sáng kiến: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN: 1.Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 9, HS ôn thi vào PTTH trường THCS Tân Lập Tác giả: Họ tên: Thiệu Thị Hà - Nữ Ngày sinh 05 tháng 02 năm 1984 Trình độ chun mơn : Đại học sư phạm tốn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THCS Tân Lập – huyện Vũ Thư – tỉnh Thái Bình Điện thoại : 0987973568 Email:thieuha3568@gmail.com Đồng tác giả: Không Chủ đầu tư: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị : Trường THCS Tân Lập Địa : Xã Tân Lập – huyện Vũ Thư – tỉnh Thái Bình Điện thoại : 0227.3882288 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng năm 2019 II BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 9, HS ôn thi vào PTTH trường THCS Tân Lập Mô tả chất sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp Tốn học ln mơn có tính thử thách với tất em học sinh nhận thức tư Muốn học tốt mơn ngồi việc tích luỹ kiến thức mà cịn phải có lực tư phương pháp qiải toán Giải phương trình dạng tập đa dạng phong phú Trong có dạng giải phương trình vơ tỉ dạng tốn khó mơn đại số trung học sở nói chung đại số lớp nói riêng Ta hay bắt gặp tập tập nâng cao đại số đề thi vào PTTH, trường chuyên, lớp chọn Dù lượng tập sách giáo khoa không nhiều phương pháp giải phong phú thời lượng chương trình trình độ học sinh khác nhau, dạng tập đa dạng, phong phú thường dành cho học sinh giỏi Tôi thấy việc làm chuyên đề cần thiết, giúp cho em có nhìn rõ nét dạng phương trình có phương pháp giải gặp dạng tập này, không thấy ngại ngùng gặp Tơi giáo viên trẻ, cịn kinh nghiệm chun mơn đề tài chắn cịn nhiều thiếu sót, tơi mong góp ý đồng nghiệp bạn bè để đề tài hoàn thiện kiến thức bổ sung Tôi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Nội dung giải pháp a) Mục đích SKKN : Hệ thống phương pháp giải phương trình vơ tỉ - Phần giúp cho học sinh có nhìn rõ nét dạng phương trình có phương pháp, kĩ giải gặp dạng phương trình Bổ sung thêm kiến thức cho thân góp phần nhỏ vào tư liệu đồng - nghiệp - Tôi mạnh dạn đưa SKKN nhằm để bổ sung góp ý đồng nghiệp thiếu sót b)Nội dung sáng kiến b.1.Định nghĩa phương trình vơ tỉ Các phương trình đại số chứa ẩn dấu gọi phương trình vơ tỉ Hay nói cách khác phương trình có dạng f(x) = f(x) hàm chứa thức biến số Để giải phương trình này, phải khử dấu Sau số phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ:  Chú ý: k +1 2k A phải thoả mãn A ≥ B thoả mãn với B b.2.Các công thức :  g ( x) ≥ n f ( x) = g ( x) ⇔  2n  f ( x) = g ( x) 1) 2) n f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) = g n +1 ( x) 3) 4) n+1  f ( x) = g ( x) f ( x) = n g ( x) ⇔   f ( x) ≥ f ( x) = n +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x)  f ( x ) = g ( x)   g ( x) ≥ 2n 2n 2n 5) f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) 6) f n+1 ( x) = g n +1 ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) b.3.Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ b.3.1 Phương pháp nâng lên luỹ thừa + Khử cách nâng luỹ thừa hai vế + Khi nâng lên luỹ thừa cần ý : - Đặt điều kiện để biểu thức bậc chẵn không âm - Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa phép biến đổi tương đương Hay gặp : Dạng 1:  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x) Dạng 2:  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x ) Ví dụ 1: Giải phương trình: + 2x − = x (1) Giải: Điều kiện xác định phương trình là: 2x – ≥ x ≥ tách riêng thức vế ta được: 2x − = x − Ta phải có thêm điều kiện: x – ≥ x ≥ 3 (2) (3) (4) Với điều kiện (4) PT(3) 2x – = (x – 3)2 (5) 2x – = x2 – 6x + x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6) = x1 = 2; x2 = giá trị x1 = không thoả mãn ĐK (4) loại x2 = thoả mãn ĐK (2) (4), nghiệm phương trình Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Nhận xét a) Nếu không đặt điều kiện x – ≥ (3), ta sai lầm nhận x = nghiệm (1) Chú ý từ (3) suy (5) từ (5) suy (3) với điều kiện x – ≥ b) Có thể bình phương hai vế (1) với điều kiện x ≥ (điều kiện có 2x – ≥ 0), lời giải không ngắn cách tách riêng thức vế Ví dụ 2: Giải phương trình: x −1 − x −1 = 3x − Giải: Điều kiện xác định phương trình x ≥ Chuyển vế ta có x −1 = x −1 + x − (1) (2) Bình phương hai vế ta được: x − = x − + x − + 15 x − 13 x + − x = 15 x − 13 x + (3) Đến có hai cách giải Cách 1: Với điều kiện – 7x ≥ x ≤ PT(3) – 28x +49x2 = 4(15x2 – 13x +2) 11x2 – 24x + = (11x – 2)(x – 2) = x1 = giá trị x1 = ; x2 = 11 không thoả mãn điều kiện (1), loại 11 giá trị x2 = không thoả mãn (5), loại Vậy phương trình vơ nghiệm (4) (5) Cách 2: Ta phải có – 7x ≥ x ≤ , điều trái với điều kiện (1) x ≥ Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: giải phương trình: x +1 + x = (1) Giải: Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a +b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) ta x + + x + 33 x( x + 1) (3 x + + x ) = Thay (2) x + + x = vào (2) ta có x + + 33 x(2 x + 1) = (3) 33 x(2 x + 1) = −x (4) x(2x +1) = -x3 x(2x + + x2) = x(x + 1)2 = x1 = 0; x2= -1 Thử lại: - với x1 = thỏa mãn (1) - với x2 = -1 không thoả mãn (1), loại Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Nhận xét: Các phương trình (1) (2) hai tương đương, phương trình (2) (3) không tương đương Từ (2) ruy (3), từ (3) không suy (2) Do sau tìm nghiệm (3) -1, phải thử giá trị vào (1) để chọn nghiệm (1) Bài tập áp dụng : Giải phương trình : a) x + + x = x + b) x − + 3x + = x + ( đáp số : x=4) ( Đáp số : x=1 ) b.3.2 Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối * Định nghĩa giá trị tuyệt đối:  A( A ≥ 0) A = − A( A〈 0) * Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x −1 + x − x −1 = (1) Giải: Điều kiện x ≥ PT (1) x − + x − + + x −1 − x − + = ( x − + 1) + ( x − −1) = x −1 + + x −1 −1 = x −1 + + x −1 −1 = x −1 + x − −1 = - Nếu x > , PT (2) (2) x −1 + x −1 −1 = x −1 = x −1 = x = không thuộc khoảng xét loại - Nếu ≤ x ≤ , PT (2) số nghiệm với ≤ x ≤ x − + − x −1 = ln đúng, phương trình vơ Vậy phương trình (1) có nghiệm ≤ x ≤ Ví dụ 2: Giải phương trình: x + − x −1 + x + − x −1 = Giải: Điều kiện x ≥ PT (3) x −1 − x −1 + + x −1 − x −1 + = ( x −1 − 2) + ( x −1 − 3) = (3) x −1 − + x −1 − = (4) - Nếu ≤ x < PT (4) − x −1 + − x −1 = x −1 = x = không thuộc khoảng xét loại - Nếu ≤ x ≤ 10 PT (4) x −1 − − x −1 + = 0x = 0, phương trình vơ số nghiệm x −1 − + x −1 − = - Nếu x > 10 PT (4) x −1 = x = 10 không thuộc khoảng xét loại Vậy phương trình (3) có nghiệm ≤ x ≤ 10  Bài tập áp dụng : x + x −1 + x − x −1 = Giải phương trình : x+3 ( Đáp số: x=1; x=5) b.3.3 Phương pháp nhân với biểu thức liên hợp tương ứng Ví dụ 1: Giải phương trình : x + x + = x (1) Giải: Điều kiện : x>0 ( Ta có x +1 + x )( ) x +1 − x = Do nhân chia vế trái pt cho biểu thức liên hợp ta có: (1) ⇔ ⇔ ⇔ ( x +1 + x )( x +1 − x x +1 − x x +1 − x = )= x x x = x +1 − x ⇔ 4x = x + ⇔x= ( thoả mãn) Vậy phương trình có nghiệm ⇔ x = b.3.4 Phương pháp đưa phương trình tích Ví dụ : Giải phương trình : x − x + + x − x + = x − x + (1)  x − 3x + ≥ ( x − 1)( x − ) ≥ x ≤1   (*) ĐKXĐ:  x − x + ≥ ⇔ ( x − 1)( x − 3) ≥ ⇔  x ≥  x − 5x + ≥ ( x − 1)( x − ) ≥   Giải : Khi (1) ⇔ x − 1( x − + x − − x − ) =  x −1 = ⇔  x−2 + x−3 = x−4 x = ⇔  VN Vậy x= nghiệm phương trình b.3.5 Phương pháp đặt ẩn phụ Đây phương pháp khó nên tơi đưa nhiều ví dụ Có hai hướng đặt ẩn phụ : Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình hai ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + x + x + = 33 (1) Giải: x + x + x + x + = 33 x + x + + x + x + − 42 = 2 Vì x + x + = 2( x + (2) 63   x + ) = 2( x + 2.x + ) +  16 16   2 63   = 2( x + ) +  > với x 16   Đặt y = 2 x + x + (y > 0), PT (6) có dạng: y + y – 42 = => y = (thoả mãn) y = -7 (loại) - Với y = 6, ta có 2 x + x + = 2x + 3x – 27 = x1 = 3; x2 = Vậy phương trình (1) có nghiệm x1 = 3; x2 = −9 −9 Ví dụ 2: Giải phương trình: (1) x + 21x + 18 + x + x + = Giải: x + 21x + 18 + x + x + = x + 21x + 21 − + x + x + = 3( x + x + 7) − + x + x + = Đặt (2) 2 x + x + = y (y ≥ 0) x + x + = y PT (2) có dạng: 3y2 + 2y – = y = −5 (loại); y = (thoả mãn) - Với y = x + x + = x + x + = x1 = -1; x2 = -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1 = -1; x2 = -6 Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ hai phương trình làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ Ví dụ 3: Giải phương trình: x +1 + x = x = b 2x + = a3 x = b3, nên ta có 2b3 + = a3 hay a3 – (1) Giải: Đặt x + = a 2b3 = 1(*) Mà PT (1) có dạng: a + b = => b = – a thay vào (*) ta a3 – 2(1 – a)3 = a3 – + 2(a – 1)3 = (a – 1)(a2 + a + 1) + 2(a – 1)3 = (a – 1)[a2 + a + +2(a – 1)2] = Do a2 + a + +2(a – 1)2 > nên a = Suy b = Với a = b = x = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ 4: :Giải phương trình: + x + − x + (1 + x)(8 − x) = Giải ĐK: − ≤ x ≤ Đặt t = + x + − x (đk t ≥ 0) ⇒ t = + x + − x + (1 + x)(8 − x) t2 −9 ⇒ (1 + x)(8 − x) = Khi phương trình cho trở thành: t2 −9 t+ =3 t = −5(loai) ⇔ t + 2t − 15 = ⇔  t = 3(t / m) Với t=3, ta có: 1+ x + − x = ⇔ + x + − x + (1 + x)(8 − x) = ⇔ (1 + x)(8 − x) =  x = −1 ⇔ x = (thoả mãn (*)) Vậy phương trình cho có nghiệm là: x1=-1 x2=8 Lưu ý : phương trình giải theo cách đưa phương tích Ví dụ 5: Giải phương trình: 2x2 + 3x + x + 3x + = 33 (*) Giải: * ⇔2x2 + 3x +9 + x + 3x + - 42 = Đặt y =   27  x + x + 3x + (y > 2x + 3x +9 =  ÷ +  > 0) 2   2 Ta có y2 + y – 42 = ⇔(y – ) ( y + ) = ⇔y1 = ; y2 = -7 (Loại) Suy x + 3x + = ⇔2x2 + 3x – 27 = ⇔(x – 3)(x + ) = ⇔x1 = ; x2 = - * Bài tập áp dụng 10 Giải phương trình sau: 1) x + x + = 2) ( x − 3)( x + 1) + 4(( x − 3) x +1 = −3 x−3 3) x − 3x + + x − 3x + = b.3.6.Phương pháp bất đẳng thức Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vơ tỉ thể nhiều dạng: Chứng tỏ phương trình vơ nghiệm có vế ln nhỏ vế Ví dụ: Giải phương trình: x −1 − x −1 = x − (10) Bằng cách chứng tỏ với điều kiện xác định phương trình, có vế phương trình ln nhỏ vế Giải: Điều kiện để xác định (10) x ≥ Với điều kiện x < 5x, x −1 < x −1 suy vế trái (10) số âm, cịn vế phải khơng âm Phương trình vơ nghiệm Sử dụng tính đối nghịch hai vế ( phương pháp đánh giá) Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (11) Giải: Ta có Vế trái (VT): x + x + + x + 10 x + 14 = 3( x + 1) + + 5( x + 1) + ≥ + = Vế phải (VP): − x − x = – (x + 1)2 ≤ Vậy để VT = VP hai vế (11) 5, x = -1 Vậy phương trình (11) có nghiệm x = -1 Ví dụ 2: Giải phương trình x − + x + = 11 Giải : + Điều kiện : x ≥ -1 Ta thấy x = nghiệm phương trình Với x > x − > ; x + >2 nên vế trái phương trình lớn Với -1 ≤ x < x − < ; x + < nên vế trái phương trình nhỏ Vậy x = nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: 3− 4x + x + =-16x2-8x+1 (1) Giải ĐK: − ≤ x ≤ ( Ta có (*) − 4x + 4x + ) = − x + (3 − x)(1 + x) + + x = + (3 − x)(1 + x) ≥ ⇒ − x + + x ≥ (2) Lại có : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 ≤ (3) Từ (2) (3) ta có:   − x + + x = 3 − x + (3 − x)(1 + x ) + + x = (1) ⇔  ⇔  − 16 x − x + =  16 x + x + =  (3 − x)(1 + x) =  ⇔ −1 x =   x =    1 ⇔  x = − ⇔x=− (thoả mãn(*)) 4   x = −  Vậy phương trình cho có nghiệm x = − Bài tập luyện tập Giải phương trình sau: 1) − x − + x + x + = −4 x − x 2) x − x + + x − = 12 Sử dụng tính đơn điệu hàm số Ví dụ: Giải phương trình: x +1 + x = (1) Giải:(Bằng cách chứng tỏ x = nghiệm phương trình.) Ta thấy x = nghiệm phương trình (1) +) Với x > x + > x > nên vế trái (1) lớn +) Với x < x + < x < nên vế trái (1) nhỏ Vậy x = nghiệm phương trình (1) Sử dụng điều kiện xẩy dấu “=” bất đẳng thức khơng chặt Ví dụ: Giải phương trình: x 3x − + =2 x 3x − (13) Giải: Điều kiện x > (*) Ta có bất đẳng thức a b + ≥ với a > 0, b > 0, xẩy đẳng thức (dấu “=”) b a a = b Với x > PT (13) x = x − x2 – 3x + = (x – 1)(x – 2) = x1 = 1; x2 = (thoả mãn *) Vậy phương trình (13) có nghiệm x1 = 1; x2 = b.3.7 Phương pháp điều kiện cần đủ Ví dụ 1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4− x + x+5 = m Giải: Điều kiện cần: Nhận thấy phương trình có nghiệm x0 (-1-x0 ) nghiệm phương trình Do để phương trình có nghiệm 13 x0 = −1 − x0 ⇔ Thay x0 = − x0 = − m=3 2 vào phương trình cho ta được: Điều kiện đủ: Với m = phương trình cho trở thành: 4− x + x+5 =3 4 − x ≥  ⇔ x + ≥  ( − x + x + ) = 18 x ≤  ⇔  x ≥ −5  4 − x + ( − x)( x + 5) + x + = 18 − ≤ x ≤ − ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 2 ( − x)( x + 5) = 4(4 − x)( x + 5) = 81 − ≤ x ≤  ⇔ ⇔x=−  x = − − ≤ x ≤ ⇔ 4 x + x + = Vậy với m = phương trình cho có nghiệm Lưu ý: phương trình giải phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số c.Bài tập vận dụng Giải phương trình sau: Bài 1: a) x + − x − =1 b) 15 − x + − x = e) x −1 − x + = c) x + + 10 − x = f) x + − 3x − = x +1 − 3x + = d) Bài 2: a) x − x −1 − x − = b) x + x −1 − x − x −1 = c) x + 6x − + x − 6x − = 14 Bài 3: a) x2 − 4x + − x2 − 6x + = b) x + − x + x + − x =1 c) x + − x + + x + 11 − x + = d) x + − x − + x + − x − =1 a) x −1 + x − = b) x + 15 − x + 17 = c) x −1 + x + + ( x −1)( x − x + 5) = − x d) x + + x + 10 = Bài 4: x +1 x +2 x +2 + x +5 Bài 5: x −1 =3 x −2 − x + x − x + + ( x − 2) a) b) ( x − 2)( x + 2) + 4( x − 2) 2+ x c) + 2+ x + x +2 = −3 x −2 2− x − 2− x = Bài 6: a) x +1 + − x = b) 25 + x + 3 − x = c) x + − − x =1 d) + x − 16 = x + Bài 7: a) − x2 + + x + − x = b) − 2x = − x + − x Hướng dẫn 7: a) Đặt + x = a ≥ 0, – x = b ≥ Ta có a + b = 15 ab + a + b = Theo bất đẳng thức cô-si mn ≤ m+n , ta có a b + a + b ≤ 3= a + b +1 ≤ a + b 1+ a 1+ b + + = 2 a +b 1+ a 1+b + +1 = + =3 2 Đẳng thức xảy a = b = Do x = b) Đặt 1− x = a ≥ , Ta có: a + b = 4 − x = b ≥ Diều kiện x ≤ (*) 4 2 a + b (a + b) = a + b 2ab(2a + 3ab + 2b ) = Nếu a > 0, b > 2a2 + 3ab + 2b2 > Do a = b = Suy x = x = Loại x = trái với điều kiện (*) 3.3.Khả áp dụng sáng kiến: - Có thể áp dụng cho HS giỏi lớp 9, HS đội tuyển bồi dưỡng HSG lớp giai đoạn ôn thi vào THPT trường THCS Tân Lập 3.4.Kết quả: - Khi áp dụng vào trình giảng dậy cho đối tượng HS giỏi tơi nhận thấy hs có hứng thú học tập Các em nhận biết phương pháp áp dụng cho Do tập không nặng nề với em rèn kĩ từ đầu nên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ .đa số em biết cách làm - Học sinh dễ hiểu bài, tiếp thu cách thoải mái em hiểu chất phương pháp, hiểu sâu sắc sở dẫn đến cách giải tập Từ tạo điều kiện cho em học sinh tự tin, say sưa phấn khởi học tập - Sau áp dụng, kết khảo sát nhóm lớp giỏi cho thấy số học sinh nắm vững phương pháp giải phương trình vơ tỉ vận dụng làm tốt tập 81,7% 3.5 Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu: Giáo viên dạy tốn khối 9,ơn thi tốn vào TH PT trường THCS Tân Lập 3.6 Các thông tin cần bảo mật : (Khơng có) 3.7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Về trình độ chuyên môn: Tốt nghiệp Cao đẳng sư phạm trở lên Về sở vật chất: Máy tính, máy chiếu phục vụ cho việc dạy học 16 3.8 Tài liệu kốm ( Khơng có) Cam kết khơng chộp vi phạm quyền Tôi xin cam kết nội dung trình bày sáng kiến suy nghĩ việc làm áp dụng vào thực tế trường THCS Tân Lập từ năm học 2019- 2020 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Tân Lập, ngày 10 tháng năm 2020 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Xác nhận) (Kí tên, đóng dấu) Thiệu Thị Hà 17