Các bài toán hay và khó THPT có lời giải chi tiết

Bộ tài liệu về chuyên đề các bài tập Toán hay và khó bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp11, 12 file word đuôi docx đã được soạn tương đối đầy đủcó lời giải chi tiết tất cả các bài tập giúp giáo viên và học sinh tham khảo thuận lợi trong việc giảng dạy và học tập,nhằm nâng cao kiến thức,chuyên môn không phải mất thời gian để soạn mà tập trung vào công việc khác, tiết kiệm được thời gian, tiền của cho giáo viên. Đây là tài liệu tham khảo rất bổ ích.

HỆ THỐNG CÁC BÀI TẬP HAY VÀ KHÓ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một ao hình ABCDE (như hình vẽ), ao có mảnh vườn hình trịn có bán kính 10 m Người ta muốn bắc câu cầu từ bờ AB ao đến vườn Tính gần độ dài tối thiếu l cầu biết : - Hai bờ AE BC nằm hai đường thẳng vng góc với nhau, hai đường thẳng cắt điểm O ; - Bờ AB phần parabol có đỉnh điểm A có trục đối xứng đường thẳng OA ; - Độ dài đoạn OA OB 40 m 20 m; - Tâm I mảnh vườn cách đường thẳng AE BC 40 m 30 m A l ≈ 17, m B l ≈ 25, m C l ≈ 27, m Lời giải : D l ≈ 15, m Chọn A  A ∈ Oy Gán trục tọa độ Oxy cho  cho đơn vị 10 m  B ∈ Ox Khi mảnh vườn hình trịn có phương trình ( C ) : ( x − ) + ( y − 3) = có tâm I ( 4;3) 2 Bờ AB phần Parabol ( P ) : y = − x ứng với x ∈ [ 0; 2]  M ∈ ( P ) Vậy tốn trở thành tìm MN nhỏ với   N ∈ ( C ) Đặt trường hợp xác định điểm N MN + MI ≥ IM , MN nhỏ MN + MI = IM ⇔ N ; M ; I thẳng hàng Bây giờ, ta xác định điểm N để IN nhỏ N ∈ ( P ) ⇔ N ( x; − x ) IN = ( − x) + ( − x2 ) ⇔ IN = ( − x ) + ( − x ) 2 ⇔ IN = x − x − x + 17 Xét f ( x ) = x − x − x + 17 [ 0; 2] ⇔ f ′ ( x ) = x − x − f ′ ( x ) = ⇔ x ≈ 1,3917 nghiệm 1,3917 ∈ [ 0; 2] Ta có f ( 1,3917 ) = 7, 68 ; f ( ) = 17 ; f ( ) = 13 Vậy giá trị nhỏ f ( x ) [ 0; 2] gần 7, 68 x ≈ 1,3917 Vậy IN ≈ 7, 68 ≈ 2, 77 ⇔ IN = 27, m ⇔ MN = IN − IM = 27, − 10 = 17, m Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần năm 2017 – 2018) Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −2018; 2018] để hàm số y = x + − mx − đồng biến ( −∞; + ∞ ) A 2017 B 2019 C 2020 D 2018 Lời giải Chọn D TXĐ : D = ¡ x y′ = −m x +1 x Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y ′ ≥ , ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ , ∀x ∈ ¡ ( 1) x2 + x Xét f ( x ) = ¡ x2 + lim f ( x ) = −1 ; lim f ( x ) = x →−∞ f ′( x) = x →+∞ (x Ta có: m ≤ + 1) x + > , ∀x ∈ ¡ nên hàm số đồng biến ¡ x , ∀x ∈ ¡ ⇔ m ≤ −1 x +1 Mặt khác m ∈ [ −2018; 2018] ⇒ m ∈ [ −2018; − 1] Vậy có 2018 số nguyên m thoả điều kiện 2 Câu 3: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần năm 2017 – 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ Hỏi số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = ef A ( x) −2 bao nhiêu? B C Lời giải D Chọn D  f ( x ) = ln 2  ⇔ f x = ln ⇔ ( ) −2 =0  f ( x ) = − ln Dựa vào bbt ta thấy: Đường thẳng y = ln cắt đồ thị y = f ( x ) điểm Xét e f ( x) Đường thẳng y = − ln cắt đồ thị y = f ( x ) điểm Nên phương trình e f ( x) − = có nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = e f ( x) −2 có đường tiệm cận đứng Câu 4: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( − x ) + A ( −3; 1) x2 − x nghịch biến khoảng B ( −2; ) C ( 1; 3) 3  D  −1; ÷ 2  Lời giải Chọn C x2 Xét hàm số y = f ( − x ) + − x có y ′ = − f ′ ( − x ) + x − 1 − x = −3 x =  y ′ = ⇔ − f ′ ( − x ) + x − = ⇔ f ′ ( − x ) = − ( − x ) ⇔ 1 − x = ⇔  x = 1 − x =  x = −2 Ta có bảng biến thiên: Do Hàm số y = f ( − x ) + x2 − x nghịch biến khoảng ( 1;3) Câu 5: Tập tất giá trị tham số thực m để phương trình m ( ) + x + − x + + − x − = có hai nghiệm phân biệt nửa khoảng ( a; b] Tính b − a A 6−5 35 B 6−5 C 12 − 35 D 12 − ( ) Câu 6: Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x 2017 + 2019 − x tập xác định Tính M − m A 2019 + 2017 C 4036 B 2019 2019 + 2017 2017 D 4036 2018 Câu 7: Tập tất giá trị tham số thực m để phương trình m ( ) + x + − x + + − x − = có hai nghiệm phân biệt nửa khoảng ( a; b] Tính b − a A 6−5 35 B 6−5 C 12 − 35 D 12 − Lời giải Chọn D Đặt t = + x + − x với −1 ≤ x ≤ Khi đó: t = + − x2 ⇔ − x2 = t − ⇒ t′ = 1 − = ⇔ 1− x = 1+ x ⇔ x = 1+ x 1− x +- Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ≤t ≤ −t + Ta có phương trình: m ( t + 3) + t − = ⇔ m = t +3 −t − 6t − −t + ′ ⇒ f t = ( ) Xét hàm số: f ( t ) = , t ∈  2;  ( t + 3) t +3 f ′ ( t ) = ⇔ t = −3 ± ∉  2;  Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt ( ) ( 3− 3− Khi < f ( t ) ≤ hay < m ≤ 7 3− 12 − ⇒a= , b= ⇒b− a = 7 ( ) ≤ t ≤ ) ( ) Câu 8: Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x 2017 + 2019 − x tập xác định Tính M − m A 2019 + 2017 B 2019 2019 + 2017 2017 C 4036 D 4036 2018 Lời giải Chọn D TXĐ: D =  − 2019; 2019  x2 Ta có y ′ = 2017 + 2019 − x − 2019 − x ⇒ y′ = ⇔ 2017 + 2019 − x − x2 =0⇔ 2017 2019 − x + 2019 − x 2019 − x 2019 − x Trên D , đặt t = 2019 − x , t ≥ Ta được: t =  x = − 2018 2 2t + 2017t − 2019 = ⇔  ⇒ 2019 − x = ⇔  t = − 2019  x = 2018  Khi f − 2018 = −2018 2018 ; f 2018 = 2018 2018 ( ( ) ) f − 2019 = −2017 2019 ; f ( ( =0 ) ) 2019 = 2017 2019 Suy m = y = −2018 2018 , M = max y = 2018 2018 D D Vậy M − m = 4036 2018 Câu 9: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y= x − 14 x + 48 x + m − 30 đoạn [ 0;2] không vượt 30 Tổng tất giá trị S A 108 B 136 C 120 D 210 Câu 10: Cho hàm số y = − x + x + có đồ thị ( C ) điểm M ( m;1) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m để qua M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Tổng giá trị tất phần tử S A B 40 C 16 D 20 Câu 11: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y= x − 14 x + 48 x + m − 30 đoạn [ 0;2] không vượt 30 Tổng tất giá trị S A 108 B 136 C 120 Lời giải D 210 Chọn B x − 14 x + 48 x + m − 30 g ′ ( x ) = x − 28 x + 48 Xét hàm số g ( x ) =  x = −6 ( L )  g′( x ) = ⇔  x = ( L )  x = TM ( )  max f ( x ) = max g ( ) ; g ( ) [ 0;2] [ 0;2] { } = max { m − 30 ; m + 14 } ≤ 30 [ 0;2]  m − 30 ≤ 30 ⇒ ⇔ ≤ m ≤ 16  m + 14 ≤ 30 16 Suy S = ∑ x = 136 x =1 Câu 12: Cho hàm số y = − x + x + có đồ thị ( C ) điểm M ( m;1) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m để qua M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Tổng giá trị tất phần tử S A B 40 16 Lời giải C D 20 Chọn B Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) qua M ( m;1) có hệ số góc k là: y = k ( x − m ) + Để qua M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) điều kiện hệ phương trình sau có hai nghiệm x phân biệt − x3 + x + = k ( x − m ) + −   x + 4x + = k ( x − m) + ⇔ ( I)  ′ −3 x + x = k ( − x + x + 1) = k ( 1) ( 2) Thay ( ) vào ( 1) ta − x + x + = ( −3 x + x ) ( x − m ) + ⇔ x  x − ( 3m + ) x + 8m  = x = ⇔  x − ( 3m + ) x + 8m = ( ) Như vậy, hệ ( I ) có hai nghiêm phương trình ( 3) có nghiệm nghiệm khác ; phương trình ( 3) có nghiệm khác Phương trình ( 3) có nghiệm x = m = Khi đó, phương trình ( 3) trở thành x = x2 − 4x = ⇔  ; x = Do m = thỏa mãn Phương trình ( 3) có nghiệm khác điều kiện  ∆ = ( 3m + ) − 4.2.8m =   3m + ≠0   ∆ = ( 3m + ) − 4.2.8m = m =  ⇔  3m + ⇔ m = ≠0      Như S = 0; ;    Tổng giá trị tất phần tử S + 40 +4= 9 Câu 13: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R \ { −2; 2} , có bảng biến thiên sau: x −∞ −2 − − + y′ +∞ +∞ +∞ y +∞ + −1 −∞ −∞ Gọi k , l số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= Tính k + l f ( x ) − 2018 A k + l = B k + l = C k + l = D k + l = Câu 14: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R \ { −2; 2} , có bảng biến thiên sau: x −∞ −2 − − + y′ +∞ +∞ +∞ y +∞ + −1 −∞ −∞ Gọi k , l số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= Tính k + l f ( x ) − 2018 A k + l = B k + l = C k + l = D k + l = Lời giải Chọn D Vì phương trình f ( x ) = 2018 có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = có f ( x ) − 2018 ba đường tiệm cận đứng Mặt khác, ta có: 1 nên đường thẳng đường tiệm cận ngang lim y = lim =− y=− x →+∞ x →+∞ f ( x ) − 2018 2019 2019 đồ thị hàm số y = f ( x ) − 2018 y = lim Và xlim →−∞ x →−∞ hàm số y = = nên đường thẳng y = đường tiệm cận ngang đồ thị f ( x ) − 2018 f ( x ) − 2018 Vậy k + l = Câu 15: Cho x , y số thực thỏa mãn P= + ( y − 1) = Giá trị nhỏ biểu thức y + xy + x + y − x + y +1 A B C Câu 16: Cho x , y số thực thỏa mãn P= ( x − 3) ( x − 3) 114 11 D + ( y − 1) = Giá trị nhỏ biểu thức y + xy + x + y − x + y +1 A 114 11 Hướng dẫn giải B C D Chọn A Theo giả thiết, ta có ( x − 3) + ( y − 1) = ⇔ x + y = x + y − 2 Đặt t = x + y + , ta có t − = ( x − 3) + ( y − 1) ≤ (1 2 + 22 ) ( x − 3) + ( y − 1)    ⇔ t − ≤ hay t ∈ [ 1;11] 2 2 Mặt khác, t = ( x + y + 1) ⇔ t = ( x + y ) + y + xy + x + y + ⇔ t = ( x + y − ) + y + xy + x + y + ⇔ t = ( y + xy + x + y − 1) + ( x + y + 1) − Suy y + xy + x + y − = t − t + t2 − t + 4 = t + − ≥ t − = , với t ∈ [ 1;11] t t t 17 Vậy P = t = Suy x = , y = x = , y = − 5 Khi đó, P = Câu 17: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x + a Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho [ 0; 2] Có số nguyên a thuộc [ −4; 4] cho M ≤ 2m ? A B C D Câu 18: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x + a Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho [ 0; 2] Có số nguyên a thuộc [ −4; 4] cho M ≤ 2m ? A B C Hướng dẫn giải D Chọn A 3 Xét hàm số g ( x ) = x − x + x + a [ 0; 2] x = g ′ ( x ) = x − 12 x + x ; g ′ ( x ) = ⇔  x = ; g ( ) = a , g ( 1) = a + , g ( ) = a  x = Suy ra: a ≤ g ( x ) ≤ a + f ( x ) = a + ; m = f ( x ) = a TH1: ≤ a ≤ ⇒ a + ≥ a > ⇒ M = max [ 0;2] [ 0;2] 0 ≤ a ≤ ⇒ ≤ a ≤ Do đó: có giá trị a thỏa mãn Suy ra:   a + ≤ 2a TH2: −4 ≤ a ≤ −1 ⇒ a ≤ a + ≤ −1 ⇒ a + ≤ a ⇒ M = max f ( x ) = a = −a ; m = f ( x ) = a + = −a − [ 0;2] [ 0;2]  −4 ≤ a ≤ −1 ⇒ −4 ≤ a ≤ −2 Do đó: có giá trị a thỏa mãn Suy ra:   −a ≤ −2a − Vậy có tất giá trị thỏa mãn HẾT -Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai ¡ Biết f ′ ( ) = , f ′ ( ) = −2018 bẳng xét dấu f ′′ ( x ) sau: 10 x = +) Xét y = x − 3ax + b , y ′ = ⇔ x ( x − a ) = ⇔  x = a Yêu cầu toán ⇔ y ( ) y ( a ) ≥ ⇔ b ( b − a ) ≥ 3 Mà b ∈ [ 0;1] nên b ( b − a ) ≥ ⇔ b ≥ a Ta thấy việc chọn ngẫu nhiên hai số a , b ∈ [ 0;1] việc chọn ngẫu nhiên điểm M ( a; b ) xét hệ trục tọa độ Oab +) Gọi A biến cố thỏa mãn tốn Ta có Ω tập hợp điểm M ( a; b ) cho a , b ∈ [ 0;1] điểm thuộc hình vng OACB hình vẽ, Ω = SOACB = +) Ω ( A ) tập hợp điểm thuộc hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị b = , b = a , a = (phần gạch chéo đồ thị) Xét phương trình hồnh độ giao điểm a = ⇔ a = 1  a4  ⇒ Ω ( A ) = ∫ − a da = ∫ ( − a ) da =  a − ÷ = − = 0 4  0 1 3 3 Vậy xác suất cần tìm P= = Câu 25: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình x − x + = m − có nghiệm khoảng có dạng ( a; b ) Tính tổng S = a + b A B C 25 D 10 Câu 26: Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình x − x + = m − có nghiệm khoảng có dạng ( a; b ) Tính tổng S = a + b A B C 25 D 10 Lời giải Câu sửa đề lại: Từ nghiệm thành nghiệm Chọn B  x − x + x ≥ f x = x − x + = Xét hàm số ( )   x + x + x < Ta có bảng biến thiên 13 Do ta có đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + Suy đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) = x − x + Số nghiệm phương trình x − x + = m − số giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng d : y = m − 14 Để phương trình x − x + = m − có nghiệm d cắt ( C ) điểm a = < m − < ⇔ < m < Vậy  suy S = a + b = b = Câu 27: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = tan x − đồng biến khoảng tan x − m  π   − ;0 ÷   A −1 ≤ m < B m <  m ≤ −1 D  0 ≤ m < C m ≥ Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x ) ≤ , ∀x ∈  − 5;  2 A m ≥ f B m ≥ f − 3 ( ) ( ) C m ≥ f ( 0) Câu 29: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = D m ≤ f ( 5) tan x − đồng biến khoảng tan x − m  π   − ;0 ÷   A −1 ≤ m < B m < C m ≥  m ≤ −1 D  0 ≤ m < Hướng dẫn giải Chọn D  π   π > ∀x ∈ 0;  Đặt t = tan x , x ∈  − ;0 ÷⇒ t ∈ ( −1;0 ) Khi ta có t x′ = cos x    4 tan x − t −2 Do tính đồng biến hàm số y = giống hàm số f ( t ) = tan x − m t −m t −2 ∀t ∈ ( −1;0 ) Tập xác định: D = ¡ \ { m} Xét hàm số f ( t ) = t −m 15 Ta có f ' ( t ) = 2−m ( t − m)  π  Để hàm số y đồng biến khoảng  − ;0 ÷ khi: f ' ( t ) > ∀t ∈ ( −1;0 )   m < 2−m 2 − m >  ⇔ > ∀t ∈ ( −1;0 ) ⇔  ⇔   m ≤ −1 ⇔ m ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 0; ) ( t − m) m ∉ ( −1;0 ) m ≥  1 ( tan x − m ) − ( tan x − ) 2 cos x CASIO: Đạo hàm hàm số ta y ' = cos x tan x − m ( ) Ta nhập vào máy tính thằng y ' \CALC\Calc x = − \ = \ m = ? giá trị đáp án π  π  ( Chọn giá trị thuộc  − ;0 ÷ )   Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x ) ≤ , ∀x ∈  − 5;  2 A m ≥ f B m ≥ f − 3 ( ) ( ) C m ≥ f ( 0) D m ≤ f ( 5) Hướng dẫn giải Chọn A 2 Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x − ; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = −3x + ⇔ x = ∨ x = ± 16 Ta thấy g ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈  − 5;  nên hàm số g ( x ) đồng biến  − 5;  g ( x) ≤ ⇔ g ≤ ⇔ m ≥ f Do đó, để g ( x ) ≤ , ∀x ∈  − 5;  −max  5;   ( ) ( 5) Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết phương trình f ′ ( x ) = có bốn nghiệm phân biệt a , , b , c với a < < b < c Mệnh đề A f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) C f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) D f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) k k −1 Câu 32: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt ? A 122 B 120 C 365 D 363 Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết phương trình f ′ ( x ) = có bốn nghiệm phân biệt a , , b , c với a < < b < c Mệnh đề A f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) B f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) C f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) D f ( b ) > f ( a ) > f ( c ) Lời giải 17 Chọn A Ta có bảng biến thiên x -∞ f / (x) a - 0 + b - c + f(0) f(x) - f(c) f(a) Suy f ( c ) > f ( b ) +∞ f(b) (1) Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) , đường thẳng x = a , x = S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) , đường thẳng x = , x = b S3 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) , đường thẳng x = b , x = c Vì S1 + S3 < S ⇔ ∫ a ⇔ c b f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx b 0 c b a b ∫ f ′ ( x ) dx + ∫ f ′ ( x ) dx < −∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( 0) − f ( a ) + f ( c ) − f ( b ) < − f ( b ) + f ( 0) ⇔ f ( a ) > f ( c ) (2) Từ (1) (2) ⇒ f ( a ) > f ( c ) > f ( b ) k Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x) ) k −1 với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt ? A 122 B 120 C 365 D 363 Lời giải Chọn A Nhận xét: + Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x sau:  x = ⇒ f ( 1) = f ′ ( x ) = x − 12 x + = ⇔  Lại có  x = ⇒ f ( 3) =  f ( ) =   f ( ) = - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x qua gốc tọa độ - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x tiếp xúc với trục Ox điểm ( 3; ) 18 + Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) nên g ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) g ( ) = −3 nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống đơn vị ta đồ thị hàm số y = g ( x ) Suy phương trình g ( x ) = có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) + Tổng quát: xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − a , với < a < Lập luận tương tự trên: - h ( ) = −a < h ( 1) > ; h ( ) < - Tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống a đơn vị ta đồ thị hàm số y = h ( x ) Suy phương trình h ( x ) = ln có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Khi đó, x = + Ta có f ( x ) = x − x + x = ⇔  x = +  f ( x) = f ( x) = f ( f ( x) ) = ⇔  Theo trên, phương trình f ( x ) = có có ba nghiệm  f ( x ) = dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Nên phương trình f ( x ) = có + nghiệm phân biệt  f ( x) = + f ( x) = ⇔   f ( x ) = 3 19 f ( x ) = có + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = a , với a ∈ ( 0; ) lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt Suy phương trình f ( x ) = có 32 + + nghiệm phân biệt  f ( x) = + f ( x) = ⇔   f ( x ) = f ( x ) = có + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = b , với b ∈ ( 0; ) lại có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 9.3 nghiệm phân biệt  f ( x) = + f ( x) = ⇔   f ( x ) = f ( x ) = có 33 + + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = c , với c ∈ ( 0; ) lại có 27 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 27.3 nghiệm phân biệt Vậy f ( x ) có 34 + 33 + 32 + + = 122 nghiệm 2 Câu 35: Cho hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x − m − m , với m tham số Gọi A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số I ( 2; −2 ) Tổng tất số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính A − 17 B 17 C 14 17 D 20 17 2 Câu 36: Cho hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x − m − m , với m tham số Gọi A , B hai điểm cực trị đồ thị hàm số I ( 2; −2 ) Tổng tất số m để ba điểm I , A , B tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính A − 17 B 17 14 17 Lời giải C D 20 17 Chọn D x = m +1 Ta có y ′ = x − 6mx + 3m − = ( x − m ) − 1 ; ⇔   x = m −1 Do đó, hàm số ln có hai cực trị với m 20 Giả sử A ( m + 1; −4m − ) ; B ( m − 1; −4m + ) Ta có AB = , ∀m ∈ R Mặt khác, ∆IAB có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = nên từ sin ·AIB = AB = R suy sin ·AIB AB = ⇒ ·AIB = 90o hay ∆AIB vuông I 2R AB AB ⇔ IM = =5 m = 2 ⇔ ( m − ) + ( −4m + ) = ⇔ 17m − 20m + = ⇔  m = 17  20 Tổng tất số m + = 17 17 Gọi M trung điểm AB , ta có M ( m; −4m ) IM = k k −1 Câu 37: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt? A 365 B 1092 C 1094 D 363 k k −1 Câu 38: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số nguyên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt ? A 365 B 1092 C 1094 D 363 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có f ′ ( x ) = 3x − 12 x + Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: 21  f ( x) =   f ′( x) = k −2  f x = ( )   f k −1 ( x ) =  k −2 f ( x) = k f ( x ) = ⇔  k −1 ⇔  f ( x ) = ⇔ ⇔   f ( x) =  f ( x ) =  k −1  f x = ( )  M  k −1  f ( x ) = k Bài tốn giải tìm số nghiệm phương trình f ( x ) = + Phương trình f ( x ) = có ba nghiệm thuộc ( 0; ) + Phương trình f ( x ) = f ( f ( x ) )  f ( x ) = x1 ∈ ( 0; 1) ⊂ ( 0; )  = ⇔  f ( x ) = x2 ∈ ( 1; 3) ⊂ ( 0; )  f x = x ∈ 3; ⊂ 0; ( ) ( )  ( ) Từ bảng biến thiên ta có với giá trị x1 , x2 , x3 ∈ ( 0; ) phương trình f ( x ) = xi , i = 1,3 có ba nghiệm thuộc ( 0; ) Như phương trình f ( x ) = có nghiệm thuộc ( 0; ) k + Bằng quy nạp ta chứng minh phương trình f ( x ) = có 3k nghiệm thuộc ( 0; ) k Từ đó, số nghiệm phương trình f ( x ) = + + 32 + + 3k −1 = + 3k −1 − 36−1 − = 365 k k −1 Bài toán tổng quát: Cho hàm số f ( x ) = x − x + x Đặt f ( x ) = f ( f ( x ) ) với k số Vậy số nghiệm phương trình f ( x ) = + n tự nhiên lớn Hỏi phương trình f ( x ) = có nghiệm? Lời giải: (Cách 2) Ta có f ′ ( x ) = 3x − 12 x + Bảng biến thiên: −∞ x +∞ f ′( x) + 0 − + f ( x) k k Gọi ak ; bk số nghiệm phương trình f ( x ) = 0; f ( x ) =  ak = ak −1 + bk −1 ⇒ ak = ak −1 + 3k −1 Từ bảng biến thiên ta có  k bk = 3n − 3n + Do an = a1 + 3n −1 + 3n − + + = + (Vì a1 = ) = 2 22 n Vậy phương trình f ( x ) = có 3n + nghiệm Cách 3: Nhận xét: + Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x sau:  x = ⇒ f ( 1) = f ′ ( x ) = x − 12 x + = ⇔  Lại có  x = ⇒ f ( 3) =  f ( ) =   f ( ) = - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x qua gốc tọa độ - Đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x tiếp xúc với trục Ox điểm ( 3; ) + Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) nên g ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) g ( ) = −3 nên cách tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống đơn vị ta đồ thị hàm số y = g ( x ) Suy phương trình g ( x ) = có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) + Tổng quát: xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − a , với < a < Lập luận tương tự trên: - h ( ) = −a < h ( 1) > ; h ( ) < 23 - Tịnh tiến đồ thị hàm số f ( x ) = x − x + x xuống a đơn vị ta đồ thị hàm số y = h ( x ) Suy phương trình h ( x ) = ln có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Khi đó, x = + Ta có f ( x ) = x − x + x = ⇔  x = +  f ( x) = f ( x) = f ( f ( x) ) = ⇔  Theo trên, phương trình f ( x ) = có có ba nghiệm  f ( x ) = dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Nên phương trình f ( x ) = có + nghiệm phân biệt  f ( x) = + f ( x) = ⇔   f ( x ) = 3 f ( x ) = có + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = a , với a ∈ ( 0; ) lại có ba nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt Suy phương trình f ( x ) = có 32 + + nghiệm phân biệt  f ( x) = + f ( x) = ⇔   f ( x ) = f ( x ) = có + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = b , với b ∈ ( 0; ) lại có nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 9.3 nghiệm phân biệt  f ( x) = + f ( x) = ⇔   f ( x ) = f ( x ) = có 33 + + + nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = c , với c ∈ ( 0; ) lại có 27 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 27.3 nghiệm phân biệt Vậy f ( x ) = có 34 + 33 + 32 + + = 122 nghiệm 24  f ( x) = + f ( x) = ⇔   f ( x ) = f ( x ) = có 34 + 33 + 32 + + = 122 nghiệm f ( x ) = f ( f ( x ) ) = có ba nghiệm dương f ( x ) phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Mỗi phương trình f ( x ) = c , với c ∈ ( 0; ) lại có 81 nghiệm dương phân biệt thuộc khoảng ( 0; ) Do phương trình f ( x ) = có tất 81.3 nghiệm phân biệt Vậy f ( x ) có 35 + 34 + 33 + 32 + + = 365 nghiệm Câu 39: Cho đồ thị ( C ) : y = x + x + x + Gọi M ( 0; m ) điểm nằm trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Biết tập hợp giá trị m nửa khoảng ( a; b ] Giá trị a + b A Câu 40: Cho hàm số B − f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a , b, c , d ∈ ¡ D −1 C ) thỏa mãn a > , d > 2018 , a + b + c + d − 2018 < Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − 2018 A Câu 41: Cho đồ thị ( C ) : y = B C D x + x + x + Gọi M ( 0; m ) điểm nằm trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Biết tập hợp giá trị m nửa khoảng ( a; b ] Giá trị a + b A 1 B − C D −1 Lời giải Chọn C 2x +1 + 2 x2 + x + - Gọi ∆ đường thẳng qua M ( 0; m ) có hệ số góc k ⇒ ∆ : y = kx + m - Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (C) hệ phương trình sau có nghiệm: x  + x + x + = kx + m  2x +1 k = + 2 x2 + x +  - Ta có: y ′ = x+2 x x 2x2 + x = m ( 1) + x2 + x + = + +m ⇔ 2 x2 + x + x2 + x + Hệ phương trình có nghiệm ( 1) có nghiệm ⇒ - Xét hàm số: f ( x ) = x+2 x2 + x + ¡ , 25 có f ′ ( x ) = −3 x ( x + x + 1) x + x + ⇒ f ′( x) = ⇔ x = BBT: Dựa vào BBT ta thấy: phương trình ( 1) có nghiệm −  a = − ⇒ Vậy a + b = b = Câu 42: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ,   < m ≤ hay m ∈  − ;1   ( a , b, c , d ∈ ¡ ) thỏa mãn a > , d > 2018 , a + b + c + d − 2018 < Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − 2018 A B C Lời giải D Chọn D - Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 = ax + bx + cx + d − 2018  g ( ) = d − 2018 Ta có:   g ( 1) = a + b + c + d − 2018  g ( ) > Theo giả thiết, ta   g ( 1) <  lim g ( x ) = +∞  x →+∞ ⇒ ∃β > 1: g ( β ) > ⇒ ∃α < : g ( α ) < - Lại do: a > nên  g ( x ) = −∞  xlim →−∞  g ( α ) g ( ) <  Do đó:  g ( ) g ( 1) < ⇒ g ( x ) = có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( α ; β )   g ( 1) g ( β ) < Hay hàm số y = g ( x ) có đồ thị dạng y f(x)=(1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2) x -2 -1 O Khi đồ thị hàm số y = g ( x ) có dạng 26 f(x)=abs((1/3)*(x+1)*(2x-1)*(x-2)) y x -2 -1 O Vậy hàm số y = f ( x ) − 2018 có điểm cực trị ( ) ( )   x + x −1  m x + + 16 x − x ÷ = , với m tham số thực Tìm số x −1   giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt A 11 B C 20 D Câu 43: Cho phương trình   x + x −1  m x + + 16 x − x ÷ = , với m tham số thực Tìm số x −1   giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt A 11 B C 20 D Câu 44: Cho phương trình Lời giải Chọn D Điều kiện x > ( )   x + x −1  m x + + 16 x − x ÷ = x −1   ⇔m x+ + 16 x − x = x − x − x −1 Ta có 4 x −1 x x −x x −1 ⇔ m = −16 − + ( 1) ⇔ m+ + 16 = 1− x x −1 x x −1 x x x −1 , x > ta có < t < x Xét hàm số f ( t ) = −16t − + khoảng ( 0;1) ta có f ′ ( t ) = −16 + ; f ′ ( t ) = ⇔ t = t t Bảng biến thiên Đặt t = Từ ta thấy, phương trình ( 1) có hai nghiệm thực phân biệt −16 < m < −11 Do có giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán 27 ... phương trình f ( x ) = có tất nghiệm phân biệt ? A 365 B 1092 C 1094 D 363 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có f ′ ( x ) = 3x − 12 x + Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: 21  f ( x) =  ... nội tiếp đường trịn có bán kính A − 17 B 17 14 17 Lời giải C D 20 17 Chọn D x = m +1 Ta có y ′ = x − 6mx + 3m − = ( x − m ) − 1 ; ⇔   x = m −1 Do đó, hàm số ln có hai cực trị với m... C k + l = D k + l = Lời giải Chọn D Vì phương trình f ( x ) = 2018 có ba nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = có f ( x ) − 2018 ba đường tiệm cận đứng Mặt khác, ta có: 1 nên đường thẳng đường