D03 tính thể tích khối cầu muc do 3

Câu 50 [2H2-3.3-3] (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần - 2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD A 21 a 54 B 21 a 162 21 a 216 C D 49 21 a 36 Lời giải Chọn A S I G A D H K O B C Gọi H trung điểm AB , suy AH   ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB O tâm hình vng ABCD Từ G kẻ GI // HO suy GI trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB từ O kẻ OI // SH OI trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Ta có hai đường nằm mặt phẳng cắt I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD a 21 R  SI  SG  GI  21 Suy thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD V   R3  a 54 HẾT -Câu 42: [2H2-3.3-3] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông A Biết AB  AA  a , AC  2a Gọi M trung điểm AC Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện MABC 5 a A B 4 a C 2 a D Lời giải Chọn A B C M A I B' C' M' A' 3 a Gọi I trung điểm cạnh BC  Khi I tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Gọi M  trung điểm cạnh AC  Khi MM    ABC  Do MA  MC  a nên MAC vng M Do M  tâm đường tròn ngoại tiếp MAC Do I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MABC Bán kính mặt cầu BC a 5 5 a3 Do thể tích khối cầu V   r   Câu 46: [2H2-3.3-3] [Sở GD ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Người ta chế tạo đồ chơi cho trẻ em theo công đoạn sau: Trước tiên, chế tạo hình nón trịn xoay có góc đỉnh 2  60 thủy tinh suốt Sau đặt hai cầu nhỏ thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác cho hai mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc với mặt nón, cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy hình nón (hình vẽ) r  IB  Biết chiều cao hình nón cm Bỏ qua bề dày lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích hai khối cầu A 112 cm3 B 40 cm3 C 38 cm3 D 100 cm3 Lời giải Chọn A Gọi AB đường kính mặt nón, O đỉnh, M , N giao điểm tiếp tuyến chung hai mặt cầu OA , OB (hình vẽ) O M A N B Ta có tam giác OAB nên bán kính đường tròn nội tiếp r  h  Tương tự, tam giác OMN đều, có chiều cao h   2r  nên có bán kính đường trịn nội tiếp r    4 112 Thể tích hai khối cầu V   r   r 3   3 Câu 32: [2H2-3.3-3](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần -2018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy Biết SC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 45o Tính Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A V  πa B V  πa3 C V  πa 3 Lời giải D V  πa3 Chọn A Góc SC  ABCD  góc SCA 45o nên tam giác SAC vng cân A nên SC  2a Ta có CB   SAB   CB  SB  SBC vuông B CD   SAD   CD  SD  SCD vuông D  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD trung điểm SC , bán kính R  Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD V  Câu 20: SC a πa [2H2-3.3-3] (CỤM TP.HCM) Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  2a, góc đường thẳng SC đáy 45 Tính theo a thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 10 a3 A V  6 a3 B V  5 a C V  10 a3 D V  Lời giải Chọn D Gọi O  AC  BD I trung điểm SC Khi OI trục hình chữ nhật ABCD nên IA  IB  IC  ID Mặt khác I trung điểm SC nên IS  IC Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Do SA   ABCD  nên AC hình chiếu SC lên  ABCD  Vậy SCA   SC,  ABCD    45 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD R  1 AC 5a SC   2 2 4 Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD V  3  5a  10 a3    2   Câu 28: [2H2-3.3-3](THPT CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Cho mặt cầu  S  tâm O điểm A , B , C nằm mặt cầu  S  cho AB  , AC  , BC  khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  Thể tích khối cầu  S  A 21 B ABD C 20 5 D 29 29 Lời giải Chọn D Ta có AB2  AC  32  42  25  BC  ABC vuông A Gọi H hình chiếu O mặt phẳng  ABC   H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Vì ABC vng A nên H trung điểm BC Vì khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  nên OH  29 5 OHB vuông H có: OB  OH  BH  12     2 Vậy mặt cầu  S  có bán kính R  OB  29 4  29  29 29 Do thể tích khối cầu  S  là: V   R3      3   Câu 14: [2H2-3.3-3] (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - LẦN - 2017 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm  ABC 2SH=BC,  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc 60 Biết có điểm O nằm đường cao SH cho d  O ; AB   d  O ; AC   d O;  SBC    Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 256 A 81 B 125 162 C 500 81 D 343 48 Lời giải Chọn D S F A C K H E D B O Giả sử E , F chân đường vng góc hạ từ O xuống AB, AC Khi ta có HE  AB, HF  AC Do OE  OF  nên HE  HF Do AH phân giác góc BAC Khi AH  BC  D trung điểm BC Do BC  AD  BC   SAD  Kẻ OK  SD OK   SBC  Do OK  SDA  60 Đặt AB  BC  CA  2a  a   SH  a, HD  a.cot 60  a Do AD  a  3HD nên H tâm tam giác ABC  S ABC hình chóp tam giác E , F trung điểm AB, AC Mặt khác tam giác SOK có : SO  OK  Do DEF có OH   DFE  nên sin 30 OE  OF  OD   K  D Khi DSO vng D có DH  SO Từ a2 3  a   a   a   AB  3, SH  DH  HS.HO  2 Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R  SA2  2SH Vm / c Câu 7263:   343       4 48 [2H2-3.3-3] [BTN 169 -2017]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA  2a, SA   ABCD  Kẻ AH vuông góc với SB AK vng góc với SD Mặt phẳng  AHK  cắt SC E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCDEHK A a B a 3 a C D a Lời giải Chọn C S E K H D A O B C B, D nhìn AC góc 90 SD  a 5; KD  Ta có: AD a2 a   ; SC  SA2  AC  a SD a 5 1 2a    AK  1 2 SA AD AK SC  SD2  CD2  tam giác SCD vng D Khi tam giác KDC vuông D  KC  CD  KD  a Ta có: AK  KC  AC Vậy AKC  90 Tương tự AHC  90 Vậy AC đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK AC  a  OA  a 4 a3 V   OA3    a 3 2 Câu 7266: [2H2-3.3-3] [THPT Chuyên Bình Long -2017]Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác vuông A , AB  , AC  SA vng góc với đáy, SA  14 Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A V  81 B V  243 C V  13 D V  36 Lời giải Chọn B S I J C A H B Lấy H trung điểm BC , ta có H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do trục đường trịn ngoại tiếp hình chóp S ABC đường thẳng d qua H vng góc với mặt phẳng  ABC  Mặt phẳng trung trực cạnh bên SA mặt phẳng qua trung điểm I SA song song với mặt phẳng  ABC  Mặt phẳng cắt trục d điểm J Ta có J tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Nhận xét: ta có IJAH hình chữ nhật nên JA  IH  AI  AH  2   5 14     2 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: R  4   243 Thể tích khối cầu là: V   R3        (đvtt) 3 2 Câu 7267: [2H2-3.3-3] [THPT Chun Bình Long -2017]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác có cạnh , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V  15 18 B V  5 C V  Lời giải Chọn C 15 54 D V  3 27 S I K A C G H B Gọi G, K trọng tâm tam giác ABC, SAB Dựng d , d  hai đường thẳng qua G, K vng góc với  ABC  ,  SAB  Dễ thấy d , d  đồng phẳng Gọi I  d  d  Tứ giác GIKH hình vng  GH  15  R  IC  ; GC  6 15 15 15 V    54 Câu 7270: [2H2-3.3-3] [208-BTN-2017]Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Gọi V1 , V2 , V3 thể tích khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.ABCD Tính giá trị P  A P  B P  V1  V2 V3 C P  D P  Lời giải Chọn B  Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có bán kính đáy a 2  a3 nên tích V1     a    a chiều cao a  a  a a  Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính nên tích V2      2  Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính a  a   a3 nên tích V3        2 a3 V V 2 a3  a3 Từ suy V1  V2  Vậy P   :  V3 Câu 7271: [2H2-3.3-3] [Sở GD ĐT Long An-2017] Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh cm Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối chóp A V  125  cm3 B V  100 cm3 C V  500 cm3 D V  250 cm3 Lời giải Chọn D S M I B A E O D C Gọi M trung điểm SC , từ M vẽ đường thẳng vng góc SC cắt SO I Vì I  SO nên IA  IB  IC  ID Vì I nằm mặt phẳng trung trực SC nên IS  IC Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Ta có: AC  AB  10cm  OC  5cm ; SM  Ta có: cos MSI  SC  cm 2 5 2 SM SO SM SC   R  SI   SI SC SO 5  Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: V   53  5  5cm 500  cm3 Câu 7272: [2H2-3.3-3] [TTLT ĐH Diệu Hiền-2017]Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 4 27 B 5 15 C 5 Lời giải Chọn D D 5 15 54 x S y I K C A G M B Dựng trục đường tròn Gx ngoại tiếp tam giác ABC Dựng trục đường tròn Ky ngoại tiếp tam giác SAB Gọi I giao điểm Gx Ky Ta có I cách điểm S , A, B, C  IS  IA  IB  IC  R Ta có: SK  2 3 SM   3 1 3 KI  MG  MC   3 Xét tam giác SKI vng K ta có: R  SI  SK  IK  15 4  15  5 15 Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: V   R      3   54 Câu 7274: [2H2-3.3-3] [BTN 173-2017] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho a , tam giác 3 a3 A V  27 21 a3 B V  18 21 a3 D V  54 3 a3 C V  81 Lời giải Chọn D S p a a I G q A a D H O B a C Gọi O  AC  BD Dựng đường thẳng p qua điểm O vng góc với mặt phẳng  ABCD  => p trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Dựng đường thẳng q qua G vng góc với mặt phẳng  SAB  cắt p I => q trục đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB Khi đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Thật vậy, I  p  IA  IB  IC  ID 1 I  q  IA  IB  IS  2 Từ (1) (2) suy IA  IB  IC  ID  nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD OH đường trung bình tam giác ABC nên OH  BC a   GI 2 a a  3 Vì G trọng tâm tam giác SAC nên SG  SH   a   a 2 7a a 21 R Tam giác SGI vuông G nên SI  SG  IG  R        12   2 2 2 4  a 21  21 a3 Vậy thể tích khối cầu V   R      3   54 Câu 7276: [2H2-3.3-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh-2017]Cho hình hộp ABCD.ABCD nội tiếp hình trụ cho trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến  ABBA , góc DB  ABBA  30o Biết bán kính hình trụ , tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp là? A 12 3 B 10 3 C 11 3 D 13 3 Lời giải Chọn C Hình hộp ABCD.ABCD nội tiếp hình trụ nên hình hộp chữ nhật Gọi O tâm ABCD , E trung điểm AB Ta có: OE  , OA   AD  Xét AEO vng tạo E , có: AE  OA2  OE   AB  Vì AD   ABBA nên AB hình chiếu vng góc DB lên  ABBA   DBA  60o Xét tam giác ABD vuông A có: AB  AD tan 60  , BD  AD2  AB2  12 o Xét tam giác ABB vng B có: BB  AB  AB  11 Thể tích khối hộp VABCD ABCD  BB.S ABCD  11.8.6  96 11 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp R  BD 6 Thể tích khối cầu V   R3  288 Vậy tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp 11 3 Câu 7280: [2H2-3.3-3] [BTN 173-2017]Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V  3 a3 27 B V  21 a3 18 C V  3 a3 81 D V  21 a3 54 Lời giải Chọn D S p a a I G q A a D H O B a C Gọi O  AC  BD Dựng đường thẳng p qua điểm O vng góc với mặt phẳng  ABCD   p trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Dựng đường thẳng q qua G vuông góc với mặt phẳng  SAB  cắt p I  q trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Khi đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Thật vậy, I  p  IA  IB  IC  ID 1 I  q  IA  IB  IS  2 Từ (1) (2) suy IA  IB  IC  ID  nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD OH đường trung bình tam giác ABC nên OH  BC a   GI 2 a a  3 Vì G trọng tâm tam giác SAC nên SG  SH   a   a 2 7a a 21 R Tam giác SGI vuông G nên SI  SG  IG  R        12   2 2 2 4  a 21  21 a3 Vậy thể tích khối cầu V   R      3   54 Câu 7284: [2H2-3.3-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh-2017]Cho hình hộp ABCD.ABCD nội tiếp hình  ABBA trụ cho trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến , góc DB  ABBA  30o Biết bán kính hình trụ , tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp là? A 12 3 B 10 3 C 11 3 D 13 3 Lời giải Chọn C Hình hộp ABCD.ABCD nội tiếp hình trụ nên hình hộp chữ nhật Gọi O tâm ABCD , E trung điểm AB Ta có: OE  , OA   AD  Xét AEO vng tạo E , có: AE  OA2  OE   AB  Vì AD   ABBA nên AB hình chiếu vng góc DB lên  ABBA   DBA  60o Xét tam giác ABD vng A có: AB  AD tan 60  , BD  AD2  AB2  12 o Xét tam giác ABB vng B có: BB  AB  AB  11 Thể tích khối hộp VABCD ABCD  BB.S ABCD  11.8.6  96 11 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp R  BD 6 Thể tích khối cầu V   R3  288 Vậy tỉ số thể tích khối hộp khối cầu ngoại tiếp hình hộp 11 3 Câu 7285: [2H2-3.3-3] [BTN 172-2017] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V  15 18 B V  5 C V  Lời giải Chọn C 15 54 D V  3 27 S N B H M I A O C Gọi O tâm đường tròn tam giác ABC suy O trọng tâm, H trung điểm AB , kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC N ta NO   ABC  , gọi M trung điểm SC , HM cắt NO I Ta có HS  HC nên HM  SC  IS  IC  IA  IB  r NIM  HCS  450 , CN CO 2 6    CN    SM  , SN  Suy CS CH 3 6 12 NM  SM  SN  Ta có NMI vng M tan 45  12 2 Suy r  IC  IM  MC  3 Vậy V   r  NM  IM  NM  IM 12 15 54 Cách khác: Gọi P, Q trọng tâm tam giác SAB ABC Do tam giác SAB ABC tam giác cạnh nên P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác + Qua P đường thẳng vng góc với mặt phẳng  SAB  , qua O dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC  Hai trục cắt I , suy IA  IB  IC  IS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R  IC + Xét IQC : IC  3 Vậy V   R  1  2  15 IG  GC        3  3  2 15 54 Câu 7390:[2H2-3.3-3] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa - 2017] Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ hai phần phía phía khối cầu hai mặt phẳng vng góc với bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng nước Thể tích lu đựng nước là:   A 43 dm3   B 41 dm C 100   dm3  Lời giải   D 132  dm Chọn B Cách1: y dm O x 2 Trong mặt phẳng Oxy ,cho đường tròn  C  : x  y  25 , xét T : y  25  x , T  nửa đường tròn Nếu xoay T  quanh trục Ox ta hình cầu có bán kính Thể tích lu cần tìm thể tích hình giới hạn trục Ox , T  hai đường thẳng x  3 , x  quay quanh trục Ox Vậy V    3  25  x  dx  132 dm  Cách2:   Sử dụng công thức V   h  R  h  để tính thể tích phần thể tích chỏm cầu 3   Với này, h  2dm  V   22   Vậy Vlu  V S   2.V   R3  2  52 dm3    3 52  132  dm3  ... Vậy mặt cầu  S  có bán kính R  OB  29 4  29  29 29 Do thể tích khối cầu  S  là: V   R3      3   Câu 14: [2H 2 -3 . 3- 3 ] (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - LẦN - 2017 - 2018) Cho... kính đường tròn nội tiếp r    4 112 Thể tích hai khối cầu V   r   r ? ?3   3 Câu 32 : [2H 2 -3 . 3- 3 ](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần -2 018 - BTN) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD... [2H 2 -3 . 3- 3 ] [208-BTN-2017]Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a Gọi V1 , V2 , V3 thể tích khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.ABCD Tính