tính đơn điệu của hàm số lý thuyết

BÀI GIẢNG: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM Đạo hàm khái niệm quan trọng Giải tích, cơng cụ sắc bén để nghiên cứu khảo sát tính chất hàm số giúp hồn thiện việc vẽ đồ thị hàm số Tính đơn điệu (Đồng biến – nghịch biến) Cực trị Giá trị lớn nhất, nhỏ Tiệm cận Khảo sát hàm số A LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định nghĩa + Hàm số y  f  x  đồng biến    K với cặp x1 , x2  K ta ln có: x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x  nghịch biến    K với cặp x1 , x2  K ta ln có: x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K * Nhận xét T y f  x2   f  x1   x x2  x1 + f  x  đồng biến K  T  x1 , x2  K  x1  x2  + f  x  nghịch biến K  T  x1 , x2  K  x1  x2  + Nếu hàm số đồng biến K đồ thị đường liên tục lên từ trái qua phải + Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị đường liên tục xuống từ trái qua phải Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! f  x   const f  x  f  x  y x y  sin x Tính đơn điệu dấu đạo hàm * Định lí Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm K + Nếu f '  x   x  K f  x  đồng biến K + Nếu f '  x   x  K f  x  nghịch biến K + Nếu f '  x   x  K f  x  khơng đổi K Hay tóm lại, K  f ' x   f  x    f ' x   f  x    f '  x    f  x  const I  * Chú ý Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Khi xét tính đồng biến, nghịch biến K đoạn nửa khoảng hàm số phải đảm bảo liên tục K + Nếu hàm số liên tục đoạn  a; b  f '  x   x   a; b  f  x  đồng biến  a; b  + Nếu hàm số liên tục đoạn  a; b  f '  x   x   a; b  f  x  nghịch biến  a; b  * Định lí (Mở rộng – Quan trọng) Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm K + Nếu f '  x   x  K f '  x   xảy hữu hạn điểm f  x  đồng biến K + Nếu f '  x   x  K f '  x   xảy hữu hạn điểm f  x  nghịch biến K Hay tóm lại, K với i hữu hạn, xi  K  f '  x   0, f '  xi    f  x     f '  x   0, f '  xi    f  x    II  II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU Bản chất vấn đề + Xét tính đơn điệu hau cịn gọi tìm chiều biến thiên tìm khoảng đồng biến, nghịch biến + Bản chất xét dấu đạo hàm Phương pháp làm xét tính đơn điệu Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm f '  x  Tìm đủ điểm xi  i  1, 2,3, , n  mà f '  x   * f '  x  không xác định (**) Bước 3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên, xét dấu f '  x  với quy tắc học Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! y   x2 y x 1 y   x2 y x D D  \ 0 y '  x y '    x  y'   x  x Kết luận: Hàm số nghịch biến khoảng y'   x   ;0   0;   y'  x  Kết luận: Hàm số đồng biến  ;0  , nghịch biến  0;   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! y  x3 D y '  3x  x  Kết luận: Hàm số đồng biến nửa khoảng  ;0  0;   hay hàm số đồng biến B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: b) y   x  3x  a) y  x  Giải a) y  x  + TXĐ: D  + y '   x  + Kết luận: Hàm số cho đồng biến b) y   x  3x  + TXĐ: D  + y '  2 x  + Giải y '   2 x    x  + Bảng biến thiên: 3  3  + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ;  nghịch biến khoảng  ;   2  2  Bài 2: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x3  3x  b) y  x  2x2  x  3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Giải a) y  x3  3x  + TXĐ: D  + y '  6x2  6x x  + Giải y '   x  x  1     x  1 + Bảng biến thiên: + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ; 1  0;   , nghịch biến khoảng  1;  b) y  x  2x2  x  3 Cách 1: + TXĐ: D  + y '  x2  x  + Giải y '   x  + Bảng biến thiên: 1  1  + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ;   ;   hay suy hàm số đồng biến 2  2  Cách 2: + TXĐ: D  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + y '  x  x    x  1  x  + Ta thấy y '  x  1 y '   x  2 Theo định lí II, hàm số cho đồng biến Bài 3: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x  x  b) y   x  x  Giải a) y  x  x  + TXĐ: D  + y '  x3  x x  + Giải y '   x  x  1    x   x  1 + Bảng biến thiên: + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  1;  1;   Hàm số nghịch biến khoảng  ; 1  0;1 b) y   x  x  + TXĐ: D  + y '   x3  x + Giải y '    x  x     x  + Bảng biến thiên: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Kết luận: Hàm số đồng biến  ;0  nghịch biến  0;   Bài 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y  x 1 x 1 b) y  2x  1 x Giải a) y  x 1 x 1 \ 1 + TXĐ: D  + y'   x  1  x  1 + Bảng biến thiên: + Kết luận: Hàm số đồng biến  ; 1  1;   b) y  2x  1 x + TXĐ: D  + y \ 1 3 2x   y'   x  x 1 1  x  + Bảng biến thiên: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Kết luận: Hàm số nghịch biến  ;1 1;   Bài 5: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: y  x2  x  x 1 Giải \ 1 + TXĐ: D  + x y'  y'   x  1 '  x  1   x  x  1  x  1 '  x  1  x  1 x  1   x2  x  1 x2  x  2  x  1  x  1 y '   x  x  2 BBT: + Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ; 2   0;   ; nghịch biến khoảng  2; 1  1;  Bài 6: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: y  2x x 9 Giải \ 3 + TXĐ: D  + y'  y'   x  '  x    x  x   ' x  9 2  x    x.2 x x  9  2 x  18 x  9  2  x   x  9 Ta thấy y '  x  D BBT: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Kết luận: Hàm số đồng nghịch khoảng  ; 3 ,  3;3   3;   Bài 7: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: y   x Giải + ĐKXĐ:  x   2  x  + TXĐ: D   2; 2 + y'  2 x  x2  x  x2 + y'   x  BBT: + Kết luận: Hàm số đồng nghịch khoảng  2;0  , nghịch biến khoảng  0;  C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y   x b) y  x  x  c) y  x3  3x  x  d) y  x3  x  x  Đáp án: a) Nghịch biến b) Đồng biến:  2;   , nghịch biến:  ;  c) Đồng biến:  ; 7  1;   , nghịch biến:  7;1 10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! 1  d) Đồng biến:  ;  1;   , nghịch biến: 3  1   ;1 3  Bài 2: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y  x3  x  x  b) y  x3  x  x  c) y   x3  x  x  3 d) y  x3  x  17 x  Đáp án: a) Đồng biến b) Đồng biến c) Nghịch biến d) Đồng biến Bài 3: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: b) y   x  x  a) y  x  x  c) y  x  x  2x  d) y  x5  5x  10 x  3 Đáp án: a) Đồng biến:  0;   , nghịch biến  ;0       b) Đồng biến: ;  ; 0; , nghịch biến:  2;0 ;  2;  c) Đồng biến  2;   , nghịch biến:  ;  d) Đồng biến Bài 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y  3x  x2 b) y  2x 1 1 x c) y  x  x d) y  x  x Đáp án: a) Đồng biến  ; 2  ;  2;   b) Đồng biến  ;1 ; 1;   11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!   c) Đồng biến: ;  ;      3;  , nghịch biến:  3;0 ; 0; d) Đồng biến:  ;0  ;  0;   Bài 5: Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y  x  3x  x 1 b) y   x2  x  x 1 c) y  x x 1 d) y  2x 1 x  3x  2 Đáp án:       a) Đồng biến: ;1  ;  2;  , nghịch biến:  2;1 ; 1;1  b) Nghịch biến  ; 1 ;  1;   c) Đồng biến:  1;1 , nghịch biến:  ; 1 ; 1;    1  15   1  15  d) Đồng biến:  ;1 ; 1;  , nghịch biến:  2      1  15   1  15  ;  ;  2;    ;  ;  2     Bài 6: Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y  x  x b) y  x  x  c) y  x  x  d) y  x   x Đáp án: a) Đồng biến:  0;1 , nghịch biến: 1;  b) Đồng biến  3;   , nghịch biến:  ; 2  c) Đồng biến: 1;   , nghịch biến:  ;1     ;1 d) Đồng biến:  1;  , nghịch biến:  2    12 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! ... QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU Bản chất vấn đề + Xét tính đơn điệu hau cịn gọi tìm chiều biến thiên tìm khoảng đồng biến, nghịch biến + Bản chất xét dấu đạo hàm Phương pháp làm xét tính đơn điệu Bước...f  x   const f  x  f  x  y x y  sin x Tính đơn điệu dấu đạo hàm * Định lí Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm K + Nếu f '  x   x  K f  x  đồng biến K + Nếu f ' ... http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Kết luận: Hàm số đồng biến  ;0  nghịch biến  0;   Bài 4: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y  x 1 x 1 b)