MA TRẬN ĐỊNH THỨC

2 3: 1.3 Tổng quát : Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên và khi các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam

Tập hợp tất cả các ma trận cấp m n× được ký hiệu là Mm n× Với A∈Mm n× , số hạng nằm ở dòng thứ i , cột thứ j , 1≤ ≤i m, 1≤ ≤ , của A còn được ký hiệu là j nij

Cụ thể, xét hệ phương trình

trong đó x, y, z là các ẩn số cần tìm

Vai trò ký hiệu của các ẩn x, y, z là không có ý nghĩa quyết định Chẳng hạn, hệ phương trình này có thể viết lại thành

với các ẩn là x1, x2, x3

Nói khác đi, một hệ phương trình tuyến tính được hoàn toàn xác định chỉ bằng các số hạng đi kèm theo các ẩn mà ta gọi là các hệ số và các số hạng vế phải mà ta gọi là các hệ số tự do Cụ thể, một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số được hoàn toàn xác định bằng ma trận cấp m n× các hệ số và ma trận cấp m 1× các hệ số tự do Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) được hoàn toàn xác định bởi các ma trận

Ngoài ra, ta có thể gom chung hai ma trận này lại một ma trận, gọi là ma trận các hệ số mở rộng

1.2 Ma trận bằng nhau

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các số hạng tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một, nghĩa là

Ta có A =B nếu và chỉ nếu p= , q1 = và s 13 =

1.3 Các ma trận đặc biệt

i) Ma trận không : là ma trận mà mọi số hạng của nó đều là số 0 Ma trận

không cấp m n× được ký hiệu là 0m n× hay vắn tắt là 0

0 là ma trận không cấp 2 3×

ii) Ma trận vuông : là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau Ma trận vuông

cấp n n× được gọi tắt là ma trận vuông cấp n Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp

n được ký hiệu là Mn Với ma trận vuông A∈Mn, các số hạng

là một ma trận vuông cấp 3

Các số hạng nằm trên đường chéo chính là :

iii) Ma trận chéo cấp n : là ma trận vuông cấp n mà mọi số hạng không nằm

trên đường chéo chính đều là số 0

là một ma trận chéo cấp 3

iv) Ma trận đơn vị cấp n : là ma trận chéo cấp n , ký hiệu là In, mà mọi số hạng nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 Để biểu diễn ma trận đơn vị, người ta còn dùng ký hiệu Kronecker :

( )

1 0 0

0 1 0I

v) Ma trận tam giác trên (dưới) : là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới

(ở phía trên) đường chéo chính đều bằng 0

là một ma trận tam giác dưới

vi) Ma trận dòng (cột) : là chỉ có một dòng được gọi là một ma trận dòng, ma

trận chỉ có một cột được gọi là một ma trận cột

Các ma trận dòng và ma trận cột còn được xem như là các vectơ và được lần lượt gọi là các vectơ dòng và vectơ cột Khi đó, một ma trận có thể xem như được tạo bởi nhiều vectơ dòng hay tạo bởi nhiều vectơ cột Với ma trận A∈Mm n× , dòng thứ i của

A gồm các phần tử

i1A

 

  ,    , , A i2

inA

1.3 Các phép toán trên ma trận

1.3.1 Phép cộng hai ma trận và nhân một số với một ma trận

Với hai ma trận A, B∈Mm n× , h∈ℝ, ma trận tổng của A và B , ký hiệu A+ , Blà ma trận cấp m n× xác định bởi A+Bij =   A ij +    với mọi i, j B ij

Ma trận tích của A với hằng số h, ký hiệu hA , là ma trận cấp m n× xác định bởi

Chú ý : Hai ma trận chỉ có thể cộng với nhau khi chúng có cùng cấp và ma trận

tổng có cấp bằng cấp của hai ma trận đã cho Ma trận ( )−1 A, ký hiệu A− , được gọi là

ma trận đối của ma trận A Từ đó, ta định nghĩa được phép trừ các ma trận bởi

A B− ≡A+ −B =A+ −1 B

Tính chất Với mọi ma trận A, B, C∈Mm n× và h, k∈ℝ, ta có

(i) A+B=B+A (tính giao hoán)

(ii) (A+B)+C= A+(B C+ ) (tính kết hợp)

(iii) A+0= A ( 0 : ma trận không cấp m n × )

1.3.2 Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A∈Mm n× , B∈Mn p× Ta định nghĩa ma trận tích của hai ma

trận A, B là ma trận cấp m p× , ký hiệu AB , xác định bởi

 

  và    B k

Gọi

1 2 3

(A+B C) =AC BC+ ,

và với mọi ma trận C∈Mm n× và A, B∈Mn p× , ta có

C A+B =CA+CB (iii) Với mọi ma trận A∈Mm n× , B∈Mn p× và h∈ℝ, ta có

h AB = hA B=A hB

Chú ý i) Để có thể nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện là số cột

của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B và khi đó :

Số dòng của ma trận tích AB bằng số dòng của ma trận A và số cột của ma trận tích AB bằng số cột của ma trận B

Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không nhất thiết tích AB tồn tại và khi tích AB tồn tại, không chắc tích BA tồn tại

ii) Tích của hai ma trận nói chung không có tính giao hoán, nghĩa là tổng quát ta có AB≠BA

Ví dụ 11. Với hai ma trận A 0 1

Trong trường hợp cả hai ma trận tích AB và BA tồn tại và thỏa đẳng thức

AB =BA, ta nói hai ma trận A và B giao hoán với nhau Chẳng hạn, ma trận đơn vị n

I giao hoán với mọi ma trận vuông A cấp n và I An = AIn = A

Tổng quát, nếu B là ma trận cấp m n× , ta có I Bm =BIn = B, trong đó Im, In lần lượt là các ma trận đơn vị cấp m và n

Ví dụ 12. Cho

1 2 3A

1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Xét ma trận A∈Mmxn với m vectơ dòng

1A

 

  ,    , , A 2

mA

 

  Các phép biến đổi trên dòng nhằm mục đích thay đổi các dòng của ma trận A , biến nó thành ma trận mới A′ ∈Mm n× ( A′ cùng cấp với A ) Ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng như sau :

i) Phép biến đổi 1 : Hoán vị hai dòng i và j , ký hiệu ( ) ( )i ∼ j

A→A′, nhằm đổi chỗ hai dòng i , j trong ma trận A, nghĩa là mọi dòng khác các dòng i , j của A và A′ bằng nhau, dòng thứ i của A′ bằng dòng thứ j của A và dòng thứ j của A′ bằng dòng thứ i của A ,

( ) ( )1

3 : 3 5

Ví dụ 17

( ) ( ) ( ) ( )

1 : 1 1

2 : 1 2 (3): 1.(3)

Tổng quát : Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển một

ma trận vuông về một ma trận tam giác trên và khi các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam giác này khác không, ta có thể tiếp tục biến đổi về ma trận dạng đơn

vị

• Giải thuật biến ma trận vuông thành ma trận tam giác trên

Để chuyển một ma trận vuông về một ma trận tam giác trên, ta duyệt các cột, từ cột đầu đến cột cuối :

Trên mỗi cột, chọn một phần tử mà ta gọi đó là phần tử trục xoay Sau đó, dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến các phần tử nằm phía dưới phần tử trục xoay về số 0 Đối với giải thuật chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên, phần tử trục xoay trên từng cột được chọn nằm trên đường chéo Khi đó, ta có các khả năng sau :

Khả năng 1. Phần tử trục xoay bằng 0 và các phần tử ở phía dưới phần tử trục xoay cũng bằng 0 : Chuyển qua cột kế

Khả năng 2. Phần tử trục xoay bằng 0 và có một phần tử ở phía dưới nó khác 0 : Hoán vị hai dòng thích hợp để đưa phần tử khác 0 này về vị trí phần tử trục xoay Chuyển qua khả năng 3

Khả năng 3. Phần tử trục xoay khác 0 : Thay các dòng dưới phần tử trục xoay bằng dòng đó cộng với một hằng số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến các phần tử phía dưới trục xoay thành 0 Chuyển qua cột kế

Nhân dòng chứa phần tử trục xoay với một hằng số thích hợp để biến phần tử trục xoay thành 1,

Thay các dòng phía trên phần tử trục xoay bằng dòng đó cộng với một hằng số thích hợp nhân với dòng chứa phần tử trục xoay để biến các phần tử phía trên phần tử trục xoay thành 0

Chẳng hạn, với ma trận nhận được ở ví dụ 18, ta biến đổi tiếp tục

3 1

Nhận xét rằng khi ta thực hiện các phép biến đổi trên dòng cho ma trận các hệ số mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính, ta đã thay đổi thứ tự các phương trình trong hệ, nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0 hay thay một phương

trình bằng phương trình đó cộng cho một hằng số nhân cho một phương trình khác Do các sự thay đổi như vậy không làm thay đổi tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính nên sau khi thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận các hệ số mở rộng, ta nhận được một ma trận các hệ số mở rộng của một hệ phương trình tuyến tính mới, tương đương với hệ phương trình tuyến tính ban đầu, nghĩa là tập nghiệm của chúng bằng nhau Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình

Hơn nữa, nếu ta biến đổi tiếp A′=(A B′ ′) để chuyển A′ về ma trận dạng đơn vị,

1.5 Ma trận bậc thang theo dòng

Định nghĩa Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận mà ứng với hai dòng bất

kỳ, số hạng khác 0 đầu tiên của dòng dưới luôn luôn nằm bên phải số hạng khác 0 đầu tiên của dòng trên

Nhận xét : Trong ma trận bậc thang theo dòng, các dòng không (dòng chứa toàn

số hạng 0), nếu có, phải nằm dưới các dòng khác không (dòng có ít nhất một số hạng khác 0) Khi đó, các số hạng bằng 0 đầu tiên trên mỗi dòng tạo thành hình bậc thang, mỗi bậc thang chứa ít nhất một cột

Chẳng hạn, với các ma trận trong ví dụ 19, các số hạng bằng 0 đầu tiên trên mỗi dòng có dạng

Với một ma trận A cấp m n× bất kỳ, ta luôn luôn có thể dùng các phép biến đổi

sơ cấp để biến ma trận A thành ma trận bậc thang theo dòng

• Giải thuật chuyển ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang theo dòng

Để chuyển ma trận bất kỳ về ma trận bậc thang theo dòng, người ta thay đổi cách chọn phần tử trục xoay trong giải thuật chuyển ma trận vuông về ma trận tam giác trên Thay vì vị trí phần tử trục xoay luôn luôn nằm trên đường chéo, ta chọn

- Phần tử trục xoay của cột 1 nằm ở dòng 1

- Nếu sau khi biến đổi xong một cột mà phần tử trục xoay lúc đó khác 0 thì phần tử trục xoay của cột kế nằm ở dòng kế Ngược lại, nếu phần tử trục xoay bằng 0 (và mọi phần tử nằm dưới nó cũng bằng 0) thì phần tử trục xoay của cột kế nằm ở cùng dòng

Định lý Cho A∈Mm n× và B∈Mn q× Nếu A′ là ma trận nhận được từ A qua

các phép biến đổi sơ cấp trên dòng D thì ma trận A B′ cũng nhận được từ ma trận AB

qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng D , nghĩa là nếu A→D A′

Nhận xét Ma trận chuyển vị của A nhận được từ A bằng cách biến dòng của A

thành cột của A (hay biến cột của A thành dòng của T A ) T

AB =B A

1.7 Ma trận đối xứng

Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là đối xứng, nếu A =AT

Từ định nghĩa ta thấy nếu A là ma trận đối xứng thì A là ma trận vuông và các phần tử nằm ở vị trí đối xứng nhau qua đường chéo đều bằng nhau,

là một ma trận đối xứng

2 ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG

Xét ma trận vuông cấp n

Viết theo thứ tự hai cột 1 và 2 sau cột thứ 3

Ba số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo chính

Ba số hạng mang dấu trừ trong định thức là tích các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo phụ

ta khai triển theo một dòng hay một cột bất kỳ

2.2 Định lý Cho ma trận A ( )ai j n n

Tổng quát hơn, với ma trận A∈Mn và với số nguyên k , 1< k< , ta chọn trong n

A các dòng i1 < i2 < < ik Khi đó, với mỗi bộ k số nguyên 1≤ j1 < j2 < < jk ≤n, ma trận vuông cấp k nhận được từ A bằng cách giữ lại các phần tử nằm trên các dòng i1, 2

i , ., i và trên các cột k j , 1 j , ., 2 j được ký hiệu là k Ai ,i , ,i ; j , j , , j 1 2 k 1 2 k và ma trận vuông cấp n k− nhận được từ A bằng cách bỏ đi các dòng i , 1 i , , 2 i và các cột k j , 12

j , , jk được ký hiệu là

Ta được công thức khai triển định thức theo k dòng như sau :

2.3 Định lý Laplace Với A∈Mn, chọn k dòng i1 <i2 < < ik Ta có

ta có det C=det A+det B

Do đó, nếu ma trận C nhận được từ A, B bằng cách lấy một dòng của A cộng với

một dòng của B và các dòng khác giữ nguyên thì det C= det A+det B

ii) Cho A∈Mn, h∈ℝ Nếu ma trận B∈Mn thỏa

i) Nếu A(i)∼(i )′ → thì det BB = −det A

ii) Nếu A→(i):=α(i) B thì det B= αdet A

iii) Ma trận có 2 dòng tỉ lệ thì có định thức bằng 0

iv) Nếu A→(i) : (i)= + α(i )′ B, i i′≠ , thì det B=det A

v) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các số hạng nằm trên đường chéo chính

vi) det A=det A( )T , với mọi A∈Mn

vii) Với A, B∈Mn, ta có det AB( )= det A.det B

Định lý nêu trên được ứng dụng trong việc tính định thức của một ma trận bằng cách biến một ma trận vuông về ma trận tam giác trên Chú ý rằng với giải thuật nêu trong phần 1.4, ta chỉ dùng các phép biến đổi sơ cấp thứ 1 (định thức đổi dấu) và phép biến đổi thứ 3 (định thức không đổi)

do đó, det A= det B=1.1 ( 33)− = −33

Chú ý Với A, B∈Mn, có thể AB≠BA nhưng ta vẫn có det AB( )=det BA( )

31 46

nhưng det AB( )=det BA( )= 4

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

3.1 Định nghĩa Cho A, B∈Mn Ta nói A, B là hai ma trận nghịch đảo của nhau nếu

n

AB=BA = I Khi đó, ta nói A và B là các ma trận khả nghịch

Chú ý rằng nếu hai ma trận B , B1 2 cùng là các ma trận nghịch đảo của A, nghĩa là AB1 =B A1 = In và AB2 =B A2 =In, ta có

B =B I= B AB = B A B =IB =B

Nói khác đi, nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa AB= BA =In là

duy nhất và ta gọi nó là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu B=A−1

3.2 Tính chất Nếu A , A , A là những ma trận vuông cấp n khả nghịch thì 1 2

Khi ma trận A khả nghịch, nghĩa là tồn tại ma trận B∈Mn sao cho AB=In, ta suy ra det A.det B= , và do đó det A1 ≠ Thực ra ta có 0

3.3 Tính chất Ma trận A∈Mn khả nghịch khi và chỉ khi det A≠ 0

3.4 Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo A−1

Phương pháp 1 Tìm A−1 bằng định thức

Cho A∈Mn, det A ≠ Với 0 Aij∈Mn 1− là ma trận bù của A đối với phần tử a ij(ma trận nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng và cột chứa phần tử a ) Đặt ij

T 1

Phương pháp 2 Dùng phép biến đổi sơ cấp theo dòng

i) Lập ma trận (A I là ma trận gồm n dòng và 2n cột, trong đó n)

n cột đầu của (A I chính là ma trận n) A

n cột cuối của (A I là ma trận đơn vị n) In

ii) Bằng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng, ta có thể chuyển ma trận (A In) về

ma trận (I B và khi đó n ) B= A−1

Ví dụ 31. Cho ma trận

Chú ý Nếu ta không thể biến ma trận A thành ma trận đơn vị, chẳng hạn A có một cột (hay dòng) chứa toàn số 0 thì ma trận A không khả nghịch, nghĩa là A−1 không tồn tại

Ví dụ 32. Cho ma trận

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

Ta chỉ có khái niệm định thức cho các ma trận vuông Đối với một ma trận A bất kỳ, định thức của ma trận vuông cấp k nhận được từ A bằng cách bỏ đi một số dòng và một số cột của A được gọi là một định thức con cấp k của A Ta có

4.1 Định nghĩa Cho ma trận A∈Mm n× Ta gọi hạng của ma trận A là số nguyên r thỏa

i) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0,

ii) Trong A tồn tại một định thức con cấp r khác 0

Ta ký hiệu hạng của ma trận A là rank A hay vắn tắt là ( ) r A Khi A là ma ( )

trận 0, ta quy ước r A( )= 0

Lưu ý rằng 0≤ r A( )≤min m, n{ }

ii) Xét ma trận

i) Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp, nghĩa là nếu B

là ma trận nhận được từ A sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì

rank(A) = rank(B)

ii) Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, nghĩa là

Trank(A) = rank(A )

iii) Nếu A là ma trận bậc thang theo dòng thì hạng của A chính là số dòng khác

không của nó

Ví dụ 34. Cho ma trận

Chú ý Trong ví dụ trên, ta đã dùng định nghĩa để tìm rank(A) Tuy nhiên,

phương pháp này rất ít được sử dụng trong thực tế vì nó đòi hỏi phải tính khá nhiều định thức con Do đó, người ta thường sử dụng tính chất iii) để tìm rank(A) , nghĩa là dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về dạng ma trận bậc thang theo dòng

B Khi đó, rank(A) bằng số dòng khác không của B

Ví dụ 35. Cho ma trận