Giới hạn của hàm số

TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN TIẾT 53 BÀI : GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 1) I MỤC TIÊU Về kiến thức: - Biết: Định nghĩa giới hạn hàm số điểm - Biết: Định lý giới hạn hữu hạn - Hiểu so sánh khác giới hạn hàm số giới hạn dãy số Về kỹ năng: - Biết cách tính giới hạn hàm số điểm - Biết dùng định lý giới hạn hữu hạn - Giải tập SGK Về tư thái độ: - Phát triển tư trừu tượng, khái qt hóa, tư lơgic hợp tác hoạt động nhóm - Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê học tập, biết quan sát phán đốn xác, biết quy lạ quen - Say sưa, hứng thú học tập tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn Các lực hướng tới hình thành phát triển học sinh: - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tịi, lĩnh hội kiến thức phương pháp giải tập tình - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hoạt động GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG - Năng lực giải vấn đề: Học sinh biết cách huy động kiến thức học, kiến thức liên môn để giải câu hỏi, tập, tình học - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mạng internet, phần mềm hỗ trợ học tập để xử lý yêu cầu học - Năng lực giao tiếp: Học sinh tự tin giao tiếp, trao đổi vấn đề với bạn thầy - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả báo cáo trước tập thể, khả thuyết trình - Năng lực tính tốn II CHUẨN BỊ: Giáo viên: - Soạn giáo án chuẩn bị hệ thống tập, ví dụ - Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước, bảng phụ, máy chiếu, Học sinh: - Đọc trước làm tập nhà - Chuẩn bị đồ dùng học tập: Sách, vở, bảng phụ, bút viết bảng, III BẢNG MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC VÀ CÂU HỎI/BÀI TẬP Nội dung Nhận biết Thông hiểu Định nghĩa - Hiểu định nghĩa giới hạn - Biết dùng định nghĩa giới hàm số mộtđiểm hạn hàm số giới hạn mộtđiểm hàm số - Nắm bước tính tốn lập luận mộtđiểm Định nghĩa 1: Cho khoảngKchứa Ví dụ 1:Cho hàm số x0 điểm hàm xácđịnh Khoặc Ta nói hàm số số y = f ( x) K \{x0 } y = f ( x) GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH f ( x ) = 3x + x + Vận dụng Chứng có giới Trang Vận dụng cao TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG hạn sốLkhi xdần tới dãy số ( xn ) xn → x0 Kí bất kì, , ta có hiệu: f ( x) → L x0 với minh xn ∈ K \{x0 } f ( xn ) → L x →1 lim f ( x ) = L Ví dụ 2: g ( x) = x → x0 x → x0 lim f ( x ) = 10 a)Cho hàm số hay Chứngminh − x2 x+3 lim g ( x ) = x →−3 b)Cho hàm số Tính x3 − h ( x) = x−2 lim h ( x ) = ? x →2 Định lý Nắm định lý giới hạn Vận dụng định lý để Vận dụng linh hoạt giới hạn hữu hữu hạn hàm số giải số toán định lýđể giải số hạn toán thường gặp Định lý 1: Câu hỏi 2: Câu hỏi 3: Hãy dùngđịnh lý để tính Học sinh đứng lim f ( x ) = L x→ x chỗ để trả lời câu hỏi a) Giả sử sau: GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang Vận dụng linh hoạt lýđể giải số thường gặp thự có mức độ khó Câu hỏi 4: Trong hàm số s hàm số có TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG x2 + x − x →−2 x+2 lim g ( x ) = M x → x0 lim Khi đó: • lim  f ( x ) + g ( x )  = L + M ; x → x0 Cho h( x) = hàm x + 7x + x+2 lim h ( x ) số hạn Tìm x →−3 • lim  f ( x ) − g ( x )  = L − M ; x → x0 • lim  f ( x ) g ( x )  = L.M ; x → x0  f ( x)  L • lim   = ; ( M ≠ 0) x → x0 g ( x )   M b) Nếu L≥0 f ( x) ≥ x → x0 , f ( x) ( Dấu xét khoảngđang tìm giới hạn, với x ≠ x0 ) IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG - Mục tiêu:Tạo thích thú, khơi gợi trí tị mị cho học sinh kiến thức - Nội dung, phương pháp tiến hành: + Chuyển giao: Giáo viên đặt vấn đề thực tế liên quan đến giới hạn dãy số giới hạn hàm số GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH  − x 15  c) lim  − ÷ x →−2  x+2  x →7 f ( x) = L lim và x →0 d) lim lim f ( x ) = L x → x0 x2 − x →−3 x + b) lim ( x5 + x3 − x + 1) a ) lim Trang x +4 x2 −1 TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG + Vấn đề: Người ta nghiên cứu đượcrằng “ khoảng cách chạy ( x km )” có liên quan với “ lượng calo bị đốt f ( x) = cháy ( f(x) kCal )” theo hàm số sau: x2 − x−2 Biết rằngmột người chạy giới hạn km, hỏi lượng calo người bị đốt cháy tối đa ? Để giải vấn đề trả lời câu hỏi sau: Nếu ta cho đại lượng “khoảng cách chạy (x km)” lập thành dãy số x f ( x) x1 = x2 = f ( x1 ) x3 = f ( x2 ) a) Chứng minh ( f ( x )) x4 = f ( x3 ) Khi giá trị tương ứng hàm số f ( xn ) = ( xn + ) = f ( x4 ) f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xn ) , 4n +4 n +1 xn = ( xn ) , xn → 2n n +1 f ( xn ) bảng sau: xn  →2 f ( xn )  →? n Cũng lập thành mộtdãy số mà ta ký hiệu n b) Tìm giới hạn dãy số Chứng minh rằngvới dãy số ( xn ) , xn ≠ xn → ta ln có f ( xn ) → HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH ( f ( x )) Trang TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1 HÌNH THÀNH ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM - Mục tiêu:Phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm - Nội dung, phương pháp tổ chức: Phương pháp sử dụng:Giáo viên nêu khái niệm giải thích cho học sinh hiểu khái niệm Tiến hành: CÁC NĂNG HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN LỰC CẦN ĐẠT Học sinh lắng nghe, suy Năng lực ghi y = f ( x) x0 nghĩ trả lời câu hỏi Định nghĩa 1: Cho khoảngKchứa điểm hàm số xácđịnh Khoặc nhớ ghi chép HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH K \{x0 } GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐƠNG Ta nói hàm số xn ∈ K \{ x0 } y = f ( x) xn → x0 lim f ( x ) = L có giới hạn sốLkhi xdần tới , ta có f ( xn ) → L f ( x) → L x → x0 x0 Ví dụ 1:Cho hàm số - GV làm mẫu cho HS: Hàm sốđã cho có tập xácđịnh Giả sử Ta có: ( xn ) x → x0 Năng lực tư lim f ( x ) = 10 Chứngminh x →1 K =¡ dãy số bất kì, thõa mãn xn → n → +∞ Năng lực ghi nhớ ghi chép lim f ( xn ) = lim ( xn + xn + ) = lim ( xn ) + lim ( xn ) + lim = + + = 10 lim f ( x ) = 10 x →1 lim x = x0 ; Do Học sinh lắng nghe, ghi -GV nêu nhận xét cho HS Nhận xét: x → x0 bất kì, Kí hiệu: hay Học sinh lắng nghe, ghi - GV giải thíchđịnh nghĩa cho HS - GV đưa ví dụ để HS hiểu vềđịnh nghĩa f ( x ) = 3x2 + x + với dãy số ( xn ) lim x = c x→ c ,với c Năng lực ghi nhớ ghi chép làhằngsố -Ví dụ áp dụng: GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG Mục tiêu: Học sinh hiểu định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số Giải số tốn mức độ nhận biết, thơng hiểu Nội dung, phương thức tổ chức: + Chuyển giao: Học sinh làm việc theo nhóm giải ví dụ sau: VÍ DỤ Ví dụ 2: − x2 g ( x) = x+3 a)Cho hàm số Chứng minh lim g ( x ) = x →−3 K = ¡ \ { − 3} Năng lực luận nhóm ( xn ) xn ≠ −3 xn → −3 n → +∞ Giả sử dãy số bất kì, thõa mãn Ta có: x3 − h( x) = x−2 lim h ( x ) = ? Tính a) Hàm số cho có tập xác định b)Cho hàm số CÁC N LỰC CẦN GỢI Ý lim g ( xn ) = lim ( + x ) ( − x ) = lim − x = − x2 = lim ( ) x+3 x+3 b) Hàm sốđã cho có tập xácđịnh x →2 Giả sử Ta có: ( xn ) lim h ( xn ) K = ¡ \ {2} dãy số bất kì, thõa mãn xn ≠ lim g ( x ) = Do xn → x →1 Do + Thực hiện: Học sinh làm việc theo nhóm, viết lời giải vào bảng phụ Giáo viên quan sát học sinh làm việc, GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang Năng lực trình n → +∞ ( x − 2) ( x2 + x + 4) x3 − = lim = lim = lim ( x + x + ) = 12 x−2 x−2 lim h ( x ) = 12 x →1 Năng lự vấn TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐƠNG nhắc nhở học sinh khơng tích cực, giải đáp em có thắc mắc + Báo cáo, thảo luận: Hết thời gian dự kiến cho ví dụ, gọi hai nhóm có lời giải nhanh gọi lên bảng trình bày lời giải Các nhóm khác quan sát lời giải, so sánh với lời giải nhóm mình, cho ý kiến Có thể gọi nhóm có kết qủa sai để so sánh + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức: Trên sở làm học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải + Sản phẩm:Lời giải ví dụ 2, HS biết áp dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số để làm tập 2.2 HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN -Mụctiêu: + HS biết đượcđịnh lý giới hạn hữu hạn + Sử dụng định lý để làm số toán - Nội dung, phương pháp tổ chức: thuyết trình, gợi mở vấn đáp + Chuyển giao:Giáo viên dựa vào kết ví dụ từ đặt số câu hỏi liên quan đưa đến kết luận định lý giới hạn hữu hạn hàm số + Thực hiện:Học sinh lắngnghe ghi chép + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức:Giáo viên chốt lại kiến thức HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Học sinh lắng nghe ghi chép HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN -GV nêu giải thíchđịnh lý cho HS Định lý 1: lim f ( x ) = L a) Giả sử GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH x → x0 lim g ( x ) = M x → x0 Khi đó: Trang CÁC NL CẦN Năng lực ghi ché Năng lực tiếp thông tin Năng lực ghi nhớ TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐƠNG • lim  f ( x ) + g ( x )  = L + M ; x → x0 • lim  f ( x ) − g ( x )  = L − M ; x → x0 • lim  f ( x ) g ( x )  = L.M ; x → x0  f ( x)  L • lim   = ; ( M ≠ 0) x → x0 g ( x )   M b) Nếu L≥0 f ( x) ≥ x → x0 ( Dấu , f ( x) = L lim lim f ( x ) = L x → x0 f ( x) xét khoảngđang tìm giới hạn, với - GV đưa ví dụ để học sinh hiểu vềđịnh lý Học sinh lắng nghe, tiếp nhận kiến thức f ( x) = Ví dụ: Cho hàm số Giải:Theo Định lí ta có: x +2 x +1 lim f ( x ) Tìm x →2 lim( x + 2) x2 + lim f ( x ) = lim = x→2 x →2 x →2 x + lim(3 x + 1) x →2 = lim( x ) + lim(2) x→2 x→2 lim(3) lim( x + 1) x→2 GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH x →2 = 4+2 = +1 Trang 10 x ≠ x0 ) Năng lực ghi ché Năng lực tiếp thông tin Năng lực ghi nhớ TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP, CỦNG CỐ HOẠT ĐỌNG CỦA GIÁO VIÊN CÁC NL CẦN ĐẠT HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH Học sinh nhớ lại nêu yêu Tình 1: Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa giới hạn hữu Năng lực ghi nhớ cầu tình hai hạn hàm số Năng lực thuyết trình Tình 2: Nhắc lại định lý vừa học NỘI DUNG CẦN CỦNG CỐ: x0 Định nghĩa 1: Cho khoảngKchứa điểm hàm số Ta nói hàm số f ( xn ) → L y = f ( x) có giới hạn sốLkhi xdần tới x0 xácđịnh Khoặc với dãy số ( xn ) K \{x0 } bất kì, xn ∈ K \{ x0 } Định lý 1: lim f ( x ) = L a) Giả sử y = f ( x) x → x0 lim g ( x ) = M x → x0 Khi đó: GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang 11 xn → x0 , ta có TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐƠNG • lim  f ( x ) + g ( x )  = L + M ; x → x0 • lim  f ( x ) − g ( x )  = L − M ; x → x0 • lim  f ( x ) g ( x )  = L.M ; x → x0  f ( x)  L • lim   = ; ( M ≠ 0) x → x0 g ( x )   M b) Nếu f ( x) ≥ ( Dấu f ( x) lim f ( x ) = L x → x0 , L≥0 lim x → x0 f ( x) = L xét khoảngđang tìm giới hạn, với x ≠ x0 ) HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG - Mục tiêu + Từ định nghĩa, định lý giới hạn hữu hạn hàm số học sinh giải số toán - Nội dung, phương pháp tổ chức: thực trị chơi “Lucky number”, để tìm khả nhận quà nhóm + Chuyển giao: Giáo viên cho học sinh làm việc theo nhóm, làm ví dụ sau: CÂU HỎI TRONG MẢNH GHÉP Câu hỏi : Hãy dùng định nghĩa để tính giới hạn sau: GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH CÁC NL CẦN ĐẠT GỢI MỞ Đáp án: Năng lực thảo luận nhóm Năng lực tính Trang 12 TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG Cho hàm lim f ( x ) số x2 − 5x − f ( x) = x +1 Tính x →−1 Câu hỏi 2: x2 − 5x − lim f ( x ) = lim x →−1 x →−1 x +1 ( x + 1) ( x − ) = lim x − = −7 = lim ( ) x →−1 x →−1 x +1 tốn Năng lực sử dụng cơng nghệ thông tin Năng lực tư Đáp án: x + x−2 x →−2 x+2 lim Hãy dùngđịnh lý để tính Năng lực thảo luận nhóm ( x + 2) → x → −2 Vì , nên ta chưa thểáp Năng lực tính tốn dụng Định lý nêu Năng lực sử x ≠1 dụng công Nhưng với , ta có nghệ thơng tin x + x − ( x − 1) ( x + ) = = x −1 Năng lực tư x+2 x+2 Do đó, ( x − 1) ( x + ) = lim x − = −3 x2 + x − = lim ( ) x →−2 x →−2 x →−2 x+2 x+2 lim Câu hỏi 3: Đáp án: Học sinh đứng chỗ để trả lời câu x3 + x + lim h ( x ) = lim = 43 hỏi sau: x →−3 x →−3 x+2 h( x) = Cho hàm lim h ( x ) số x3 + x + x+2 Năng lực thảo luận nhóm Năng lực tính tốn Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin Năng lực tư .Tìm x →−3 Câu hỏi 4: Đápán: Trong hàm số sau hàm số có giới hạn GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Năng lực thảo luận nhóm Năng lực tính tốn Trang 13 TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐƠNG x2 − a) lim x →−3 x + b) lim ( x + x − x + 1) x − −7 a ) lim = x →−3 x + b) lim ( x + x − x + 1) =  − x 15  c) lim  − ÷ x →−2  x+2   − x 15  −7 c) lim  − ÷= x →−2  x+2  x→0 d) lim x→7 x +4 x2 −1 Năng lực sử dụng công nghệ thông tin Năng lực tư x →0 d) lim x →4 x +4 = x2 −1 + Thực hiện: Học sinh làm theo nhóm, hồn thành yêu cầu mảnh ghép chọn Giáo viên nhắc nhở nhóm làm khơng nghiêm túc Nhóm có câu trả lời xác cộng 10đ Nếu may mắn nhận 10 điểm mà trả lời câu hỏi + Báo cáo thảo luận: Nhóm nhanh cử đại diện lên trình bày, học sinh nhóm khác trao đổi nhận xét làm nhóm bạn + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức: Dựa vào làm học sinh thắc mắc cần tháo gỡ, giáo viên chuẩn hóa lời giải giúp đỡ học sinh giải tập chưa làm + Sản phẩm: Là tập mà nhóm thực HOẠT ĐỘNG 5: TÌM TỊI, MỞ RỘNG - Mục tiêu:Giúp học sinh khắc sau kiến thức chương ứng dụng kiến thức thực tế Tìm hiểu ứng dụng giới hạn hàm số thực tế, tìm hiểu nhà bác học, toán học GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang 14 TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG nghiên cứu lí thuyết giới hạn - Nội dung phương pháp tổ chức:Giáo viên giới thiệu thông tin cần thiết cho học sinh + Chuyển giao: Nêu thông tin nhà bác học Anh Newton vàWeierstrass cho học sinh Nhà bác học Anh Niu-tơn ( Newton, 1642-1727) người đề xuất thuật ngữ “giới hạn”, dịch từ chữ La-tinh “Limes” có nghĩa “bờ”,”mép” hay “biên giới” Tuy nhiên, Giu-rin (Jurin, 1684-1750), sau Rơ-bin (Robins, 1697-1751), Cô-si (Cauchy, 1789-1587)… đưa định nghĩa khái niệm Nhà toán học Đức Vai-ơ-xtrat (Weierstrass) trình bày định nghĩa đại khái niệm giới hạn, gần giống vớiđịnh nghĩa sau mà ngày thường dùng toán học GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang 15 TRƯỜNG THPT AN LƯƠNG ĐÔNG “Số b gọi giới hạn hàm số | x − a |< δ bấtđẳngthức | f ( x ) − b |< ε y = f ( x) x→a , với ε >0 , tồn δ >0 cho với x≠a thực hiện” ( Từđiển toán học NXB- KH&KT 1993) Kí hiệu “lim” mà ta dùng ngày nhà toán học Thụy Sĩ Luy-lơ (L’Huiler, 1750 – 1840) đưa vào năm 1786 Như vậy, khái niệm Giới hạn đờiở kỉ XVII Tuy nhiên, tư tưởng “giới hạn” xuất sớmở nhiều nhà bác học thời cổ đại GIÁO SINH GIẢNG DẠY: NGUYỄN THỊ LANH Trang 16 ... THPT AN LƯƠNG ĐÔNG Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1 HÌNH THÀNH ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM - Mục tiêu:Phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm - Nội dung, phương... nghĩa giới hạn - Biết dùng định nghĩa giới hàm số mộtđiểm hạn hàm số giới hạn mộtđiểm hàm số - Nắm bước tính toán lập luận mộtđiểm Định nghĩa 1: Cho khoảngKchứa Ví dụ 1:Cho hàm số x0 điểm hàm. .. b)Cho hàm số Tính x3 − h ( x) = x−2 lim h ( x ) = ? x →2 Định lý Nắm định lý giới hạn Vận dụng định lý để Vận dụng linh hoạt giới hạn hữu hữu hạn hàm số giải số toán định lýđể giải số hạn toán