Tên sáng kiến: "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường gặp"

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường gặp" Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, lớp Tác giả: Họ tên: Ngô Văn Điềm; Nam (Nữ): Nam Ngày/tháng/năm sinh: Ngày 10 tháng 05 năm 1975 Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm, chun ngành Tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: Phó Hiệu trưởng- Trường THCS Lê NinhKinh Môn - Tỉnh Hải Dương Điện thoại: 01688432034 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Lê Ninh Địa chỉ: Lê Xá - Lê Ninh-Kinh Môn- Tỉnh Hải Dương Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 12 năm 2015 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Ngơ Văn Điềm XÁC NHẬN CỦA PHỊNG GD&ĐT TĨM TẮT SÁNG KIẾN "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường gặp" Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến: Trong đề thi học sinh giỏi, tốn thường gặp "giải phương trình nghiệm ngun" Khi gặp dạng tốn khơng có phương pháp giải vững học sinh tỏ cịn lúng túng, bỡ ngỡ, khơng biết cách giải Trong tài liệu sách giáo khoa trung học sở (THCS) lại không đề cập đến vấn đề này, tài liệu tham khảo tốn chưa xếp cách hệ thống, chưa đúc rút phương pháp giải nên học sinh khó hiểu Qua số năm giảng dạy mơn tốn, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn, thường xun gặp gỡ, trao đổi với học sinh, nhận thấy rằng: Học sinh khó khăn gặp tốn "giải phương trình nghiệm ngun" Từ đó, ngồi việc giúp em học sinh nắm kiến thức bản, phương pháp giải phải hướng dẫn học sinh biết cách khai thác, mở rộng kiến thức, phát huy tính tích cực tìm tịi Với chút kinh nghiệm thân, mạnh dạn viết nên sáng kiến: "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun thường gặp", sở hướng dẫn học sinh sử dụng cách sáng tạo phương pháp đó, nhằm góp phần nâng cao khả tư toán học cho học sinh Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến: 2.1 Điều kiện, thời gian: - Để học sinh nắm vững vận dụng linh hoạt phương pháp "giải phương trình nghiệm nguyên" giáo viên cần: Hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích, nhận dạng tốn - Việc lựa chọn tập mang tính hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, kiến thức để giải khơng vuợt q chương trình tốn THCS hành 2.2 Đối tượng áp dụng: - Giáo viên giảng dạy toán THCS học sinh THCS đặc biệt em lớp 8, lớp - Sáng kiến áp dụng để giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 3 Nội dung sáng kiến: Sáng kiến có nội dung cung cấp số dạng đặc biệt toán giải phương trình nghiệm ngun, dạng có phân tích, đúc rút phương pháp giải Sáng kiến có tác dụng hình thành cho học sinh tư tốn học chặt chẽ, xác Rèn luyện cho em cách linh hoạt, tự tin gặp dạng tốn Từ xây dựng hệ thống phương pháp kỹ giúp cho học sinh giáo viên có tư liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán học với việc bồi dưỡng học giỏi nhà trường THCS Góp phần trau dồi cho học sinh phẩm chất tính độc lập kiên trì, sáng tạo tích cực tìm tịi giúp em hồn thiện dần phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ q trình học toán Khẳng định giá trị, kết đạt sáng kiến: Trong thực tế giảng dạy giới thiệu áp dụng đề tài mức độ phù hợp với đối tượng học sinh khối lớp 8, lớp học xong số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Những vấn đề trình bày sáng kiến, chưa thật tồn diện song thực bổ ích cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi, coi tài liệu tham khảo giáo viên dạy toán Sáng kiến thực gây hứng thú có tác dụng bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá, giỏi Từ giúp em có đủ tự tin việc học tập nghiên cứu Đề xuất kiến nghị để thực mở rộng sáng kiến: Với sáng kiến: "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường gặp" ví dụ tập, lời giải mẫu mang tính minh họa Để áp dụng sáng kiến địi hỏi thày trị phải tự tìm tịi, sưu tầm thêm tập phù hợp với phương pháp Ta khai thác số phương pháp khác: Sử dụng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, sử dụng phương pháp chia hết tập số ngun MƠ TẢ SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến: Trong đề thi học sinh giỏi, thường gặp tốn "giải phương trình nghiệm ngun" Khi gặp dạng tốn khơng có phương pháp giải vững học sinh tỏ cịn lúng túng, bỡ ngỡ, khơng biết cách giải Trong tài liệu sách giáo khoa THCS lại không đề cập đến vấn đề này, tài liệu tham khảo chưa xếp cách hệ thống, chưa đúc rút phương pháp giải nên học sinh khó hiểu Qua số năm giảng dạy mơn Tốn, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn, tơi nhận thấy rằng: Học sinh ngại gặp toán "giải phương trình nghiệm ngun" khó khăn phân tích để đến lời giải Từ đó, ngồi việc giúp em học sinh nắm kiến thức bản, phân tích tìm phương pháp giải cịn phải hướng dẫn học sinh biết cách khai thác, mở rộng kiến thức, phát huy tính tích cực tìm tịi Với chút kinh nghiệm thân, tơi mạnh dạn trình bày sáng kiến: "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường gặp", sở hướng dẫn học sinh sử dụng cách sáng tạo phương pháp đó, nhằm góp phần nâng cao khả tư tốn học cho học sinh Cơ sở lí luận: Tư hình thức nhận thức lí tính người Về mặt tâm lí tư q trình tâm lí phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tượng thực khách quan mà trước người chưa biết Tư thể phát triển người xã hội Tư không tự nhiên mà có mà q trình rèn luyện lâu dài, muốn tư phát triển cần rèn luyện thường xuyên, học môn khoa học tự nhiên đặc biệt mơn tốn phát triển tư tốt Lứa tuổi THCS phát triển mạnh tư nên giáo viên cần quan tâm không xem nhẹ vấn đề Rèn luyện phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ quan trọng nhà trường phổ thông Trong việc rèn luyện phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh mơn tốn có vị trí bật, giúp học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp tự học phát triển trí thơng minh sáng tạo Thực trạng vấn đề: Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy: Số đơng học sinh chưa có kỹ học tập, đặc biệt kỹ giải phương trình nghiệm nguyên thời gian dành cho việc rèn luyện kỹ chưa nhiều, chương trình sách giáo khoa hồn tồn khơng đề cập đến vấn đề Vì gặp tốn "giải phương trình nghiệm ngun" học sinh lúng túng, khơng biết xuất phát từ đâu, cách giải nào? Do em gặp khó khăn trước tốn Tơi nhận thấy việc luyện cho học sinh có cách nhìn tổng quát loại tập "giải phương trình nghiệm nguyên", với dạng tập có phương pháp giải khác Xuất phát từ sở lí luận thực tiễn thơi thúc thân mạnh dạn trình bày sáng kiến "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun thường gặp" Qua đó, tơi muốn trao đổi với đồng nghiệp số kinh nghiệm mà thực tế giảng dạy cho học sinh mà thực Các giải pháp, biện pháp thực hiện: 4.1 Dạng 1: ax+by=c với a,b,c số nguyên * Phương pháp giải: - Phương pháp 1: Xét tính chia hết hạng tử - Phương pháp 2: Khử ẩn, sử dụng tính chia hết tìm điều kiện để phân số trở thành số nguyên * Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình x + 13 y = 156 (1) - Phương pháp 1: Ta có 13 yM13 156M13 nên x M13 ⇒ x M13 (vì (2,3) = 1) Đặt x = 13k (k ∈ Z ) thay vào (1) ta được: y = −2k + 12  x = 13k (k ∈ Z )  y = −2k + 12 Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  - Phương pháp 2: Từ (1) ⇒ x = 156 − 13 y 13 y 13 y = 78 − ∈ Z Mà , Để x ∈ Z ⇒ 2 (13,2) = ⇒ y M2 Đặt y = 2t (t ∈ Z ) ⇒ x = 78 − 13t  x = 78 − 13t (t ∈ Z )  y = −2t Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  * Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 23x + 53 y = 109 Hướng dẫn giải: Ta có x = 109 − 53 y 23(4 − y ) + 17 − y 17 − y = = − 2y + 23 23 23 Ta phải biến đổi tiếp phân số 17 − y để cho hệ số biến y 23 Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số bội thích hợp 23 17 − y 17 − y + 46 − 46 7(9 − y ) − 46 7(9 − y ) = = = −2 + 23 23 23 23 Từ x = − y + 7(9 − y ) 9− y ∈ Z , (7,23) = , Để x ∈ Z ⇒ 23 23 Đặt − y = 23t (t ∈ Z ) ⇒ y = − 23t  x = − 23t (t ∈ Z )  y = 53t − 16 Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  * Nhận xét: Một cách khái quát, để tìm nghiệm nguyên phương trình ax+by=c với số nguyên a, b, c ta làm sau: Chọn A bội nguyên a cho c + A chia hết cho b, tức A = ma c + A = kb với m, k số nguyên Khi đó: x= c + A − by − A kb − by b (k − y ) = −m= −m a a a Giản ước phải có b b b, để đưa dạng tối giản = , với (a , , b, ) = Muốn x nguyên a a a k−y = t , (t ∈ Z ) Từ suy ra: y = k − a ,t ; x = b,t − m a, * Bài tập tương tự: Bài tập 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình a) x + y = 112 b) x + 19 y = 674 c) 15 x − 49 y = 11 d) 41x − 37 y = 187 e) x + y = 40 Hướng dẫn: e) x + y = 40 Cách 1: Ta có y = 40 − x 40 − x + − 7(7 − x) = = −3 + 3  x = − 3t (t ∈ Z )  y = 7t − Từ đó, nghiệm ngun phương trình là:   x = − 3t > ⇒ Để phương trình có nghiệm ngun dương ta có  Mà t ∈ Z ⇒ t ∈ { 1; 2} Vậy nghiệm nguyên dương (x;y) phương trình (4;4); (1;11) Cách 2: Ta có y = 40 − x 40 − x 40 >0⇒0< x< , x, y > ⇒ Mà 3 x ∈ Z ⇒ x ∈ { 1; 2;3; 4;5} Ta có bảng: x y 11 loại loại Bài tập 2: Bài toán "Trăm trâu, trăm cỏ" 4 loại "Trăm trâu, trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già, ba bó." Hỏi có bao nhiêu: trâu đứng, trâu nằm, trâu già? Hướng dẫn: Gọi số trâu đứng x, số trâu nằm y, số trâu già z (x, y, z nguyên dương nhỏ 100)  x + y + z = 100  x + y + z = 100  x + y + z = 100(1)  ⇒ ⇒ z Theo ta có hệ:  5 x + y + = 100 15 x + y + z = 300 7 x + y = 100(2) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 7x + 4y = 100 (tương tự phương pháp giải tập 1) Bài tập 3: (Trích đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Hải dương 2003) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y = 3200 Hướng dẫn: x + y = 40 , ĐK: x, y nguyên dương Đặt x = m 2; y = n (với m, n số ngun dương) ta có phương trình 3m + 7n = 40 ( Xem lời giải tập 1.e) 4.2 Dạng 2: Dạng phân số * Ví dụ 1: Tìm số nguyên x để phân số sau số nguyên: B = Hướng dẫn: Ta có B = 10 x − 5x − 10 x − 2(5 x − 3) + 2 = = 2+ 5x − 5x − 5x − Với x nguyên, để B có giá trị số nguyên phải số nguyên 5x − ⇒ x − ∈ U (2) từ x = thỏa mãn Nhận xét: Phương pháp giải - Viết phân số cho dạng: "tổng số nguyên phân số mới" (phân số có tử số nguyên) - Tìm điều kiện để phân số trở thành số ngun * Ví dụ 1: Tìm số ngun x để phân số sau số nguyên: B = 5x + 3x + Hướng dẫn: Bài tập dễ dàng viết phân số cho dạng "tổng số nguyên phân số mới" 5x khơng chia hết cho 3x (ở toán 10x chia hết cho 5x) Cách tháo gỡ: B = 5x + 15 x + 5(3 x + 2) − 1 ⇒ 3B = = = 5− (HS tự giải tiếp) 3x + 3x + 3x + 3x + Bài tập 3: Tìm số hữu tỷ x để M = Hướng dẫn: Ta có M = x +6 số nguyên x +1 x +6 = 1+ (1) x +1 x +1 Để M có giá trị số nguyên số nguyên, Đặt x +1 = n, (n ∈ Z ) x +1 = n ⇒ n x = − n Nếu n = ⇒ = (loại) x +1 Nếu n ≠ ⇒ x = 5−n ≥ ⇒ < n ≤ Mà n số nguyên nên n ∈ { 1; 2;3; 4;5} n  Từ x ∈ 16; ; ;   ;0  16  Nhận xét: Bài tập học sinh dễ mắc sai lầm sau: từ (1) để M số nguyên số nguyên ⇒ x + 1∈ U (5) Từ x = 16, x = x +1 Chẳng hạn, ta thấy với x = M = số nguyên Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n để phân số sau tối giản: a) 2n + 13 n−4 b) Hướng dẫn: a) 3n + n+7 c) 9n + 30n + 2n + 13 2(n − 4) + 21 21 2n + 13 21 = = 2+ , Để tối giản ⇔ tối n−4 n−4 n−4 n−4 n−4 giản ⇔ (21, n − 4) = ⇔ n − không chia hết cho không chia hết cho Vậy n ≠ 3k + 1; n ≠ 7t + 4, (k , t ∈ N ) b) Tương tự phần a) 9n + 3(3n + 1) c) 30n + = 5(6n + 1) Mà (3,5) = (3, 6n + 1) = (3n + 1, 6n + 1) = Nên để 9n + tối giản (3n + 1, 5) = 30n + ⇒ (9n + 3,5) = ⇒ (9n − 27 + 30,5) = ⇒ ( n − 3,5) = ⇒ n − ≠ 5b ⇒ n ≠ 5b + 3(b ∈ N ) ( Hay (3n + 1, 5) = ⇒ (3n + − 5,5) = ⇒ (n + 2,5) = ⇒ n + ≠ 5k ⇒ n ≠ 5k − 2, ( k ∈ N )) Bài tập tự giải: Tìm số nguyên x để biểu thức sau có giá trị nguyên: a) x − 13 x −3 b) 5x − 2x −1 c) 2x −1 x +1 d) 6x − x +5 e) 4x − x −3 4.3 Dạng 3: Dạng phân số cực trị *Bài tập 1: Tìm số nguyên x để P = Hướng dẫn: Ta có P = 8− x có giá trị lớn nhất, tìm giá trị 7−x − x − x +1 = = 1+ Xét hai trường hợp: 7−x 7−x 7−x *TH1: Nếu − x < ⇒ P < 10 *TH2: Nếu − x > ⇒ lớn phân số có tử mẫu dương, để P có giá trị 7−x lớn 7− x ⇒ − x số nguyên dương nhỏ ⇒ − x = ⇒ x = Vậy x = P có giá trị lớn là: *Bài tập 2: Tìm số nguyên x để P = Hướng dẫn: Ta có P = 7−x có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị x −5 7−x 7−x ⇒ A = −P = x −5 5− x Để P có giá trị nhỏ A = 7−x có giá trị lớn (tương tự tập 1) 5− x *Bài tập tự giải: Tìm số nguyên x để a) M = c) C = 2x − đạt giá trị lớn x b) D = 14 − x đạt giá trị lớn 4− x x − 19 đạt giá trị nhỏ x−4 4.4 Dạng 4: "Phương trình ước số" - Dạng phổ biến * Phương pháp giải dạng là: - Biến đổi phương trình dạng: A( x; y ).B( x; y ) = c A( x; y), B( x; y) biểu thức nguyên, c số nguyên - Xét trường hợp A( x; y ), B( x; y ) theo ước c * Bài tập 1: (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2009) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − xy + y − x + = Hướng dẫn giải: Cách 1: x − xy + y − x + = ⇔ x − x(2 y + 5) + (2 y + 5) −(2 y + 5) + + 3y + = 4 2 y +  −4 y − 20 y − 25 + 12 y + 28 y +  y2 + 8y −   ⇔x− + = ⇔ x − ÷  ÷ −     2 y +  4( y + 1) − 2y +  −7   ⇔x− =0⇔x− ÷ − ÷ − ( y + 1) =     11 ( x − y − 5) ⇔ −7 2 ⇔ ( x − y − ) − ( y + 1) = −7 4 ⇔ ( x − y − − y − ) ( x − y − + y + ) = −7 ⇔ ( x − y − ) ( x − ) = −7(*) − ( y + 1) = Vì x, y nguyên nên từ PT(*) ta có trường hợp sau: 2 x − y − =  x = −2 ⇔  x − = −7  y = −3 2)   x − y − = −1 x = ⇔ 2 x − = y =1 4)  1)  3)   x − y − = −7 x = ⇔ 2 x − = y =1 2 x − y − = x = ⇔  x − = −1  y = −3 Vậy nghiệm nguyên (x;y) phương trình là: (-2; -3); (2; 1); (5; 1);(1; -3) *Nhận xét: Trong cách giải ta sử dụng phương pháp biến đổi tam thức bậc hai ( ax + bxy + cy , ax + bx + c ): trước hết ta chọn biến để đưa đẳng thức (Bình phương tổng, hiệu) chứa biến đó: ta chọn biến x: x − x(2 y + 5) + (2 y + 5) , phần lại đa thức ta lại làm với biến y: −(2 y + 5) y2 + y − 4( y + 1) − + 3y + = − =− 4 Đây kinh nghiệm quan trọng để biến đổi đa thức thuộc dạng Cách 2: x − xy + y − x + = ⇔ x − x + = (2 x − 3) y Ta thấy x − ≠ , x số nguyên ⇒y= x2 − 5x + x − 20 x + 28 ⇒ 4y = = 2x − + , dạng (Học 2x − 2x − 2x − sinh tự hoàn thiện lời giải) * Bài tập 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − y = xy − 11 Hướng dẫn giải: 15 x − y = xy − 11 ⇒ x(5 − y ) + (5 − y ) − + 11 = 2  −7 2x +  ⇔ ( − y )  x + ÷= ⇔ ( y − 5) = ⇔ ( y − ) ( x + 3) = 7(*) 2 2  Đến ta thấy phương trình (*) "Phương trình ước số" việc hồn thiện lời giải khơng khó (Học sinh tự hồn thiện lời giải tốn) 12 * Nhận xét: - HS gặp khó khăn để tìm phương hướng giải tập này, cách giải hoàn toàn tự nhiên Tuy nhiên ta nhân hai vế phương trình với việc đưa phương trình ước số đơn giản hơn, lời giải lại thiếu tự nhiên (Tại lại nhân với 2?) - HS giải cách khác: Ta có x − y = xy − 11 ⇔ x + 11 = y (2 x + 3) , ta có x + ≠ x số ngun Từ suy ra: y = x + 11 , toán quen thuộc (đã trình bày trên) 2x + 1 1 * Bài tập 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + xy = Hướng dẫn giải: 1 1 Ta có x + y + xy = ⇔ 6x + y +1 = ⇒ x + y + = xy đến ta dễ dàng xy đưa phương trình ước số *Bài tập 4: (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội 2015-2016) Tìm số tự nhiên n để n + n + 30 số phương Hướng dẫn giải: Đặt n + = a ; n + 30 = b với a, b số tự nhiên Suy ra: b − a = 25 ⇔ (b − a)(b + a) = 25 phương trình "Phương trình ước số", học sinh tự hoàn thiện lời giải Bài tập tương tự: 1) Giải phương trình nghiệm nguyên: a) xy − y − = 3x − x ; b) 20 y − xy = 150 − 15 x (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2011-2012); c) x = x( x − y ) + y − x + ; d) x + y + 3xy + 3x + y = 15 ; e) x + y + xy − 20 x − 20 y + 24 = (Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2015-2016) 2) Tìm số nguyên n để n + n + 20 số hữu tỉ 13 Hướng dẫn: Với n số nguyên để n + n + 20 số hữu tỉ n + n + 20 số phương Đặt: n + n + 20 = k , (k ∈ Z ) , đưa phương trình dạng"Phương trình ước số" cách nhân hai vế với 3) Tìm số tự nhiên n để n + 19 n − 48 có giá trị số tự nhiên 4) Tìm số nguyên dương n để n + 26 n − 11 lập phương hai số nguyên dương 5) Tìm tất số ngun n để số sau số phương: a) n + 2n + 12 b) n(n + 3) 4.5 Dạng 5: Dạng mA2 + nB = c với m, n, c số nguyên; A, B biểu thức nguyên *Bài tập 1: (Trích đề thi Học sinh giỏi Huyện Kinh Mơn-Hải Dương 2012) Giải phương trình nghiệm nguyên x − xy + y = 17 Hướng dẫn giải: Ta có x − xy + y = 17 ⇔ ( x − y ) + x = 17 ⇔ ( x − y )2 = 17 − x (*) Xét phương trình (*) ta có ( x − y ) ≥ 0, ∀x, y ⇒ 17 − x ≥ ⇒ x ≤ 17 Mà x số nguyên nên x ∈ { 0;1; 4} - Với x = ⇒ ( x − y )2 = 17 (loại) - Với x = ⇒ ( x − y )2 = 13 (loại) - Với x = ⇔ x = ±2 , 2 − y = y =1 ⇔  − y = −1  y = Với x = ⇒ (2 − y ) = ⇔  2 + y =  y = −1 ⇔  + y = −1  y = −3 Với x = −2 ⇒ (2 + y ) = ⇔  Vậy nghiệm nguyên phương trình là: (2; 1), (2; 3), (-2; -1); (-2; -3) *Bài tập 2: (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2013-2014) Giải phương trình nghiệm nguyên x − xy + y = 2( x − y ) Hướng dẫn giải: Ta có x − xy + y = 2( x − y ) ⇔ x − xy + y − x + y = 14 ⇔ x − x(2 y + 1) + (2 y + 1) − (2 y + 1) + y + y = ⇔ ( x − y − 1) + y − y − = ⇔ ( x − y − 1) + ( y − 1) = 2(*) Việc giải phương trinh(*) tương tự tập (Học sinh tự hoàn thiện lời giải) *Bài tập 3: (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2014-2015) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x − 18 y + z + y z − 18 x = 27 Hướng dẫn giải: Giả thiết ⇔ ( x − 3) − 18 y + z + y z = 54 (1) +) Lập luận để z M3 ⇒ z M3 ⇒ z M9 ⇒ z ≥ (*) (1) ⇔ 3( x − 3) + z + y ( z − 6) = 54(2) (2) ⇒ 54 = 3( x − 3)2 + z + y ( z − 6) ≥ 3( x − 3)2 + 2.9 + y ( x − 3) + y ≤ 12 ⇒ y ≤ ⇒ y = 1; y = y nguyên dương Nếu y = ⇔ y = (1) có dạng: ( x − ) + z = 72 ⇒ z ≤ 72 ⇒ z ≤ 72 ⇒ z = ⇒ z = (vì có(*)) Khi ( x − 3) = 27 ⇒ ( x − 3) = , x nguyên dương nên tìm x=6 2 Nếu y = ⇔ y = (vì y ngun dương) (1) có dạng: ( x − ) + 14 z = 126 ⇒ 14 z ≤ 126 ⇒ z ≤ ⇒ z = ⇒ z = (vì z nguyên dương) x = x =   Suy ( x − 3) = ⇒ x = (vì x nguyên dương) Đáp số  y = 2;  y = z = z =   * Bài tập tự luyện: 1) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x + xy + y = x + y c) x − 3xy + y = y b) x + xy + y = x + y d) x − xy + y = y + 2) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z + y z − 18 x = 15 4.6 Dạng 6: Phương pháp "kẹp giữa" * Nhận xét: - Ở phương pháp ta sử dụng phương pháp "làm trội" để chứng minh bất đẳng thức - Cần lưu ý: Với n, x số nguyên n < x < (n + 1) ;(n + 1) < x < (n + 2) khơng có số ngun x thỏa mãn ( hai số phương liên tiếp khơng có số phương nào); Với n, x số nguyên (n + 1) < x < (n + 3) x = (n + 2) (Tương tự với lũy thừa bậc ba) * Bài tập 1: (Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2013-2014) Tìm số nguyên tố p cho + p + p + p + p số hữu tỉ * Hướng dẫn giải: 1+ p + p + p + p số hữu tỷ ⇔ + p + p + p + p = n , n ∈ ¥ ⇔ + p + p + p3 + p = 4n (1) ⇒ p + p + p < 4n < + p + p + p + p + p ⇔ (2 p + p) < (2n) < (2 p + p + 2) ⇒ (2n) = (2 p + p + 1) Thế vào (1) ta + p + p + p + p = (2 p + p + 1) ⇔ p − p − = Giải pt tìm p = −1 (loại) p = Với p = ⇒ + p + p + p + p = 11 Vậy p = * Bài tập 2: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x3 − y − y − y − = (1) * Hướng dẫn giải: Ta có: x = y + y + y + ⇒ x ≤ y + y + y + + y = ( y + 1)3 , (Vì y ≥ ) Ta có : x3 > y + y + y + − y − 2, (Vì −5 y − < ) ⇒ x3 > ( y − 1)3  x3 = y x = y ⇒ ( y − 1)3 < x ≤ ( y + 1)3 ⇒  ⇔ x = y +1   x = ( y + 1) Từ kết hợp với (1) giải tìm x, y * Bài tập 3: (Trích đề thi Học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm học 2015-2016) 16 Tìm số tự nhiên n để n + n3 + số phương * Hướng dẫn giải: - Nếu n = ⇒ A = khơng số phương - Nếu n = ⇒ A = 25 số phương - Nếu n > ⇒ A = 4n + 4n3 + = 4n + 4n3 + n + − n = (2n + n) + − n < (2n + n) A = 4n + 4n + > 4n + 4n3 + + n − 8n − 4n = (2n + n − 2) ⇒ (2n + n − 2) < A < (2n + n) ⇒ A = (2n + n − 1) ⇔ 4n + 4n3 + = (2n + n − 1) ⇔ 3n + 2n + = , PT vô nghiệm Vậy n = * Bài tập 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình x + ( x + 1)2 = y + ( y + 1)4 Hướng dẫn: Biến đổi phương trình dạng x + x + = y ( y + 1) + y ( y + 1) = ( y + y + 1) = k , k ∈ Z (1) - Nếu x > ⇒ x < x + x + < ( x + 1)2 ⇒ x < k < ( x + 1)2 khơng có số nguyên k thỏa mãn x = ⇒ y + y + = ±1 - Nếu  x =  Ta có nghiệm nguyên phương trình (0; 0), (0; -1), (-1; 0); (-1; -1) - Nếu x < −1 ⇒ ( x + 1) < x + x + < x ⇒ ( x + 1) < k < x khơng có số ngun k thỏa mãn * Bài tập tự luyện: 1) Tìm số nguyên x để x + x + x + x + số phương 2) Tìm số nguyên dương n để n + n + số phương 3) Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) + x + x + x3 = y b) + x + x + x3 + x = y Với sáng kiến: "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun thường gặp" ví dụ tập, lời giải mẫu mang tính minh họa Để áp dụng sáng kiến đòi hỏi thày trị phải tự tìm tịi, sưu tầm thêm tập 17 phù hợp với phương pháp Ta khai thác số phương pháp khác: Sử dụng cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, sử dụng phương pháp chia hết tập số nguyên, Phần giành cho bạn đọc tiêp tục mở rộng, khai thác Tóm lại: Khi áp dụng tập nội dung sáng kiến vào trình giảng dạy học sinh giỏi, tơi thấy học sinh có hứng thú học tập Các em biết phát kiến thức tìm mối liên hệ chúng Do tập không trở nên nặng nề sức học tập em Thông qua tốn đó, tơi hi vọng em có thêm kĩ vận dụng vào giải tốn, góp phần hình thành tư phân tích, óc sáng tạo, phát triển lực toàn diện cho em học sinh Kết đạt được: - Trước áp dụng sáng kiến "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun" Tơi thấy em cịn lúng túng khơng biết làm nào, đâu, có cách giải tổng quát không? - Khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy 10 tiết nhận thấy em trở lên tự tin, vững vàng say sưa Bước đầu em biết vận dụng "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên" để làm tập sáng kiến Điều kiện để sáng kiến nhân rộng: Các toán "giải phương trình nghiệm nguyên" đa dạng phong phú, có nhiều phương pháp giải, trình dạy học người thày cần cung cấp cho học sinh đầy đủ phương pháp, để học sinh nắm chất phương pháp; giao tập, hướng dẫn em lựa chọn tập loại loại sách để rèn luyện Thày cần động viên, khuyến khích em độc lập, tư sáng tạo việc phân tích tìm hướng giải cần giải toán nhiều cách khác 18 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận: Trong trình tìm tịi nghiên cứu, kết hợp với tư liệu tích luỹ được, qua q trình giảng dạy với tham gia đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp sáng kiến hoàn thành Với lựa chọn toán đưa sáng kiến nhằm mục đích giúp em nắm phương pháp " giải phương trình nghiệm ngun", qua giúp em phát triển tư sáng tạo trình giải tốn Trong thực tế giảng dạy, tơi giới thiệu áp dụng sáng kiến mức độ phù hợp học sinh học xong phương pháp " giải phương trình nghiệm nguyên" sáng kiến với đối tượng học sinh khối lớp 8, lớp Những vấn đề trình sáng kiến chưa thật toàn diện song thực bổ ích cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi, coi tài liệu tham khảo giáo viên dạy toán Sáng kiến thực gây hứng thú có tác dụng bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá, giỏi Từ giúp em có đủ tự tin việc học tập nghiên cứu Khuyến nghị: 2.1 Đối với Phòng giáo dục, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu tư mở nhiều chun đề mơn tốn để bồi dưỡng cho giáo viên đặc biệt bồi dưỡng giáo viên ôn thi học sinh giỏi nhằm nâng cao trình độ, phương pháp, lực sư phạm cho giáo viên dạy học 2.2 Đối với nhà trường: 19 Luôn tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên học tập bồi dưỡng chuyên môn, cần tổ chức nhiều đợt hội giảng, hội thảo liên trường giúp giáo viên học tập trao đổi với đồng nghiệp trường bạn 2.3 Đối với tổ, nhóm chun mơn: Cần thường xuyên tổ chức buổi sinh hoạt nhóm chuyên mơn có hiệu quả, sâu bàn luận vướng mắc trình giảng dạy, xây dựng chuyên đề mang tính thiết thực, có ứng dụng thực tế cao 2.4 Đối với giáo viên: Phải có đủ tài liệu, chịu khó đọc tài liệu tham khảo, tự bồi dưỡng chun mơn, từ có kiến thức vững chắc, có phương pháp phù hợp, đồng thời học tập ý kiến hay, kinh nghiệm tốt đồng nghiệp, hạn chế sai sót mắc phải Trên "Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường gặp" Trong trình nghiên cứu sáng kiến giúp thân tự tin hơn, say sưa với nghề nghiệp Các em học sinh sau học chuyên đề thấy mở mang nhiều Biết cách áp dụng vào "giải phương trình nghiệm nguyên" Tuy nhiên, với cố gắng thân q trình viết khơng tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp chân thành Hội đồng khoa học, quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện có ứng dụng thiết thực Tơi xin trân trọng cảm ơn ! 20 CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên tài liệu Tên tác giả Nâng cao phát triển tốn Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển tốn Vũ Hữu Bình 351 toán số học chọn lọc Nguyễn Đức Tấn Tuyển tập đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh THPT chuyên tỉnh 21