biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n số liệu, số liệu gồm k + số giá trò k biến độc lập giá trò biến phụ thuộc tương ứng Một số liệu tạo thành ma trận cấp n × ( k + 1) , Giống khái niệm khác toán học, ma trận biểu diễn nhiều đối tượng khác toán ứng dụng cụ thể Về mặt toán học, ta xét biểu diễn quan trọng ma trận việc khảo sát hệ phương trình tuyến tính, hệ thống gồm nhiều phương trình bậc theo nhiều ẩn số Cụ thể, xét hệ phương trình  x − y + z =   − x + 2y + z =  −2x + 3y + z =  (1.1) x, y, z ẩn số cần tìm Vai trò ký hiệu ẩn x, y, z ý nghóa đònh Chẳng hạn, hệ phương trình viết lại thành Chương Ma trận – Đònh thức  x1   − x1  −2x  − Đại Số Tuyến Tính x2 + x3 = + 2x2 + x3 = + 3x2 + x3 = (1.2) với ẩn x1 , x2 , x3 Nói khác đi, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác đònh số hạng kèm theo ẩn mà ta gọi hệ số số hạng vế phải mà ta gọi hệ số tự Cụ thể, hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số hoàn toàn xác đònh ma trận cấp m × n hệ số ma trận cấp m × hệ số tự Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) hoàn toàn xác đònh ma trận  −1   2     A =  −1  B =    −2  7     Ngoài ra, ta gom chung hai ma trận lại ma trận, gọi ma trận hệ số mở rộng  −1  −1     A =  −1  hay A B =  −1  −2  −2     ( ) 2  6  1.2 Ma trận Hai ma trận A B gọi chúng có cấp số hạng tương ứng chúng đôi một, nghóa  A  = B  với i, j ij ij Ví dụ Cho hai ma trận A, B ∈ M2× , p q 4 1  A= ,B =    2 s 2 Ta có A = B p = , q = s = 1.3 Các ma trận đặc biệt i) Ma trận không : ma trận mà số hạng số Ma trận không cấp m × n ký hiệu m× n hay vắn tắt  0 0 Ví dụ 02× =   ma trận không cấp ×  0 0 ii) Ma trận vuông : ma trận có số dòng số cột cấp n × n gọi tắt ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma n ký hiệu Mn Với ma trận vuông A ∈ Mn , số hạng  A  , 11 Ma trận vuông trận vuông cấp  A  , ,  A  22 nn , ,  A  gọi nằm đường chéo (chính) A Các số hạng  A  ,  A  n −1,2 1n n1 gọi nằm đường chéo phụ A Ví dụ Ma trận Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính  −2    A = 0   −5    ma trận vuông cấp Các số hạng nằm đường chéo :  A  = 1,  A  = 6,  A  = −5 11 22 33 Các số hạng nằm đường chéo phụ :  A  = 2,  A  = 6,  A  = 31 22 13 iii) Ma trận chéo cấp n : ma trận vuông cấp n mà số hạng không nằm đường chéo số Ví dụ Ma trận  0   A =  −7   0 0   ma trận chéo cấp iv) Ma trận đơn vò cấp n : ma trận chéo cấp n , ký hiệu In , mà số hạng nằm đường chéo Để biểu diễn ma trận đơn vò, người ta dùng ký hiệu Kronecker : 1 δij =  0 khi i= j i≠ j đó, ma trận đơn vò cấp n viết dạng 1  In =    0 0  0 = δij    ( ) i, j =1,n Ví dụ Ma trận đơn vò cấp cấp  0  0   I2 =   ; I3 =    1  0 1   v) Ma trận tam giác (dưới) : ma trận vuông mà phần tử phía (ở phía trên) đường chéo Ví dụ Ma trận  b11   B=    b12 b22 b1n   b2n   bnn  ma trận tam giác ma trận Chương Ma trận – Đònh thức  c11  c C =  21  c  n1 c22 cn2 Đại Số Tuyến Tính     cnn  ma trận tam giác vi) Ma trận dòng (cột) : có dòng gọi ma trận dòng, ma trận có cột gọi ma trận cột Các ma trận dòng ma trận cột xem vectơ gọi vectơ dòng vectơ cột Khi đó, ma trận xem tạo nhiều vectơ dòng hay tạo nhiều vectơ cột Với ma trận A ∈ Mm× n , dòng thứ i A gồm phần tử  A  ,  A  , ,  A  ký hiệu  A  ; cột thứ j gồm i1 i2 in i j phần tử  A  ,  A  , ,  A  , ký hiệu  A  1j 2j mj Ví dụ i) Ma trận A = ( −1) ma trận dòng 1   ii) Ma trận B =   ma trận cột  −1    iii) Ma trận 1 1   C =  −1  ∈ M3×  −1 −1    tạo vectơ dòng C  = (1 1) ; C  = ( −1 2) ; C  = ( −1 −1) , hay tạo vectơ cột 1 2  0 1         C  =   ; C  =  −1  ; C  =   ; C  =    −1  0 1  −1          1.3 Các phép toán ma trận 1.3.1 Phép cộng hai ma trận nhân số với ma trận Với hai ma trận A, B ∈ Mm× n , h ∈ ℝ , ma trận tổng A B , ký hiệu A + B , ma trận cấp m × n xác đònh  A + B  =  A  +  B  với i, j ij ij ij Ma trận tích A với số h, ký hiệu hA , ma trận cấp m × n xác đònh  hA  = h  A  với i, j ij ij  3  −1  Ví dụ Với A =  , B =    6  −1 −1  2 4 2   −4 −4  A+B=  , 2A =   −4B =   3 5  10 12   −4  Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Chú ý : Hai ma trận cộng với chúng có cấp ma trận tổng có cấp cấp hai ma trận cho Ma trận ( −1) A , ký hiệu − A , gọi ma trận đối ma trận A Từ đó, ta đònh nghóa phép trừ ma trận A − B ≡ A + ( −B ) = A + ( −1) B Tính chất Với ma trận A, B, C ∈ Mm× n h, k ∈ ℝ , ta có (i) A + B = B + A (tính giao hoán) (ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (tính kết hợp) (iii) A + = A ( : ma trận không cấp m × n ) (iv) A + ( − A ) = (v) h ( kA ) = ( hk ) A (vi) h ( A + B ) = hA + hB (vii) ( h + k ) A = hA + kA (viii) 1.A = A Các tính chất kiểm chứng cách dễ dàng coi tập Tập hợp Mm× n với hai phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số thỏa tính chất nêu nên sau ta nói có cấu trúc không gian vectơ (xem chương 3) 1.3.2 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm× n , B ∈ Mn× p Ta đònh nghóa ma trận tích hai ma trận A, B ma trận cấp m × p , ký hiệu AB , xác đònh x 1 1 x 1 1 x 1 1 x với i = 1, m , k = 1, p Trong công thức tính số hạng  AB  ma trận tích AB , số hạng  A  , ik i1  A  , ,  A  tạo thành dòng thứ i ,  A  , ma trận A số hạng B  , i2 in i 1k k B  , , B  tạo thành cột thứ k , B  , ma trận B Khi đó, số hạng  AB  2k nk ik k tích vô hướng hai vectơ  A  B  i Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính b1k ai1 dò ng i ai2 ain dò ng i b2k = cộ t k bnk cộ t k Ví dụ 10 Cho  2  3   A =  −1  ∈ M3x2 , B =   ∈ M2x2 −    3   Các số hạng ma trận AB ∈ M3×  AB  =  A  ⋅  B  = 1.2 + 2(−2) = − , 11  AB  =  A  ⋅ B  = 1.3 + 2.1 = , 12 1  AB  =  A  ⋅ B  = − 1.2 + 1(−2) = − , 21 2  AB  =  A  ⋅ B  = − 1.3 + 1.1 = − , 22  AB  =  A  ⋅ B  = 2.2 + 3(−2) = − , 31  AB  =  A  ⋅ B  = 2.3 + 3.1 = , 32  −2    AB =  −4 −2   −2    Chú ý với phép nhân ma trận vậy, ta biểu diễn hệ phương trình tuyến tính phương trình ma trận Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình tuyến tính  x1   − x1  −2x  − x2 + x3 = + 2x2 + x3 = + 3x2 + x3 = (1.3) với ma trận hệ số ma trận hệ số tự do,  −1   2     A =  −1  B =    −2  7      x1    Gọi X =  x2  ma trận ẩn số Hệ phương trình (1.3) viết lại thành x   3 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính AX = B (1.4) Tính chất (i) Tính kết hợp : Với ma trận A ∈ Mm× n , B ∈ Mn×p C ∈ Mp× q , ta có A ( BC ) = ( AB ) C (ii) Tính phân bố : Với ma trận A, B ∈ Mm× n C ∈ Mn× p , ta có ( A + B ) C = AC + BC , với ma trận C ∈ Mm× n A, B ∈ Mn ×p , ta có C ( A + B ) = CA + CB (iii) Với ma trận A ∈ Mm× n , B ∈ Mn× p h ∈ ℝ , ta có h ( AB ) = ( hA ) B = A ( hB ) Chú ý i) Để nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện số cột ma trận A phải số dòng ma trận B : Số dòng ma trận tích AB số dòng ma trận A số cột ma trận tích AB số cột ma trận B Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không thiết tích AB tồn tích AB tồn tại, không tích BA tồn ii) Tích hai ma trận nói chung tính giao hoán, nghóa tổng quát ta có AB ≠ BA Ví dụ 11 Với hai ma trận 0 1 A= ,  0  0 B= , 1 0 ta có 1 0  0 AB =   ≠ BA =    0 0 1 Trong trường hợp hai ma trận tích AB BA tồn thỏa đẳng thức AB = BA , ta nói hai ma trận A B giao hoán với Chẳng hạn, ma trận đơn vò In giao hoán với ma trận vuông A cấp n In A = AIn = A Tổng quát, B ma trận cấp m × n , ta có Im B = BIn = B , Im , In ma trận đơn vò cấp m n Ví dụ 12 Cho  3 A=   6 Ta có  0  3  3 I2 A =   =   1  6  6  0  3    3 AI3 =    0 =    6  0   6   Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính  −1   −1 −3      Ví dụ 13 Cho A =  −1  C =  −1 −2  Ta có  −2   −1      1 0   AC = CA =   = I3 , 0 1   đó, hai ma trận A C giao hoán với Thực ra, ma trận C gọi ma trận nghòch đảo A, ký hiệu A −1 Khi đó, ta nhân hai vế đẳng thức (1.4) cho C, ta C ( AX ) = CB Do C ( AX ) = ( CA ) X = I3 X = X , đẳng thức cho  −1 −3           X = CB =  −1 −2    =    −1           đó, ta nhận x1 = ; x2 = ; x3 = Nói khác đi, ta giải hệ phương trình tuyến tính (1.3) 1.4 Các phép biến đổi sơ cấp dòng Xét ma trận A ∈ Mmxn với m vectơ dòng  A  ,  A  , ,  A  Các phép biến m đổi dòng nhằm mục đích thay đổi dòng ma trận A , biến thành ma trận A ′ ∈ Mm× n ( A ′ cấp với A ) Ta có phép biến đổi sơ cấp dòng sau : ( i ) ∼ ( j) i) Phép biến đổi : Hoán vò hai dòng i j , ký hiệu A → A ′ , nhằm đổi chỗ hai dòng i , j ma trận A, nghóa dòng khác dòng i , j A A ′ nhau, dòng thứ i A ′ dòng thứ j A dòng thứ j A ′ dòng thứ i A ,  A ′  =  A  k ≠ i, j ,  A ′  =  A   A ′  =  A  i j j i k k Ví dụ 14 3  A= 1   −1 2 1 5   3 1) ∼ ( ) (  →     0  −1 2 4  3 5   ( i) :=α ( i ) ii) Phép biến đổi : Nhân dòng i với số α ≠ , ký hiệu A → A ′ , nhằm nhân dòng thứ i A với α , nghóa dòng khác dòng i A A ′ nhau, dòng thứ i A ′ dòng thứ i A nhân với α ,  A ′  =  A  k ≠ i  A ′  = α ⋅  A  k k i i Ví dụ 15 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính  −3   −3  ( 3):= 15 ( 3)     A =   →   0      0  iii) Phép biến đổi : Thay dòng i dòng i cộng với α lần dòng j , ký hiệu ( i ) := ( i) + α ( j) → A ′ nhằm thay dòng thứ A dòng cộng với A  i α nhân cho dòng thứ j A, nghóa dòng khác dòng i A A ′ nhau, dòng thứ i A ′ dòng thứ i A cộng với α lần dòng thứ j A,  A ′  =  A  k ≠ i  A ′  =  A  + α ⋅  A  i i j k k Ví dụ 16  −1   −1  ) := ( ) + ( )     ( A =  −1  →  −1   −2       −2   −1 ( ) := ( ) + ( ) →    0  0  −1  −1  Chú ý ma trận cuối có phần tử nằm phía đường chéo số nên ma trận tam giác Đối với ma trận tam giác mà phần tử nằm đường chéo khác 0, phép biến đổi sơ cấp dòng, ta biến thành ma trận dạng đơn vò Ví dụ 17  −1   −1  ) : = −1 (1 )     ( → −1   −1   ( 2):= −1.( 2)   0 −1  0  (3):=−1.(3)      −1  1 0     (1):= (1) + (3)  →  −1   →   = I3 (2):= (2) + (3) 0  0 1     (1):= (1) + (2) Tổng quát : Ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để chuyển ma trận vuông ma trận tam giác phần tử đường chéo ma trận tam giác khác không, ta tiếp tục biến đổi ma trận dạng đơn vò • Giải thuật biến ma trận vuông thành ma trận tam giác Để chuyển ma trận vuông ma trận tam giác trên, ta duyệt cột, từ cột đầu đến cột cuối : Trên cột, chọn phần tử mà ta gọi phần tử trục xoay Sau đó, dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để biến phần tử nằm phía phần tử trục xoay số Đối với giải thuật chuyển ma trận vuông ma trận tam giác trên, phần tử trục xoay cột chọn nằm đường chéo Khi đó, ta có khả sau : Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Khả Phần tử trục xoay phần tử phía phần tử trục xoay : Chuyển qua cột kế Khả Phần tử trục xoay có phần tử phía khác : Hoán vò hai dòng thích hợp để đưa phần tử khác vò trí phần tử trục xoay Chuyển qua khả Khả Phần tử trục xoay khác : Thay dòng phần tử trục xoay dòng cộng với số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến phần tử phía trục xoay thành Chuyển qua cột kế Ví dụ 18 1  A =  1 3  1 2   −1  0 →  0 5  0   1  →  0 0  2  −1   3  2 1 2   −1  →   0 2  0   −1 0      −9  2 Ngoài ra, ma trận tam giác nhận có phần tử đường chéo khác với phần tử trục xoay nằm đường chéo, duyệt từ cột đầu tới cột cuối cột : Nhân dòng chứa phần tử trục xoay với số thích hợp để biến phần tử trục xoay thành 1, Thay dòng phía phần tử trục xoay dòng cộng với số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến phần tử phía phần tử trục xoay thành Chẳng hạn, với ma trận nhận ví dụ 18, ta biến đổi tiếp tục 1  0 0  0  0 1 2   0 −1  →  2 0  0 −9   1  0 → 0  0 0 0 0 1 − 12 0 1  2 2   1 0 −   → 2   0 2 2    1 0 0 1  1     →  0 2   0 1 0 0  0 0   Chú ý rằng, ma trận tam giác có phần tử đường chéo ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để chuyển ma trận có dòng gồm toàn số Nhận xét ta thực phép biến đổi dòng cho ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình tuyến tính, ta thay đổi thứ tự phương trình hệ, nhân hai vế phương trình cho số khác hay thay phương 10 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính trình phương trình cộng cho số nhân cho phương trình khác Do thay đổi không làm thay đổi tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính nên sau thực phép biến đổi sơ cấp dòng cho ma trận hệ số mở rộng, ta nhận ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình tuyến tính mới, tương đương với hệ phương trình tuyến tính ban đầu, nghóa tập nghiệm chúng Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình  x1   − x1  −2x  − x2 + x3 = + 2x2 + x3 = + 3x2 + x3 = thực phép biến đổi sơ cấp dòng cho ma trận hệ số mở rộng ( ) A = A B cho ma trận hệ số A trở thành ma trận tam giác trên,  −1  A = A B =  −1  −2  (  −1 2   ): = ( ) + (1 ) (   →0 : = + ( ) ( ) ()   0 )  −1 1  0  ( ) := ( ) − ( )  → 2   ≡ A ′ = A ′ B′  ( 2  8 11  ) ta nhận hệ phương trình tương đương  x1     − x2 x2 + x3 = + 2x3 = x3 = Hệ dễ dàng giải cách giải phương trình từ lên trên, ta x3 = , x2 = − 2x3 = x1 = + x2 − x3 = Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính gọi phương pháp Gauss ( ) Hơn nữa, ta biến đổi tiếp A ′ = A ′ B′ để chuyển A ′ ma trận dạng đơn vò,  10   8 0    (1) : = (1) + ( )  A ′ = ( A ′ B′ ) →  1 0 1 0 3 (1):= (1) − 3( 3) →   ≡ A ′′ = A ′′ B′′  ( )  ( 2):= ( 2) − 2( 3)   ta nhận hệ  x1     = = x2 x3 = ta lại nhận nghiệm hệ phương trình ban đầu Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính gọi phương pháp Gauss-Jordan Hệ phương trình tuyến tính khảo sát cách có hệ thống chương sau 11 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính 1.5 Ma trận bậc thang theo dòng Đònh nghóa Ma trận bậc thang theo dòng ma trận mà ứng với hai dòng bất kỳ, số hạng khác dòng luôn nằm bên phải số hạng khác dòng Ví dụ 19 0  0 A = 0  0 0  0 0 −4 0 0 0 0 1 7   6 0 3, B = 0   5 0  0 0  6  4 −1  0 3  0 0 8 0 0  Nhận xét : Trong ma trận bậc thang theo dòng, dòng không (dòng chứa toàn số hạng 0), có, phải nằm dòng khác không (dòng có số hạng khác 0) Khi đó, số hạng dòng tạo thành hình bậc thang, bậc thang chứa cột Chẳng hạn, với ma trận ví dụ 19, số hạng dòng có dạng 0  0 A → 0  0 0  0 0 0 0        0  , B → 0 0     0  0 0 0   0 0 0 0    Chú ý rằng, ma trận tam giác với số hạng nằm đường chéo khác ma trận bậc thang bậc thang chứa cột Với ma trận A cấp m × n bất kỳ, ta luôn dùng phép biến đổi sơ cấp để biến ma trận A thành ma trận bậc thang theo dòng • Giải thuật chuyển ma trận ma trận bậc thang theo dòng Để chuyển ma trận ma trận bậc thang theo dòng, người ta thay đổi cách chọn phần tử trục xoay giải thuật chuyển ma trận vuông ma trận tam giác Thay vò trí phần tử trục xoay luôn nằm đường chéo, ta chọn - Phần tử trục xoay cột nằm dòng - Nếu sau biến đổi xong cột mà phần tử trục xoay lúc khác phần tử trục xoay cột kế nằm dòng kế Ngược lại, phần tử trục xoay (và phần tử nằm 0) phần tử trục xoay cột kế nằm dòng Ví dụ 20  −1 −2  −1 −2         −1 −1  −10 −14  → 1  −10 −14  −6 −9      12 −2 −2 −10   10 25 −50 −70      12 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính  −1 −2    −10 −14  →  0  0 0 0 0 0   Đặc biệt, ta có liên hệ phép biến đổi sơ cấp dòng với tích ma trận sau Đònh lý Cho A ∈ Mm× n B ∈ Mn× q Nếu A ′ ma trận nhận từ A qua phép biến đổi sơ cấp dòng D ma trận A ′B nhận từ ma trận AB qua phép biến đổi sơ cấp dòng D , nghóa D A  → A ′ D AB  → A ′B 1.6 Ma trận chuyển vò Đònh nghóa Cho A ∈ Mm× n , chuyển vò A , ký hiệu A T , ma trận cấp n × m xác đònh  A T  =  A  , ∀i = 1, n, j = 1, m ji   ij  3 Ví dụ 21 Với ma trận A =   ∈ M2× , chuyển vò  6 A T 1 4   =   ∈ M3×  6   Nhận xét Ma trận chuyển vò A nhận từ A cách biến dòng A thành cột A T (hay biến cột A thành dòng A T ) Tính chất ( ) (i) A T T = A (ii) ( A + B ) = A T + BT T (iii) ( AB ) = BT A T T 1.7 Ma trận đối xứng Đònh nghóa Ma trận vuông A gọi đối xứng, A = A T Từ đònh nghóa ta thấy A ma trận đối xứng A ma trận vuông phần tử nằm vò trí đối xứng qua đường chéo nhau,  A  =  A  , ∀i, j ij ji Ví dụ 22 Ma trận  x 3   A =  y 5 3 z   ma trận đối xứng ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG 13 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Xét ma trận vuông cấp n  a11   ⋮  A =  a i1  ⋮   a n1  ⋯ a1 j ⋯ a1n   ⋯ ⋮ ⋯ ⋮  ⋯ a ij ⋯ a in  ⋯ ⋮ ⋯ ⋮   ⋯ a nj ⋯ a nn  Với số hạng a ij (số hạng nằm dòng i cột j ), ma trận vuông cấp n − nhận từ A cách bỏ dòng thứ i cột thứ j gọi ma trận bù A số hạng a ij , ký hiệu A ij  3   Ví dụ 23 Với A =   ∈ M3  9    6 1 2  2 A11 =   , A 23 =   , A 33 =   ∈ M2  9 7 8  5 2.1 Đònh nghóa Cho A ∈ Mn Đònh thức A, ký hiệu det A hay A , số thực đònh nghóa quy nạp theo n sau : Với n = , nghóa A = ( a11 ) , det A = a11 Với n ≥ 2, A = (a ij )n× n , n det A = 1+ j ( −1) ∑ j =1 +1 a1 j det A1 j = ( −1) 1+ + ( −1 ) a11 det A11 + 1+ n a12 det A12 + + ( −1) a1n det A 1n (2.1) a a12  Chẳng hạn, n = , nghóa A =  11  , ta có a  21 a 22  det A = (−1)1 +1 a11 det A11 + (−1)1 + a12 det A12 = (−1)1 +1 a11 det (a 22 ) + (−1)1 + a12 det (a 21 ) = a11a 22 − a 21a12  a b Nhận xét Nếu A =   det A = ad − bc (nghóa det A tích  c d số hạng đường chéo trừ tích số hạng đường chéo phụ.) Với n = , ta có công thức tính đònh thức cấp : a1 a2 a3 b1 b2 b3 = a1 c1 c2 c3 b2 b3 c2 c3 − a2 b1 b3 c1 c3 + a3 b1 b2 c1 c2 = a1 ( b2c3 − b3c2 ) − a ( b1c3 − b3c1 ) + a ( b1c2 − b2 c1 ) 14 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính = a1 b2 c3 + a b3c1 + a b1c2 − a1 b3c2 − a b1c3 − a b2 c1 Trong thực hành ta tính đònh thức cấp cách dùng quy tắc Sarrus sau : Viết theo thứ tự hai cột sau cột thứ Ba số hạng mang dấu cộng đònh thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo Ba số hạng mang dấu trừ đònh thức tích phần tử nằm ba đường song song với đường chéo phụ + − + + a1 a2 a3 a1 a2 b1 b2 b3 b1 b2 c1 c2 c3 c2 − − c1 Ví dụ 24 Ta có 3 −1 −2 = 1.4.5 + 2.0 ( −1) + 3.3 ( −2) − 3.4 ( −1) − 1.0 ( −2) − 2.3.5 = −16 Công thức (2.1) đònh nghóa 2.1 gọi công thức tính det A cách khai triển theo dòng Thực chất, đònh thức ma trận vuông không đổi ta khai triển theo dòng hay cột ( ) 2.2 Đònh lý Cho ma trận A = a i j n det A = ∑ (−1) n ∑ (−1) Khi i0 + j a i j det A i j =1 det A = n× n i + j0 i =1 0j a i j det A i j 0 (2.2) (2.3) (với ≤ i0 , j0 ≤ n ) Công thức (2.2) gọi công thức khai triển theo dòng i0 công thức (2.3) công thức khai triển theo cột j0 Từ đònh lý nêu trên, ta tính đònh thức cách khai triển theo dòng hay cột Trong thực tế, ta lựa chọn dòng hay cột để khai triển cho số phép tính cần thực tốt, chẳng hạn khai triển theo dòng hay cột chứa nhiều số 1  Ví dụ 25 Xét A =  3  0 −2   −2  1  0  Khai triển theo dòng 4, ta có 15 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính −2 det A = × −2 Khai triển theo dòng đònh thức vế phải, ta det A = ( −2) −2 = − 42 Tổng quát hơn, với ma trận A ∈ Mn với số nguyên k , < k < n , ta chọn A dòng i1 < i2 < < ik Khi đó, với k số nguyên ≤ j1 < j2 < < jk ≤ n , ma trận vuông cấp k nhận từ A cách giữ lại phần tử nằm dòng i1 , i ,i2 , ,ik ; j1 , j2 , , jk i2 , , ik cột j1 , j2 , , jk ký hiệu A ma trận vuông cấp n − k nhận từ A cách bỏ dòng i1 , i2 , , ik cột j1 , j2 , , jk ký hiệu A i ,i2 , ,ik ; j1 , j2 , , jk Chẳng hạn, với ma trận A ví dụ trên, ta có  2  −2  A 2,4;1,2 =   A 2,4;1,2 =    3 0  Ta công thức khai triển đònh thức theo k dòng sau : 2.3 Đònh lý Laplace Với A ∈ Mn , chọn k dòng i1 < i2 < < ik Ta có i ( −1)( ∑ j j + i2 + + ik det A = j1 < 2< < ) + ( j1 + j2 + + jk ) i i ik ; j1 j2 jk det A × k × det A i i ik ; j1 j2 jk Ví dụ 26 Với ma trận ví dụ 24, ta khai triển theo hai dòng (hai dòng nhiều số nhất), ta có det A = ( + ) + (1+ 2) −2 = ( −1) ⋅ ( + ) + (1 + ) 0 + ( −1) ⋅ 0 (2+ 4) +(2+ 4) + ( −1) ⋅ ( + ) + (1+ 3) −2 −2 + ( −1) 3 0 ⋅ + ( + ) + ( + 3) −2 −2 + ( −1) ⋅ + ( + ) + ( 3+ ) −2 + ( −1) ⋅ = + + + ( −1) × × + + = −42 2.4 Tính chất i) Với ba ma trận A, B, C ∈ Mn cho C  =  A  + B   A  =  B  = C  , ∀i ≠ , 1j 1j 1j ij ij ij ta có det C = det A + det B Do đó, ma trận C nhận từ A, B cách lấy dòng A cộng với dòng B dòng khác giữ nguyên det C = det A + det B 16 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính ii) Cho A ∈ Mn , h ∈ ℝ Nếu ma trận B ∈ Mn thỏa B  = h  A  B  =  A  , ∀i ≠ 1j 1j ij ij det B = h det A Do đó, ma trận B nhận từ A cách nhân dòng A cho số h, dòng khác giữ nguyên, det B = h det A Đặc biệt, det ( hA ) = hn det A , với A ∈ Mn 2.5 Đònh lý i) ′ (i) ∼ (i ) Nếu A  → B det B = − det A (i):=α (i) ii) Nếu A  → B det B = α det A iii) Ma trận có dòng tỉ lệ có đònh thức (i) := (i) + α (i′) → B , i ≠ i′ , det B = det A iv) Nếu A  v) Đònh thức ma trận tam giác tích số hạng nằm đường chéo ( ) vi) det A = det A T , với A ∈ Mn vii) Với A, B ∈ Mn , ta có det ( AB ) = det A det B Đònh lý nêu ứng dụng việc tính đònh thức ma trận cách biến ma trận vuông ma trận tam giác Chú ý với giải thuật nêu phần 1.4, ta dùng phép biến đổi sơ cấp thứ (đònh thức đổi dấu) phép biến đổi thứ (đònh thức không đổi)  3   Ví dụ 27 Cho A =    0   Ta có  3 1      (2) := (2) − 4(1) A =    →  −6  (3) := (3) − 3(1)  0  −4 −9      1    →  −6  = B  0 −33    (3) := (3) + 4(2) đó, det A = det B = 1.1 (−33) = − 33 Chú ý Với A, B ∈ Mn , AB ≠ BA ta có det ( AB ) = det ( BA ) 1 2  6 Ví dụ 28 Cho A =  , B =   3 4 7 8 Ta có  19 22   23 34  AB =   BA =  ,  43 50   31 46  17 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính det ( AB ) = det ( BA ) = MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Đònh nghóa Cho A, B ∈ Mn Ta nói A, B hai ma trận nghòch đảo AB = BA = In Khi đó, ta nói A B ma trận khả nghòch Chú ý hai ma trận B1 , B2 ma trận nghòch đảo A, nghóa AB1 = B1 A = In AB2 = B2 A = In , ta có B1 = B1I = B1 ( AB2 ) = ( B1 A ) B2 = IB2 = B2 Nói khác đi, A ma trận khả nghòch ma trận B thỏa AB = BA = In ta gọi ma trận nghòch đảo A, ký hiệu B = A −1 3.2 Tính chất Nếu A1 , A , A ma trận vuông cấp n khả nghòch ( ) (i) A −1 −1 (ii) ( A1 A ) ( ) (iii) A T Chứng = A −1 −1 = A 2−1 A1−1 ( ) = A −1 A −1 Nếu minh T ma trận nghòch đảo ma trận A AA −1 = A −1 A = In Suy A −1 A = AA −1 = In , tức A −1 khả nghòch A ma trận nghòch đảo ( ) A −1 Do A −1 −1 = A Ta có ( A1A ) ( A 2−1A1−1 ) = A1 ( A A 2−1 ) A1−1 = A1In A1−1 = A1A1−1 = In Suy ( A1 A ) −1 = A 2−1 A1−1 Ta có ( ) = (A A) A T A −1 T −1 T = InT = In Do (A ) T −1 ( ) = A −1 T □  −1   −1 −3      Ví dụ 29 Với A =  −1  B =  −1 −2  , ta có  −2   −1      1 0   AB = BA =   0 1   Vậy A, B khả nghòch B = A −1 hay A = B−1 18 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Khi ma trận A khả nghòch, nghóa tồn ma trận B ∈ Mn cho AB = In , ta suy det A det B = , det A ≠ Thực ta có 3.3 Tính chất Ma trận A ∈ Mn khả nghòch det A ≠ 3.4 Giải thuật tìm ma trận nghòch đảo A −1 Phương pháp Tìm A −1 đònh thức Cho A ∈ Mn , det A ≠ Với A ij ∈ Mn −1 ma trận bù A phần tử a ij (ma trận nhận từ A cách bỏ dòng cột chứa phần tử a ij ) Đặt i+ j   B =  ( −1) det A ij  ∈ Mn Ta có   A −1 với bij = ( −1) i+ j  b11  1  b21 T B = = det A det A  ⋯  b  n1 b12 b22 ⋯ bn2 T ⋯ b1n   ⋯ b2n  , ⋯ ⋯  ⋯ bnn  det A ij , với i, j = 1, 2, , n Ví dụ 30 Tìm ma trận nghòch đảo  −1    A =  −1   −2    Ta có det A = , A khả nghòch A −1 tính công thức sau A −1 với bij = ( −1) i+ j  b11 1  T B = = b det A det A  21  b31 b12 b22 b31 T b13   b23  , b33  det A ij , +1 + −1 = −1 , b12 = ( −1) = −1 , −2 1+ +1 −1 −1 = , b21 = ( −1) = 4, −2 3 b22 = ( −1) 2+ 2+ 1 −1 = , b23 = ( −1) = −1 , −2 −2 b31 = ( −1) +1 3+ −1 1 = −3 , b32 = ( −1) = −2 , −1 b33 = ( −1) 3+ −1 = −1 b11 = ( −1) b13 = ( −1) Vậy ma trận nghòch đảo ma trận A 19 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính T A −1  −1 −1   −1 −3     1 =  −1  =  −1 −2  1   −1   −3 −2    Phương pháp Dùng phép biến đổi sơ cấp theo dòng ( ) i) Lập ma trận A In ma trận gồm n dòng 2n cột, ( ) n cột cuối ( A In ) ma trận đơn vò In n cột đầu A In ma trận A ( ii) Bằng phép biến đổi sơ cấp theo dòng, ta chuyển ma trận A In ( ) ) ma trận In B B = A −1 Ví dụ 31 Cho ma trận  −1    A =  −1   −2    Để tìm ma trận nghòch đảo A , ta thực phép biến đổi sơ cấp dòng ( A I3 )  −1  =  −1  −2  0  0 0  1 0 1 −1  0  ( ) := ( ) − ( )  → 0  1 0  −1 1  ( ) := ( ) + ( ) →  ( ) := ( ) + ( )  1 0  (1):= (1) + ( 2)  →  1 0 0 (1):= (1) − 3( 3) →   ( 2):= ( 2) − 2( 3)  0  1 0 −1  0  1 0 −1  −3   −1 −2  = I3 A −1 −1  −1 ( ) Vậy ma trận nghòch đảo A A −1  −1 −3    =  −1 −2   −1    20 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Chú ý Nếu ta biến ma trận A thành ma trận đơn vò, chẳng hạn A có cột (hay dòng) chứa toàn số ma trận A không khả nghòch, nghóa A −1 không tồn Ví dụ 32 Cho ma trận  −4    A =  −1   13 −6    Ta có ( A I3 )  −4 0    =  −1   13 −6 0     −4 0  ( ) := ( ) − ( )   3):= ( 3) − 3(1) ( →  −1  0  −3   −4 0   −1   0 −1 −2    ( ) := ( ) − ( ) →    Qua số phép biến đổi sơ cấp, ma trận A chứa dòng toàn số Vậy ma trận A không khả nghòch HẠNG CỦA MA TRẬN Ta có khái niệm đònh thức cho ma trận vuông Đối với ma trận A bất kỳ, đònh thức ma trận vuông cấp k nhận từ A cách bỏ số dòng số cột A gọi đònh thức cấp k A Ta có 4.1 Đònh nghóa Cho ma trận A ∈ Mm× n Ta gọi hạng ma trận A số nguyên r thỏa i) Mọi đònh thức A cấp lớn r 0, ii) Trong A tồn đònh thức cấp r khác Ta ký hiệu hạng ma trận A rank ( A ) hay vắn tắt r ( A ) Khi A ma trận 0, ta quy ước r ( A ) = Lưu ý ≤ r ( A ) ≤ {m, n} Ví dụ 33 i) Ma trận 1 3   A =  6  0   có r ( A ) = , det A = A có đònh thức ≠ 21 Chương Ma trận – Đònh thức 1  0 ii) Xét ma trận B =   0 0  Đại Số Tuyến Tính 2  4 0 1  0 0 0 0 0  Ta thấy tất đònh thức cấp cấp B có đònh thức cấp khác 0, = ≠ 0, 0 r ( A ) = 4.2 Tính chất i) Hạng ma trận không thay đổi qua phép biến đổi sơ cấp, nghóa B ma trận nhận từ A sau hữu hạn phép biến đổi sơ cấp rank(A) = rank(B) ii) Hạng ma trận không thay đổi qua phép chuyển vò, nghóa rank(A) = rank(A T ) iii) Nếu A ma trận bậc thang theo dòng hạng A số dòng khác không Ví dụ 34 Cho ma trận  −1    A =  −1   −3    Tính rank(A) Ta có đònh thức cấp 2 ≠ 0, đònh thức cấp A −1 Do đó, rank(A) = Chú ý Trong ví dụ trên, ta dùng đònh nghóa để tìm rank(A) Tuy nhiên, phương pháp sử dụng thực tế đòi hỏi phải tính nhiều đònh thức Do đó, người ta thường sử dụng tính chất iii) để tìm rank(A) , nghóa dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A dạng ma trận bậc thang theo dòng B Khi đó, rank(A) số dòng khác không B Ví dụ 35 Cho ma trận  −1    A =  −1   −3    Tính rank(A) Thực phép biến đổi sơ cấp ma trận A , ta 22 Chương Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính  −1   −1       −1  →   = B  −3   0 0     Ma trận B ma trận bậc thang theo dòng có dòng khác không nên rank(A) = rank(B) = 23 [...]... T 1.7 Ma trận đối xứng Đònh nghóa Ma trận vuông A được gọi là đối xứng, nếu A = A T Từ đònh nghóa ta thấy nếu A là ma trận đối xứng thì A là ma trận vuông và các phần tử nằm ở vò trí đối xứng nhau qua đường chéo đều bằng nhau,  A  =  A  , ∀i, j ij ji Ví dụ 22 Ma trận  x 1 3   A =  1 y 5 3 5 z   là một ma trận đối xứng 2 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG 13 Chương 1 Ma trận – Đònh thức. .. biến đổi sơ cấp, ma trận A chứa một dòng toàn số 0 Vậy ma trận A không khả nghòch 4 HẠNG CỦA MA TRẬN Ta chỉ có khái niệm đònh thức cho các ma trận vuông Đối với một ma trận A bất kỳ, đònh thức của ma trận vuông cấp k nhận được từ A bằng cách bỏ đi một số dòng và một số cột của A được gọi là một đònh thức con cấp k của A Ta có 4.1 Đònh nghóa Cho ma trận A ∈ Mm× n Ta gọi hạng của ma trận A là số nguyên...  Chú ý rằng, ma trận tam giác trên với các số hạng nằm trên đường chéo khác 0 cũng là một ma trận bậc thang và khi đó mỗi bậc thang chứa đúng một cột Với một ma trận A cấp m × n bất kỳ, ta luôn luôn có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp để biến ma trận A thành ma trận bậc thang theo dòng • Giải thuật chuyển ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang theo dòng Để chuyển ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang... ( −1) Vậy ma trận nghòch đảo của ma trận A là 19 Chương 1 Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính T A −1  −1 −1 1   −1 4 −3     1 =  4 3 −1  =  −1 3 −2  1   1 −1 1   −3 −2 1    Phương pháp 2 Dùng phép biến đổi sơ cấp theo dòng ( ) i) Lập ma trận A In là ma trận gồm n dòng và 2n cột, trong đó ( ) n cột cuối của ( A In ) là ma trận đơn vò In n cột đầu của A In chính là ma trận A (... B−1 18 Chương 1 Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Khi ma trận A khả nghòch, nghóa là tồn tại ma trận B ∈ Mn sao cho AB = In , ta suy ra det A det B = 1 , và do đó det A ≠ 0 Thực ra ta có 3.3 Tính chất Ma trận A ∈ Mn khả nghòch khi và chỉ khi det A ≠ 0 3.4 Giải thuật tìm ma trận nghòch đảo A −1 Phương pháp 1 Tìm A −1 bằng đònh thức Cho A ∈ Mn , det A ≠ 0 Với A ij ∈ Mn −1 là ma trận bù của A đối... −1 3 −2  = I3 A −1 1 −1 1  −1 4 ( ) Vậy ma trận nghòch đảo của A là A −1  −1 4 −3    =  −1 3 −2   1 −1 1    20 Chương 1 Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính Chú ý Nếu ta không thể biến ma trận A thành ma trận đơn vò, chẳng hạn A có một cột (hay dòng) chứa toàn số 0 thì ma trận A không khả nghòch, nghóa là A −1 không tồn tại Ví dụ 32 Cho ma trận  1 3 −4    A =  1 5 −1   3 13 −6... 34  AB =   và BA =  ,  43 50   31 46  17 Chương 1 Ma trận – Đònh thức Đại Số Tuyến Tính nhưng det ( AB ) = det ( BA ) = 4 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1 Đònh nghóa Cho A, B ∈ Mn Ta nói A, B là hai ma trận nghòch đảo của nhau nếu AB = BA = In Khi đó, ta nói A và B là các ma trận khả nghòch Chú ý rằng nếu hai ma trận B1 , B2 cùng là các ma trận nghòch đảo của A, nghóa là AB1 = B1 A = In và AB2 =... B2 = IB2 = B2 Nói khác đi, nếu A là ma trận khả nghòch thì ma trận B thỏa AB = BA = In là duy nhất và ta gọi nó là ma trận nghòch đảo của A, ký hiệu B = A −1 3.2 Tính chất Nếu A1 , A 2 , A là những ma trận vuông cấp n khả nghòch thì ( ) (i) A −1 −1 (ii) ( A1 A 2 ) ( ) (iii) A T Chứng = A −1 −1 = A 2−1 A1−1 ( ) = A −1 A −1 là Nếu minh T ma trận nghòch đảo của ma trận A thì AA −1 = A −1 A = In Suy... đònh thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0, ii) Trong A tồn tại một đònh thức con cấp r khác 0 Ta ký hiệu hạng của ma trận A là rank ( A ) hay vắn tắt là r ( A ) Khi A là ma trận 0, ta quy ước r ( A ) = 0 Lưu ý rằng 0 ≤ r ( A ) ≤ min {m, n} Ví dụ 33 i) Ma trận 1 2 3   A =  2 4 6  2 5 0   có r ( A ) = 2 , vì det A = 0 và trong A có đònh thức con 1 2 ≠ 0 2 5 21 Chương 1 Ma trận – Đònh thức. .. nhiều đònh thức con Do đó, người ta thường sử dụng tính chất iii) để tìm rank(A) , nghóa là dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về dạng ma trận bậc thang theo dòng B Khi đó, rank(A) bằng số dòng khác không của B Ví dụ 35 Cho ma trận  1 2 −1 0    A =  −1 2 4 2   3 6 −3 0    Tính rank(A) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A , ta được 22 Chương 1 Ma trận – Đònh thức Đại ... hạn, n = , nghóa A =  11  , ta có a  21 a 22  det A = ( 1) 1 +1 a 11 det A 11 + ( 1) 1 + a12 det A12 = ( 1) 1 +1 a 11 det (a 22 ) + ( 1) 1 + a12 det (a 21 ) = a11a 22 − a 21a12  a b Nhận xét Nếu... A = ( a 11 ) , det A = a 11 Với n ≥ 2, A = (a ij )n× n , n det A = 1+ j ( 1) ∑ j =1 +1 a1 j det A1 j = ( 1) 1+ + ( 1 ) a 11 det A 11 + 1+ n a12 det A12 + + ( 1) a1n det A 1n (2 .1) a a12  Chẳng... , +1 + 1 = 1 , b12 = ( 1) = 1 , −2 1+ +1 1 1 = , b 21 = ( 1) = 4, −2 3 b22 = ( 1) 2+ 2+ 1 1 = , b23 = ( 1) = 1 , −2 −2 b 31 = ( 1) +1 3+ 1 1 = −3 , b32 = ( 1) = −2 , 1 b33 = ( 1)