Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 106 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
106
Dung lượng
1,8 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Sưu tầm tổng hợp CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số học - Căn bậc hai số thực a không âm số thực x cho x = a * Chú ý: +) Số dương a có hai bậc hai, hai số đối nhau: - Số dương kí hiệu a - Số âm kí hiệu − a +) Căn bậc hai số +) Số âm khơng có bậc hai - Với số a khơng âm, số - Ta có a gọi bậc hai số học a x ≥ a= x ⇔ x = a - So sánh hai bậc hai số học: a < b ⇔ ≤ a < b Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số, ta gọi A thức bậc hai A - Biểu thức A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị không âm - Hằng đẳng thức A A ≥ A= A = − A A < Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương - Khai phương tích:= A.B - Nhân bậc hai: A= B A = B - Khai phương thương: - Chia bậc hai: A = B A B ( A ≥ 0, B ≥ 0) A B A.B ( A ≥ 0, B ≥ 0) A B ( A ≥ 0, B > 0) ( A ≥ 0, B > ) Biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai - Đưa thừa số dấu căn: Với A ≥ B ≥ Với A < B ≥ A2 B = A B A2 B = − A B - Đưa thừa số vào dấu căn: Với A ≥ B ≥ A B = A B Với A < B ≥ A B = − A B Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com - Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai: Với A.B ≥ B ≠ A = B AB B - Trục thức mẫu : A A B B • Với B > • Với A > A ≠ B2 • Với A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B B = C = A±B C( A B) A − B2 C A± B = C ( A B) A− B Căn bậc ba: - Căn bậc ba số thực a số thực x cho: x = a , kí hiệu a - Mọi số thực a có bậc ba Căn bậc ba số dương số dương; số âm số âm; - Các công thức liên quan đến bậc ba: A < B ⇔ A < B Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 A= A.B = A B A = B B ⇔ A = B A B với B ≠ TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com B DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Phương pháp giải: B1: Tìm điều kiện xác định biểu thức (nếu đề chưa cho) Sau phân tích mẫu thành nhân tử, đổi dấu (nếu cần) B2: Quy đồng mẫu phân thức thực phép toán cộng, trừ phân thức theo quy tắc (nếu có) B3: Rút gọn phân thức thu kết luận GV nên nêu ý cho học sinh làm dạng sau: - Rút gọn phân thức hạng tử biểu thức (nếu có thể) trước quy đồng mẫu - Yêu cầu “Rút gọn biểu thức P” thay “Chứng minh P = ” Ta chia tốn rút gọn biểu thức thành nhóm tập sau: Một số dạng biểu thức thường gặp: Ta chia tốn rút gọn biểu thức thường gặp thành nhóm tập sau: 2.1 Nhóm 1: Mẫu biểu thức có dạng liên hợp bậc hai x − 1; x + 1; x − chọn mẫu Lưu ý cho học sinh mẫu biểu thức có dạng x − 2; x + 2; x − chọn mẫu chung x – 4; chung x – 1; Ví dụ 1: Cho biểu thức P = x +1 x −1 x − với x ≥ 0; x ≠ − + 1− x x −1 x +1 1.1 Rút gọn biểu thức P 1.2 Chứng minh P = −4 x +1 Hướng dẫn: 1.1 P = P= x +1 x −1 x − − + = 1− x x −1 x +1 x +1 x −1 − − x −1 x +1 −4 x + = x −1 x +1 ( Vậy P = )( ( x −4 )( x +1 x −1 x − − − x −1 x −1 x +1 ) x −1 x +1 ( ) −4 x − = x −1 x +1 ) ( )( ) ( = ) ( x − 1) − ( x − 1)( x + 1) x +1 − x +4 −4 x +1 −4 với x ≥ 0; x ≠ x +1 1.2 Làm tương tự 1.1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com với x ≥ 0; x ≠ − : x +3 x −3 x −3 Ví dụ 2: Cho biểu thức = A 1.1 Rút gọn biểu thức A 1.2 Chứng minh A = x +3 Hướng dẫn: ( )( x +3− A= : − = x +3 x −3 x −3 x −3 ( ) x + 3) x −3 x −3 = ( x −3 )( x +3 ) x −3 x +3 A= x ≥ 0; x ≠ x +3 Vậy A = 1.2 Làm tương tự 1.1 2.2 Nhóm 2: Mẫu biểu thức có dạng nhân tử Lưu ý cho học sinh mẫu biểu thức có dạng ax + b x ; a x + b chọn mẫu chung ax + b = x ( x a x +b ) x −1 x +1 + x x+ x x = B x +1 Ví dụ: Với x > 0, cho hai biểu thức: A = 1.1 Rút gọn biểu thức B 1.2 Chứng minh A : B = x x +2 Hướng dẫn: 1.1 Với điều kiện đề cho: B= B = x −1 x +1 x −1 + = + x x+ x x x −1+ x +1 = x x +1 Vậy B = ( ) x +1 x ( x+2 x = x x +1 ( ) ) x +1 ( ( ( = )( x −1 x ) ) x x +2 = x x +1 ) x +1 + x +1 ( ) x +1 x +2 x +1 x +2 với x > x +1 1.2 Rút gọn B = x +2 , suy A : B = x +1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 x x +2 = : x +1 x +1 x x +1 = x +1 x + x x +2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy A : B = x với x > x +2 2.3 Nhóm 3: Mẫu biểu thức có dạng tam thức bậc hai x + a; x + b; x + ( a + b ) x + ab Lưu ý cho học sinh mẫu biểu thức có dạng chọn mẫu chung ( )( x +a x +b ) x - + x - x +3 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức M = 1 với x > 0, x ≠ 4, x ≠ x -1 x - Hướng dẫn: M = x - 1 + = x - x +3 x -1 x - x - + x − − x +1 = x -1 x -3 = M ( M= ) )( ( x - )( x -1 x -3 ) + 1 x -1 x - x - 3)( x + 3) (= ) ( x -1)( x - 3) x −9 = x -1 x -3 ( )( x +3 x −1 x +3 với x > 0, x ≠ 4, x ≠ x −1 x x +3 x +2 x +2 + + Ví dụ 2: Cho biểu thức P = 1 − : x + x − − x x − x + Chứng minh P = x −2 với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ x +1 Hướng dẫn: x +2 x x +3 x +2 P= + + 1 − : x + x − − x x − x + x +2 x +3 x +2 : = − + x +1 x −2 x −3 x −2 x −3 = ( )( ) ( x + 3)( x − 3) − ( x + 2)( x − 2) + : x +1 ( x − 2)( x − 3) x −9− x + 4+ x + : = x +1 x −2 x −3 ( )( ) x +2 x −3 : = x +1 x −2 x −3 ( )( ) x −2 (dpcm) x +1 2.4 Nhóm 4: Mẫu biểu thức có dạng liên hợp bậc ba Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lưu ý cho học sinh mẫu biểu thức có dạng x − 1; x + x + 1; x x − chọn mẫu chung x x −= x + 1; x − x + 1; x x + chọn mẫu chung x x += ( )( ( x + 1)( x − ) x − x + x + ; ) x + ; x+2 x x −1 + − Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P = : x − x x −1 x + x +1 Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ≥ 0; x ≠ = P x x −1 + − : x − 1 x −1 x + x +1 x + x +1 x+2 ( )( ) x + + x ( x − 1) − ( x + x + 1) = − + + x x x 1 ) ( )( x −1 x − x +1 2 = x −1 x + x +1 x −1 x + x +1 ) )( ( Vậy P = x ≥ với x + x +1 x ≠ x + 2x + 2 x x − x x + x Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức M = − . x − − x + + − x x x Hướng dẫn: x ≥ x ≠ Điều kiện xác định: ( )( ) ( ) x + ( x + 2x + x +1 − x x −1 x +1 x −1 x + x +1 M ( )( )( ) 2x + x + 2x x + 2x + x + − 2x x + ( )( x +1 )( 4x + x + = x −1 x + x +1 ( Vậy M = )( ) x −1 x + x +1 ) x +1− x ( ) ) x +1 x −1 x ≥ với x −1 x ≠ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com C CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA ẨN Phương pháp giải: B1: Đối chiếu giá trị cho ẩn với điều kiện xác định biểu thức B2: Thay giá trị ẩn thỏa mãn ĐKXĐ vào biểu thức tính giá trị biểu thức B3: Kết luận Chú ý: - Nếu giá trị ẩn biểu thức chứa bậc hai ta phải biến đổi để đưa biểu thức dấu dạng bình phương tổng bình phương hiệu đơi lúc ta phải trục thức mẫu Ví dụ: Cho biểu thức P = x +1 với x > x x ≠1 Tính giá trị biểu thức P khi: 1.1 x = 1.2 x = 1.3 x= − 3− 1.4 x = 1.5 x = + 80 − − 80 1.6 x = 1.7 10 + − 10 − x = 18 − 13 + 18 + 13 Cho Q = Q x − x +1 , tính giá trị biểu thức A = khi: P x 2.1 x = 2.2 x = 2.3 x= − 2.4 x = 3− Tính giá trị biểu thức P khi: 3.1 x nghiệm phương trình − x − = 3.2 x nghiệm phương trình: x − 3x + 11 =x + 3.3 x thỏa mãn biểu thức M = x − x + đạt giá trị nhỏ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com y 3.4 giá trị nguyên x thỏa mãn: x + x − 16 = 4.25 ( y ∈ ) Hướng dẫn: Tính giá trị biểu thức P khi: 1.1 Ta có x = thỏa mãn ĐKXĐ Thay x = vào biểu thức P ta có: = P Vậy P = 1.2 Ta có x = x = 4 thỏa mãn ĐKXĐ Thay x = Vậy P = +1 +1 = = 2 4 vào biểu thức P ta có = P +1 +1 9= 3= 2 x = 1.3 Ta có x = 6−2 = ( − 1) Suy thỏa mãn ĐKXĐ x = ( − 1)2 = − (vì − > ) Thay = x − vào biểu thức P ta có: = P −1 +1 = −1 5+ = −1 Vậy x = − P = 5+ − ( − 1)2 1.4 Ta có x thỏa mãn ĐKXĐ = = Suy x = P = ( − 1)2 = −1 +1 2= −1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 −1 Thay x= −1 vào biểu thức P ta có: +1 + = −1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy x = 1.5 Ta có x = 6+2 3− P = + 80 − − 80 = + − − = (thỏa mãn ĐKXĐ) Thay x = vào biểu thức P ta có: = P Vậy P = 1.6 Ta có x = 3 x = +1 +1 = = 2 + 80 − − 80 10 + − 10 − = (1 + 3)3 + (1 − 3)3 = (1 + 3) + (1 − 3) = (thỏa mãn ĐKXĐ) +1 + = 2 Vậy = P 3 1.7 Ta có: x = 18 − 13 + 18 + 13 = 18 − 13 + 18 + 13 + 3 ( 18 − 13 )( 18 + 13 )( 18 − 13 + 3 3 18 + 13 =+ 36 3 182 − 25.13.x = 36 − 3x ⇒ x + x − 36 = ( ) ⇔ ( x − 3) x + x + 12 = ⇔ x − = x + x + 12 > 0, ∀x ⇔ x = (thỏa mãn ĐKXĐ) Với x = ta= có P Vậy P = 1.8 Ta có x = = +1 + = 3 3+ 3 x = 18 − 13 + 18 + 13 1 −1 5− 81 − 79 + + + 2 2 81 − = (thỏa mãn ĐKXĐ) Với x = ta= có P +1 + = 2 Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ) 91 Website:tailieumontoan.com Đảo lại với m ≤ ra: m ( ) −5 x +1 x + −5 m < − với x > − với x > Từ suy > 18 4x 4x 18 − x P > x +1 x −2 Bài 12 Cho biểu thức P = − x x −4 2+ x − : x x −2 x −x Rút gọn biểu thức P Tìm m để có x thỏa mãn: P= mx x − 2mx + Hướng dẫn: 2−3 x ĐKXĐ: x > 0; x ≠ Ta có: P = Thay P = ( ( ) 2−3 x −3 x vào phương trình ta có: 2m x x − x = ) ⇔ 2m x − x = −3 (vì x > 0) −3 x − x = ⇒ 2m m ≠ Ta có với x > 0; x ≠ thì: ( Đảo lại với m < m ≥ Vậy với m < m ≥ ) x − ≥ 0; ( ( 2m − 2m ≥ m < x −1 ≠ ⇒ ⇒ m ≥ 3 m − ≠1 2m ) ) 2 x − ≥ 0; ( ) x − ≠ ⇔ x > 0; x ≠ có x thỏa mãn: P= mx x − 2mx + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 92 Website:tailieumontoan.com G GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TỐN RÚT GỌN TRÍCH TỪ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CỦA THÀNH PHỐ HÀ NỘI Thi vào lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội-Năm học 2007-2008 Bài I (2,5 điểm) x x −4 Với x ≥ & x ≠ + − x −1 x −1 x +1 Cho biểu thức : P = Rút gọn biểu thức P 2.Tìm x để P < Hướng dẫn: BÀI Ý ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM Rút gọn biểu thức P = x x −4 + − x −1 x −1 x +1 ĐIỂM 1,5 Với x ≥ & x ≠ Bài I P= P= (2,5 x ( ) ( ) ( ( x − 1)( x + 1) x +1 + x + x +3 x −3−6 x + ( )( x +1 Rút gọn P = x −1 x +1 x −1 Kết luận : P = điểm) x −1 − x − Tìm x để P < P< ⇒ ) 0,25 0,25 0,75 x ≥ x −1 với x +1 x ≠ 0,25 1,0 0,25 x −1 < x +1 x −3 x −1 P= 0,25 x + x +1 với x > x 0,25 Tính giá trị biểu thức P x = 0,75 Ta có: x = (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Với x = = ⇒P 1,0 0,5 x + x +1 x Kết luận: Vậy P = ĐIỂM Tìm x để P = + +1 = 13 0,5 0,75 13 x + x + 13 ⇔ x − 10 x + = ⇔ = P= 3 x 0,25 x =3 x = ⇔ ⇔ x=1 x = 0,25 Kết luận: Vậy x = x = 1/9 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 94 Website:tailieumontoan.com Thi vào lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội-Năm học 2009-2010 Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức : A = x 1 , với x ≥ 0; x ≠ + + x−4 x −2 x +2 Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A x = 25 3 Tìm giá trị x để A = - Hướng dẫn: BÀI Ý Bài I (2,5 điểm) ĐÁP ÁN- HƯỚNG DẪN CHẤM Rút gọn A = A= x 1 , với x ≥ 0; x ≠ + + x−4 x −2 x +2 0,25 x với x ≥ 0; x ≠ x −2 Tính giá trị biểu thức A x = 25 0,75 Ta có: x = 25 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Với x = 25 ⇒ = A 1,0 0,75 x x −2 Kết luận: Vậy A = ĐIỂM Tìm giá trị x để A = - A =− ⇔ x= 0,5 25 = 25 − 0,75 x =− ⇔ x =− x −2 ( x −2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 0,25 1 ⇔x= Kết luận: So sánh với điều kiện ta có x = ) 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com Thi vào lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội-Năm học 2010-2011 Bài I (2,5 điểm) x Cho P = x +3 x + x −3 − 3x + ,x ≥ 0& x ≠ x−9 Rút gọn P Tìm giá trị x để P = 3 Tìm GTLN P Hướng dẫn: BÀI Ý Bài I (2,5 điểm) ĐÁP ÁN- HƯỚNG DẪN CHẤM Rút gọn P = P= x x +3 x −3 − 3x + ,x ≥ 0& x ≠ x−9 1,0 0,75 với x ≥ 0; x ≠ x +3 Tìm giá trị x để P = Ta có: P = x x +3 Kết luận: Vậy P = + ĐIỂM ⇔ x +3 = ⇒ x = ⇔ x = 36 x +3 0,25 0,75 0,5 So sánh với điều kiện ta có: x = 36 (tmđk) 0,25 Tìm GTLN P 0,75 Ta có: 0,5 x + ≥ 3, ∀x ≥ 0; x ≠ ⇔ ⇔ 1 ≤ , ∀x ≥ 0; x ≠ x +3 3 ≤ 1, ∀x ≥ 0; x ≠ x +3 Dấu “=” xảy x = 0,25 Kết luận: Vậy GTLN P x = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com Thi vào lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội-Năm học 2011-2012 Bài I (2,5 điểm) Cho A = x 10 x , Với x ≥ x ≠ 25 − − x − x − 25 x +5 Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị A x = Tìm x để A < Hướng dẫn: BÀI Ý Bài I (2,5 điểm) ĐÁP ÁN- HƯỚNG DẪN CHẤM Rút gọn A = x 10 x , Với x ≥ x ≠ 25 − − x − x − 25 x +5 ĐIỂM 1,0 Với x ≥ x ≠ 25 ta có : A= = x 10 x − − x − x − 25 x +5 x ( x + 5) 10 x 5( x − 5) − − x − 25 x − 25 x − 25 = x + x 10 x x − 25 − − x − 25 x − 25 x − 25 = x − 10 x + 25 ( x − 5) = = x − 25 ( x − 5)( x + 5) Kết luận: Vậy A = x −5 với x ≥ 0; x ≠ 25 x +5 0,75 0,25 Tìm giá trị A x = 0,75 Ta có: x = (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Với x = ⇒ A = x −5 x +5 Tìm x để A < Ta có: A < ⇔ −5 = − +5 0,75 ⇔ x −5 < x +5 x −5 < ⇔ x − 15 < x + x +5 ⇔ x < 20 ⇔ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,5 x < 10 ⇔ x < 100 0,5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 97 Website:tailieumontoan.com Kết hợp với điều kiện ta có ≤ x < 100 0,25 Thi vào lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội-Năm học 2012-2013 Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức A = x +4 x +2 Tính giá trị biểu thức A x = 36 x + 16 x Rút gọn biểu thức (với x ≠ 0 , x ≠ 16 ) = + B : x +4 − + x x Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức B ( A – 1) số nguyên Hướng dẫn: BÀI Ý Bài I (2,5 điểm) ĐÁP ÁN- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Tính giá trị A x = 36 0,75 Thay x = 36 vào biểu thức A 0,25 Tính A = 0,5 Rút gọn biểu thức B 1,0 Với điều kiện đề cho: B= ( x + 16 x +4 )( x −4 ) : x + 16 x +2 0,5 = x + 16 x + x − 16 x + 16 = x +2 x − 16 0,25 Tìm x nguyên… 0,75 B ( A − 1) = = x +2 x +4 − 1 x − 16 x + x +2 2 = x − 16 x + x − 16 Lập luận suy được: 0,25 0,25 0,25 x − 16 = 1; x − 16 = −1; x − 16 = 2; x − 16 = −2 Kết luận: x nhận giá trị 17;15;18;14 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 0,25 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 98 Website:tailieumontoan.com Thi vào lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội-Năm học: 2013-2014 Bài I (2,0 điểm) Với x > , cho hai biểu thức: A = 2+ x x = B x −1 x +1 + x x+ x Tính giá trị biểu thức A x = 64 Rút gọn biểu thức B Tìm x để A > B Hướng dẫn: BÀI Ý Bài I ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM (2,0 điểm) Tính giá trị A x = 64 0,5 Thay x = 64 vào biểu thức A 0,25 Tính A = 0,25 Rút gọn biểu thức B 0,75 Với điều kiện x > , ta có: 0,25 = B B = ĐIỂM x −1 x + x +1 x ( x+2 x = x x +1 ( Tìm x để ) x +1 ) 0,25x2 x +2 x +1 A > B A Tính = B 0,75 x +1 > x +2>3 x x ⇔ ⇔ x < B Kết luận: < x < Với x > 0, ta có 0,25 0,25 0,25 Thi vào lớp 10 THPT, Thành phố Hà Nội - Năm học 2014 – 2015 Bài I (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức A = x +1 x −1 x = x−2 x +1 + Cho biểu= thức P với x > x ≠ x + x −1 x+2 x Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 99 Website:tailieumontoan.com x +1 a) Chứng minh P = x 2P x + b) Tìm giá trị x để = Hướng dẫn: BÀI Ý Bài I ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Tính giá trị biểu thức A x = 0, (2,0 Thay x = vào biểu thức A 0, 25 điểm) Tính A = 0, 25 Chứng minh P = … 1,0 Với điều kiện x > 0, x ≠ ta có: 0, 2a x−2+ x P= = ( = 2b x ( x −1 x ( x +2 )( ) x +1 x −1 x +2 x +2 ) ) 0, 25 x +1 x −1 0, 25 x +1 (đpcm) x 0, Tìm giá trị x để … Với x > 0, x ≠ , đưa ⇔ ( ) )( x +1 = x +5 x 0, 25 x + 2 x −1 = x + > 0, ∀x > 0, x ≠ ⇒ x = Kết luận x = 0, 25 Vì Thi vào 10 THPT, Thành phố Hà Nội - Năm học 2015-2016 Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức : P = x+3 = Q x −2 x −1 x − + với x > 0, x ≠ x−4 x +2 Tính giá trị biếu thức P x = Rút gọn biểu thức Q Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ Q Hướng dẫn: BÀI Ý Bài I ĐÁP ÁN – HƯƠNG DẪN CHẤM Tính giá trị biểu thức P x = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ĐIỂM 0,5 TÀI LIỆU TỐN HỌC 100 Website:tailieumontoan.com (2,0 Thay x = (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P 0,25 điểm) Tinh P = 12 0,25 Rút gọn biểu thức Q 1,0 x −1 Ta = có: Q ( = = ( x +2 )( x −2 ( x +2 )( x −2 0,25 ) ) 0,25 x −2 +5 x −2 x−4 x+2 x x −2 )( x +2 0,25 ) 0,25 x = x −1 + x −2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x+3 = x P Q Ta có: = x+ 0,5 P Q 0,25 x Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: x+ x ≥2 Dâu xảy x= x 0,25 ⇔ x= (Thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị nhỏ P , đạt x = Q 10 Thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội - Năm học 2016-2017 Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A B x 8 x x 24 với x 0, x x 9 x 3 Tính giá trị biểu thức A x=25 Chứng minh B x 8 x 3 Tìm x để biểu thức P=A.B có giá trị số nguyên Hướng dẫn: BÀI Ý ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ĐIỂM TÀI LIỆU TOÁN HỌC 101 Website:tailieumontoan.com Bài I (2 Tính giá trị biểu thức… 0,5 Thay x = 25 vào biểu thức A 0,25 Tính A = điểm) 13 Chứng minh B = = B B= B= B = x x −3 + 0,25 x +8 x +3 1,0 0,25 x − 24 ( x − 3)( x + 3) 0,25 x ( x + 3) + x − 24 ( x − 3)( x + 3) 0,25 x + x − 24 ( x − 3)( x + 3) x − )( x + ) (= ( x − 3)( x + 3) x +8 x +3 0,25 Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên = P A= B Ta có < x +8 x +3 ≤ x +8 = x +3 0,5 0,25 x +3 7 ⇔0 0) )( x −2 x −2= ⇔ x − =−1 x = (thỏa mãn điều kiện) ⇔ x = Vậy x ∈ {9;1} giá trị cần tìm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 103 Website:tailieumontoan.com 12 Thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội - Năm học 2018-2019 Bài (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A x 4 x 1 B với x 0, x x 1 x 2 x 3 x 3 a) Tính giá trị biểu thức A x x 1 b) Chứng minh B c) Tìm tất giá trị x để A x 5 B HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án tham khảo chi tiết a) Thay x = thỏa mãn điều kiện xác định vào biểu thức A ta= có: A Vậy x = A = b) x +1 − = x + x −3 x +3 = B = ⇔B ( x +1 )( x −1 x +1− x + = x −1 x +3 ( )( +4 = −1 x +3 ) x +3 ) ( )( x −1 x +3 − x +3 ) ⇔B= x −1 Với x ≥ 0; x ≠ Suy điều phải chứng minh c) A x +4 = : = x + ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 3) B x −1 x −1 A x x x ≥ + ⇔ x + ≥ + ⇔ − x +1 ≤ B 4 ⇔ x−4 x +4≤0⇔ Mà ⇒ ( ( x −2 x −2 ) ) 2 ( x −2 ) ≤0 ≥ với x thỏa mãn điều kiện xác định ≤ 0⇒ x −2 = ⇔ x = ⇔ x = So với điều kiện, thỏa mãn A x Vậy x = ≥ + B Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 104 Website:tailieumontoan.com 12 Thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội - Năm học 2019-2020 Bài I ( 2,0 điểm ) Cho hai biểu thức A = ( ) x +1 B = 25 − x 15 − x x +1 với x ≥ 0; x ≠ 25 + : x + x − x − 25 1) Tìm giá trị biểu thức A x = 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât Lời giải 1) Với x = có : A Thay vào A ta= x + 1) ( + 1) (= = 25 − x 25 − ( + 1) = 16 2) Rút gọn biểu thức B 15 − x x +1 Với x ≥ , x ≠ 25 , ta có = + B : x + x − x − 25 = B B= B= = B B= ( x +5 )( 15 − x + ( x +1 + : x + 5 x − x −5 15 − x x +5 )( ( ) x −5 x −5 ) 15 − x + x − 10 ( x +5 )( x −5 x +5 ( x +5 )( x −5 ) ) ⋅ ): : x +1 x −5 x +1 x −5 x −5 x +1 x +1 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá giá trị nguyên lớn ( Ta có P = A.B = )⋅ x +1 25 − x = x + 25 − x Để P nhận giá trị nguyên x ∈ 4 ( 25 − x ) hay 25 − x ∈ U ( 4) ={−4; − 2; − 1;1; 2; 4} Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 105 Website:tailieumontoan.com Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 − x −4 −2 −1 x 29 27 26 24 23 21 P = A.B −1 −2 −4 Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nên ta có P = Khi giá trị cần tìm x x = 24 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ...1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số học - Căn bậc hai số thực... Các công thức liên quan đến bậc ba: A < B ⇔ A < B Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 A= A.B = A B A = B B ⇔ A = B A B với B ≠ TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com B DẠNG TOÁN... ≠ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com C CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA ẨN Phương pháp giải: B1: