Một số phương trình lợng giác thường gặp

1- Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . Dạng : asinx + b = 0 ( a,bR ; a0 ) asin 2 x + bsinx +c = 0 ( a,b,cR ; a0 ) .Cách giải : Đặt sinx = t ( | t | 1 ) . Đưa phương trình về phương trình bậc nhất ( bậc hai) theo t 2- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Một số phương trình lượng giác thường gặp Đ2 2 - Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx * Dạng : asinx + bcosx = c (1) a, b, c R và a 0 , b 0 * Cách giải : Cách 1: Vì a 0 , chia hai vế của phương trình(1) cho a a b = tg ta được: sinx + tg cosx = a c a c cos sin(x +) = a c cos rồiđặt sinx + cos sin cosx = a c sinx cos + cosx sin = VÝ dô 1 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau 333 =+ xcosxsin Gi¶i : 3 3 cosx = 1 ⇔ sinx + 1 6 = π xcostg 6 π ⇔ cosxsin 66 π = π + cossinxcos )xsin( 6 π +⇔ 3 π = sin π+ π = π + 2 36 kx π+ π −π= π + 2 36 kx ⇔ sinx + (a) cho 3 ta ®­îc : Chia hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (a) 1 6 6 = π π +⇔ xcos cos sin xsin ⇔ π+ π = 2 6 kx π+ π = 2 2 kx C¸ch 2: V× a≠ 0 , b ≠ 0 nªn 22 ba + , ta ®­îc: 22 ba a + 22 ba b + 22 ba c + sinx+ cosx = (2) 22 ba b + = sin β 22 ba a + = cosβ ; Khi ®ã (2) cã d¹ng: 22 ba c + Hay: sin(x + β) = 22 ba c + Nªn ta cã thÓ ®Æt:V× : 2 22 ba a         + + 2 22 ba b         + = 1 (3) cosβsinx + sinβ cosx = asinx + bcosx = c (1) a, b ,c ∈ R vµ a ≠ 0 , b ≠ 0 22 ba + ≠ 0 Chia hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1) cho Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: 42225 =+ xcosxsin (b) Chia 2 vế phương trình (b) cho 22 ba + 345 =+= ta được : 3 4 2 3 2 2 3 5 =+ xcosxsin Vì : 1 3 2 3 5 2 2 = + nên ta đặt ;cos 3 5 = 3 2 =sin (b) phương trình (b) trở thành cos sin2x 3 4 2 =+ xcossin 3 4 2 =+ )xsin( PT cuối vô nghiệm vì 1 3 4 > PT đã cho vô nghiệm * Chú ý : 1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi : c 2 a 2 +b 2 2 x sinx = cosx = 2 t1 t2 + 2 2 t1 t1 + ; Phương trình (1) trở thành : 2 t1 t2 + + b 2 2 t1 t1 + = c a (b+c)t 2 - 2at + c - b = o (x +k2) 2) Có thể đưa phương trình (1) về một phương trình đại số theo t = tg bằng cách áp dung các công thức 3)Phương pháp đưa vào đối số phụ thích hợp cho các phương trình với hệ số bằng số , phương pháp chuyển sang t = tg 2 x thích hợp cho các phương trình chứa tham số Bài toán : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2xcos 3xsin + Tập xác định : D = R Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 326 + 3 326 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 326 3 326 + y 0 (2y 0 +3 ) 2 1 + y 0 2 3y 0 2 + 12y 0 + 8 0 Giải: y 0 cosx + 2y 0 = sinx - 3 Gọi y 0 là một giá trị của hàm số Ta có : y o = 2xcos 3xsin + PT (*) có nghiệm sinx - y 0 cosx = 2y 0 + 3 ( * ) có nghiệm 2xcos 3xsin + PT y 0 = . . Đưa phương trình về phương trình bậc nhất ( bậc hai) theo t 2- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Một số phương trình lượng giác thường gặp Đ2. trình đại số theo t = tg bằng cách áp dung các công thức 3 )Phương pháp đưa vào đối số phụ thích hợp cho các phương trình với hệ số bằng số , phương pháp