Toán lớp 12: 7 bài toán min max của số phức

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC BÀI GIẢNG: MIN MAX SỐ PHỨC * Phương pháp chung +) Phương pháp đại số:  Dùng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối A  B  A  B  A  B   Thế ẩn sử dụng đạo hàm Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (ac  bd )2  (a  b2 )(c  d ) +) Phương pháp hình học Ví dụ 1: Cho z thỏa mãn z   4i  Tìm max z B A C D 13 Giải Dấu hiệu: Đề yêu cầu tính max mơ đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đơi Ta có: z  2  4i  z   4i  z  20   z  20    max z   Đáp án A Ví dụ 2: Cho z   4i  Tìm max z  A 2 B 2  C  D  Giải Ta có: z   4  4i  z    4i  z   4i  z    z   4i   z     max z     Đáp án D Ví dụ 3: Cho (1  i) z   7i  Tìm max z Giải Ta có: (1  i) z   7i  Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  (1  i) z   7i 1 i  z  (1  i) z   7i   1 i 1 i  7i   z  (3  4i)  1 i Mà z  3  4i  z  (3  4i)   z  3  4i   z     max z  Ví dụ 4: Cho z   2i  z   i Đặt w  z   3i tìm w Giải Đặt z  x  yi ( x; y  ) Điều kiện cho trở thành +) x  yi   2i  x  yi   i  ( x  1)  ( y  2)  ( x  2)  ( y  1)  x2  x   y  y   x2  x   y  y   2x  y   x  3y +) w  x  yi   3i  ( x  2)2  ( y  3)2 (1) Thế x  y vào (1) ta w  (3 y  2)  ( y  3)  10 y  y  13  w' 20 y  10 y  y  13 Nhận thấy y   Vậy w   w'0 y  3 10 w 10 11 10 10 Ví dụ 5: Cho z  z   ( z   2i)( z  3i  1) Tìm w với w  z   2i A B C D Giải Ta có z  z   ( z   2i)( z  3i  1)  z  z    ( z   2i)( z  3i  1)  ( z  1)2  4i  ( z   2i)( z  3i  1) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  ( z   2i)( z   2i)  ( z   2i)( z  3i  1)  z   2i    z   2i  z  3i  +) z   2i   z   2i  w  1  w  +) z   2i  z  3i   ( x  1)2  ( y  2)2  ( x  1)2  ( y  3) (Đặt z  x  yi ( x; y  ) )  ( y  2)2  ( y  3)2  y  1 2 3 Với y    w  x  i   2i  w  ( x  2)     2 2 Vậy w   Đáp án C Ví dụ 6: Cho z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2  1; z1  z2  Tính max T  z1  z2 A B 10 C D 10 Giải Đặt z1  x1  y1i; z2  x2  y2i ( x1 , y1 , x2 , y2  ) Điều kiện cho trở thành +) z1  z2   x1  y1i  x2  y2i   ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2   x12  x22  y12  y22  x1 x2  y1 y2  (1) +) z1  z2   x1  y1i  x2  y2i   x12  x22  y12  y22  x1 x2  y1 y2  (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta x12  x2  y12  y2  +) T  z1  z2  x12  y12  x2  y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta T  x12  y12  x2  y2  1  1  x12  x22  y12  y22   2.5  10  max T  10  Đáp án D Ví dụ 7: Cho z   Tìm max T  z  i  z   i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Giải Đặt z  x  yi ( x; y  ) +) z    ( x  1)2  y   ( x  1)2  y  +) T  x2  ( y  1)2  ( x  2)2  ( y  1)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta T  x  ( y  1)  ( x  2)  ( y  1)  (1  1)  x  ( y  1)  ( x  2)  ( y  1)   T  2.(2 x  y  x  6)  4.( x  y  x  3)  ( x  1)  y   Thay ( x  1)2  y  ta T  4.(2  2)  Vậy max T  Ví dụ 8: Cho z   3i  Tìm giá trị lớn z   i là: A D 13  C 13  B Giải Đặt z  x  yi ( x; y  ) Điều kiện cho trở thành +) x   ( y  3)i   ( x  2)2  ( y  3)2   x2  y  x  y  12  +) z   i  ( x  1)2  ( y  1)2 = x2  y  x  y  (1) Thay x2  y  x  y  12 vào (1) ta z   i = x  y  12  x  y   x  y  10 Xét x  y 10  6( x  2)  4( y  3)  14 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 6( x  2)  4( y  3)  (62  42 ) ( x  2)  ( y  3)   52.1  52  6( x  2)  4( y  3)  14  52  14  x  y  10  52  14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  z   i  x  y  10  52  14 = 13  +) Phương pháp hình học   Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Có tập hợp điểm thường gặp +) Đường thẳng +) Đường tròn +) Đường elip +) Parabol Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn số phức Từ tìm max, mô đun Chú ý: Số phức z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Mô đun số phức z độ dài đoạn thẳng OM với O gốc tọa độ Ví dụ 1: Cho số phức z  x  yi thỏa mãn z   4i  z  2i đồng thời có mơ đun nhỏ Tính N  x2  y A N  B N  10 C N  16 D N  26 Giải Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi +) z   4i  z  2i  ( x  2)2  ( y  4)2  x2  ( y  2)2  4 x   y  16  4 y   x  y  16  x  y   Suy tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng x  y   +) N  x  y  z  N  z  OM  OM  d : x  y    M (2, 2)  N  22  22   Đáp án A Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 10: Cho z  (2  4i)  Tìm max, z  2i  Giải Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi +) z  (2  4i)   ( x  2)2  ( y  4)2   M ( x, y) nằm đường tròn tâm I (2, 4) , bán kính R  +) z  2i   ( x  1)2  ( y  2)2  MA (với A(1, 2) )  z  2i   MA  M  C z  2i  max  MA max  M  D AI  (1, 6) Phương trình đường thẳng AI là: 6x  y   Tọa độ C , D nghiệm hệ 6 x  y    2 ( x  2)  ( y  4)  Từ hệ ta tính MC, MD Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z là: A 10 B C D Giải Đặt z  x  yi ( x; y  ) Điều kiện cho trở thành ( x  4)2  y  ( x  4)2  y  10 (1) Gọi M ( x, y) điểm biểu diễn số phức z  x  yi Từ (1)  MA  MB  10 (với A(4,0), B(4,0) ) Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Suy tập hợp điểm M nằm elip có: +) a  +) b  , c  Vì M nằm elip nên z  OM  M  A ; z max  OM max  M  B Vậy giá trị lớn z Vậy giá trị nhỏ z  Đáp án D Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... điểm biểu diễn số phức Từ tìm max, mô đun Chú ý: Số phức z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn M ( x, y) Mô đun số phức z độ dài đoạn thẳng OM với O gốc tọa độ Ví dụ 1: Cho số phức z  x  yi... http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  z   i  x  y  10  52  14 = 13  +) Phương pháp hình học   Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức. .. x12  x22  y12  y22   2.5  10  max T  10  Đáp án D Ví dụ 7: Cho z   Tìm max T  z  i  z   i Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử